第17章一元二次方程单元检测2025-2026学年沪科版八年级数学下册

沪科版八年级下册数学 第17章一元二次方程 单元检测 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若一元二次方程的一个实数根为m，则的值是（    ）． A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 2．下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．用配方法解方程时，配方后得到的方程为（　　） A． B． C． D． 4．关于x的一元二次方程的两个根满足，则a的值为（    ） A． B．1 C．3 D．9 5．若方程是关于的一元一次方程，则的值为（    ）． A． B．3 C．或3 D．5或 6．为满足消费者需要，红星厂一月份生产手提电脑200台，计划二、三月份共生产1200台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 7．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 8．用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 9．定义一种新运算：，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 10．若一元二次方程的一个根为，则（　　） A． B． C． D． 11．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 12．已知是一元二次方程一个根，则的值为 ． 13．若m、n是两个不相等的实数，且满足，，则代数式的值为 ． 14．已知方程有一个根是，则代数的值为 ． 15．已知是方程的两个不相等的实数根，则 ． 16．一元二次方程的二次项系数，一次项系数及常数项分别是 ． 17．如图，在宽为，长的矩形场地上，修筑同样宽的两条道路，余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为，若设路宽为，则可列方程为： ． 18．已知，是方程的两个根，则代数式的值为 ． 19．已知，是二次方程的两个根，则的值为 ． 20．关于的一元二次方程一个根是，则另一个根是 ． 21．某中学大力发展“红色底蕴，绿色发展”的校园文化建设，教育教学质量逐年提高，赢得了社会各界的关注和好评．近几年来，每年七年级新生报名人数均创新高．已知该校2021年七年级招生900人，2023年达到1089人，假设每年招生人数的平均增长率相同，则平均每年的增长率是 ． 三、解答题 22．解方程： (1) (2)． 23．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，则________； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值； 24．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）设x1，x2是方程的两根且满足x12+x22﹣9＝0，求m的值． 25．已知关于的一元一次方程，其中，b、分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果是直角三角形，为斜边，证明：一元二次方程有两个相等的实数根； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《沪科版八年级下册数学 第17章一元二次方程 单元检测》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B C B B C B A B 题号 11 答案 D 1．B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用一元二次方程根的定义，得到，然后整体代入求值． 【详解】解：∵ 是方程 的实数根， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据其定义“含有一个未知数，未知数的最高次数为2次的整式方程”即可求解． 【详解】解：A、化简得，，不是一元二次方程，不符合题意； B、，当时，该方程不是一元二次方程，不符合题意； C、，含有一个未知数，未知数的最高次数是2次，是整式方程，故是一元二次方程，符合题意； D、，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C ． 3．B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 使用配方法将二次方程转化为完全平方形式． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， ∴配方，加一次项系数一半的平方：， ∴． 故选：B． 4．C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系． 利用一元二次方程根与系数的关系，由两根之和为6，直接求解a的值． 【详解】解：∵方程化为标准形式：， ∴两根之和， 又∵，即， ∴， ∴． 故选：C． 5．B 【分析】本题考查一元一次方程的概念，掌握好一元一次方程的定义是关键． 根据一元一次方程的定义，未知数x的指数必须为1且系数不为零，以此求出m的值，然后代入代数式求值． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴，且， 解得， ∴或， 又∵ ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6．B 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；根据平均增长率x，二月份产量为，三月份产量为，二、三月份总产量为1200台，由此列方程即可． 【详解】解：设二、三月份每月的平均增长率为x， 由题意可列方程为； 故选B． 7．C 【分析】本题考查了根的判别式，根据一元二次方程有实数根的条件，判别式非负且二次项系数不为零即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴判别式， 解得 综上，且， 故选：C． 8．B 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程．通过配方法将方程转化为完全平方形式，从而得出正确选项． 【详解】解： ∴（添加一次项系数一半的平方） 因此，配方结果为， 故选：B． 9．A 【分析】本题主要考查了新定义运算与一元二次方程的求解，熟练掌握新运算的定义并将其转化为常规方程是解题的关键． 根据新运算的定义，将方程左右两边分别转化为代数表达式，得到一元二次方程，然后求解． 【详解】∵，， ∴方程的左边：， 方程的右边：， ∴方程化为， 展开：， 即， 移项：， 解方程：， ∴，， 故选：A． 10．B 【分析】本题考查了一元二次方程的解．将直接代入方程即可得到关系式． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 即． 故选：B． 11．D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握关于x的一元二次方程的两个根满足是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系（即两根之和与两根之积），结合给定的倒数之和条件，直接求解出p的值． 【详解】解：方程 的两根为 ， ，， 又 ， 即 ， ， 解得 ． 故选：D． 12．2026 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义等知识，根据是一元二次方程一个根，得到变形为，把变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：∵ 是一元二次方程一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2026． 13．6 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键，由题可得m、n是的两个根，整理得到，从而得到，的值，代入即可得到答案． 【详解】解：∵m、n是两个不相等的实数，且满足，， ∴m、n是，即的两个根， 根据根与系数的关系，得，， ∴ ， 故答案为：6． 14．2025 【分析】本题考查了一元二次方程的根，根据一元二次方程根的定义得到，则有，再对所求代数式进行变形并整体代入计算即可． 【详解】解：∵方程有一个根是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2025． 15． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.根据根与系数的关系求出和的值，并将原表达式通过代入方程化简为含和的式子，然后代入求值． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴根据根与系数的关系，得， 又∵满足方程， ∴，即 代入原式，得． 故答案为：． 16．2，， 【分析】本题考查一元二次方程的基本概念，明确一元二次方程的“二次项系数、一次项系数、常数项”的定义是解题关键． 一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【详解】解： 一元二次方程中，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 方程中，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：2，，． 17． 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，如果若设路宽为，耕地的长应该为，宽应该为；那么根据耕地的面积为，即可得出方程． 【详解】解：设路宽为， 则耕地的长应该为，宽应该为； 根据面积公式可得：， 故答案为：． 18．3 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的定义和根与系数的关系是解题的关键．由“逢根必代”思想和一元二次方程根与系数的关系：，求解后再代入代数式即可． 【详解】解：∵是一元二次方程 的根， ∴把代入方程，得 ，即 ． 又由根与系数的关系，得 ． 因此，． 故答案为3． 19． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，利用根与系数的关系得到和的值，并将原表达式中的和用方程关系代换，化简后代入求值． 【详解】，是方程的根， 根据根与系数的关系，有，， 由原方程得，， ， ， 原式． 故答案为． 20．/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握．根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：设方程的另一根为． ∵一个根为， ∴根据根与系数的关系，得, ∴，即， 解得或， 但时，，不符合一元二次方程的条件，故舍去． 当时，方程为， 解得另一根为． 故答案为：． 21． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设平均每年的增长率为x，根据2023年招生人数等于2021年招生人数乘以的平方，列方程求解即可． 【详解】解：设平均每年的增长率为x． 根据题意，得． 解得或（舍去） ∴平均每年的增长率为， 故答案为：． 22．(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练运用不同方法解方程是解题的关键． （1）利用公式法即可解答； （2）利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ， ∴，； （2）解： 移项得：， 分解因式得：， 所以或， 解得：，． 23．(1)2 (2)0 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系、“倍根方程”的定义，熟练掌握根与系数的关系，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）设方程的两个根为，，根据一元二次方程根和系数的关系解答即可求解； （2）求出方程的解，再根据“倍根方程”的定义解答即可求解． 【详解】（1）解：设方程的两个根为，， 由一元二次方程根和系数的关系得，，， 即，， 则方程的两个根为和， 因此， 故答案为：； （2）解：解方程，得，， 由于方程是“倍根方程”， 若，即， 解得，即， 若，即， 解得，即， 当时，； 当时，； 综上所述，代数式的值为． 24．（1）；（2）m=1． 【分析】(1)根据题意可得> 0，再代入相应数值解不等式即可； (2)根据根与系数的关系可得 根据x12+x22﹣9＝0可得关于m的方程，整理后即可解出m的值． 【详解】解：（1）根据题意得： ， （2）根据根与系数的关系可得： x12+x22﹣9＝0， ， 解得m=1或-3， 方程有两个不相等的实数根时，， ． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：(1)>0 ，方程有两个不相等的实数根；(2)= 0，方程有两个相等的实数根；(3)< 0 ，方程没有实数根；以及根与系数的关系：x1，x2是方程的两根时，． 25．(1)等腰三角形，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的根以及根据判别式判断一元二次方程根的情况，掌握相关结论即可； （1）把代入方程得：，推出，即可判断； （2）由题意得，推出，根据即可求证； 【详解】（1）解：等腰三角形，理由如下： 把代入方程得：得 ， ∴ ∴ ∴ 是等腰三角形； （2）证明：∵ 是直角三角形，c为斜边， ∴ ∴； ∵ ∵ ， ∴； ∴ 方程有两个相等的实数根； 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $