精品解析：重庆渝北区2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷

2025年秋季学期学业质量监测八年级数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，同底数幂的乘除法，分别根据它们的运算法则计算出各选项的结果后再进行判断即可． 【详解】解：A．，故该选项计算错误，不符合题意； B．，故该选项计算错误，不符合题意； C．，故该选项计算错误，不符合题意； D．，计算正确，符合题意， 故选：D． 3. 下列长度的三条线段首尾顺次相接能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 3，3，7 C. 5，6，13 D. 8，8，10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，解答本题的关键是明确三角形两边之和大于第三边． 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，判断各选项是否满足条件． 【详解】解：A．，不能组成三角形； B．，不能组成三角形； C．，不能组成三角形； D．，能组成三角形； 故选：D． 4. 在分式中，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟知分母不为0时分式有意义是解题的关键． 根据分式有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得． 【详解】解：在分式中， ∴． 故选：C． 5. 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键． 根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是整式乘法，不是因式分解； B．右边不是积的形式； C．左边是多项式，右边是积的形式，符合因式分解； D．左边是单项式，不是多项式，不是因式分解． 故选：C． 6. 如图是一组有规律的图案，第1个图案中有6个小等边三角形，第2个图案中有个小等边三角形，第3个图案中有个小等边三角形……，依此规律，则第个图案中小等边三角形个数为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查图形变化的规律问题，找到图形变化的规律是解题的关键． 找到图形变化的规律即可求解． 【详解】解：根据图形可得， 第1个图案中小等边三角形的个数为，（个）， 第2个图案中小等边三角形的个数为，（个）， 第3个图案中小等边三角形的个数为，（个）， 第10个图案中小等边三角形的个数为，（个）． 故选：B． 7. 如图，在和中，已知，则添加以下条件，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．根据三角形全等的判定方法逐项进行判断即可． 【详解】A.，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项不符合题意； B.，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项不符合题意； C.由可得和都是直角三角形，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项不符合题意； D.，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故选项符合题意． 故选：D． 8. 有一块三角形匀质薄板玩具，小明用一个支点顶住三角形匀质薄板，薄板就保持平衡，薄板与支点接触的点就是这块三角形匀质薄板的重心，三角形的重心就是三角形三条中线的交点．如图，在中，，，，是的重心，连接，，则的面积是（ ） A. 2 B. 1.5 C. 1 D. 0.5 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角形重心的性质，三角形中线的性质，如图所示，延长交于点D，首先求出，然后根据三角形重心的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，延长交于点D， ∵在中，，，， ∴， ∵是重心， ∴是的中线 ∴ ∵是的重心， ∴ ∴． 故选：C． 9. 如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（ ） A. B. C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 作交于点，根据“”证明，，得到，，计算即可求解． 【详解】解：如图，作交于点， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ，， ， ， 在和中， ， （） ， ． 故选：B． 10. 定义：如果多项式（，，，是常数）与（，，，是常数），满足，，，则称这两个多项式互为“顺续式”，有下列三个结论： （1）若与互为“顺续式”，则的值为； （2）当时，多项式的值为10，则它的“顺续式”的值是； （3）设，当时，的值为4． 其中正确的结论个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了整式的加减运算，多项式，代数式求值，新定义，解题的关键是掌握新定义． （1）根据题意得到，，，求出，，，然后代入求解即可判断； （2）首先根据题意得到，然后由“顺续式”的定义得到，，，然后将代入整理后整体代入即可求解判断； （3）首先表示出，然后将代入求解即可判断． 【详解】解：（1）∵与互“顺续式”， ∴，，， ∴，，， ∴，故（1）错误； （2）∵当时，多项式的值为10， ∴， ∵M和N互为“顺续式”， ∴，，， ∴，，， ∴当时， ，故（2）正确； （3） 当时，原式，故（3）错误． 综上所述，正确结论个数为1． 故选：B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.0000033米．则0.0000033用科学记数法表示为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，左起第一个不为零的数为，前面有个零，故，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知，，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的除法和幂的乘方的逆运算，根据同底数幂的除法和幂的乘方的逆运算法则求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：3． 13. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，，那么的长为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，垂直平分线的性质和含直角三角形的性质，综合运用各性质定理是解答此题的关键． 根据三角形内角和定理求出，再根据垂直平分线的性质得到，从而求出，再利用的直角三角形的性质得到结果． 【详解】解：如图所示，连接， 在中，，， ∴， ∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 14. 如图，在锐角三角形中，，，的面积为30，平分，若，分别是，上的动点，则的最小值是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线段最短，关键是将的最小值转化为． 在上取点P，使，连接，，证明出，得到，然后得到当点C，E，P三点共线时，且时，有最小值，即的长度，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：在上取点P，使，连接，， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ∴ ∴当点C，E，P三点共线时，且时，有最小值，即的长度， ∵的面积为30，， ∴， ∴． ∴的最小值为6． 故答案为：6． 15. 若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是_____． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查解不等式组和解分式方程，准确的计算是解决本题的关键． 先解不等式组，解得取的整数，再解分式方程，根据分式方程的解，确定的取值范围，最后综合两个取值范围，即可解题． 【详解】解：， ∴， 不等式组有且仅有3个整数解， ， ∴， 由题意得， 解得， 关于的分式方程有非负整数解， 有， 解得，即， ∴， 解得，且为2的倍数，为整数， 综上所述，可取，1， 则所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：0． 16. 一个四位正整数，各个数位上的数字互不相等且均不为零，若千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，且和均为9，则称为“双九数”，此时，规定．例如，1287，因为，所以1287是“双九数”，；又如3257，因为，所以3257不是“双九数”． 则_____．对于一个“双九数”，交换其千位与十位的数字，同时交换其百位与个位的数字，得到一个新的“双九数”，若是7的倍数，且的千位数字不小于百位数字，则满足条件的“双九数”的最大值为_____． 【答案】 ①. 68 ②. 8415 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义”双九数”、整式运算等知识，理解题目中”双九数”的定义是解题关键． （1）根据题干仿写即可得出答案； （2）设M千位、百位、十位和个位上的数字依次为a、b、c、d，则N千位、百位、十位和个位上的数字依次为c、d、a、b，且，，根据”双九数”的定义可得，结合为7的倍数，且a、b均不为0，找到符合条件的a、b的值，即可获得答案． 【详解】解：（1）6732中，，则6732”双九数”， ； 故答案为：68； （2）设M千位、百位、十位和个位上的数字依次为a、b、c、d，则N千位、百位、十位和个位上的数字依次为c、d、a、b，且，， ， 为7的倍数，且a、b均不为0， 也是7的倍数， 又，a、b在到中选择， 则当时，满足条件，此时M为2178； 当时，，满足条件，此时M为4257； 当时，满足条件，此时M为6336（不符合题意，舍去）； 当时，；满足条件，此时M为7722（不符合题意，舍去）或8415， 又∵M取最大值， ∴M为8415． 故答案为：8415． 三、解答题：（本大题9个小题，第17、18题每小题各8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，正确掌握运算法则是解题的关键． （1）运用单项式乘以多项式和多项式除以单项式的法则进行计算，即可作答； （2）运用完全平方公式和平方差公式进行求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，已知，平分交于点． （1）尺规作图：作的角平分线交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）问的条件下，求证：，请完成下列证明的填空． 证明：平分， _____①_____． 又， _____②_____． ． _____③_____． 同理_____④_____． ． 【答案】（1）见解析 （2），，， 【解析】 【分析】此题考查了尺规作角平分线，平行线的性质，等角对等边等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）由平行线和角平分线的定义得到，推出，，即可得到． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：平分， ． 又， ． ． ． 同理． ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．先把原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，请回答下列问题． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标_____； （2）点是轴上一点，在轴上画出点，使的周长最小（不写作法，保留作图痕迹）； （3）求的面积． 【答案】（1）见解析， （2）见解析 （3）5 【解析】 【分析】本题考查基本作图，在网格中画轴对称图形和求图形的面积，最短路径问题，正确作图是解题的关键． （1）分别作点、、关于轴的对称点、、，顺次连接、、，即可求解； （2）作点A关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为点，即为所求； （3）利用割补法即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所作； 由图可知，， 关于轴对称的， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，点即为所求； 作点A关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为点， 此时最小，则最小，即的周长最小； 【小问3详解】 解：如图，取点，，，连接，，， 由图可得，， ， 则的面积为5． 21. 列方程（组）解下列问题： 2025年9月13日19点30分，2025重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）揭幕战在重庆市大田湾体育场激情开赛．为积极拥抱这股足球热潮，某体育用品店抢抓商机，花费13500元购进50个A种足球和60个B种足球，据悉每个A种足球的进价比每个B种足球的进价多50元． （1）求A，B两种足球每个的进价； （2）该店这批足球很快售完．为刺激消费，厂家对A，B两种足球进行了降价．该店计划再购进一批足球，花费36000元购进A种足球，花费16000元购进B种足球，此次购进的每个A种足球的进价比每个B种足球的进价多40元，且购进A种足球的数量比购进B种足球的数量多，求此次该店购进A，B两种足球各多少个？ 【答案】（1）A种足球每个进价150元，B种足球每个进价100元 （2）此次购进A种足球300个，B种足球200个 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程和分式方程的应用，正确得出方程是解题关键． （1）设B种足球每个的进价为x元，则A种足球每个的进价为元，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）设此次B种足球每个进价为y元，则A种足球每个进价为元，根据题意列出分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：设B种足球每个的进价为x元，则A种足球每个的进价为元， 根据题意得，， 解得， ∴ ∴A种足球每个进价150元，B种足球每个进价100元； 【小问2详解】 解：设此次B种足球每个进价为y元，则A种足球每个进价为元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意 ∴ ∴（个），（个）， ∴此次购进A种足球300个，B种足球200个． 22. 如图，是的中线，，垂足为，，交的延长线于点，是延长线上一点，连接． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了三角形中线的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由中线得到，然后证明出，即可得到； （2）首先证明出，得到，求出，然后由得到，进而证明即可． 【小问1详解】 证明：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 23. 在一次数学活动课上，彭老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． （1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积和可得到一个等式，请你直接写出这个等式； （2）利用（1）中的等式解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】（1） （2）①；②60 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟悉掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用面积法进行计算，即可解答； （2）①利用（1）的结论可得：，然后进行计算即可解答； ②设，，则，，然后利用（1）的结论进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：阴影部分的面积， 即； 【小问2详解】 解：①由（1）可得：， ∵，， ∴， 解得：； ②设，， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 阅读下列材料，并解答问题： 分解因式时，细心观察这个式子就会发现前三项符合完全平方和公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后再提取公因式就可以完成对这个多项式的因式分解了，具体过程为： 这种分解因式的方法叫做分组分解法． （1）试用“分组分解法”分解因式：； （2）已知三个实数，满足，并且，，同时成立． ①当时，求的值； ②当时，用含的代数式分别表示，． 【答案】（1） （2）①；②， 【解析】 【分析】本题考查了分解因式的应用和平方根解方程，准确的计算是解决本题的关键． （1）根据题意运用平方差公式法和提公因式法进行分解因式即可； （2）①将减去可得，再根据可得，再将其代入中进行求解即可； ②将减去可得，根据可得，将代入可求出，进而即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得， ； 【小问2详解】 解：①由题意得， ， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 解得， 将代入中， 得 解得， ∴ ； ②由题意得， ， ∵， ∴ 解得． ∵，且， ∴ ∵， ∴， ∴． 将代入中， 得． ∴，． 25. 已知，在中，点是上一点，点是上一点，且，连接，交于点． （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图2，在（1）的条件下，过点作，交的延长线于点．求证：； （3）如图3，若，点到的距离是，当最小时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）通过论证两个三角形全等即可得出角的度数； （2）通过截长补短法做辅助线论证三角形全等，即可得以论证； （3）过点作，且，连接，通过论证可将转化为，当三点共线时最小，利用相似即可求得的长． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：在上取一点，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴（）， ∴，， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：过点作，且，连接，， ∴， ∵，， ∴（）， ∴， ∴， 当三点共线，即重合时，最小，此时， ∵， ∴， ∴， 即：， 解得：， ∴当最小时，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、平行线的性质、最短距离等知识点，关键是添加辅助线构造全等三角形点解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期学业质量监测八年级数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列长度的三条线段首尾顺次相接能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 3，3，7 C. 5，6，13 D. 8，8，10 4. 在分式中，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式由左边到右边变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一组有规律的图案，第1个图案中有6个小等边三角形，第2个图案中有个小等边三角形，第3个图案中有个小等边三角形……，依此规律，则第个图案中小等边三角形个数为 A. B. C. D. 7. 如图，在和中，已知，则添加以下条件，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 有一块三角形匀质薄板玩具，小明用一个支点顶住三角形匀质薄板，薄板就保持平衡，薄板与支点接触的点就是这块三角形匀质薄板的重心，三角形的重心就是三角形三条中线的交点．如图，在中，，，，是的重心，连接，，则的面积是（ ） A. 2 B. 1.5 C. 1 D. 0.5 9. 如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（ ） A. B. C. 9 D. 10. 定义：如果多项式（，，，是常数）与（，，，是常数），满足，，，则称这两个多项式互为“顺续式”，有下列三个结论： （1）若与互为“顺续式”，则的值为； （2）当时，多项式的值为10，则它的“顺续式”的值是； （3）设，当时，的值为4． 其中正确的结论个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.0000033米．则0.0000033用科学记数法表示为___． 12 已知，，则_____． 13. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，，那么的长为_____． 14. 如图，在锐角三角形中，，，的面积为30，平分，若，分别是，上的动点，则的最小值是_____． 15. 若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是_____． 16. 一个四位正整数，各个数位上的数字互不相等且均不为零，若千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，且和均为9，则称为“双九数”，此时，规定．例如，1287，因为，所以1287是“双九数”，；又如3257，因为，所以3257不是“双九数”． 则_____．对于一个“双九数”，交换其千位与十位的数字，同时交换其百位与个位的数字，得到一个新的“双九数”，若是7的倍数，且的千位数字不小于百位数字，则满足条件的“双九数”的最大值为_____． 三、解答题：（本大题9个小题，第17、18题每小题各8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18 如图，已知，平分交于点． （1）尺规作图：作角平分线交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）问的条件下，求证：，请完成下列证明的填空． 证明：平分， _____①_____． 又， _____②_____． ． _____③_____． 同理_____④_____． ． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，请回答下列问题． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标_____； （2）点是轴上一点，在轴上画出点，使的周长最小（不写作法，保留作图痕迹）； （3）求的面积． 21. 列方程（组）解下列问题： 2025年9月13日19点30分，2025重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）揭幕战在重庆市大田湾体育场激情开赛．为积极拥抱这股足球热潮，某体育用品店抢抓商机，花费13500元购进50个A种足球和60个B种足球，据悉每个A种足球的进价比每个B种足球的进价多50元． （1）求A，B两种足球每个的进价； （2）该店这批足球很快售完．为刺激消费，厂家对A，B两种足球进行了降价．该店计划再购进一批足球，花费36000元购进A种足球，花费16000元购进B种足球，此次购进的每个A种足球的进价比每个B种足球的进价多40元，且购进A种足球的数量比购进B种足球的数量多，求此次该店购进A，B两种足球各多少个？ 22. 如图，是的中线，，垂足为，，交的延长线于点，是延长线上一点，连接． （1）求证：； （2）若，求证：． 23. 在一次数学活动课上，彭老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． （1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积和可得到一个等式，请你直接写出这个等式； （2）利用（1）中等式解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 24. 阅读下列材料，并解答问题： 分解因式时，细心观察这个式子就会发现前三项符合完全平方和公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后再提取公因式就可以完成对这个多项式的因式分解了，具体过程为： 这种分解因式的方法叫做分组分解法． （1）试用“分组分解法”分解因式：； （2）已知三个实数，满足，并且，，同时成立． ①当时，求的值； ②当时，用含的代数式分别表示，． 25. 已知，在中，点是上一点，点是上一点，且，连接，交于点． （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图2，在（1）的条件下，过点作，交的延长线于点．求证：； （3）如图3，若，点到的距离是，当最小时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $