精品解析：河南省漯河市实验中学2025-2026学年九年级上学期数学期末素质调研

2025-2026学年初中生学情分析与测评（一） 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟； 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 若向东行走记作，则向西行走可记作（ ） A. B. C. D. 2. 万岁山武侠城的网络热度主要体现在游客接待量、营收数据及社交媒体话题播放量上．截至2025年10月31日，该景区2025年的综合收入是10.77亿元．数据“10.77亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 民间技艺“撂石锁”是一种古老的武术功力项目．如图，这是一个常见的石锁，其主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 将一把直尺和一把等腰三角尺按如图方式摆放．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无实数根 7. 如图，在中，点为边的中点，连接，交于点，过点作，交于点．若，则的长为（） A. B. C. D. 8. 从，3，6这三个数中任取两个数作为点N的坐标，则点N在第二象限的概率是（） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为和，连接，，将绕点逆时针旋转得到，点与点对应，点与点对应，当点落在轴上时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 研究表明，疲劳感与体内血乳酸浓度升高有关，若运动后降至以下，疲劳基本消除．科研人员根据数据绘制了老年人练习五禽戏后和打太极后体内血乳酸浓度随时间变化的图象．下列叙述正确的是（ ） A. 运动后时，采用五禽戏活动方式放松时的血乳酸浓度与采用打太极方式放松时的血乳酸浓度相同 B. 练习五禽戏后，血乳酸浓度最高约为 C. 练习五禽戏后，活动才能基本消除疲劳 D. 运动后，五禽戏活动比打太极更有助于快速消除疲劳 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 12. 小刚统计了本班50名学生寒假的阅读量，绘制了下面的条形统计图，则该班学生阅读量的中位数是___________本． 13. 已知整数满足下列条件：，依此类推，则的值为___________ 14. 如图，为半圆的直径，以点为圆心，长为半径作扇形交半圆于点．若，则阴影部分的面积是___________ 15. 如图，在矩形中，是矩形内一点，的长为，连接．若是以为腰的等腰三角形，则的长为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 消防器材实操演练是提升中学生应急避险能力与消防安全素养的关键举措．通过规范操作灭火器、消防栓等器材，学生能够在突发火情时快速响应、科学处置，有效保护自身及他人生命财产安全．为检验中学生消防器材实操演练效果，某学校组织了以熟用消防器材，筑牢安全防线为主题的器材实操比赛活动．现从八、九年级学生中各随机抽取名学生的器材实操比赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分为四组：．，．，．，．，得分在分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级名学生的器材实操比赛成绩是，，，，，，，，，，，，，，，，，，，； 九年级名学生的器材实操比赛成绩在组的数据是，，，，，． 九年级抽取的学生的器材实操比赛成绩扇形统计图 八、九年级抽取的学生的器材实操比赛成绩统计表 年级 平均数 众数 方差 优秀率 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问 （1）上述图表中的___________，___________，___________； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级的学生的器材实操比赛成绩更好？请说明理由．（写出一条理由即可） 18. 如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点分别向坐标轴作垂线，垂足分别为点，连接，反比例函数（为常数）的图象分别与交于点 （1）求反比例函数的表达式． （2）①求点的坐标； ②如图2，连接，求证：． 19. 如图，在中，，以的中点为圆心，长为半径作交于点，连接． （1）尺规作图：作出的平分线，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下． ①求证：． ②若，则线段的长为___________． 20. 某数学小组进行实践活动，下面是测量汝南北城门高度的实践报告： 利用数学知识测量汝南北城门的高度 资料查阅 汝南北城门是河南省汝南县现存的明代古城门遗址，始建于明代，是当地古代城市防御体系的重要组成部分．汝南北城门采用传统砖石砌筑工艺，风格古朴庄重，见证了汝南县的历史发展与变迁，具有重要的历史与文化价值． 模型构建 测量步骤 数学小组成员在处利用测角仪测得北城门顶端的仰角，沿方向移动至点，放置标杆，北城门顶端的影子落在点处，且点在同一条直线上． 说明：，点在同一条直线上，图中所有点在同一平面内． 测量数据 ． 参考数据 ． 测量任务 求出汝南北城门的高度（结果精确到）． 效果反思 查阅资料后，发现测量结果与实际结果稍有差异，请你提出至少一条减少误差的建议． 21. 某高档小区为提升园区景观品质，计划购进甲、乙两款景观石．已知甲型景观石的单价比乙型景观石的单价多0.5万元，购买6块甲型景观石和5块乙型景观石共需14万元． （1）甲、乙两款景观石的单价各是多少万元？ （2）该小区计划购买甲、乙两款景观石共18块，且购买乙型景观石的数量不超过甲型景观石数量的2倍，求购买这批景观石所需的最少总费用． 22. 如图，在单位长度为1的平面直角网格坐标系中，抛物线经过点． （1）求二次函数的表达式并画出函数图象； （2）根据图象，在抛物线的对称轴上找点，使得最短，并求出点的坐标； （3）连接，将线段向左平移个单位长度，若线段与抛物线仅有一个交点，请直接写出的取值范围． 23. 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做垂对三等分平行四边形，垂足叫做垂三等分点． （1）【理解应用】如图1，在中，于点，交于点，若为的三等分点，则是垂对三等分平行四边形，是垂三等分点．若，则___________，___________． （2）【问题探究】如图2，在垂对三等分平行四边形中，是垂三等分点，且满足，若，试猜想与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】如图3，已知四边形是矩形，过点作于点，交于点，当四边形是垂对三等分平行四边形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年初中生学情分析与测评（一） 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟； 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 若向东行走记作，则向西行走可记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的意义，熟练掌握用正负数表示具有相反意义的量是解题的关键． 根据正负数表示相反意义的量的规则，先确定向东为正方向，那么向西就为负方向，再将向西行走的距离用负数表示，最后与选项进行匹配． 【详解】解：∵向东行走记作 ∴向西行走记作 故选：B． 2. 万岁山武侠城的网络热度主要体现在游客接待量、营收数据及社交媒体话题播放量上．截至2025年10月31日，该景区2025年的综合收入是10.77亿元．数据“10.77亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：10.77亿 故选：B． 3. 民间技艺“撂石锁”是一种古老的武术功力项目．如图，这是一个常见的石锁，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的主视图，熟练掌握主视图的定义，准确判断物体正面可见的轮廓线是解题的关键．根据主视图的定义，从物体正面观察得到的视图，分析石锁正面的轮廓与镂空部分的呈现方式，再与选项对比． 【详解】解：由题意得，石锁的主视图是， 故选：B． 4. 将一把直尺和一把等腰三角尺按如图方式摆放．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、直角三角形的角度计算，熟练掌握平行线的性质以及角度的和差计算是解题的关键． 先根据已知的直角和角度计算出的度数，再结合求出的度数，最后利用平行线的性质，得出与相等，从而求出的度数． 【详解】解：如图， 由题意可得，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，包括合并同类项，积的乘方，多项式的乘法和完全平方公式．根据相关知识逐项判断即可． 【详解】解：A、，故本选项运算错误； B、，故本选项运算正确； C、，故本选项运算错误； D、，故本选项运算错误． 故选：B． 6. 关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，将方程化为一般式，计算判别式，根据判别式的值判断根的情况． 【详解】解：原方程化为一般形式：. 判别式， ∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 7. 如图，在中，点为边的中点，连接，交于点，过点作，交于点．若，则的长为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的边的性质及相似三角形的比例推导是解题的关键．先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合是中点的条件，证明，得到与的比例关系，进而推出与的比例；再由，证明，利用相似比求出的长度． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 8. 从，3，6这三个数中任取两个数作为点N的坐标，则点N在第二象限的概率是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查画树状图或列表求概率，平面直角坐标系中各象限内的点的符号特点． 先通过画树状图或列表得到点N的坐标的所有可能的情况，从中找出在第二象限内的点，根据概率公式计算即可． 【详解】解：列表为： 3 6 3 6 由表格可知，点N的坐标共有6种等可能情况，其中在第二象限的是，共2种情况，其概率为． 故选：B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为和，连接，，将绕点逆时针旋转得到，点与点对应，点与点对应，当点落在轴上时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过点A的坐标计算出的长度，证明是等边三角形，再利用旋转的性质得到对应边与角的关系，最后结合全等三角形与坐标平移的规律求出点的坐标． 【详解】解：∵A点坐标为，过A作轴于M， ∴，， ∴， ∵绕点A逆时针旋转得到， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∵， ∴点C的坐标为， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∵点C坐标为， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴点P坐标为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转、等边三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握旋转的性质并结合三角函数求坐标是解题的关键． 10. 研究表明，疲劳感与体内血乳酸浓度升高有关，若运动后降至以下，疲劳基本消除．科研人员根据数据绘制了老年人练习五禽戏后和打太极后体内血乳酸浓度随时间变化的图象．下列叙述正确的是（ ） A. 运动后时，采用五禽戏活动方式放松时的血乳酸浓度与采用打太极方式放松时的血乳酸浓度相同 B. 练习五禽戏后，血乳酸浓度最高约为 C. 练习五禽戏后，活动才能基本消除疲劳 D. 运动后，五禽戏活动比打太极更有助于快速消除疲劳 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了从折线统计图中获取信息并进行分析判断的能力，熟练掌握图象的横纵坐标含义及题目给定的判断标准是解题的关键．先明确图中实线代表五禽戏、虚线代表太极的血乳酸浓度变化，再逐一分析每个选项，结合图象中的时间与浓度对应关系、题目给出的以下疲劳基本消除的条件进行判断． 【详解】解：选项，∵运动后时，实线（五禽戏）的血乳酸浓度低于虚线（太极）的血乳酸浓度， ∴两者浓度不相同，故项错误； 选项，∵实线（五禽戏）的血乳酸浓度最高点低于，远不到， ∴该描述不符合图象，故项错误； 选项，∵实线（五禽戏）不到血乳酸浓度已降至以下， ∴不需要才能基本消除疲劳，故项错误， 选项，∵实线（五禽戏）的血乳酸浓度下降速度比虚线（太极）更快，能更早降至以下， ∴五禽戏比太极更有助于快速消除疲劳，故项正确； 故选：． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式及二次根式有意义的条件可进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查分式及二次根式有意义的条件，熟练掌握分式及二次根式有意义的条件是解题的关键． 12. 小刚统计了本班50名学生寒假的阅读量，绘制了下面的条形统计图，则该班学生阅读量的中位数是___________本． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数的定义、条形统计图的应用，熟练掌握中位数的计算方法是解题的关键．先确定总人数为50，根据中位数定义，需找出排序后第25和第26个数据的平均值；再通过累计人数确定这两个数据对应的阅读量，最后计算中位数． 【详解】解：总人数， 累计人数：（本），  （1本和本）， （1本、2本和3本）， 第个数据均为本， 中位数（本）， 故答案为：3． 13. 已知整数满足下列条件：，依此类推，则的值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了找规律问题，正确掌握找规律的方法是解题的关键． 先根据题意，计算出前几项，发现规律为当时，且是偶数时，，当是奇数时，，根据规律代入计算即可求解． 【详解】解：当时，，，，，，，，， 观察可知，当时，且是偶数时，，当是奇数时，， 则﹒ 故答案为：﹒ 14. 如图，为半圆的直径，以点为圆心，长为半径作扇形交半圆于点．若，则阴影部分的面积是___________ 【答案】 【解析】 【分析】确定各圆的半径，再分别计算扇形、扇形和三角形的面积，最后用扇形的面积减去扇形的面积与三角形的面积之和，得到阴影部分面积． 【详解】解：如图，连接、， ∵ ，为半圆的直径， ∴ 半圆半径 ，扇形的半径 ， ∵ ， ， ∴ 为等边三角形 ， ∴ ， ∴ ， ∵ 为半圆直径， ∴ ， 在 中，， ， ∴， ∵， ∴， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了扇形面积公式、等边三角形的判定与性质、圆周角定理及直角三角形的性质，熟练掌握扇形面积公式和圆的相关性质是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，是矩形内一点，的长为，连接．若是以为腰的等腰三角形，则的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】先通过作辅助线构造矩形，利用矩形的性质得到线段等量关系，再根据等腰三角形的定义，分和两种情况进行讨论，结合勾股定理构造方程求解． 【详解】解：如图，过点分别作垂直于，垂直于， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 情况：如图，当时， ∵，， ∴， 设，则， ∵在中，， ∵在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴，， ∴， ∵在中， ∴， 情况：如图，当时， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质并结合分类讨论思想、方程思想是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）分别计算立方根，零指数幂和负整数指数幂，再计算加减； （2）先计算括号内减法，再将除法化为乘法计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： 17. 消防器材实操演练是提升中学生应急避险能力与消防安全素养的关键举措．通过规范操作灭火器、消防栓等器材，学生能够在突发火情时快速响应、科学处置，有效保护自身及他人生命财产安全．为检验中学生消防器材实操演练效果，某学校组织了以熟用消防器材，筑牢安全防线为主题的器材实操比赛活动．现从八、九年级学生中各随机抽取名学生的器材实操比赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分为四组：．，．，．，．，得分在分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级名学生的器材实操比赛成绩是，，，，，，，，，，，，，，，，，，，； 九年级名学生的器材实操比赛成绩在组的数据是，，，，，． 九年级抽取的学生的器材实操比赛成绩扇形统计图 八、九年级抽取的学生的器材实操比赛成绩统计表 年级 平均数 众数 方差 优秀率 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问 （1）上述图表中的___________，___________，___________； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级的学生的器材实操比赛成绩更好？请说明理由．（写出一条理由即可） 【答案】（1），，； （2） 九年级的学生的器材实操比赛成绩更好，理由如下： ∵九年级方差八年级方差，平均数相等， ∴九年级学生的器材实操比赛成绩更稳定，成绩更好． 【解析】 【分析】本题主要考查了众数、百分比、优秀率的计算，以及利用统计量（众数、方差、优秀率）分析数据的能力，熟练掌握众数的定义、百分比的计算方法和统计量的意义是解题的关键． （1）重新统计八年级成绩数据中各数的出现次数，找出出现次数最多的数求．先算出九年级组人数，再用优秀人数除以总人数得到优秀率求．确定九年级组人数，再用组人数除以总人数并转化为百分比，得到扇形统计图中组的百分比． （2）对比八、九年级成绩的统计量（众数、方差、优秀率等），选择一个统计量作为依据，说明哪个年级成绩更好． 【小问1详解】 解：∵八年级成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 其中出现次，出现次数最多， ∴， ∵九年级总人数为，组占， ∴九年级组人数， ∵九年级成绩优秀（组）人数为， ∴优秀率， ∵九年级组数据有，，，，，，共人， ∴， ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 18. 如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点分别向坐标轴作垂线，垂足分别为点，连接，反比例函数（为常数）的图象分别与交于点 （1）求反比例函数的表达式． （2）①求点的坐标； ②如图2，连接，求证：． 【答案】（1）； （2）①；②见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定、坐标与图形的性质，熟练掌握反比例函数的点坐标特征及相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据点的坐标及，确定点的坐标；将点坐标代入反比例函数表达式，求出值，即可得到反比例函数的表达式． （2）①根据垂直于轴，确定点的纵坐标与点的纵坐标相同；将该纵坐标代入反比例函数表达式，求出点的横坐标，从而得到点的坐标．②先求出、、、的长度，计算与的比值；结合公共角，证明；根据相似三角形的性质得到，进而证明两直线平行． 【小问1详解】 解：∵点B的坐标为，，轴， ∴点N的坐标为， ∵点N在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 ①解：∵轴，点B的坐标为， ∴点M的纵坐标为4， ∵点M在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴点M的坐标为； ②∵点B的坐标为，点M的坐标为， ∴，， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，在中，，以的中点为圆心，长为半径作交于点，连接． （1）尺规作图：作出的平分线，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下． ①求证：． ②若，则线段的长为___________． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②． 【解析】 【分析】（1）利用尺规作图作角平分线的基本作图方法，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，过该点与点作射线，交于，连接即可． （2）①先根据等腰三角形性质得到，再结合角平分线定义推出，通过证明得到，进而推出，从而证得． ②先利用勾股定理求出的长度，再结合全等三角形求解即可． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 解：①∵，是的中点， ∴，， ∵平分， ∴， 在和中 ， ∴（）， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ②∵在中，，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线、等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 20. 某数学小组进行实践活动，下面是测量汝南北城门高度的实践报告： 利用数学知识测量汝南北城门的高度 资料查阅 汝南北城门是河南省汝南县现存的明代古城门遗址，始建于明代，是当地古代城市防御体系的重要组成部分．汝南北城门采用传统砖石砌筑工艺，风格古朴庄重，见证了汝南县的历史发展与变迁，具有重要的历史与文化价值． 模型构建 测量步骤 数学小组成员在处利用测角仪测得北城门顶端的仰角，沿方向移动至点，放置标杆，北城门顶端的影子落在点处，且点在同一条直线上． 说明：，点在同一条直线上，图中所有点在同一平面内． 测量数据 ． 参考数据 ． 测量任务 求出汝南北城门的高度（结果精确到）． 效果反思 查阅资料后，发现测量结果与实际结果稍有差异，请你提出至少一条减少误差的建议． 【答案】测量任务：；效果反思：多次测量取平均值：对 、 等长度和仰角 进行多次测量，取平均值以降低单次测量的偶然误差．（答案不唯一） 【解析】 【分析】测量任务：先通过 得到 与 的比例关系，再利用矩形 的性质得到 ，最后结合 建立方程求解 ； 效果反思：对于误差减少，从测量操作和数据处理两方面提出建议． 【详解】解：测量任务：∵ ， ∴ ∵ ∴ ， ∴， ∵ ，， ∴， ， ∵ ，， ∴ 四边形 是矩形 ∴ ， ∵ ，， ∴， ∵ ，，，， ∴， 解得； 效果反思：多次测量取平均值：对、等长度和仰角进行多次测量，取平均值以降低单次测量的偶然误差．（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用以及矩形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质并结合三角函数建立方程是解题的关键；减少误差的核心在于优化测量操作与数据处理方式． 21. 某高档小区为提升园区景观品质，计划购进甲、乙两款景观石．已知甲型景观石的单价比乙型景观石的单价多0.5万元，购买6块甲型景观石和5块乙型景观石共需14万元． （1）甲、乙两款景观石的单价各是多少万元？ （2）该小区计划购买甲、乙两款景观石共18块，且购买乙型景观石的数量不超过甲型景观石数量的2倍，求购买这批景观石所需的最少总费用． 【答案】（1）甲型景观石的单价是1.5万元，乙型景观石的单价是1万元 （2）购买这批景观石所需的最少总费用是21万元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，一元一次不等式和一元一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意，建立方程和不等式求解． （1）通过设乙的单价为未知数，根据单价关系和总费用列出方程求解； （2）通过设甲的数量为变量，表示总费用函数，再根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设乙型景观石的单价为x万元，则甲型景观石的单价为万元， 根据题意得， 解得 ∴甲型景观石的单价为（万元），乙型景观石的单价为1万元； 【小问2详解】 解：设购买甲型景观石a块，则购买乙型景观石块，设总费用为， 由题意得， ∵购买乙型景观石的数量不超过甲型景观石数量的2倍， ∴ 解得， ∵，且， ∴C随a增大而增大 ∴当时，C最小，最小值为（万元） 答：购买这批景观石所需的最少总费用为21万元． 22. 如图，在单位长度为1的平面直角网格坐标系中，抛物线经过点． （1）求二次函数的表达式并画出函数图象； （2）根据图象，在抛物线的对称轴上找点，使得最短，并求出点的坐标； （3）连接，将线段向左平移个单位长度，若线段与抛物线仅有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1），画图见解析； （2）； （3）； 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式求解、图象绘制、轴对称最短路径问题、一次函数的平移及函数交点问题，熟练掌握二次函数的性质、轴对称的性质以及函数交点的求解方法是解题的关键． （1）将点、代入抛物线解析式，得到关于、的方程组，解方程组求出、的值，从而确定二次函数表达式；再通过列表、描点、连线画出函数图象． （2）先求出抛物线的对称轴，利用两点之间线段最短，连接点与点关于对称轴的对称点，该连线与对称轴的交点即为点，计算交点坐标． （3）先求出直线的解析式，写出线段向左平移个单位后的解析式，联立平移后的线段与抛物线的方程，结合线段端点的位置，确定仅存在一个交点时的取值范围． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，， ∴即， 解得，， ∴二次函数表达式为：， 列表： 描点并连线如下： 【小问2详解】 解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线 ∴点关于直线的对称点为， 设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点在对称轴上， 将代入得， ∴； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 函数中，当时，， 解得或， ∴如图，， 线段向左平移个单位后，解析式为，此时线段端点为，， 当点与点重合时，有 ， 解得， 当点与点重合时，有， 解得， ∴若线段与抛物线仅有一个交点，的取值范围为； 23. 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做垂对三等分平行四边形，垂足叫做垂三等分点． （1）【理解应用】如图1，在中，于点，交于点，若为的三等分点，则是垂对三等分平行四边形，是垂三等分点．若，则___________，___________． （2）【问题探究】如图2，在垂对三等分平行四边形中，是垂三等分点，且满足，若，试猜想与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】如图3，已知四边形是矩形，过点作于点，交于点，当四边形是垂对三等分平行四边形时，直接写出的长． 【答案】（1）；； （2） 解：；理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ； （3）的长为或． 【解析】 【分析】（1）由得到，得到，根据相似三角形的性质即可求出．根据勾股定理在中，求出，进而在中求出； （2）由得到，得到，因此，设，则，，在中，根据勾股定理求得，进而有，，即可得到； （3）分两种情况讨论：①若，则由，得到，设，则，，证明，得到，求得，即，在中，根据勾股定理即可求出；②若，同①思路即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，即， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的长为或．理由如下： 分两种情况讨论： 如图3，若， 在矩形中，， ， ， 设，则，， ， ， 在矩形中，， ， ， ， ，即， 解得或（舍去）， ， 在中，由勾股定理得：． ②如图，， 在矩形中，， ， ， 设，则，， ， ， 在矩形中，， ， ， ， ，即， 解得或（舍去）， ， 在中，由勾股定理得：． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查平行四边形与矩形的性质，平行四边形的性质，垂线定义，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $