精品解析：江西南昌市第二中学2025-2026学年第一学期八年级数学学科期末阶段性学习质量检测卷

2025-2026学年第一学期八年级数学学科 期末阶段性学习质量检测卷 说明： 1．本卷共六题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试卷上做答，否不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列四个数中，最小的数是（　　） A. B. 0 C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 在成都至自贡高速铁路的修建中，某工程队要开挖一段长48米的隧道，开工后每天比原计划多挖2米，结果提前2天完成任务，若设原计划每天挖米，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ） A. B. C. D. 6. 我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，系数为1； ，系数分别为1，1： ，系数分别为1，2，1；… 请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过天后是（　　） A. 星期四 B. 星期五 C. 星期六 D. 星期天 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 8. 今年跨年夜南昌地铁运送乘客约246万人，创历史第四高记录．用科学记数法表示246万是___________． 9. 若多项式因式分解的结果是，则___________． 10. 若，则________． 11. 若关于的不等式组有且只有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为___________． 12. 如图，有一个三角形纸片，，沿方向剪开三角形纸片后，发现所得的两纸片均为等腰三角形，则的度数可以是________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）分解因式： 14. 先化简，再从，2，4三个数中选一个合适数作为的值代入求值． 15. 已知的立方根是4，的算术平方根是3，是的整数部分． （1）求，，值； （2）求的平方根． 16. 如图，在平面直角坐标系中． （1）请画出关于y轴对称的，并写出的坐标； （2）在轴上找到一点，使的值最小，请标出点在坐标轴上的位置． 17. 如图，、两点分别在射线，上，点在的内部，且，，，垂足分别为，，且． （1）求证：平分； （2）若，，求长． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，某广场有一块长为米，宽为米的长方形土地，现要将阴影部分进行绿化，在上方两角处及中间留三块边长均为米的小正方形空地． （1）用含、的代数式表示绿化部分的总面积； （2）若，，求出绿化部分的总面积． 19. 第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．全运会纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多20元，用800元购买A型号纪念品的数量是用300元购买B型号纪念品数量的2倍． （1）求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ （2）若计划购买A，B两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个A型号的纪念品？ 20. 定义一种新的运算：对于任意两个有理数，规定． 例如，；． 若为有理数，请解答下列问题： （1）若是一个完全平方式，求的值； （2）若，，求的值． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 求代数式最小值时，我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决．比如， ，，的最小值是． 试利用“配方法”解决下列问题： （1）填空：的最小值是___________； （2）求的最小值： （3）已知的三边长、、，满足，求当时，的周长． 22. 在进行二次根式简化时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可将其进一步简化： ；； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简___________，___________； （2）化简：； （3）化简：． 六、（本大题共12分） 23. 通过《整式的乘除》的学习，我们知道，可以通过计算几何图形的面积来验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式___________． 这种验证思路体现了下列哪一种数学思想（　　） A．数形结合思想B．分类讨论思想C．类比思想D．转化思想 【直接应用】 （2）若，，则___________； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图②，在线段上取一点，分别以、为边作正方形、，连接、、．若阴影部分面积和为11，的面积为3，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期八年级数学学科 期末阶段性学习质量检测卷 说明： 1．本卷共六题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试卷上做答，否不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列四个数中，最小的数是（　　） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是实数的大小比较，无理数的估算，正数大于零，零大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 首先求出各个负数的绝对值，然后估算出，进而比较即可． 【详解】解：∵，，， ∵， ∴， ∴， ∴最小的数是． 故选：C． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查指数运算规则，包括幂的乘方、同底数幂相乘、积的乘方等. 【详解】选项A： ∵ ， ∴ A错误. 选项B： ∵ ， ∴ B正确. 选项C： ∵ 和不是同类项，不能合并，∴ C错误. 选项D： ∵ ， ∴ D错误. 因此，正确答案为B. 3. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 4. 在成都至自贡高速铁路的修建中，某工程队要开挖一段长48米的隧道，开工后每天比原计划多挖2米，结果提前2天完成任务，若设原计划每天挖米，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设原计划每天挖米，根据计划所用时间-实际所用时间=2列方程即可． 【详解】解：设原计划每天挖米，则实际每天挖米， 根据题意得，． 故选：． 【点睛】本题考查列分式方程，解决问题的关键是确定满足题意的等量关系． 5. 将图①中正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的几何意义，通过分析两个图形中阴影部分的面积，利用“面积相等”建立等式，从而推导出公式． 【详解】解：题图①中，题图②中阴影部分为一个平行四边形，底为、高为， ∴， ∴． 故选：A． 6. 我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，系数为1； ，系数分别为1，1： ，系数分别为1，2，1；… 请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过天后是（　　） A. 星期四 B. 星期五 C. 星期六 D. 星期天 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查整式乘法的规律探究，依题意得，求得的余数．结合一个星期天，利用所给规律求得天的余数，即可获得答案． 【详解】解：∵，系数为1； ，系数分别为1，1： ，系数分别为1，2，1；… ∴展开后系数分别为1，3，… ∴展开后系数分别为1，4，… ∴展开后系数分别为1，10，… ∵， 依题意，， ∵， ∴余数为2，即的余数为2， ∴今天是星期三，则经过天后是星期五． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”、分式有意义的条件“分式的分母不等于0”，熟练掌握二次根式的被开方数是非负的和分式的分母不等于0是解题关键．根据二次根式的被开方数是非负的、分式的分母不等于0求解即可得． 【详解】解：若式子在实数范围内有意义， 则， 解得， 故答案为：． 8. 今年跨年夜南昌地铁运送乘客约246万人，创历史第四高记录．用科学记数法表示246万是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示246万是． 故答案为：． 9. 若多项式因式分解的结果是，则___________． 【答案】13 【解析】 【分析】此题考查了已知因式分解的结果求参数，代数式求值，将因式分解的结果展开，与原多项式比较系数，求出a和b的值，然后代入求解即可． 【详解】解：， 根据题意得， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：13． 10. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由，得，整体代入所求的式子化简即可． 【详解】由，得， 则 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的求值，解题的关键是用到了整体代入的思想． 11. 若关于的不等式组有且只有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查已知不等式组解集求参数，已知分式方程解求参数，先解不等式组，得到解集范围，根据有且只有3个整数解，确定m的取值范围；再解分式方程，得到x关于m的表达式，根据解为非负整数且不为增根，确定m的值；最后求满足条件的整数m的和． 【详解】解：解不等式组： 由，得； 由，得． 所以不等式组的解集为． 因为有且只有3个整数解，所以整数解为1，2，3，故， 解得，所以整数m的值为2，3，4，5． 解分式方程： 方程化为， 解得． 由解为非负整数且， 所以且为整数，且， 即且是3的倍数且． 当时，不是整数； 当时，不是整数； 当时，符合要求； 当时， 不是整数． 所以符合条件的整数m只有4，故和为4． 故答案为：4． 12. 如图，有一个三角形纸片，，沿方向剪开三角形纸片后，发现所得的两纸片均为等腰三角形，则的度数可以是________． 【答案】或或 【解析】 【分析】分或或三种情况，求出，再分或或三种情况根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可得解． 【详解】解：由题意知与均为等腰三角形， ①，此时， ∴， 此时在中只存在，则； ②，此时， ∴， 此时在中只存在，； ③，此时， ∴， 时，； 或，； 或，． 综上所述，的度数可以是或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）分解因式： 【答案】（1）5，（2） 【解析】 【分析】此题考查了绝对值，零指数幂，负整数指数幂和平方，因式分解，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂和平方，然后计算加减即可； （2）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解． 【详解】解：（1） ； （2） ． 14. 先化简，再从，2，4三个数中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件． 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵，，， ∴且， ∵从，2，4三个数中选一个合适的数 ∴， ∴原式． 15. 已知的立方根是4，的算术平方根是3，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根的定义，无理数的估算，代数式求值，熟练掌握相关知识为解题关键 （1）根据立方根，算术平方根的定义求出a，b的值，再根据无理数的估算求出c的值即可； （2）先代入求出代数式的值，再求平方根即可． 小问1详解】 解：的立方根是4， ， 的算术平方根是3， ， ， ，即， 的整数部分是4，又是的整数部分， ； 【小问2详解】 解：，，， ， 的平方根为． 16. 如图，在平面直角坐标系中． （1）请画出关于y轴对称的，并写出的坐标； （2）在轴上找到一点，使的值最小，请标出点在坐标轴上的位置． 【答案】（1）画图见解析；， （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查的是画轴对称图形，坐标与图形，利用轴对称的性质确定线段之和最小时点的位置，熟练的作图是解本题的关键． （1）根据轴对称的定义分别关于轴对称的点，再顺次连接，最后确定的坐标即可； （2）取关于轴的对称点，连接交轴于，则点P即为所求点． 【小问1详解】 解：如图所示：即为所求； ∴， ； 【小问2详解】 解：如图所示：取关于轴的对称点，连接交轴于，则点P即为所求点． 连接， 根据轴对称可知， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小． 17. 如图，、两点分别在射线，上，点在的内部，且，，，垂足分别为，，且． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据到角两边距离相等的点在角平分线上可证结论成立； （2）根据全等三角形的性质可知，根据线段之间的关系可以求出，利用可证，根据全等三角形的性质可知，根据线段之间的关系可得的长度． 【小问1详解】 证明：，， ， 在和中， ， ， ， 平分； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，某广场有一块长为米，宽为米的长方形土地，现要将阴影部分进行绿化，在上方两角处及中间留三块边长均为米的小正方形空地． （1）用含、的代数式表示绿化部分的总面积； （2）若，，求出绿化部分的总面积． 【答案】（1）平方米 （2）195平方米 【解析】 【分析】本题主要考查的是整式的四则混合运算的应用，完全平方公式、代数式求值等知识，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据图形可知，绿化的总面积等于长方形的面积减去三个小正方形的面积，然后再把式子去括号化简即可得出答案； （2）把，代入（1）中进行计算即可得出答案． 【小问1详解】 解： 平方米， 答：绿化部分的总面积为平方米； 【小问2详解】 解：当，时， （平方米）． 答：绿化部分的总面积为195平方米． 19. 第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．全运会纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多20元，用800元购买A型号纪念品的数量是用300元购买B型号纪念品数量的2倍． （1）求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ （2）若计划购买A，B两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个A型号的纪念品？ 【答案】（1）A型号纪念品的单价为80元，B型号纪念品的单价为60元 （2）最多能购买个A型号的纪念品 【解析】 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出方程或不等式． （1）设B型号纪念品的单价为x元，则A型号纪念品的单价为元，根据“用800元购买A型号纪念品的数量是用300元购买B型号纪念品数量的2倍”列出分式方程求解即可； （2）设最多能购买m个A型号的纪念品，根据“所花费用不超过6400元”列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设B型号纪念品的单价为x元，则A型号纪念品的单价为元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴ ∴A型号纪念品的单价为80元，B型号纪念品的单价为60元； 【小问2详解】 解：设最多能购买m个A型号的纪念品，则购买B型号的纪念品个， 根据题意得， 解得， ∴最多能购买20个A型号的纪念品． 20. 定义一种新的运算：对于任意两个有理数，规定． 例如，；． 若为有理数，请解答下列问题： （1）若是一个完全平方式，求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查定义新运算，完全平方公式，理解新定义的法则是解题的关键： （1）根据新定义法则，列式计算，根据完全平方公式的结构得出的值； （2）根据新定义得出，进而根据，利用完全平方公式变形求值，即可求解． 【小问1详解】 解： ． 因为是一个完全平方式， 所以．所以或． 【小问2详解】 因为， 所以． 所以． 因为， 所以． 所以 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决．比如， ，，的最小值是． 试利用“配方法”解决下列问题： （1）填空：的最小值是___________； （2）求的最小值： （3）已知的三边长、、，满足，求当时，的周长． 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用，配方法求最值，利用偶数次方的非负性求值，解题的关键是掌握配方法． （1）利用配方法求出最小值即可； （2）利用配方法求出最小值即可； （3）根据配方法及偶数次方的非负性求出a、b的值，再求三角形的周长即可． 小问1详解】 解： 的最小值是； 【小问2详解】 解： ， 的最小值为3； 【小问3详解】 解： ，， ，，且 边长为1，3.5，4的三条线段能构成三角形， 的周长为． 22. 在进行二次根式简化时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可将其进一步简化： ；； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简___________，___________； （2）化简：； （3）化简：． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质以及分母有理化，是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简即可； （2）分子，分母同乘，再利用平方差公式和约分，化简即可； （3）分母有理化后，分母都是2，分子相加，进而即可求解． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 六、（本大题共12分） 23. 通过《整式的乘除》的学习，我们知道，可以通过计算几何图形的面积来验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式___________． 这种验证思路体现了下列哪一种数学思想（　　） A．数形结合思想B．分类讨论思想C．类比思想D．转化思想 【直接应用】 （2）若，，则___________； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图②，在线段上取一点，分别以、为边作正方形、，连接、、．若阴影部分的面积和为11，的面积为3，求的长度． 【答案】（1），A；（2）10；（3）4050；（4） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式和几何图形的面积，灵活运用完全平方公式变形计算是解题的关键． （1）从“整体”和“部分”分别用代数式表示图形的面积即可； （2）利用（1）中的公式进行计算即可； （3）设，，再利用计算即可； （4）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，由题意得，，得到，求出的值即可． 【详解】（1）解：如图①大正方形的边长为， 因此面积为，拼成大正方形的四个部分的面积和为， ∴利用这个图形可以验证公式， 这种验证思路体现了数形结合思想； 故答案为：，A； （2）解：由（1）得， ∵，， ∴， ∴ 故答案为：10； （3）设，， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴； （4）解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∵阴影部分的面积和为11，的面积为3， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴（负值舍去）， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $