11.1.1 余弦定理课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

11.1.1 余弦定理 千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间的距离因A，B之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且AC，BC的夹角为120°，那么岛屿A，B间的距离如何计算呢？ 在Rt△ABC中，已知两直角边a，b和C=90°，则c2=a2+b2.那么你能用所学知识研究一般的三角形中，是否也有类似的结论吗？(用向量法解释) 如图，在△ABC中，有向量等式=+， 联想=||2， 所以=·=(+)·(+)=+2·+ =||2+2||||cos(180°-A)+||2 =c2-2cbcos A+b2，即a2=b2+c2-2bccos A. 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 a2=b2+c2-2bccos A， b2=c2+a2-2cacos B， c2=a2+b2-2abcos C. cos A=， cos B=， cos C=. 推论 解三角形 我们把三角形的三个角和三条边叫作三角形的元素.已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形. 例1 根据下列条件解三角形： (1)在△ABC中，已知b＝8，c＝3， A＝60°，求a的值； (2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3 ，B＝30°，解这个三角形. 解：(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A， 则a2＝82＋32－2×8×3× cos 60°＝49，所以a＝7. (2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B， 则32＝a2＋(3 )2－2a×3 × cos 30°， 即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6. 当a＝3时，A＝30°，C＝120°； 当a＝6时，由余弦定理得 cos A＝ ＝0，A＝90°，C＝60°. (1)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边， 再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角； (2)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的 一元二次方程求解. 归纳总结 已知两边及一角解三角形的两种情况 解：根据余弦定理，得 cos A＝ ＝ ＝ ， ∵A∈(0，π)，∴A＝ . cos C＝ ＝ ＝ ， ∵C∈(0，π)，∴C＝ . ∴B＝π－A－C＝π－ － ＝ ， ∴A＝ ，B＝ ，C＝ . 例2 在△ABC中，已知a＝2 ，b＝6＋2 ，c＝4 ，求A，B，C. 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角； 再利用余弦定理的推论求出第二个角； 最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. 归纳总结 已知三角形三边解三角形的方法 例3 一艘轮船按照北偏东40°方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为6 海里，求灯塔与轮船原来的距离. 解：如图，设轮船原来在A处，航行20分钟后到达B处，C为灯塔的位置， 根据条件可得∠BAC＝120°，AB＝18× ＝6(海里)，BC＝6 海里， 由余弦定理可得 cos 120°＝ ＝ ＝－ ， 解得AC＝6(AC＝－12舍去). 因此，灯塔与轮船原来的距离为6海里. 变式：某观测站C与两灯塔A，B的距离分别为3 km和5 km，测得灯塔A在观测站C北偏西50°，灯塔B在观测站C北偏东70°，求两灯塔A，B之间的距离. 解：依题意知△ABC中，AC＝3 km，BC＝5 km，∠ACB＝120°. 由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC× cos ∠ACB ＝32＋52－2×3×5× cos 120°＝49. ∴AB＝7 km.即两灯塔A，B之间的距离为7 km. 根据今天所学，回答下列问题： （1）写出余弦定理公式； （2）说说已知三角形三边如何解三角形. 1.在中，内角，，的对边分别为，， ，若，，，则 ( ) A. B. C. D. 2.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是-，则该三角形 的第三条边长为 ( ) A.52 B.2 C.16 D.4 A B 3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2-b2+c2=ac，则B的大小为 ( ) A. B. C.或 D.或 4.某人向正东方向走x km后向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值是 ( ) A. B.2 C.2或 D.3 A C $