第11章 解三角形（举一反三讲义·培优篇）高一数学苏教版必修第二册

该高中数学解三角形单元复习讲义通过七大压轴题型框架系统构建知识体系，以表格形式梳理正余弦定理应用、三角形形状判定等核心内容，用思维导图呈现面积最值、边长范围等重难点的内在逻辑联系。 讲义亮点在于压轴题型的分层设计，如三角形面积最值问题（题型3）、正余弦定理与三角函数性质结合（题型6），培养学生数学思维与推理能力。例题涵盖选择、填空、解答题，基础学生可掌握通法，优秀学生能探究综合应用，助力教师实施精准分层教学。

第11章 解三角形全章七大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版】 题型1 正、余弦定理解三角形 1．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）在中，，是边上一点，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用余弦定理求出， ，利用正弦定理即可求出的长. 【解答过程】由题意，在中，，，， 由余弦定理得， ， ∴， ∴， 在中, 由正弦定理得， ， 故选：C. 2．（24-25高一下·重庆·期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．5 B． C． D．4 【答案】B 【解题思路】利用正弦定理求出，再利用余弦定理求出. 【解答过程】因为，，，由正弦定理， 可得，即，可得， 由余弦定理可得，所以. 故选：B． 3．（24-25高一下·安徽安庆·月考）在中，内角、、所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用余弦定理化简可得，计算可得，由正弦定理可得，代入可得答案. 【解答过程】由余弦定理得， 所以，所以，故． 由正弦定理，得， 故． 故选：B． 4．（24-25高一下·广东汕头·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则 ． 【答案】 【解题思路】利用已知条件中的边长将化为，再结合正、余弦定理即可求解. 【解答过程】，， 则即为， 由正弦定理得：，即， 又由余弦定理得：， ， 由正弦定理有：，，解得． 故答案为：. 5．（24-25高一下·江苏无锡·月考）在中，三个内角角，，所对的边分别为，，．且． (1)求角的大小； (2)若，，求边的长． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由正弦定理边角转化得出，结合角的范围计算求值； （2）根据正弦定理边角转化再应用余弦定理计算求出边长即可. 【解答过程】（1）因为，由正弦定理得， 又因为在中，所以， 所以， 所以； （2）因为，由正弦定理得， 由余弦定理得， 所以. 题型2 正、余弦定理判定三角形形状 1．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）在中，若，且，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【解题思路】结合余弦定理和可求C的大小，利用三角恒等变换公式和可求A与B的关系，从而可判断三角形的形状. 【解答过程】因为，所以， 又根据余弦定理可知， 所以， 因为，所以. 又由，得 ， 所以 ， 所以， 因为A和B是三角形的内角，所以，即， 所以是等腰三角形， 又因为，所以，是等边三角形. 故选：D. 2．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】C 【解题思路】由正弦定理边角互化，以及两角和差正弦公式，化简可得结果. 【解答过程】由，可得， ，， 所以，， 因为，所以，即， 所以是等腰三角形. 故选：C. 3．（24-25高一下·重庆江津·月考）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（   ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解题思路】由利用正弦定理边角互换可得，代入可得，然后利用余弦定理代入可得，然后可得答案. 【解答过程】因为，所以，整理得， 又，所以， 即，即， 又，所以，得， 因为，所以，所以，故为等腰非直角三角形. 故选：A. 4．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，已知，则的形状为 . 【答案】等腰或直角三角形 【解题思路】利用余弦定理边化角化简等式，再利用二倍角的正弦公式及正弦函数性质推理判断即可. 【解答过程】在中，由及余弦定理，得， 整理得，即， 而，因此或， 所以或，即为等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形. 5．（24-25高一下·重庆南岸·期中）的内角的对边分别为，已知 (1)求角的大小； (2)若，，判断三角形形状． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形 【解题思路】（1）利用正弦定理将边化为角，再通过三角函数的和角公式化简，进而求出角的大小；（2）利用余弦定理化简已知等式，得到边与的关系，结合已知边的值求出边，最后根据余弦定理求出，进而判断形状. 【解答过程】（1）已知，由正弦定理将边化为角可得， 即， 可得， 因为，所以，则， 那么， 因为是三角形内角，所以，等式两边同时除以可得， 即， 又因为，所以； （2）已知，由余弦定理，代入可得：，即， 化简得，所以，又，则，   由余弦定理，已知，，， 则，所以， 因为，且，所以是等腰直角三角形. 题型3 三角形面积的最值或范围问题 1．（2025高三·全国·专题练习）在中，角所对的边分别是是的中点，，则面积的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解题思路】结合已知条件，分别在、中应用余弦定理，可得，整理可得.由于，解得.利用同角三角函数基本关系式可求.进而根据三角形的面积公式可得.最后利用二次函数的性质即可求解的面积的最大值. 【解答过程】在中，由余弦定理得： . 在中，由余弦定理得： . .即. ，则. ， . 则当时，取得最大值. 故选：B. 2．（24-25高一下·江苏无锡·月考）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则△ABC面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】已知等式切化弦后由三角函数恒等变换变形后由正弦定理化角为边，得边角关系表示出，由平方关系得，再由余弦定理表示，从而可得边的关系，最终三角形面积可表示一个边长函数式，结合二次函数知识可得最大值． 【解答过程】 ，，即，， ， 由正弦定理知，， ，即， ， 由余弦定理知，， 化简得， 面积 ， 当时，有最大值为． 故选：D． 3．（24-25高一下·江西·期中）如图，在四边形中，，，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用余弦定理求出，在中，利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【解答过程】连接， 在中，，， 由余弦定理可得， 在中，，由余弦定理可得 ，即， 当且仅当时，等号成立， 所以，， 即面积的最大值为. 故选：A. 4．（24-25高一下·上海金山·月考）在中，、、三个内角所对的边依次为、、，且，若，则的面积的最大值为 . 【答案】 【解题思路】使用余弦定理求出后，再使用余弦定理、基本不等式和三角形面积公式求解即可. 【解答过程】由余弦定理，， ∵，∴. 由余弦定理及基本不等式，， ∴，当且仅当时取等号， ∴当且仅当时，的面积的最大值为. 故答案为：. 5．（24-25高一下·云南红河·期中）在锐角中，内角的对边分别为 且. (1)求角； (2)求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用余弦定理化简得，再由正弦定理即可求解； （2）由正弦定理得，又由三角形的面积公式和三角恒等变换得，最后由是锐角三角形得的范围，进而得解. 【解答过程】（1）因为，所以， 又为锐角三角形，即，所以， 由正弦定理，所以，因为，所以， 又因为为锐角，所以； （2）由正弦定理有，所以， 所以的面积 ， 因为是锐角，所以，即解得， 所以，所以，所以， 则的面积的取值范围为. 题型4 证明三角形中的恒等式或不等式 1．（25-26高三上·河北保定·月考）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)记的中点为，若，且，求的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)16. 【解题思路】（1）应用正弦边角关系及三角恒等变换、三角形内角和性质化简已知条件为，即可证； （2）应用余弦定理及，进而得，结合已知（1）结论求边长，即可得. 【解答过程】（1）由正弦定理，得， ， ， ， ，即， ，即； （2）由（1）及题设有，又， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 显然有，则， 整理得，即，又， 所以，从而， 的周长为. 2．（24-25高二下·湖北咸宁·期末）在中，角，，的对边为，，，已知，且. (1)若，求； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据，，然后结合正弦定理以及二倍角公式解得. （2）根据（1），然后结合余弦定理证明即可； 【解答过程】（1）依题意，，所以，即， 由正弦定理可知，，即， 从而， A为三角形内角，故. （2）由（1）可知，，由余弦定理可得：， 即， 则，又， 故， 从而. 3．（2025·甘肃武威·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)证明：； (2)求的最大值. 【答案】(1)见解析 (2) 【解题思路】（1）根据正弦定理边化角，再结合两角和差公式，即可证明； （2）首先根据正弦定理边化角，再结合（1）的结论，以及三角恒等变换，化简 ，再结合基本不等式求最值. 【解答过程】（1）由正弦定理可知，， 得，且， 即，整理为， 即； （2）， 由（1）可知，，且， 所以，上下同时除以， ， 因为，得， 所以，当时等号成立， 所以 ， 所以的最大值为. 4．（2025·北京东城·一模）在中. (1)求的值及的面积； (2)求证：. 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）由正弦值得，再应用余弦定理列方程求得，最后应用三角形面积公式求面积； （2）由（1）及二倍角余弦公式得，再应用余弦定理求得，结合三角形内角的性质即可证. 【解答过程】（1）在中,所以是锐角，. 由，可得，而， 所以， 可得，则， 故； （2）由（1）易知，则， 由（1）及余弦定理有， 所以，又，则. 5．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为S. (1)若，，求C； (2)求证：； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）由余弦定理及三角形面积公式结合题意可得，据此可得答案； （2）由基本不等式，三角函数值域，利用作差法可完成证明； （3）由结合正弦定理和余弦定理可得，然后由（2）中结论可得答案. 【解答过程】（1）由， ，联立得， 则，因为，， 所以，即； （2） ， 当且仅当时等号成立； 因为，所以， 此时，当且仅当是等边三角形时等号成立， 则，即. （3）因为， 所以. 当且仅当是等边三角形时等号成立. 题型5 求三角形中的边长或周长的最值或范围 1．（24-25高一下·重庆万州·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由，利用三角形面积公式与余弦定理，可得，再根据同角三角函数的平方关系可得，，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得取值范围，进而求得的取值范围. 【解答过程】在中，由余弦定理得，且的面积， 由，得，化简得， 又，，联立解得，， 所以， 为锐角三角形，有，，得， 则有，可得，所以. 故选：C. 2．（24-25高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用面积公式和余弦定理可得，然后根据正弦定理及三角变换可得，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，转化为三角函数求值域的问题. 【解答过程】， ， ∴，即，为锐角， ∴，又， 由正弦定理可得， 所以 ，其中，， 因为为锐角三角形， 所以，则， 即：， 所以，又， ∴，即， 故的周长的取值范围是. 故选：D. 3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由正弦定理化边为角，然后由两角和的正弦公式、诱导公式变形后可求得，再利用正弦定理把表示出的三角函数，由三角恒等变换，结合正弦函数性质可得取值范围． 【解答过程】因为 由正弦定理可得，即， 所以，因为，所以， 所以， 因为，所以，所以，即， 故选：A． 4．（24-25高一下·湖南邵阳·月考）在锐角三角形中，角的对边分别为的面积为，已知，且，则的周长的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】由余弦定理，二倍角的正余弦公式、正切公式，同角的三角函数关系得到，再由正弦定理边化角和辅助角公式得到，然后结合锐角三角函数的角度范围和三角函数的有界性求解. 【解答过程】 ，即， 又为锐角，. 所以，所以， 由正弦定理可得 ， 且 是锐角三角形，， 即， 又，所以 ， 即的周长的取值范围是. 故答案为：. 5．（24-25高一下·广东湛江·月考）记锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为S，已知． (1)求角A； (2)若，求三角形周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据面积公式，余弦定理，结合两角差的正弦公式，化简可得，根据角A的范围，即可得答案. （2）根据正弦定理，可得，化简可得，根据锐角三角形，可求得角B的范围，根据正弦型函数的图象与性质，即可得答案. 【解答过程】（1）由面积公式得，即， 由余弦定理得， 所以， 则， 所以，即， 因为，则， 所以，即； （2）由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以， 所以，则， 所以三角形周长为. 题型6 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 1．（25-26高三上·云南曲靖·期中）在直角梯形ABCD中，，，，边BC的长度为定值a，其余三边的长度可变． (1)当为等边三角形时，，求a的值； (2)设，求AD的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）解直角三角形结合等边三角形的性质计算即可； （2）利用正弦定理与三角恒等变换、三角函数的性质计算即可. 【解答过程】（1）当为等边三角形时，因为，所以， 则在中，， 故，即； （2）设，则，． 在中，由正弦定理可得， 则， 则在中， ， 因为，所以， 所以当时上式取得最大值， 即AD的最大值为． 2．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知函数. （Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）在锐角中，设角、、所对的边分别是、、，若且，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ）最小正周期为，，；（Ⅱ）. 【解题思路】（Ⅰ）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解； （Ⅱ）由（Ⅰ）及，求得，根据正弦定理得到，，得到，结合，即可求解. 【解答过程】（Ⅰ）由题意，函数， 所以函数的最小正周期为， 令，解得， 所以函数的单调递增区间是，. （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，因为，可得， 由正弦定理可知，所以，， 由及为锐角三角形，解得， 则 . 因为，可得，所以， 所以. 3．（2025高三·全国·专题练习）在锐角三角形中，角的对边分别为，． (1)求； (2)若，求内切圆半径的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）应用正弦边角关系化简已知条件为，结合三角形内角的性质得，即可求其大小； （2）利用等面积法得到内切圆半径的表达式，利用余弦定理转化的表达式，运用正弦定理及三角函数的图象与性质求解. 【解答过程】（1）由正弦定理得， 则，得， 易知，所以，又，所以． （2）设内切圆的半径为，则，得． 由余弦定理得，整理得， 所以． 由正弦定理得，所以，， 则 ． 因为为锐角三角形，所以，得， 所以，则，所以， 故， 所以内切圆半径的取值范围为． 4．（24-25高三上·北京昌平·期末）已知，， （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值． 【答案】（1）最小正周期为；单调递减区间为； （2）． 【解题思路】（1）整理得 ，可得其最小正周期及单调递减区间；（2）由，可得，设边上的高为，所以有，由余弦定理可知：，得出，最后可得最大值. 【解答过程】解：（1） ． 的最小正周期为：； 当时， 即当时，函数单调递减， 所以函数单调递减区间为：； （2）因为，所以 ，， ，． 设边上的高为，所以有， 由余弦定理可知：， ，， （当用仅当时，取等号），所以， 因此边上的高的最大值. 5．（2025·北京·三模）已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围. 条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 【答案】(1)1 (2) 【解题思路】利用三角恒等变换整理可得，结合最小正周期分析求解； 以为整体，结合正弦函数最值可得.若选条件①：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件②：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件③：利用面积公式、余弦定理可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解. 【解答过程】（1）由题意可知：， 因为函数的最小正周期为，且，所以. （2）由（1）可知：， 因为，则， 可知当，即时，取到最大值3，即. 若条件①：因为， 由正弦定理可得， 又因为， 可得，且，则， 可得，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为； 若条件②；因为， 由正弦定理可得：， 则， 因为，则， 可得， 即，且，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为； 若选③：因为，则， 整理得，且，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为. 题型7 正、余弦定理的其他应用 1．（24-25高三上·广东江门·月考）气象台在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用余弦定理结合物理学知识求解即可. 【解答过程】如图，由余弦定理，得 ， 于是， 解得或， 所以，台风从O到B用时小时，台风从O到C用时小时. 故，A点受到台风影响的时间是早上8:00后的5小时至10小时之间，即13:00-18:00. 故选：B. 2．（24-25高三上·广东佛山·开学考试）在凸四边形ABCD中，，E，F分别是边AD，BC的中点，，若以AB，CD为边分别画两个正方形，，再画一个长度、宽度分别为AB，CD的长方形，则所画三个图形，，的面积之和为（    ） A．7 B．14 C．21 D．28 【答案】D 【解题思路】连接取的中点,连接,构造，在中，再利用余弦定理转化得，从而得解. 【解答过程】如图，    延长与交于点 由，得 连接取的中点,连接, 则由三角形中位线定理知， , 在中，由余弦定理得 , 即 所以三个图形，，的面积之和为 故选：D 3．（24-25高一下·广东东莞·月考）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，缉私船要最快追上走私船，所需的时间约是 分钟．（注：） 【答案】15 【解题思路】由已知条件，先解，利用正余弦定理得及为东西走向，再解，利用利用正弦定理得，进而得到，利用路程与速度的比即可求时间. 【解答过程】设缉私艇最快在处追上走私船，追上走私船需t小时， 则，， ∴在中，已知,, ， 由余弦定理得， ，即， 由正弦定理得， 则， ， ∴为东西走向，， 在中，由正弦定理得， 则，且为锐角， ∴， 即，∴小时，即分钟. 故答案为：. 4．（24-25高一下·四川成都·期中）如图，某广场有一块不规则的绿地，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为、，经测量，，，． (1)求的长度； (2)若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低（请说明理由）？较低造价为多少？ 【答案】(1) (2)小李的设计符合要求，理由见解析；总造价为（元） 【解题思路】（1）根据余弦定理求解即可. （2）根据正弦定理面积公式得到选择建筑环境标志费用较低，再计算其建造费用即可. 【解答过程】（1）在中，由余弦定理，得． 在中，由余弦定理得． 由，得，所以， 解得，所以长度为． （2）小李的设计符合要求．理由如下： 因为，， 因为，所以，故选择建筑环境标志费用较低． 因为，所以是等边三角形，， 所以， 所以总造价为（元）． 5．（24-25高一下·江苏南京·期中）某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境．如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段AB长为4百米，C，D都设计在以AB为直径的半圆上．设． （1）现要在四边形ABCD内种满郁金香，若，则当为何值时，郁金香种植面积最大； （2）为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段BC，CD和DA组成，若BC＝CD，则当为何值时，栈道的总长l最长，并求l的最大值（单位：百米）． 【答案】（1）当时，郁金香种植面积最大；（1）当为时，栈道的总长l最长，l的最大值为6百米. 【解题思路】(1)求出利用三角形的面积公式可得四边形ABCD关于的函数，利用三角函数的恒等变换可以得到“一角一函”的形式,然后根据角的范围利用正弦函数的性质可求得面积最大值； (2)利用余弦定理求得关于的三角函数，相加可求出关于的三角函数表达式，利用二倍角公式和换元思想转化为二次函数的最值，进而求解. 【解答过程】解：(1) ∵线段AB长为4百米，所以圆的半径为2百米，即, 当时，由三角形的面积公式得： ， ，则， ，当，即时取等号， ∴当时，取得最大值， 当时，郁金香种植面积最大； (2)由余弦定理得： ，， ， 令，∵，∴， ， ，即时，的最大值为6. 故当为时，栈道的总长l最长，l的最大值为6百米. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 解三角形全章七大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版】 题型1 正、余弦定理解三角形 1．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）在中，，是边上一点，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·重庆·期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．5 B． C． D．4 3．（24-25高一下·安徽安庆·月考）在中，内角、、所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·广东汕头·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则 ． 5．（24-25高一下·江苏无锡·月考）在中，三个内角角，，所对的边分别为，，．且． (1)求角的大小； (2)若，，求边的长． 题型2 正、余弦定理判定三角形形状 1．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）在中，若，且，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 2．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 3．（24-25高一下·重庆江津·月考）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（   ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 4．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，已知，则的形状为 . 5．（24-25高一下·重庆南岸·期中）的内角的对边分别为，已知 (1)求角的大小； (2)若，，判断三角形形状． 题型3 三角形面积的最值或范围问题 1．（2025高三·全国·专题练习）在中，角所对的边分别是是的中点，，则面积的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 2．（24-25高一下·江苏无锡·月考）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则△ABC面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江西·期中）如图，在四边形中，，，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·上海金山·月考）在中，、、三个内角所对的边依次为、、，且，若，则的面积的最大值为 . 5．（24-25高一下·云南红河·期中）在锐角中，内角的对边分别为 且. (1)求角； (2)求的面积的取值范围. 题型4 证明三角形中的恒等式或不等式 1．（25-26高三上·河北保定·月考）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)记的中点为，若，且，求的周长． 2．（24-25高二下·湖北咸宁·期末）在中，角，，的对边为，，，已知，且. (1)若，求； (2)证明：. 3．（2025·甘肃武威·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)证明：； (2)求的最大值. 4．（2025·北京东城·一模）在中. (1)求的值及的面积； (2)求证：. 5．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为S. (1)若，，求C； (2)求证：； (3)求的最小值. 题型5 求三角形中的边长或周长的最值或范围 1．（24-25高一下·重庆万州·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·湖南邵阳·月考）在锐角三角形中，角的对边分别为的面积为，已知，且，则的周长的取值范围是 . 5．（24-25高一下·广东湛江·月考）记锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为S，已知． (1)求角A； (2)若，求三角形周长的取值范围． 题型6 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 1．（25-26高三上·云南曲靖·期中）在直角梯形ABCD中，，，，边BC的长度为定值a，其余三边的长度可变． (1)当为等边三角形时，，求a的值； (2)设，求AD的最大值． 2．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知函数. （Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）在锐角中，设角、、所对的边分别是、、，若且，求的取值范围. 3．（2025高三·全国·专题练习）在锐角三角形中，角的对边分别为，． (1)求； (2)若，求内切圆半径的取值范围． 4．（24-25高三上·北京昌平·期末）已知，， （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值． 5．（2025·北京·三模）已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围. 条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 题型7 正、余弦定理的其他应用 1．（24-25高三上·广东江门·月考）气象台在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东佛山·开学考试）在凸四边形ABCD中，，E，F分别是边AD，BC的中点，，若以AB，CD为边分别画两个正方形，，再画一个长度、宽度分别为AB，CD的长方形，则所画三个图形，，的面积之和为（    ） A．7 B．14 C．21 D．28 3．（24-25高一下·广东东莞·月考）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，缉私船要最快追上走私船，所需的时间约是 分钟．（注：） 4．（24-25高一下·四川成都·期中）如图，某广场有一块不规则的绿地，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为、，经测量，，，． (1)求的长度； (2)若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低（请说明理由）？较低造价为多少？ 5．（24-25高一下·江苏南京·期中）某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境．如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段AB长为4百米，C，D都设计在以AB为直径的半圆上．设． （1）现要在四边形ABCD内种满郁金香，若，则当为何值时，郁金香种植面积最大； （2）为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段BC，CD和DA组成，若BC＝CD，则当为何值时，栈道的总长l最长，并求l的最大值（单位：百米）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $