第11章 解三角形（举一反三讲义·基础篇）高一数学苏教版必修第二册

该高中数学解三角形单元复习讲义通过题型模块框架系统梳理知识体系，涵盖余弦定理、正弦定理及其应用、外接圆半径、解的个数判定、面积公式及实际测量问题，用知识脉络图呈现各题型内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“真题情境化”练习设计，如题型8结合方位角测量距离问题，培养用数学眼光观察现实世界的素养，题型2边角互化题训练逻辑推理能力。基础题与综合题分层设置，助力不同学生掌握方法，教师可据此实施精准复习教学，提升学生解三角形应用能力。

第11章 解三角形全章八大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【苏教版】 题型1 余弦定理解三角形 1．（24-25高一下·北京延庆·期末）在中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【解题思路】利用余弦定理计算即可. 【解答过程】由题可知：， 所以. 故选：A. 2．（24-25高一下·广西百色·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知，则（    ） A． B．13 C． D．37 【答案】A 【解题思路】直接根据余弦定理即可得结果. 【解答过程】由余弦定理可得，则， 故选：A. 3．（24-25高一下·安徽·月考）在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则中最大角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由条件可得，，由大边对大角可得，结合余弦定理求，再求可得结论. 【解答过程】因为， 所以，，， 所以，因为大边对大角，所以， 由余弦定理可得， 又， 所以，所以中最大角为， 故选：B. 4．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知的内角的对边分别为，且，，则 . 【答案】 【解题思路】根据余弦定理求解. 【解答过程】因为 ， 所以. 因为，所以， 所以，即. 故答案为：. 5．（24-25高一下·安徽阜阳·月考）如图，在中，，. (1)若，求； (2)若，且，求AB. 【答案】(1) (2)2 【解题思路】（1）根据给定条件，利用余弦定理列式求解. （2）根据给定条件，利用余弦定理列出方程求解即得. 【解答过程】（1）在中，，由，得，又， 在中，由余弦定理得， 因此，所以. （2）令，则，因此，， 在中，由余弦定理得， 则，解得， 所以. 题型2 余弦定理边角互化的应用 1．（2025·江西南昌·二模）在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【解题思路】由余弦定理计算可得. 【解答过程】由余弦定理可得，化简可得， 因为，所以. 故选：A. 2．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据已知，应用余弦边角关系求，即可得角的大小. 【解答过程】由题设，则， 所以，又，可得. 故选：C. 3．（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，由余弦定理的边角互化可得，，即可得到的关系式，代入计算即可得到，再由同角的平方关系即可得到结果. 【解答过程】因为，所以， 整理可得①， 又，可得， 所以，解得②， 由①②可得， 所以， 则. 故选：D. 4．（24-25高一下·上海·期中）在中，是的三边且满足，则角A的大小为 . 【答案】 【解题思路】根据题意利用余弦定理边角转化即可得结果. 【解答过程】因为，即， 由余弦定理可得， 且，所以. 故答案为：. 5．（24-25高一下·山西大同·月考）在中角、、所对边、、满足，，，求的值. 【答案】 【解题思路】由条件结合余弦定理化角为边，解方程可求结论. 【解答过程】由得， 所以， 所以， 又，， 所以， 所以或（舍）. 题型3 正弦定理解三角形 1．（24-25高一下·北京顺义·期末）在中，，，，则（   ） A．4 B．3 C． D．2 【答案】D 【解题思路】先根据同角三角函数得出，再应用正弦定理计算求解. 【解答过程】在中，，所以， 又因为，则由正弦定理得，解得. 故选：D. 2．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知分别为三个内角所对的边，若，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解题思路】利用正弦定理求得，结合三角形边角关系即可求出角. 【解答过程】由正弦定理，，可得， 因，则，故. 故选：A. 3．（24-25高一下·北京平谷·期末）在中，角所对的边分别为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】应用正弦定理计算求解即可. 【解答过程】因为，所以，所以. 故选：A. 4．（24-25高一下·上海·期末）在中，若，则的大小为 . 【答案】 【解题思路】由正弦定理即可求解. 【解答过程】由正弦定理得，即，解得， 又因为，所以，所以. 故答案为：. 5．（24-25高一下·江苏无锡·月考）在中，三个内角角，，所对的边分别为，，．且． (1)求角的大小； (2)若，，求边的长． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由正弦定理边角转化得出，结合角的范围计算求值； （2）根据正弦定理边角转化再应用余弦定理计算求出边长即可. 【解答过程】（1）因为，由正弦定理得， 又因为在中，所以， 所以， 所以； （2）因为，由正弦定理得， 由余弦定理得， 所以. 题型4 正弦定理边角互化的应用 1．（24-25高一下·江苏镇江·月考）在中，角、、的对边分别为、、.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用正弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值. 【解答过程】因为，由正弦定理可得， 因为、，故，所以， 可得，故. 故选：B. 2．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）在中，角，，的对边分别是，，，，则角（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据正弦定理，结合三角恒等变化，将题中条件化为，从而可求出结果. 【解答过程】在中，由及正弦定理， 得， 则， 而，，则，所以. 故选：B. 3．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）锐角中，角A、B、C所对的边长a、b、c，若，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由锐角三角形先求得，进而根据正弦定理边角互化求解即可. 【解答过程】因为锐角中， 所以， 即，解得， 所以， 因为，所以， 所以，即的范围为 故选：B. 4．（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）记的内角的对边分别为，已知，则 . 【答案】 【解题思路】由正弦边角关系及已知得，进而有，代入已知关系式即可求. 【解答过程】由正弦边角关系及已知有，又均为三角形内角， 所以，即，，易知， 所以，则. 故答案为：. 5．（24-25高一下·四川泸州·期末）在△ ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，求边AC上的高． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1） 先应用正弦定理边角转化再结合两角和的正弦化简，最后应用角的范围求解； （2）应用正弦定理结合两角和的正弦化简，最后应用正弦定义计算求解； 【解答过程】（1）因为， 由正弦定理，可得：， 又因为在中，， 所以， 化简，得：， 因为，所以， 所以，， 即． （2）因为，所以， 由正弦定理，可得， 由（1）可知：，所以，， 即， 又因为在中，， 所以． 题型5 正弦定理求外接圆半径 1．（24-25高一下·黑龙江·期末）已知的内角所对的边分别为，若，则的外接圆的半径为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【解题思路】由正弦定理即可得解. 【解答过程】设的外接圆的半径为， 因为， 所以，解得. 故选：D. 2．（24-25高一下·河南商丘·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则外接圆的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用正弦定理求出外接圆直径. 【解答过程】设外接圆的半径为，则， 即外接圆的直径为． 故选：B． 3．（24-25高一下·广西北海·期末）在中，，，则的外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据正弦定理计算可得外接圆的半径，再利用圆的面积公式计算即可. 【解答过程】由正弦定理得的外接圆的半径， 所以的外接圆的面积. 故选：A. 4．（24-25高一下·上海·期中）边长是5、7、9的三角形的外接圆半径等于 ． 【答案】 【解题思路】不妨令的三边、、，利用余弦定理求出，即可求出，再由正弦定理计算可得. 【解答过程】不妨令的三边、、， 由余弦定理， 所以， 由正弦定理，所以. 故答案为：. 5．（24-25高一下·上海·期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C． (1)若，，求的外接圆的半径； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由正弦定理求解可得； （2）由余弦定理求得，进而得解. 【解答过程】（1）设的外接圆的半径为， 由正弦定理得：， 所以，故的外接圆的半径. （2）由，得， 所以，又，则， ∴. 题型6 正弦定理判定三角形解的个数 1．（24-25高一下·河北·期末）已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据有两解，列不等式求解可得结果. 【解答过程】如图，在中，，则有两解的充要条件为：， 即. 故选：B. 2．（24-25高一下·福建龙岩·期末）在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，结合正弦定理和余弦定理，以及三角形的内角和定理，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A中，由正弦定理，可得， 则这样的三角形不存在，所以A错误； 对于B中，由，可得， 又由，则这样的三角形是唯一的，所以B不符合题意； 对于C中，由余弦定理，可得， 所以，则这样的三角形是唯一的，所以C不符合题意； 对于D中，由正弦定理，可得， 因为，可得，所以或，则这样的三角形有两个，所以D符合题意. 故选：D. 3．（24-25高一下·河南·月考）在中，角的对边分别为，符合下列条件的三角形有且只有一个的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】A利用三角形全等的判定方法可判断；B利用大边对大角可判断；C利用可判断；D由正弦定理得，结合可判断. 【解答过程】对于A，根据三角形全等的判定方法，可知满足条件的三角形只有一解，故A正确； 对于B，因为，所以，又为钝角，所以不存在， 所以满足条件的三角形不存在，故B错误； 对于C，因为，所以三角形不存在，故C错误； 对于D，因为，所以， 因为且，所以有两解且这两个解互补，故D错误. 故选：A. 4．（24-25高一下·江苏无锡·月考）在中，角所对的边分别为，且．若有两解，则的长的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】根据条件，利用正弦定理判断三角形解的个数的方法，即可求解. 【解答过程】如图，过作垂直所以直线于， 因为，则， 又有两解，则， 故答案为：. 5．（2025高一·全国·专题练习）不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)，，； (2)，，； (3)，，． 【答案】(1)一解 (2)两解 (3)无解 【解题思路】使用正弦定理、正弦函数的性质及三角形内角和、大边对大角等知识进行判断即可. 【解答过程】（1）由正弦定理， ∴， ∵，∴ ， ∴只有一解，三角形解的个数为一解. （2）由正弦定理， ∴，∴， ∵，，∴， ∴有两解，三角形解的个数为两解. （3）∵，∴，∴， ∴无解，三角形无解. 题型7 三角形面积公式的应用 1．（24-25高一下·陕西西安·期末）在中，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知及平方关系可得，再由三角形面积公式求的面积. 【解答过程】由三角形内角的范围及，可得， 所以. 故选：A. 2．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知的内角的对边分别为.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由正弦定理得，求出和，利用余弦定理和题目条件得到方程组，计算出和即可求解. 【解答过程】因为，所以， 所以，因为， 所以，所以， 因为，所以， 所以，因为，， 所以，所以， 因为，即， 所以， 将代入上式得，解得（负值舍去）， 所以（负值舍去），所以. 故选：B. 3．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边c的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据面积公式求出，再根据余弦定理求解即可. 【解答过程】因为，所以， 又 ， 所以. 故选：D. 4．（24-25高一下·四川绵阳·月考）在中，分别是边的中点，已知，，则的面积为 . 【答案】12 【解题思路】作出几何图形，利用余弦定理、三角形面积公式计算得解. 【解答过程】连接，延长至，使得，连接， 由分别是边的中点，得， 则四边形为平行四边形，， 在中，，则， 所以的面积. 故答案为：12. 5．（24-25高一下·云南昆明·期末）的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用余弦定理和条件求出，再由三角形内角的范围确定角； （2）根据余弦定理列方程，求得，再由三角形面积公式计算即得. 【解答过程】（1）因为，由余弦定理得， 因，则得． （2）因，由余弦定理， 可得：，即， 解得或（舍）， 所以． 题型8 距离、高度、角度测量问题 1．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知点在点的正西方向，为了测量两点之间的距离，在观测点处测得在的北偏西方向，在的北偏东方向，且两点之间的距离为20米，则两点之间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【解题思路】根据题意作图，利用正弦定理求得，根据两角和的正弦公式计算得，代入计算即可得解. 【解答过程】根据题意作图， 则，,， 在中，根据正弦定理，， 即，则， 因为， 所以，. 即两点之间的距离为米. 故选：A. 2．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】应用正弦定理求得，再由求建筑物的高. 【解答过程】由题设及图知：，则， 在中，可得， 又，可得. 故选：A. 3．（24-25高一下·广东茂名·月考）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【答案】D 【解题思路】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【解答过程】如图，    由题意，在中，，，， 由正弦定理得， 所以， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以， 由正弦定理得， 所以， 因为，故为锐角， 故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向. 故选：D. 4．（24-25高一下·四川凉山·期末）如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为 m． 【答案】 【解题思路】由题设得，利用正弦定理求两点间的距离. 【解答过程】由题设， 在中，由正弦定理，得 ∴ m. 故答案为：. 5．（24-25高一下·吉林·期末）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，并在点C处测得塔顶A的仰角.    (1)求B与D两点间的距离； (2)求塔高. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据正弦定理即可得到答案； （2）首先根据正弦定理求出，再根据三角函数定义即可得到答案. 【解答过程】（1）在中，. 由正弦定理得， ， （2）. 在中，由正弦定理得 ， ， 在中，. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 解三角形全章八大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【苏教版】 题型1 余弦定理解三角形 1．（24-25高一下·北京延庆·期末）在中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D． 2．（24-25高一下·广西百色·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知，则（    ） A． B．13 C． D．37 3．（24-25高一下·安徽·月考）在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则中最大角为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知的内角的对边分别为，且，，则 . 5．（24-25高一下·安徽阜阳·月考）如图，在中，，. (1)若，求； (2)若，且，求AB. 题型2 余弦定理边角互化的应用 1．（2025·江西南昌·二模）在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 2．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·上海·期中）在中，是的三边且满足，则角A的大小为 . 5．（24-25高一下·山西大同·月考）在中角、、所对边、、满足，，，求的值. 题型3 正弦定理解三角形 1．（24-25高一下·北京顺义·期末）在中，，，，则（   ） A．4 B．3 C． D．2 2．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知分别为三个内角所对的边，若，则（   ） A． B． C．或 D． 3．（24-25高一下·北京平谷·期末）在中，角所对的边分别为，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·上海·期末）在中，若，则的大小为 . 5．（24-25高一下·江苏无锡·月考）在中，三个内角角，，所对的边分别为，，．且． (1)求角的大小； (2)若，，求边的长． 题型4 正弦定理边角互化的应用 1．（24-25高一下·江苏镇江·月考）在中，角、、的对边分别为、、.已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）在中，角，，的对边分别是，，，，则角（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）锐角中，角A、B、C所对的边长a、b、c，若，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）记的内角的对边分别为，已知，则 . 5．（24-25高一下·四川泸州·期末）在△ ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，求边AC上的高． 题型5 正弦定理求外接圆半径 1．（24-25高一下·黑龙江·期末）已知的内角所对的边分别为，若，则的外接圆的半径为（   ） A．4 B． C．2 D． 2．（24-25高一下·河南商丘·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则外接圆的直径为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广西北海·期末）在中，，，则的外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·上海·期中）边长是5、7、9的三角形的外接圆半径等于 ． 5．（24-25高一下·上海·期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C． (1)若，，求的外接圆的半径； (2)若，求的值． 题型6 正弦定理判定三角形解的个数 1．（24-25高一下·河北·期末）已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·福建龙岩·期末）在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河南·月考）在中，角的对边分别为，符合下列条件的三角形有且只有一个的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏无锡·月考）在中，角所对的边分别为，且．若有两解，则的长的取值范围是 . 5．（2025高一·全国·专题练习）不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)，，； (2)，，； (3)，，． 题型7 三角形面积公式的应用 1．（24-25高一下·陕西西安·期末）在中，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知的内角的对边分别为.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边c的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·四川绵阳·月考）在中，分别是边的中点，已知，，则的面积为 . 5．（24-25高一下·云南昆明·期末）的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的面积． 题型8 距离、高度、角度测量问题 1．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知点在点的正西方向，为了测量两点之间的距离，在观测点处测得在的北偏西方向，在的北偏东方向，且两点之间的距离为20米，则两点之间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东茂名·月考）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 4．（24-25高一下·四川凉山·期末）如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为 m． 5．（24-25高一下·吉林·期末）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，并在点C处测得塔顶A的仰角.    (1)求B与D两点间的距离； (2)求塔高. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $