重庆市渝北区实验学校2024-2025学年八年级上学期数学期末模拟试卷二

重庆市渝北区实验学校2024-2025学年八年级上学期数学期末模拟试卷二 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞8 B．x＜8 C．x≠8 D．x＝8 3．（4分）下列计算正确的是（　　） A．2a5+a5＝2a10 B． C．[（﹣a）3]2＝（﹣a）6＝a6 D．a5÷a5＝a5﹣5＝a0＝0 4．（4分）一个三角形的两边长分别为4cm和5cm，则此三角形的第三边的长不可能是（　　） A．3cm B．5cm C．7cm D．9cm 5．（4分）下列不能使用平方差公式因式分解的是（　　） A．﹣16x2+y2 B．b2﹣a2 C．﹣m2﹣n2 D．4a2﹣49n2 6．（4分）如图，AB⊥BD，ED⊥BD，点C在BD上，AB＝CD．添加下列条件，不能使得△ABD≌△CDE的是（　　） A．AD⊥CE B．AD＝CE C．BC＝CD D．∠A＝∠ECD 7．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，若∠CAE＝∠B+15°，则∠B的度数为（　　） A．15° B．35° C．25° D．20° 8．（4分）若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，且x+y≠0，那么分式的值（　　） A．扩大到原来的3倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 9．（4分）2021年是中国共产党建党100周年，某校为了纪念党的生日，计划组织540名学生去外地参观学习．现有A，B两种不同型号的客车可供选择，在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A型客车多坐15人，单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆，设A型客车每辆坐x人，则根据题意可列方程为（　　） A．6 B．6 C．6 D．6 10．（4分）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 11．（4分）国家疾病预防控制中心紧急通报：新型冠状病毒直径约0.0000000095米．将0.0000000095这个数用科学记数法表示为 　 　． 12．（4分）计算﹣12022+（2021﹣π）0﹣（）﹣2+（﹣2）3＝　 　． 13．（4分）若多项式x2+kx+25是完全平方式，则k的值是 　 　． 14．（4分）因式分解：﹣2x2+12xy﹣18y2＝　 　． 15．（4分）如图，将透明直尺叠放在正五边形之上，若正五边形有两个顶点在直尺的边上，且有一边与直尺的边垂直．则∠α＝　 　°． 16．（4分）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角的度数是 　 　． 17．（4分）若实数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数m的和为 　 　． 18．（4分）对于一个四位正整数A，若它的各位上数字均不为零且互不相等，千位数字与个位数字之和为9，十位数字比百位数字大2，则称这个四位正整数A是“优胜数”．则符合条件的最大“优胜数”为 　 　，Q（A）＝a+b+c+d，R（A）＝|a﹣2|，若能被5整除，则所有满足条件的四位正整数A的和为 　 　． 三．解答题（共8小题，满分78分） 19．（8分）（1）计算：[（x﹣2y）2﹣（2y﹣x）（2y+x）]÷2x； （2）解方程：． 20．（10分）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣3＝0． 21．（10分）学习了角平分线性质后，小明进行了拓展研究，他发现△ABC的外角∠CBE和外角∠BCD的角平分线BF，CF交于点F，他猜想AF平分∠BAC，他的解决思路是利用角平分线性质．过点F分别向BE、BC、CD作垂线，再证明∠BAF和∠CAF这两个角所在的三角形全等得出结论．其中小明已经完成过点F分别向BE、BC作垂线，请根据他的思路完成以下作图与填空． （1）用直尺和圆规，过点F作FK⊥CD于点K．（保留作图痕迹） （2）已知：如图，△ABC的外角∠CBE和外角∠BCD的角平分线BF，CF交于点F，FK⊥CD于点K，FH⊥BC于点H，FG⊥BE于点G．求证：∠BAF＝∠CAF． 证明：∵BF平分∠CBE， FH⊥BC于点H，FG⊥BE于点G， ∴FH＝①　 　， ∵CF平分∠BCD， FK⊥CD于点K，FH⊥BC于点H， ∴FH＝FK． ∴②　 　， ∵FG⊥BE，FK⊥CD， ∴△AGF，△AKF均为直角三角形， 在Rt△AGF和Rt△AKF中： ③∴Rt△AGF≌Rt△AKF（HL）． ∴∠BAF＝∠CAF． 由此他得出结论：三角形的两（4）　 　所在直线交点与三角形另一顶点连线平分这个内角． 22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣4，4），点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，2）． （1）请画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1； （2）直接写出点C1的坐标为 　 　；（直接写出答案） （3）点P在y轴上，且满足△PCC1的面积为3，直接写出点P坐标为 　 　．（直接写出答案） 23．（10分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，且BE＝CF．求证：AD是△ABC的中线． 24．（10分）今年双11期间开州区紫水豆干凭借过硬的质量、优质的口碑大火，豆干店的王老板用2500元购进一批紫水豆干，很快售完；王老板又用4400元购进第二批紫水豆干，所购数量是第一批的2倍，由于进货量增加，进价比第一批每千克少了3元． （1）第一批紫水豆干每千克进价多少元？ （2）该老板在销售第二批紫水豆干时，售价在第二批进价的基础上增加了a%，售出80%后，为了尽快售完，决定将剩余紫水豆干在第二批进价的基础上每千克降价元进行促销，结果第二批紫水豆干的销售利润为1520元，求a的值．（利润＝售价﹣进价） 25．（10分）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表示一些代数中的数量关系，运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．请你利用数形结合的思想解决以下数学问题． （1）根据图1中大正方形面积的两种不同表示方法，可得出代数恒等式　 　； （2）如图2，将一张大长方形纸板按图中线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的全等的小长方形，且a＞b． ①观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为　 　； ②若阴影部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为24厘米，求图2中空白部分的面积． 26．（10分）以BC为斜边在它的同侧作Rt△DBC和Rt△ABC，其中∠A＝∠D＝90°，AB＝AC，AC、BD交于点P． （1）如图1，BP平分∠ABC，求证：BC＝AB+AP； （2）如图2，过点A作AE⊥BP，分别交BP、BC于点E、点F，连接AD，过A作AG⊥AD，交BD于点G，连接CG，CG交AF于点H，求证：GH＝CH； （3）如图3，点M为边AB的中点，点Q是边BC上一动点，连接MQ，将线段MQ绕点M逆时针旋转90°得到线段MK，连接PK、CK，当∠DBC＝15°，AP＝4时，求PK+CK的最小值． 重庆市渝北区实验学校2024-2025学年八年级上学期数学期末模拟试卷二 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C D C C C C A D 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A，B，C不可以看作轴对称图形，D可以看作轴对称图形．故选：D． 2．（4分）若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞8 B．x＜8 C．x≠8 D．x＝8 【解答】解：由题意得：x﹣8≠0， 所以x≠8， 故选：C． 3．（4分）下列计算正确的是（　　） A．2a5+a5＝2a10 B． C．[（﹣a）3]2＝（﹣a）6＝a6 D．a5÷a5＝a5﹣5＝a0＝0 【解答】解：（A）原式＝3a5，故A错误； （B）原式，故B错误； （D）原式＝1，故D错误； 故选：C． 4．（4分）一个三角形的两边长分别为4cm和5cm，则此三角形的第三边的长不可能是（　　） A．3cm B．5cm C．7cm D．9cm 【解答】解：设第三边长为x cm，由三角形的三边关系可得： 5﹣4＜x＜5+4， 即1＜x＜9， 故选：D． 5．（4分）下列不能使用平方差公式因式分解的是（　　） A．﹣16x2+y2 B．b2﹣a2 C．﹣m2﹣n2 D．4a2﹣49n2 【解答】解：A．﹣16x2+y2＝y2﹣16x2＝（y+4x）（y﹣4x），因此选项A不符合题意； B．b2﹣a2＝（b+a）（b﹣a），因此选项B不符合题意； C．﹣m2﹣n2＝﹣（m2+n2），不能利用平方差公式，因此选项C符合题意； D.4a2﹣49n2＝（2a+7n）（2a﹣7n），因此选项D不符合题意； 故选：C． 6．（4分）如图，AB⊥BD，ED⊥BD，点C在BD上，AB＝CD．添加下列条件，不能使得△ABD≌△CDE的是（　　） A．AD⊥CE B．AD＝CE C．BC＝CD D．∠A＝∠ECD 【解答】解：由 AB⊥BD，ED⊥BD可得∠B＝∠CDE＝90°，∠A+∠ADB＝90°，∠E+∠ECD＝90°，AB＝CD，所以当AD⊥CE，可得∠ADB+∠ECD＝90°，推得∠E＝∠ADB，根据“AAS”判定△ABD≌△CDE，故A不符合题意； ∵AD＝CE，根据“HL”判定△ABD≌△CDE，故B不符合题意； ∵BC＝CD，不能判定△ABD≌△CDE，故C符合题意； ∠A＝∠ECD，根据“ASA”判定△ABD≌△CDE，故D不符合题意， 故选：C． 7．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，若∠CAE＝∠B+15°，则∠B的度数为（　　） A．15° B．35° C．25° D．20° 【解答】解：∵ED垂直平分AB， ∴AE＝EB， ∴∠EAB＝∠B， ∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝2∠B， 在△ACE中，∠C＝90°， ∴∠CAE+∠AEC＝90°， ∵∠CAE＝∠B+15°， ∴∠B+15°+2∠B＝90°， ∴∠B＝25°， 故选：C． 8．（4分）若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，且x+y≠0，那么分式的值（　　） A．扩大到原来的3倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【解答】解：根据题意可知，， 即分式的值缩小到原来的． 故选：C． 9．（4分）2021年是中国共产党建党100周年，某校为了纪念党的生日，计划组织540名学生去外地参观学习．现有A，B两种不同型号的客车可供选择，在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A型客车多坐15人，单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆，设A型客车每辆坐x人，则根据题意可列方程为（　　） A．6 B．6 C．6 D．6 【解答】解：设A型客车每辆坐x人，则B型客车每辆坐（x+15）人， 依题意得：6． 故选：A． 10．（4分）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【解答】解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠ABC＝90°， 又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∴∠BAD+∠ABE（∠BAC+∠ABC）＝45°， ∴∠APB＝135°，故①正确． ∴∠BPD＝45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPB＝90°+45°＝135°， ∴∠APB＝∠FPB， 又∵∠ABP＝∠FBP，BP＝BP， ∴△ABP≌△FBP， ∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，故②正确． 在△APH和△FPD中， ∵∠APH＝∠FPD＝90°，∠PAH＝∠BAP＝∠BFP，PA＝PF， ∴△APH≌△FPD， ∴PH＝PD，故③正确． ∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P， ∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等， ∴点P到BC、AC的距离相等， ∴点P在∠ACB的平分线上， ∴CP平分∠ACB，故④正确． 故选：D． 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 11．（4分）国家疾病预防控制中心紧急通报：新型冠状病毒直径约0.0000000095米．将0.0000000095这个数用科学记数法表示为 　9.5×10﹣9　． 【解答】解：0.0000000095＝9.5×10﹣9． 故答案为：9.5×10﹣9． 12．（4分）计算﹣12022+（2021﹣π）0﹣（）﹣2+（﹣2）3＝　﹣17　． 【解答】解：﹣12022+（2021﹣π）0﹣（）﹣2+（﹣2）3 ＝﹣1+1﹣9﹣8 ＝﹣17， 故答案为：﹣17． 13．（4分）若多项式x2+kx+25是完全平方式，则k的值是 　±10　． 【解答】解：∵x2+kx+25是一个完全平方式， ∴x2+kx+25＝x2+kx+52＝（x±5）2， ∵（x±5）2＝x2±10x+25， ∴kx＝±10x， 解得k＝±10． 故答案为：±10． 14．（4分）因式分解：﹣2x2+12xy﹣18y2＝　﹣2（x﹣3y）2　． 【解答】解：﹣2x2+12xy﹣18y2＝﹣2（x2﹣6xy+9y2）＝﹣2（x﹣3y）2， 故答案为：﹣2（x﹣3y）2． 15．（4分）如图，将透明直尺叠放在正五边形之上，若正五边形有两个顶点在直尺的边上，且有一边与直尺的边垂直．则∠α＝　54　°． 【解答】解：如图， ∵正五边形内角和＝（5﹣2）×180°＝540°， ∴∠A＝∠AED＝540°÷5＝108°， ∵BE∥CD， ∴∠BED＝180°﹣90°＝90°， ∴∠AEB＝∠AED﹣∠BED＝108°﹣90°＝18°． 在△ABE中∠ABE＝180°﹣∠A﹣∠AEB＝180°﹣108°﹣18°＝54°， ∵BE∥CD， ∴∠α＝∠ABE＝54°． 故答案为：54． 16．（4分）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角的度数是 　50°或130°　． 【解答】解：如图1，等腰三角形为锐角三角形， ∵BD⊥AC，∠ABD＝40°， ∴∠A＝50°； 如图2，等腰三角形为钝角三角形， ∵BD⊥AC，∠ABD＝40°， ∴∠BAD＝50°， ∴∠BAC＝130°． 故答案为：50°或130°． 17．（4分）若实数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数m的和为 　﹣4　． 【解答】解：不等式的解集为x≥﹣2， 关于x的不等式3x﹣m≤﹣2的解集为x， ∵关于x的不等式组有解且至多有3个整数解， ∴﹣21， 解得﹣4≤m＜5， 将关于y的分式方程的两边都乘以y﹣2得， my﹣2＝﹣2（y﹣2）， 解得y， 由于关于y的分式方程的解为整数，即为整数， ∴m+2＝±1或m+2＝±2或m+2＝±3或m+2＝±6， 解得m＝﹣8或m＝﹣5或m＝﹣4或m＝﹣3或m＝﹣1或m＝0或m＝1或m＝4， 又∵分式方程有增根y＝2， 当y＝2时，即2m﹣2＝﹣2×（2﹣2）， 解得m＝1， 因此m≠1， 又∵my﹣2＝﹣2（y﹣2）是关于y的一元一次方程， ∴m≠﹣2， 综上所述，符合条件的整数m的值为m＝﹣3或m＝﹣1或m＝0或m＝4， 因此符合条件的整数m的和为﹣4﹣3﹣1+0+4＝﹣4． 故答案为：﹣4． 18．（4分）对于一个四位正整数A，若它的各位上数字均不为零且互不相等，千位数字与个位数字之和为9，十位数字比百位数字大2，则称这个四位正整数A是“优胜数”．则符合条件的最大“优胜数”为 　8791　，Q（A）＝a+b+c+d，R（A）＝|a﹣2|，若能被5整除，则所有满足条件的四位正整数A的和为 　7042　． 【解答】解：∵各位上数字均不为零且互不相等，千位数字与个位数字之和为9， ∴千位最大可以取8， ∵十位数字比百位数字大2， ∴十位最大取9，百位最大取7， ∴最大“优胜数”为8791； Q（A）＝a+b+c+d＝9+b+b+2＝2b+11， ∵能被5整除， ∴2b+11的尾数是5或0， ∴b＝2或7， 当b＝2时，Q（A）＝15，c＝4， ∴R（A）＝1或3， ∴a＝3或5， ∴d＝6或4， ∵a，b，c，d各不相同， ∴A＝3246， 当b＝7时，Q（A）＝25，c＝9， ∴R（A）＝1或5， ∴a＝3或7， ∵a，b，c，d互不相同， ∴a＝3，d＝6， ∴A＝3796， ∴3246+3796＝7042． 故答案为：8791，7042． 三．解答题（共8小题，满分78分） 19．（8分）（1）计算：[（x﹣2y）2﹣（2y﹣x）（2y+x）]÷2x； （2）解方程：． 【解答】解：（1）[（x﹣2y）2﹣（2y﹣x）（2y+x）]÷2x ＝（x2﹣4xy+4y2﹣4y2+x2）÷2x ＝（2x2﹣4xy）÷2x ＝x﹣2y； （2）， 方程两边都乘（x﹣1）（x+2），得x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3， x2+2x﹣x2﹣2x+x+2＝3， x＝3﹣2， x＝1， 检验：当x＝1时，（x﹣1）（x+2）＝0， 所以分式方程无解． 20．（10分）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣3＝0． 【解答】解： 由x2﹣2x﹣3＝0，得x1＝3，x2＝﹣1， 当x＝3时，原分式无意义， ∴当x＝﹣1时，原式． 21．（10分）学习了角平分线性质后，小明进行了拓展研究，他发现△ABC的外角∠CBE和外角∠BCD的角平分线BF，CF交于点F，他猜想AF平分∠BAC，他的解决思路是利用角平分线性质．过点F分别向BE、BC、CD作垂线，再证明∠BAF和∠CAF这两个角所在的三角形全等得出结论．其中小明已经完成过点F分别向BE、BC作垂线，请根据他的思路完成以下作图与填空． （1）用直尺和圆规，过点F作FK⊥CD于点K．（保留作图痕迹） （2）已知：如图，△ABC的外角∠CBE和外角∠BCD的角平分线BF，CF交于点F，FK⊥CD于点K，FH⊥BC于点H，FG⊥BE于点G．求证：∠BAF＝∠CAF． 证明：∵BF平分∠CBE， FH⊥BC于点H，FG⊥BE于点G， ∴FH＝①　FG　， ∵CF平分∠BCD， FK⊥CD于点K，FH⊥BC于点H， ∴FH＝FK． ∴②　FK＝FG　， ∵FG⊥BE，FK⊥CD， ∴△AGF，△AKF均为直角三角形， 在Rt△AGF和Rt△AKF中： ③∴Rt△AGF≌Rt△AKF（HL）． ∴∠BAF＝∠CAF． 由此他得出结论：三角形的两（4）　外角角平分线　所在直线交点与三角形另一顶点连线平分这个内角． 【解答】（1）解：作图如图所示： 则FK即为所求． （2）证明：∵BF平分∠CBE，FG⊥BE于点G，FH⊥BC于点H， ∴FH＝FG， ∵CF平分∠BCD，FH⊥BC于点H，FK⊥CD于点K， ∴FH＝FK， ∴FG＝FK， ∵FK⊥CD，FG⊥BE， ∴△AGF，△AKF均为直角三角形， 在Rt△AGF和Rt△AKF中： ， ∴Rt△AGF≌Rt△AKF（HL）， ∴∠CAF＝∠BAF． 由此他得出结论：三角形的两外角角平分线所在直线交点与三角形另一顶点连线平分这个内角． 故答案为：①FG；②FK＝FG；③AF＝AF；④外角角平分线． 22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣4，4），点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，2）． （1）请画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1； （2）直接写出点C1的坐标为 　（1，2）　；（直接写出答案） （3）点P在y轴上，且满足△PCC1的面积为3，直接写出点P坐标为 　（0，5）或（0，﹣1）　．（直接写出答案） 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）由图可得，点C1的坐标为（1，2）． 故答案为：（1，2）． （3）设点P坐标为（0，m）， ∵△PCC1的面积为3， ∴3， 解得m＝5或﹣1， ∴点P坐标为（0，5）或（0，﹣1）． 故答案为：（0，5）或（0，﹣1）． 23．（10分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，且BE＝CF．求证：AD是△ABC的中线． 【解答】证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BED＝∠F＝90°， 在△BED和△CFD中， ， ∴△BED≌△CFD， ∴BD＝CD， ∴AD是△ABC的中线． 24．（10分）今年双11期间开州区紫水豆干凭借过硬的质量、优质的口碑大火，豆干店的王老板用2500元购进一批紫水豆干，很快售完；王老板又用4400元购进第二批紫水豆干，所购数量是第一批的2倍，由于进货量增加，进价比第一批每千克少了3元． （1）第一批紫水豆干每千克进价多少元？ （2）该老板在销售第二批紫水豆干时，售价在第二批进价的基础上增加了a%，售出80%后，为了尽快售完，决定将剩余紫水豆干在第二批进价的基础上每千克降价元进行促销，结果第二批紫水豆干的销售利润为1520元，求a的值．（利润＝售价﹣进价） 【解答】解：（1）设第一批紫水豆干每千克进价为x元， 根据题意，得：2， 解得：x＝25， 经检验，x＝25是原方程的解且符合题意； 答：第一批紫水豆干每千克进价是25元． （2）第二次进价：25﹣3＝22（元）， 第二批紫水豆干的实际进货量：4400÷22＝200千克， 第二批紫水豆干进货的第一阶段出售每千克的利润为：22×a%元， 第二批紫水豆干第二阶段销售利润为每千克元， 由题意得：22×a%×200×80%200（1﹣80%）＝1520， 解得：a＝50， 即a的值是50． 25．（10分）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表示一些代数中的数量关系，运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．请你利用数形结合的思想解决以下数学问题． （1）根据图1中大正方形面积的两种不同表示方法，可得出代数恒等式　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac　； （2）如图2，将一张大长方形纸板按图中线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的全等的小长方形，且a＞b． ①观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为　（a+2b）（2a+b）　； ②若阴影部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为24厘米，求图2中空白部分的面积． 【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac， 故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac； （2）①（a+2b）（2a+b）， 故答案为：（a+2b）（2a+b）； ②∵图中阴影部分的面积为20平方厘米， ∴2a2+2b2＝20， ∵大长方形纸板的周长为24厘米， ∴6a+6b＝24， 即， ∴（a+b）2＝16， ∴a2+2ab+b2＝16， ∴10+2ab＝16， ∴ab＝3， ∴空白部分面积为5ab＝15（平方厘米）． 26．（10分）以BC为斜边在它的同侧作Rt△DBC和Rt△ABC，其中∠A＝∠D＝90°，AB＝AC，AC、BD交于点P． （1）如图1，BP平分∠ABC，求证：BC＝AB+AP； （2）如图2，过点A作AE⊥BP，分别交BP、BC于点E、点F，连接AD，过A作AG⊥AD，交BD于点G，连接CG，CG交AF于点H，求证：GH＝CH； （3）如图3，点M为边AB的中点，点Q是边BC上一动点，连接MQ，将线段MQ绕点M逆时针旋转90°得到线段MK，连接PK、CK，当∠DBC＝15°，AP＝4时，求PK+CK的最小值． 【解答】（1）证明：过点P作PT⊥BC于点T， ∵∠A＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵PT⊥BC， ∴∠PTC＝90°，∠TPC＝∠TCP＝45°， ∴TP＝TC， ∵BP平分∠ABC，PA⊥AB，PT⊥BC， ∴PA＝PT， ∴TC＝PA， 在Rt△ABP和Rt△TBP中， ， ∴Rt△ABP≌Rt△TBP（HL）， ∴AB＝TB， ∵BC＝TB+TC， ∴BC＝AB+AP； （2）证明：过点C作CR⊥AF交AF延长线于点R， ∵AF⊥BP，CR⊥AF， ∴∠AEB＝∠CRA＝90°， ∴∠ABE+∠BAE＝90°， ∵∠BAE+∠CAR＝90°， ∴∠ABE＝∠CAR， 在△ABE和△CAR中， ， ∴△ABE≌△CAR（AAS）， ∴AE＝CR， ∵AG⊥AD， ∴∠DAG＝∠BAC＝90°， ∴∠DAG﹣∠GAC＝∠BAC﹣∠GAC， ∴∠DAC＝∠GAB， ∵∠BAC＝∠BDC＝90°， ∠APB＝∠DPC， ∴∠ABP＝∠ACD， 在△ABG和△ACD中， ， ∴△ABG≌△ACD（ASA）， ∴AG＝AD， ∵AE⊥DG， ∴AE＝GE＝DE， ∴CR＝GE， 在△EHG和△RHC中， ， ∴△EHG≌△RHC（AAS）， ∴GH＝CH； （3）解：过点A作AO⊥BC于点O，连接OM，BK， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AO⊥BC， ∴AO＝BO＝CO， ∵点M是AB的中点， ∴OM＝BM＝AM，OM⊥AB， ∴∠OAM＝∠OBM＝45°， ∴∠OMB＝90°， ∵线段MQ绕点M逆时针旋转90°得到线段MK， ∴MQ＝MK，∠QMK＝90°， ∴OMB＝∠QMK， ∴∠OMB﹣∠OMQ＝∠QMK﹣∠OMQ， ∴∠BMQ＝∠OMK， 在△MBQ和△MOK中， ， ∴△MBQ≌△MOK（SAS）， ∴∠MBQ＝∠MOK＝45°， ∴点K在OA所在的直线上移动， ∵OA垂直平分BC， ∴CK＝BK， ∴PK+CK＝PK+BK≥BP， ∴当且仅当B，K，P三点共线时PK+CK取得最小值， ∵∠ABC＝45°，∠DBC'＝15°， ∴∠ABP＝∠ABC﹣∠DBC＝30°， 在Rt△BAP中，∠BAP＝90°，∠ABP＝30°，AP＝4， ∴BP＝2AP＝8， ∴PK+CK的最小值为8． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$