精品解析：上海市中国中学2026届高三下学期数学高考模拟卷3

高考模拟卷3 一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合，且，则实数a的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据子集的包含关系，确定端点值范围即可. 【详解】解：由，则集合中的所有元素必须属于集合， 所以，即a的取值范围为. 2. 抛物线的准线方程为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据抛物线的准线方程即得． 【详解】由抛物线， 抛物线的准线方程为． 故答案为：． 3. 若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角大小为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由直线的法向量推导直线的斜率，再结合倾斜角的取值范围，根据斜率与倾斜角的对应关系求解倾斜角. 【详解】已知是直线的一个法向量，可设直线的一般式方程为（为常数）， 将其化为斜截式即，因此直线的斜率， 设直线的倾斜角为，其中，由斜率的定义可得， 因为，故，因此. 4. 若正实数、满足，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算公式，求出实数、满足的等量关系，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由题意得，可得， 由对数性质可知，根据基本不等式可知，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为4. 故答案为：4. 5. 总体由编号为00，01，…，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个个体的编号为________． 5044664421 6606580562 6165543502 4235489632 1452415248 2266221586 2663754199 5842367224 【答案】56 【解析】 【详解】由题意可知，从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字， 个体编号依次为：64（舍去），42，16，60（舍去），65（舍去），80（舍去），56，26，16（舍去），55，43， 所以选出的6个个体编号依次为42，16，56，26，55，43，故第3个个体的编号为56． 6. 已知，则实数_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理将等式右边简化即可得的值. 【详解】因为 ， 所以， 故. 故答案为：. 7. 已知是关于的方程的两根，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先通过根与系数的关系得到的关系，再通过同角三角函数的基本关系即可解得. 【详解】由题意：，所以， 所以，即，解得. 故答案为：. 8. 相互独立事件，满足，，则________． 【答案】## 【解析】 【详解】由对立事件的性质得， 则，解得， 已知事件，相互独立，则 ，解得． 9. 已知某圆台的上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为3和5，则该圆台的侧面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意首先确定几何体的空间结构特征，求得圆台的高，然后利用圆台的侧面公式即可求得其侧面积. 【详解】由于圆台的下底面半径为5，故下底面圆周为外接球的大圆， 如图所示，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为， 则圆台的高， 则圆台的母线长为， 所以可得圆台的侧面积为. 故答案为：. 10. 随机变量，，若，那么实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由正态分布性质可得，，由此可利用对称性构造方程求得结果. 【详解】，，，， ，，解得：. 故答案为：. 11. 已知是椭圆的左焦点，过点的直线与圆交于，两点，与在轴右侧交于点，且，则的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】设椭圆的右焦点为，的中点为，连接，设，表示出，，再由三角形的中位线定理得，然后在中利用勾股定理列方程求得，再在中列方程化简可求出离心率. 【详解】设椭圆的右焦点为，的中点为，连接，则，， 因为，所以为的中点， 因为为的中点，所以‖，， 所以， 设，则，， 因为，所以， 所以， 在中，由，得， 化简整理得，解得或， 当时，，不合题意，舍去， 所以， 所以， 在中，由，得， 则，得， 即的离心率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆的定义的应用，解题的关键是取的中点为，由已知条件结合圆的知识得为的中点，再应用三角形中位线定理和勾股定理求解，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题. 12. 若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】求出命题的否定对应的参数，其补集即所求. 【详解】对关于的命题：对任意的，总存在，使得， 其否定为：存在，，使得， 若为真，由，得， 则， 所以且， 所以，得， 由上，若为真，则，即的取值范围是. 二、选择题（13-14题每题4分，15-16题每题5分，共18分） 13. “”是“直线与垂直”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件以及两直线间的位置关系等知识确定正确答案. 【详解】当时，，， ，充分性成立； “直线与垂直”恒成立， 并不需要a参与其中，必要性不成立. 故选：A 14. 已知，则（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】将所求极限式拆分为两个符合导数定义的形式，代入已知的导数值计算即可得到结果. 【详解】 . 15. 周末，小赵同学临时起意想去电影院看电影，当他打开订票软件时，只剩下第1至12排最左边的12个座位，电影院的俯视图如图所示（单位：米），观众坐第一排时，眼睛与屏幕墙面的垂直距离为3.00米，影院前后两排观众间距1.00米，如果小赵想得到最好的水平方向视角（即眼睛看屏幕两侧的视线夹角最大，不考虑前后排高度差与竖直方向视角），你建议他选择第（ ）排的座位？ A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】先由题设表示第n排座位的位置、表示第n排座位的水平方向视角，则在中利用勾股定理求出即可利用余弦定理去研究水平视角与n的关系，进而得到最好的水平视角. 【详解】如图，表示屏幕长，C、D分别表示第1排和第15排座位位置， 设表示第n排座位的位置， 则由题可设表示第n排座位的水平方向视角， 则， 故 所以 ， 令，且， 则 ， 令，任取， 则， 因为，故， 所以，即， 所以在上单调递减，同理可得在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，当时，，此时； 时，，此时， 所以当时，最小，因为， 所以此时最大，即此时是最好的水平方向视角， 故建议他选择第4排的座位能得到最好的水平方向视角． 16. 已知定义在上的函数． 对任意区间和，若存在开区间，使得，且对任意（）都成立，则称为在上的一个“M点”． 有以下两个命题： ①若是在区间上的最大值，则是在区间上的一个M点； ②若对任意，都是在区间上的一个M点，则在上严格增． 那么（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①、②都是真命题 D. ①、②都是假命题 【答案】D 【解析】 【分析】举出反例，得到①②错误. 【详解】对于①，设，满足是在区间上的最大值，但不是在区间上的一个M点，①错误； 对于②，设，为区间上的一个M点， 但在上不是严格增函数. 故选：D 【点睛】举出反例是一种特殊的证明方法，它在证明“某命题”不成立时，可达到事半功倍的效果. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，． （1）证明：； （2）若点是中点，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理可得，结合面面垂直的性质定理可得平面，从而可得. （2）根据（1）的结果可建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求点面距. 【小问1详解】 因为，，故，故. 因为平面平面，平面平面， 平面，故平面，而平面， 故. 【小问2详解】 由（1）可得平面，而， 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为， 故，所以，故， 而，设平面的法向量为， 则即，取， 故到平面的距离为. 18. 已知，． （1）当时，解关于的不等式； （2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用对数函数的单调性和真数大于零来解不等式； （2）解一元一次或一元二次方程，使满足的根只有一个即可. 【小问1详解】 当时，， 则，得， 故不等式的解集为. 【小问2详解】 ，则， 得且， 若，则，得满足； 若，则或且， 若，即，此时方程的根为，满足； 若即， 因为，所以由题意可知，得， 综上，的取值范围为. 19. 某省为了解高中生对足球赛事的了解情况，特地举办了一次足球常识问卷调查，问卷的满分为100分，统计结果显示，学生成绩，不低于60分为及格，高于80分为优秀，且优秀率为20%．根据某高中学校参加问卷的90名学生的调查结果，得到如下列联表： 性别 关注足球赛事 不关注足球赛事 合计 男 55 5 60 女 20 10 30 合计 75 15 90 （1）根据小概率值的独立性检验，分析该校学生对足球赛事的关注是否与性别有关； （2）在这90名学生中随机抽取一名，记事件表示抽到“学生关注足球赛事”，事件表示抽到“学生是女生”，求及的值； （3）从全省参与调查的学生中随机选出5人，这5人中及格的人数记作，求的期望与方差． 附：，其中． 常用的小概率值和相应的临界值： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）该校学生对足球赛事的关注与性别有关. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据卡方计算公式，结合独立检验的思想即可下结论； （2）根据和事件的运算与条件概率的计算公式求解即可； （3）根据正态分布求得，结合二项分布的均值与方差公式计算即可求解. 【小问1详解】 零假设为：学生对足球赛事的关注与性别无关. 根据列联表中的数据，得到， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为该校学生对足球赛事的关注与性别有关. 【小问2详解】 由题意得，，，， 故. 【小问3详解】 因为， 所以， 所以， 故， 即. 20. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，. （1）求的方程； （2）记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率； （3）设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得到，即可求解； （2）设直线的方程为，联立抛物线方程，结合韦达定理即可求解； （3）由（2）结合两点斜率公式即可求解. 【小问1详解】 由题意知，所以抛物线方程为. 【小问2详解】 由题意可设直线的方程为，，，则，，. 所以，得， 所以，. 所以直线的方程为：，与直线的方程联立消去， 解得，同理. 所以.所以. 所以直线的斜率为. 【小问3详解】 设， 因为. 因为，. 所以， 当时，为定值.所以. 21. 设定义域为的函数在上可导，导函数为．若区间及实数满足：对任意成立，则称函数为上的“函数”． （1）判断是否为上的函数，说明理由； （2）若实数满足：为上的函数，求t的取值范围； （3）已知函数存在最大值．求证：对任意正整数都是上的函数的充要条件是对任意与恒成立 【答案】（1）是，理由见解析； （2）且； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，作差判断即可. （2）利用给定定义列出恒成立的不等式，再建立关于的不等式求解即得. （3）根据给定的定义，按充分性、必要性分别推理证明. 【小问1详解】 函数，求导得， ，恒成立， 所以是上的函数. 【小问2详解】 由为上的函数，， 得， 取，得，反之当时，在恒成立， 令，求导得，且的为离散的点， 因此为严格减函数，又，则， 又， 所以t的取值范围是：且. 【小问3详解】 （充分性）对任意与恒成立，则对任意正整数，有：， 因此为上的函数，即充分条件成立； （必要性）即对任意正整数，有①， 记函数的最大值为， 先证明恒成立， 反证法，假设存在使得，则取正整数，使得， 此时有，与①矛盾，因此假设错误，即； 再证明恒成立， 取为的一个最大值点， 则当时，由单调性知，但，则， 于是， 对任意，可取一个与有关的正整数，使得， 由②知：，因此必要性成立， 所以原命题正确． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考模拟卷3 一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合，且，则实数a的取值范围是_________. 2. 抛物线的准线方程为_____. 3. 若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角大小为__________． 4. 若正实数、满足，则的最小值为________． 5. 总体由编号为00，01，…，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个个体的编号为________． 5044664421 6606580562 6165543502 4235489632 1452415248 2266221586 2663754199 5842367224 6. 已知，则实数_____ 7. 已知是关于的方程的两根，则__________. 8. 相互独立事件，满足，，则________． 9. 已知某圆台的上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为3和5，则该圆台的侧面积为_____. 10. 随机变量，，若，那么实数的值为__________. 11. 已知是椭圆的左焦点，过点的直线与圆交于，两点，与在轴右侧交于点，且，则的离心率为________． 12. 若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是____________. 二、选择题（13-14题每题4分，15-16题每题5分，共18分） 13. “”是“直线与垂直”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件 14. 已知，则（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 15. 周末，小赵同学临时起意想去电影院看电影，当他打开订票软件时，只剩下第1至12排最左边的12个座位，电影院的俯视图如图所示（单位：米），观众坐第一排时，眼睛与屏幕墙面的垂直距离为3.00米，影院前后两排观众间距1.00米，如果小赵想得到最好的水平方向视角（即眼睛看屏幕两侧的视线夹角最大，不考虑前后排高度差与竖直方向视角），你建议他选择第（ ）排的座位？ A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 16. 已知定义在上的函数． 对任意区间和，若存在开区间，使得，且对任意（）都成立，则称为在上的一个“M点”． 有以下两个命题： ①若是在区间上的最大值，则是在区间上的一个M点； ②若对任意，都是在区间上的一个M点，则在上严格增． 那么（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①、②都是真命题 D. ①、②都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，． （1）证明：； （2）若点是中点，求点到平面的距离． 18. 已知，． （1）当时，解关于的不等式； （2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围． 19. 某省为了解高中生对足球赛事的了解情况，特地举办了一次足球常识问卷调查，问卷的满分为100分，统计结果显示，学生成绩，不低于60分为及格，高于80分为优秀，且优秀率为20%．根据某高中学校参加问卷的90名学生的调查结果，得到如下列联表： 性别 关注足球赛事 不关注足球赛事 合计 男 55 5 60 女 20 10 30 合计 75 15 90 （1）根据小概率值的独立性检验，分析该校学生对足球赛事的关注是否与性别有关； （2）在这90名学生中随机抽取一名，记事件表示抽到“学生关注足球赛事”，事件表示抽到“学生是女生”，求及的值； （3）从全省参与调查的学生中随机选出5人，这5人中及格的人数记作，求的期望与方差． 附：，其中． 常用的小概率值和相应的临界值： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 20. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，. （1）求的方程； （2）记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率； （3）设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标. 21. 设定义域为的函数在上可导，导函数为．若区间及实数满足：对任意成立，则称函数为上的“函数”． （1）判断是否为上的函数，说明理由； （2）若实数满足：为上的函数，求t的取值范围； （3）已知函数存在最大值．求证：对任意正整数都是上的函数的充要条件是对任意与恒成立 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $