2.1 平方根 课件 2025--2026学年湘教版七年级数学下册

新湘教版七年级下册数学 第2章 实数 2.1 平方根 2.1.1 平方根和算术平方根 学习目标 1.掌握平方根的概念，明确平方根和算数平方根之间的区别。 2.能用符号正确的表示一个数的平方根和算数平方根 这是一个长为 2、宽为 1 的长方形纸片，你能把它剪拼成一个正方形吗？ 2 1 任务导入 沿虚线对折 沿虚线对折 展开铺平 剪开拼图 这个正方形的面积是多少？它的边长呢？ 1 1 1 1 1 1 1 1 任务导入 这个问题的实质就是要找一个数，使它的平方等于给定的数。 2 1 1 1 1 由 S正方形 = 边长2 S正方形 = 2 ( ？ )2 = 2 探索展示 如果有一个数 r，使得 r2 = a，那么 r 叫作 a 的一个平 方根，也叫作二次方根. 这就是说， 例如，由于 22 = 4，因此 2 是 4 的一个平方根. 又∵(－2)2 = 4，∴ －2 也是 4 的一个平方根. 探索展示 若 r2 = a，则 r 是 a 的一个平方根 4 的平方根除了 2 和 －2 以外，还有其他的数吗？ 探索展示 因为边长大于2的正方形，它的面积一定大于4， 所以，比2大的数都不是4的平方根. 2 边长小于2的正方形，它的面积一定小于4，因此， 比2小的正数都不是4的平方根. 又由于 (－b)2 = b2，因此，大于 －2 或小于－2 的负数 都不是 4 的平方根. 0 显然不是 4 的平方根. 所以 4 的平方根有且只有两个：2 与 －2. 所以 4 的平方根有且只有两个：2 与 －2. 探索展示 如果r是正数a的一个平方根，那么a的平方根 有且只有两个：r与-r. 我们把a的正平方根叫作a的算术平方根，记作 ，读作“根号a”； 把a的负平方根记作 ，读作“负根号a”. 正数a的平方根可以用 “ ”来表示. 读作“正负根号a”. 例如，4的平方根是2与-2，即 探索展示 如果r是正数a的一个平方根，那么a的平方根 有且只有两个：r与-r. 我们把a的正平方根叫作a的算术平方根，记作 ，读作“根号a”； 把a的负平方根记作 ，读作“负根号a”. 正数a的平方根可以用 “ ”来表示. 读作“正负根号a”. 例如，4的平方根是2与-2，即 一个正数有两个平方根，且它们互为相反数， 一个正数只有一个算术平方根。 探索展示 0的平方根是多少？负数有平方根吗？ 由于02=0，而非零数的平方不等于0，因此， 零的平方根就是0本身 0的平方根也叫作0的算术平方根，记作 ，即 . 在目前我们所学习的数中，由于同号两数相乘得正数，且02=0， 不存在一个数的平方是负数，因此负数没有平方根. 小结：正数平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是0；负数没有平方根. +1 -1 +2 -2 +3 -3 探索展示 求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.这个非负数叫作被开方数. 根号" "可理解为一种运算符号，表示对被开方数进行开平方运算. 开平方与平方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的平方根. 开平方 平方 1 4 9 与互为逆运算 应用提升 例1 分别求下列各数的平方根： (1) 36 (2) (3)1.21. 解： (1) 由于(±6)2=36，因此36的平方根是6与-6，即 (3) 由于(±1.1)2=1.21，因此1.21的平方根是1.1与-1.1，即 (2) 由于 ，因此 的平方根是 与 ，即 应用提升 课堂练习 1. 分别求下列各数的平方根： (1)64，(2) ，(3)6.25. 解： (1) 由于(±8)2=64，因此64的平方根是8与-8，即 (2) 由于 ，因此 的平方根是 与 ，即 (3) 由于(±2.5)2=6.25，因此6.25的平方根是2.5与-2.5，即 应用提升 例2 分别求下列各数的算术平方根： (1) 100 (2) 1.96 (3) 解： (1) 由于102=100，因此 (2) 由于1.42=1.96，因此 (3) 由于 ，因此 应用提升 课堂练习 2. 分别求下列各数的算术平方根： (1)81，(2) ，(3)0.16. 解： (1) 由于92=81，因此 (2) 由于 ，因此 (3) 由于(0.4)2=0.16，因此 做完这些题目，你知道平方根 与算数平方根的区别了吗？ 平方根与算术平方根的区别与联系： 类别 名称 平方根 算术平方根 区别 定义不同 一般地，如果一个数 x 的平方等于a，即 x2 = a，那么这个数 x 就叫作 a 的平方根. 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个正数 x 就叫作 a 的算术平方根. 个数不同 两个，且互为相反数 一个 表示方法不同 结果不同 一正一负 正数 联系 具有包含关系 平方根包含了算术平方根 存在条件相同 被开放数为非负数，0 的平方根与算术平方根都是 0. 应用提升 下列各数有平方根吗？如有，分别是多少？ (1) |－81|； (2) (－5)2. 应用提升 解：(1)|－81| = 81，由于 (±9)2 = 81， 因此 81 的平方根是 9 与－9，即 . (2)(－5)2 = 25，由于 (±5)2 = 25， 因此 25 的平方根是 5 与－5，即 . 3. 判断下列说法是否正确，并说明理由. (2)不正确， (－4)2 的平方根是±4. 应用提升 课堂练习 (1) 的值是±4；(2) (－4)2 的平方根是－4. 解：(1)不正确， ； 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn EVCapture4.0.2软件录制 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn EVCapture4.0.2软件录制 $