专题11.1 余弦定理（举一反三讲义）高一数学苏教版必修第二册

本讲义聚焦余弦定理核心知识点，系统梳理定理及推论的文字与公式表述，明确解三角形两类问题（已知三边、两边及一角）的解法，延伸至边角互化、最值求解及形状判定，构建从基础理解到综合应用的学习支架。 该资料以题型分层设计为特色，含6类题型及变式题，覆盖定理辨析、实际求解等场景。通过辨析题培养数学思维（推理能力），解三角形问题发展数学眼光（几何直观），规范表达提升数学语言能力，课中辅助教学，课后助力学生巩固查漏。

专题11.1 余弦定理（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 余弦定理及辨析】 2 【题型2 已知三边解三角形】 3 【题型3 已知两边及一角解三角形】 4 【题型4 余弦定理边角互化的应用】 5 【题型5 利用余弦定理求最值或范围】 7 【题型6 余弦定理判定三角形形状】 9 知识点1 余弦定理 1．余弦定理 (1)余弦定理及其推论的表示 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 推论 2．解三角形 (1)解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. (2)余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①类型1：已知两边及一角，解三角形 解法：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； ②类型2：已知三边，解三角形 解法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一； 解法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解. 【题型1 余弦定理及辨析】 【例1】（24-25高一下·山东济南·月考）设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据余弦定理，即可求解. 【解答过程】根据余弦定理可知，. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·月考）下列说法中错误的是（   ） A．在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例 B．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形 C．利用余弦定理可以解决已知三角形三边求角的问题 D．在三角形中，已知两边及其中一边的对角，不能用余弦定理解三角形 【答案】D 【解题思路】根据正弦定理和余弦定理对各个命题进行分析判断即可得解． 【解答过程】对于A，当夹角为时，余弦定理就变成了勾股定理，故A正确； 对于B，余弦定理揭示了任意三角形中边角的关系，它适用于任意三角形，故B正确； 对于C，余弦定理可以直接解决已知三角形三边求角的问题，故C正确； 对于D，在三角形中，已知两边及其一边的对角， 可用余弦定理列出第三边的方程，解方程得第三边，故D错误； 故选：D. 【变式1-2】（24-25高三上·天津津南·月考）在非等边三角形中，A为钝角，则三边a，b，c满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据A为钝角，，结合余弦定理即可得解． 【解答过程】若A为钝角，则，即， 所以． 故选：D． 【变式1-3】（24-25高一下·云南楚雄·月考）在中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若，则的值为 ． 【答案】 【解题思路】根据余弦定理计算即可. 【解答过程】因为， 所以由余弦定理可得. 故答案为：. 【题型2 已知三边解三角形】 【例2】（24-25高一下·贵州黔东南·期末）已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，，，则（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 【答案】B 【解题思路】由余弦定理直接计算求解即可. 【解答过程】由题可得， 因为，所以. 故选：B. 【变式2-1】（24-25高一下·四川成都·期末）已知分别为的三个内角的对边，若，则角为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【解题思路】根据余弦定理求得的值，结合角的范围即得答案. 【解答过程】由余弦定理可得，因，则. 故选：B. 【变式2-2】（24-25高一下·广东深圳·期中）在中，内角所对的边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先应用余弦定理得出，再应用同角三角函数关系计算求解. 【解答过程】由余弦定理得， ， 故选：B. 【变式2-3】（24-25高一下·贵州铜仁·期末）在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由余弦定理直接计算求解即可. 【解答过程】由题意得， 又，所以. 故选：A. 【题型3 已知两边及一角解三角形】 【例3】（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，，则a等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用余弦定理直接计算即可得出结论. 【解答过程】由余弦定理，可得， 解得. 故选：A. 【变式3-1】（24-25高一下·重庆渝北·期中）在中，，则（    ） A．4 B．3 C．5 D．3或5 【答案】C 【解题思路】根据已知条件，用余弦定理求解即可. 【解答过程】由余弦定理:, 代入已知条件，即， 化简得， 解一元二次方程：， 解得：或（舍去）， 所以. 故选：C. 【变式3-2】（24-25高一下·江苏淮安·期末）在中，角，，对应的边分别为，，，，，，则为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解题思路】利用余弦定理即可. 【解答过程】由余弦定理得，， 即，得. 故选：D. 【变式3-3】（24-25高一下·广东佛山·期末）在中，，，，则（   ） A．9 B．10 C．12 D．15 【答案】C 【解题思路】利用余弦定理即可求解. 【解答过程】在中，，，， ，，，， ，即. 故选：C. 【题型4 余弦定理边角互化的应用】 【例4】（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据已知，应用余弦边角关系求，即可得角的大小. 【解答过程】由题设，则， 所以，又，可得. 故选：C. 【变式4-1】（2025·安徽合肥·一模）在中，内角的对边分别为，若，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】给两边同时乘以，结合余弦定理求解即可. 【解答过程】因为，两边同时乘以得： ，由余弦定理可得， 则，所以有， 又，所以，又因为， 所以. 故选：A. 【变式4-2】（24-25高一下·广东广州·月考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【解题思路】利用余弦定理角化边，然后确定的形状即可. 【解答过程】因为， 根据余弦定理得， 整理得， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形， 故选：B. 【变式4-3】（24-25高一下·江苏苏州·月考）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用余弦定理即可得解. 【解答过程】因为，即，所以， 由余弦定理可得， 又，所以. 故选：B． 【题型5 利用余弦定理求最值或范围】 【例5】（24-25高一下·安徽·月考）在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则中最大角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由条件可得，，由大边对大角可得，结合余弦定理求，再求可得结论. 【解答过程】因为， 所以，，， 所以，因为大边对大角，所以， 由余弦定理可得， 又， 所以，所以中最大角为， 故选：B. 【变式5-1】（24-25高一下·北京房山·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解题思路】由余弦定理及基本不等式计算可得. 【解答过程】由余弦定理得， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为． 故选：A. 【变式5-2】（24-25高一下·四川成都·期末）已知钝角的三边为，，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据三角形三边长关系，结合余弦定理列不等式组即可得解. 【解答过程】由钝角的三边为a，，， 则，解得， 则实数a的取值范围是. 故选：B. 【变式5-3】（24-25高一下·陕西西安·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为，则周长的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用余弦定理，结合基本不等式求出最大值. 【解答过程】在中，， 则，， 解得，当且仅当时取等号， 所以周长的最大值为3. 故选：C. 知识点2 余弦定理判断三角形形状 1．余弦定理判断三角形形状的常用结论 (1)△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或b2=a2+c2或c2=a2+b2； (2)△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2，且b2+c2>a2，且a2+c2>b2； (3)△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2，且b2+c2<a2，且a2+c2<b2； (4)若sin2A= sin2B，则A=B或. 【题型6 余弦定理判定三角形形状】 【例6】（24-25高一下·贵州毕节·月考）已知在中，，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解题思路】先求出，再利用余弦定理可得，从而可得答案. 【解答过程】因为，所以， 则，即， 所以，所以，所以为等腰三角形，又， 所以为等边三角形． 故选：C． 【变式6-1】（24-25高一下·天津武清·月考）在中，，，则一定是（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定 【答案】A 【解题思路】由余弦定理结合题意化简即可判断的形状. 【解答过程】在中，因为，， 所以由余弦定理可得， 所以，即， 所以，结合，可得一定是等边三角形． 故选：A. 【变式6-2】（24-25高一下·新疆克拉玛依·期中）一个锐角三角形的三边长同时增加相同的长度，得到的边长作为新三角形的边长，则新的三角形形状为（    ） A．有可能为钝角三角形 B．还是锐角三角形 C．有可能为直角三角形 D．新三边长有可能不能构成三角形 【答案】B 【解题思路】增加同样的长度为，原锐角三角形三边长为，，，则新的三角形三边长可表示出来，进而利用余弦定理求得余弦值大于0，判断出三个角均为锐角，即可得解. 【解答过程】设增加同样的长度为，原锐角三角形三边长为， 由题意可得，且， 则新三角形的三边长为， 即可解得， 由余弦定理知新三角形的角的余弦为正，则为锐角， 同理可证新的三角形的角的余弦为正，均为锐角， 故新的三角形为锐角三角形. 故选：B. 【变式6-3】（24-25高一下·广东广州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C.已知，则的形状一定是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解题思路】利用余弦定理变形，再结合余弦函数的性质判断即可. 【解答过程】在中，由余弦定理得，整理得， 而，函数在上单调递减，因此， 所以是等腰三角形. 故选：C. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.1 余弦定理（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 余弦定理及辨析】 2 【题型2 已知三边解三角形】 2 【题型3 已知两边及一角解三角形】 3 【题型4 余弦定理边角互化的应用】 3 【题型5 利用余弦定理求最值或范围】 3 【题型6 余弦定理判定三角形形状】 4 知识点1 余弦定理 1．余弦定理 (1)余弦定理及其推论的表示 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 推论 2．解三角形 (1)解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. (2)余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①类型1：已知两边及一角，解三角形 解法：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； ②类型2：已知三边，解三角形 解法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一； 解法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解. 【题型1 余弦定理及辨析】 【例1】（24-25高一下·山东济南·月考）设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·月考）下列说法中错误的是（   ） A．在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例 B．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形 C．利用余弦定理可以解决已知三角形三边求角的问题 D．在三角形中，已知两边及其中一边的对角，不能用余弦定理解三角形 【变式1-2】（24-25高三上·天津津南·月考）在非等边三角形中，A为钝角，则三边a，b，c满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一下·云南楚雄·月考）在中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若，则的值为 ． 【题型2 已知三边解三角形】 【例2】（24-25高一下·贵州黔东南·期末）已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，，，则（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 【变式2-1】（24-25高一下·四川成都·期末）已知分别为的三个内角的对边，若，则角为（    ） A．或 B． C．或 D． 【变式2-2】（24-25高一下·广东深圳·期中）在中，内角所对的边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一下·贵州铜仁·期末）在中，，则（   ） A． B． C． D． 【题型3 已知两边及一角解三角形】 【例3】（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，，则a等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一下·重庆渝北·期中）在中，，则（    ） A．4 B．3 C．5 D．3或5 【变式3-2】（24-25高一下·江苏淮安·期末）在中，角，，对应的边分别为，，，，，，则为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式3-3】（24-25高一下·广东佛山·期末）在中，，，，则（   ） A．9 B．10 C．12 D．15 【题型4 余弦定理边角互化的应用】 【例4】（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·安徽合肥·一模）在中，内角的对边分别为，若，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 【变式4-2】（24-25高一下·广东广州·月考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【变式4-3】（24-25高一下·江苏苏州·月考）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型5 利用余弦定理求最值或范围】 【例5】（24-25高一下·安徽·月考）在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则中最大角为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一下·北京房山·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【变式5-2】（24-25高一下·四川成都·期末）已知钝角的三边为，，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一下·陕西西安·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为，则周长的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 知识点2 余弦定理判断三角形形状 1．余弦定理判断三角形形状的常用结论 (1)△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或b2=a2+c2或c2=a2+b2； (2)△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2，且b2+c2>a2，且a2+c2>b2； (3)△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2，且b2+c2<a2，且a2+c2<b2； (4)若sin2A= sin2B，则A=B或. 【题型6 余弦定理判定三角形形状】 【例6】（24-25高一下·贵州毕节·月考）已知在中，，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式6-1】（24-25高一下·天津武清·月考）在中，，，则一定是（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定 【变式6-2】（24-25高一下·新疆克拉玛依·期中）一个锐角三角形的三边长同时增加相同的长度，得到的边长作为新三角形的边长，则新的三角形形状为（    ） A．有可能为钝角三角形 B．还是锐角三角形 C．有可能为直角三角形 D．新三边长有可能不能构成三角形 【变式6-3】（24-25高一下·广东广州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C.已知，则的形状一定是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $