第二单元 长方体（一）（易错专项讲义）数学北师大版五年级下册

该小学数学第二单元“长方体（一）”易错专项讲义通过系统梳理9个核心易错知识点构建知识框架，明确长方体面的特征、棱长总和公式、展开图判断等易混点，呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“典例剖析+分层专练”设计，如针对棱长总和公式混淆，通过错解分析强化运算能力，结合铁丝框架等情境题培养数学思维，展开图辨析题发展空间观念。不同层次专练满足学生需求，助力教师精准教学。

第二单元 长方体（一）易错专项讲义 简介： 1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。 2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。 目录 模块一 易错知识点梳理 1 模块二 易错点剖析训练 2 易错点1：棱长总和公式记忆混淆。 2 易错点2：展开图理解错误的特点，只要看到由六个完全图形组成就认为可以组成正方体或长方体。 5 易错点3：计算表面积时,易漏掉部分面的面积。 8 易错点4：忽略正方体的摆放方法，导致判断露在外面的面的个数出错。 11 易错点5：拼接或切割后立体图形表面积的变化理解错误。 14 模块一 易错知识点梳理 1、长方体的6个面有时不都是长方形。 2、长方体的长发生变化，这个长方体的左面和右面的大小不变。 3.、在长方体中，同一方向的4条棱互相平行。 4、长方体的高=棱长总和÷4-（长+宽）。 5、判断图形折叠后能否围成正方体，除了要具备6个相同的正方形外，还要考虑折叠时6个面是否重复。 6、正方体的棱长扩大到原来的n倍，表面积就扩大到原来的n2倍。 7、用几个相同的正方体拼成一个长方体后，有几个接合处，表面积就减少（接合处的个数×2）个面的面积。 8、在实际生活中，并不是所有的长方体形状的物体都有6个面，如长方体形状的鱼缸、游泳池等只有5个面，长方体形状的烟囱、通风管等只有4个面。 9、相同个数的小正方体摆放的方式不同，露在外面的面的个数一般也不同。 模块二 易错点剖析与训练 易错点1：棱长总和公式记忆混淆。 【典例1】一个长方体的长、宽、高分别是8厘米、6厘米、5厘米。这个长方体的棱长总和是多少厘米？ 【错误答案】 (8 + 6 + 5) × 2 = 19 × 2 = 38 (厘米) 【错解分析】 错误地将计算长方形周长的公式（长+宽）×2，套用到了长方体的棱长总和上。长方体有12条棱，包括4条长、4条宽、4条高。因此，棱长总和应该是（长+宽+高）×4。 【正确解答】棱长总和 = (长 + 宽 + 高) × 4 = (8 + 6 + 5) × 4 = 19 × 4 = 76 (厘米) 答：这个长方体的棱长总和是76厘米。 【易错专练1】一个长方体的木块，被截成两个完全相同的正方体，两个正方体的棱长之和比原来长方体棱长之和增加32厘米，求原来长方体的长（ ）厘米 【答案】8 【分析】长方体截成两个完全相同的正方体时，会增加两个截面，每个截面都是正方形，每个正方形的面有4条棱，所以两个面共增加（4×2）条棱，因为两个正方体的棱长之和比原来长方体棱长之和增加32厘米，用增加的棱长和除以增加的棱长数量即可求出正方体的棱长，因为一个长方体被截成两个完全相同的正方体，所以长方体的长等于2个正方体的棱长，用正方体的棱长乘2即可求出原来长方体的长，据此解答。 【解答】4×2＝8（条） 32÷8＝4（厘米） 4×2＝8（厘米） 所以，一个长方体的木块，被截成两个完全相同的正方体，两个正方体的棱长之和比原来长方体棱长之和增加32厘米，原来长方体的长8厘米。 【点评】解答本题的关键是明确一个长方体的木块，被截成两个完全相同的正方体时，会增加两个截面，每个截面都是正方形，共增加8条棱，且明白长方体的长等于2个正方体的棱长。 【易错专练2】用60cm长的铁丝做一个最大的正方体框架，它的棱长是（ ）cm；如果用这根铁丝做一个长和宽都是3.6cm的长方体框架，那么这个长方体框架的高是（ ）cm。 【答案】5 7.8 【分析】由于用这么长的铁丝做一个正方体或者长方体，那么正方体的棱长总和或者长方体的棱长总和是这根铁丝的长度。 根据正方体棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12，代入数据，求出正方体棱长； 根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4；高＝棱长总和÷4－长－宽，代入数据，即可解答。 【解答】60÷12＝5（cm） 60÷4－3.6－3.6 ＝15－3.6－3.6 ＝11.4－3.6 ＝7.8（cm） 用60cm长的铁丝做一个最大的正方体框架，它的棱长是5cm；如果用这根铁丝做一个长和宽都是3.6cm的长方体框架，那么这个长方体框架的高是7.8cm。 【易错专练3】用一根铁丝刚好焊接成一个棱长为8cm的正方体框架。如果用这根铁丝焊接成一个长13cm、高4cm的长方体框架，铁丝将剩余4cm，那么这个长方体的宽应该为多少厘米？（接头处不计） 【答案】6厘米 【分析】正方体的棱长总和＝棱长×12，据此求出铁丝的长度，用铁丝的长度－4求出长方体的棱长总和，再除以4求出长、宽、高之和，减去长和高，即可。 【解答】 （厘米） （厘米） 答：这个长方体的宽应该为6厘米。 【易错专练4】秦兵马俑是世界八大奇迹之一，一个放置兵马俑模型的长方体玻璃储物柜长5dm，宽5dm，高8dm，储物柜外面的每条棱上都贴有装饰条。现在要用同样长的装饰条贴在一个正方体储物柜上。这个正方体储物柜的棱长是多少？（接头处忽略不计） 【答案】6分米 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数值计算出这个长方体的棱长总和，也就是这根装饰条的总长度，装饰条的总长度不变，把它贴在一个正方体储物柜上，根据正方体的棱长总和＝棱长×12，用棱长总和÷12，所得结果即为这个正方体的棱长。 【解答】 （分米）     答：这个正方体储物柜的棱长是6分米。 【易错专练5】在杭甘两地青少年手拉手志愿服务交流活动中，蓝蓝给甘孜的朋友精心准备了一份礼物（如图）。如果用彩带捆扎，至少需要多长的彩带？（蝴蝶结长30厘米） 【答案】230厘米 【分析】根据题意，彩带的长度＝长方体2条长的长度＋长方体2条宽的长度＋长方体4条高的长度＋蝴蝶结的长度，长方体的长为50厘米，宽为30厘米，高为10厘米，代入数据，即可求出彩带的长度。 【解答】根据分析得出： 50×2＋30×2＋10×4＋30 ＝100＋60＋40＋30 ＝230（厘米） 答：至少需要230厘米长的彩带。 易错点2：展开图理解错误的特点，只要看到由六个完全图形组成就认为可以组 成正方体或长方体。 【典例2】判断:只要是由六个完全一样的正方形组成的图形就一定能围成正方体。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】由六个完全一样的正方形组成的图形不一定都可以围成正方体。判断将图形进行折叠后能否围成正方体,除了看所判断的图形是否符合正方体展开图的特点外,还可以动手折一折,试一试。如下图就不能围成正方体。 【正确答案】错误 【易错专练1】下面图形（    ）是从下图的位置沿边剪开得到的。 A．B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题图，沿着剪刀所在边剪开，剪开的右边部分向右翻转，左边部分向左翻转，顶部、底部分别与长方体的两个较大侧边连接在一起，一上一下。剩下的两个侧面为相对面，展开图不可能连接在一起。据此解题。 【解答】根据分析： 下面图形是从的位置沿边剪开得到的。 故答案为：C 【易错专练2】如图图形是正方体平面展开图的共有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 【答案】B 【分析】这道题的核心是识别符合正方体展开特征的图形，排除存在“凹”形、“田”形或重叠面的无效展开图。正方体展开图主要有“141”（第一行1个正方形，第二行4个，第三行1个）、“231”（第一行2个正方形，第二行3个，第三行1个）、“222”（第一行2个正方形，第二行2个，第三行2个）、“33”（第一行3个正方形，第二行3个）四种类型，需据此来判断。 【解答】根据分析： 第一幅图：属于“141”型，是正方体的有效展开图。 第二幅图：同样为“141”型，是有效展开图。 第三幅图：折叠后会出现面的重叠，无法拼成正方体，不是有效展开图。 第四幅图：属于“231”型的变形，符合正方体展开图特征，是有效展开图。 所以四幅图中是正方体平面展开图的共有3个。 故答案为：B 【易错专练3】用做一个，“好”的对面是（ ），“小”的对面是（ ）。 【答案】朋 友 【分析】根据正方体的展开与折叠后的关系：展开图中，中间隔着一个正方形的两个面，折叠后，就是相对的面。 【解答】根据分析得出： “好”与“朋”中间隔着一个正方形，所以“好”的对面是“朋”。 “小”与“友”中间隔着一个正方形，所以“小”的对面是“友”。 即“好”的对面是“朋”，“小”的对面是“友”。 【易错专练4】下图所示图形可以折成一个长方体，这个长方体的长是（ ），宽是（ ），高是（ ）。（单位：厘米） 【答案】9cm/9厘米 3cm/3厘米 3cm/3厘米 【分析】长方体中相交于一个顶点的三条棱的长度，分别叫做长方体的长、宽、高。一般情况下，正对着我们的那条横的棱叫长，竖着的棱叫高，左右两边横着的棱叫宽。 【解答】由图可知，这个长方体的长是9厘米，宽是3厘米，高是3厘米。 【易错专练5】拼一拼，画一画，算一算。 （1）下面哪几个面可以拼成一个长方体？请把序号填在下面的括号里。（单位：厘米） 我选：（    ）可以拼成一个长方体。 （2）请你画出这个长方体的展开图，注意标上数据。 【答案】（1）①④⑤⑥⑦⑧ （2）见详解 【分析】（1）长方体有六个面，前后、左右、上下分别相对，且分别是一样的长方形。图中①⑧（边长2厘米、4厘米）；⑤⑦（边长3厘米、4厘米）；④⑥（边长2厘米、3厘米），分别是一样的长方形，能作为相对的面，据此拼成长方体。 （2）根据（1）所拼成的长方体，以图4这个长方形为下底面展开依次画出相邻的长方形，即展开图（答案不唯一）。 【解答】（1）拼成的长方体如下图所示，①④⑤⑥⑦⑧可以拼成一个长方体。 （2）展开图如图所示（答案不唯一）。 易错点3：计算表面积时,易漏掉部分面的面积。 【典例3】一个长方体的长是10厘米，宽是8厘米,高是5厘米。这个长方体的表面积是多少平方厘米? 【错误答案】10×8+8×5+10×5=170(平方厘米) 答:这个长方体的表面积是170平方厘米。 【错解分析】相对的两个面面积相等,容易出现只求出表面积的一半的错误。求长方体的表面积,就是求它的6个面的面积之和,也就是求出3个相邻面的面积和,再乘2即可,长方体的表面 积=(长×宽+长×高+宽×高)×2。 【正确答案】（10×8+8×5+10×5）×2=340(平方厘米) 答:这个长方体的表面积是340平方厘米。 【易错专练1】用硬纸板给四本书做如图所示的一个封套（单位：cm），做这个封套至少需要（    ）cm2。 A．984 B．744 C．1728 D．1488 【答案】B 【分析】根据题意，封套只有前后左右四个面，所以封套的面积＝（前面＋左面）×2. 【解答】封套的面积： （平方厘米） 故答案为：B 【易错专练2】奇奇用纸箱制作了一个无盖长方体收纳箱。收纳箱的长为9dm，宽为6dm，高为3dm，若要给收纳箱的侧面贴上壁纸，壁纸的面积至少是（ ）dm2。 【答案】90 【分析】根据题意，给无盖长方体收纳箱的侧面贴上壁纸，求壁纸的面积，就是求长方体侧面的面积，根据“长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算求解。 【解答】9×3×2＋6×3×2 ＝54＋36 ＝90（dm2） 壁纸的面积至少是90dm2。 【易错专练3】计算下面图形的表面积。（单位：cm） 【答案】1900cm2 【分析】该图形是一个长方体，长为，宽为，高为，代入长方体表面积公式计算即可。 【解答】 【易错专练4】儿童节前夕，某校小学生自制饼干要送给幼儿园的小朋友。购买的正方体饼干盒棱长12厘米。如果围着饼干盒贴上一圈彩纸（上下面不贴），一个饼干盒至少需要彩纸多少平方厘米？ 【答案】576平方厘米 【分析】正方体饼干盒的上下面不贴，需要贴彩纸的面只有4个。计算正方体棱长×棱长×4即可计算得出答案。 【解答】一个饼干盒至少需要彩纸的面积为： 12×12×4 ＝144×4 ＝576（平方厘米） 答：一个饼干盒至少需要彩纸576平方厘米。 【易错专练5】一间教室长9米，宽6米，高3米，门窗面积为11.6平方米，如果每平方米用涂料0.5千克，粉刷教室的四周和顶面需要涂料多少千克？ 【答案】66.2千克 【分析】根据题意，要粉刷教室的顶面和墙壁，即粉刷的是长方体的顶面和4个侧面，求出顶面和4个侧面的面积和，再减去门窗面积，求出需要粉刷的面积，再乘每平方米需要的涂料数量即可。 【解答】需要粉刷的面积：9×6＋9×3×2＋6×3×2－11.6 ＝54＋27×2＋18×2－11.6 ＝54＋54＋36－11.6 ＝108＋36－11.6 ＝144－11.6 ＝132.4（平方米） 132.4×0.5＝66.2（千克） 答：粉刷这间教室共需涂料66.2千克。 易错点4：忽略正方体的摆放方法，导致判断露在外面的面的个数出错。 【典例4】判断:4个相同的小正方体摆放在一起,露在外面的面有14个。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】4个相同的小正方体摆放在一起,有不同的摆法，因为摆放的方法不同,露在外面的面的个数不一定相同,所以这种说法不正确。 【正确答案】错误 【易错专练1】如图所示的是堆放在地面上的小正方体，共有（    ）个面露在外面。 A．14 B．18 C．21 D．23 【答案】C 【分析】分别数出不同方向看到露在外面的面的数量，再相加得到露在外面的面的总数，据此解答。 【解答】如图所示：从前面看，有5个面露在外面； 从后面看，有5个面露在外面； 从左面看，有3个面露在外面； 从右面看，有3个面露在外面； 从上面看，有5个面露在外面； 露在外面的面的总数为个。 故答案为：C 【点评】理解题中“露在外面的面”即是立体图形前面、左面、右面、后面和上面露在外面的面，再数出这些方向露在外面的面的个数再相加，是解题的关键。 【易错专练2】下图是放在墙角的4个正方体，露在外面的面有（    ）个。 A．8 B．9 C．10 【答案】B 【分析】数出从前面、上面和右面看到的小正方形的个数即可，从前面看有3个小正方形，从上面看有3个小正方形，从右面看有3个小正方形。 【解答】3×3＝9（个） 露在外面的面有9个。 故答案为：B 【易错专练3】李老师把棱长为3分米的正方体纸箱放在墙角处（下图），一共放了（ ）个纸箱，有（ ）个面露在外面，露在外面的面积是（ ）平方分米。 【答案】9 16 144 【分析】根据题意，先数纸箱个数：分层数，最上层1个，中间层3个，最下层5个，将各层个数相加得到总纸箱数；再数露在外面的面：从正面、侧面、上面三个方向分别计数，正面数出一定数量的面，侧面数出对应数量的面，上面数出对应数量的面，三者相加得到露在外面的总面数；最后计算露在外面的面积：先根据正方形面积公式“面积＝边长×边长”算出一个面的面积，再用一个面的面积乘露在外面的总面数，据此解答。 【解答】数纸箱个数：1＋3＋5＝9（个） 数露在外面的面：正面5个＋侧面6个＋上面5个＝16（个） 计算露在外面的面积：3×3×16＝9×16＝144（平方分米） 综上所述可得，一共放了9个纸箱，有16个面露在外面，露在外面的面积是144平方分米。 【易错专练4】如图是由棱长为2cm的小正方体在墙角堆成的，露在外面的面共有（ ）个，露在外面的面积是（ ）cm2。 【答案】13 52 【分析】从图观察知道，露在外面的面共有的个数＝前面露出面的个数＋右面露出面的个数＋上面露出面的个数，前面露出的面有3个，右面露出的面有5个，上面露出的面有5个，所以露在外面总的个数是3＋5＋5的和；露在外面的面积＝正方体每个面的面积×露在外面的面共有的个数，正方体每个面的面积是2×2＝4（cm2），乘总的个数即为露在外面的面积。 【解答】3＋5＋5＝13（个） 2×2×13 ＝4×13 ＝52（cm2）。 所以，如图是由棱长为2cm的小正方体在墙角堆成的，露在外面的面共有13个，露在外面的面积是52cm2。 【易错专练5】将棱长为2分米的小正方体按如图所示靠墙进行摆放，第（3）个图形露在外面的面有（ ）个，第（5）个图形露在外面的面积是（ ）平方分米。 【答案】8 48 【分析】看图可知，第（1）个图形露在外面的面有4个，4＝1×2＋2；第（2）个图形露在外面的面有6个，6＝2×2＋2；第（3）个图形露在外面的面有8个，8＝3×2＋2…由此可知，露在外面的面的数量＝第几个图形就用几×2＋2，正方形面积＝边长×边长，正方形面积×露在外面的面的数量＝露在外面的面积。 【解答】3×2＋2 ＝6＋2 ＝8（个） 5×2＋2 ＝10＋2 ＝12（个） 2×2×12＝48（平方分米） 第（3）个图形露在外面的面有8个，第（5）个图形露在外面的面积是48平方分米。 易错点5：拼接或切割后立体图形表面积的变化理解错误。 【典例5】把两个棱长为2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【错误答案】一个正方体表面积：2×2×6=24 (平方厘米) 两个正方体表面积：24×2=48 (平方厘米) 拼成长方体后表面积：48 ÷ 2 = 24 (平方厘米) 【错解分析】错误地理解了拼接对表面积的影响。两个正方体拼接时，会有两个面重合在一起，消失在长方体内部，不再属于表面积的一部分。所以拼成后的大长方体的表面积，等于原来两个小正方体表面积之和减去这两个重合面的面积。 【正确解答】 方法一（用总面积减重合面）： 两个正方体总面积：2 × (2×2×6) = 2×24 = 48 (平方厘米) 拼接时减少2个面，减少的面积：2 × (2×2) = 8 (平方厘米) 长方体的表面积：48 - 8 = 40 (平方厘米) 方法二（直接计算长方体表面积）：拼成的长方体：长=4cm, 宽=2cm, 高=2cm 表面积 = (4×2 + 4×2 + 2×2) × 2 = (8 + 8 + 4) × 2 = 20 × 2 = 40 (平方厘米) 答：这个长方体的表面积是40平方厘米。 【易错专练1】将两个棱长都是10cm的正方体拼成一个长方体包装在一起，此时与两个正方体独立包装相比，节省了（    ）cm2的包装纸。（接口处不计） A．100 B．200 C．400 【答案】B 【分析】与两个正方体独立包装相比，节省了2个面的面积；棱长×棱长＝一个面的面积；一个面的面积×2＝2个面的面积。 【解答】（） （） 所以节省了200的包装纸。 故答案为：B 【易错专练2】如图，把一个正方体平均分成两个一样的长方体，其中一个长方体的表面积是48平方厘米，原来的正方体表面积是（ ）平方厘米。 【答案】72 【分析】根据题意可得：其中一个长方体的表面积是正方体的4个面的面积，其中一个长方体的表面积÷4＝正方体一个面的面积，正方体一个面的面积×6＝正方体的表面积。 【解答】48÷4＝12（平方厘米） 12×6＝72（平方厘米） 原来的正方体表面积是72平方厘米。 【易错专练3】如图，将4个长是10cm，宽是6cm，高是1cm的长方体盒子包成一包。包装后的表面积是（ ）cm2，比分别包装节约（ ）cm2的包装纸。（接口处不计） 【答案】248 360 【分析】已知4个完全一样的长方体盒子的长、宽、高，先根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出包装一个这样的长方体盒子所需包装纸的面积，再乘4，即是分别包装4个这样的长方体所需包装纸的总面积； 把这4个长方体盒子如图中包成一包，则组成新长方体的长是10cm、宽是6cm、高是（1×4）cm，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出包装后的表面积； 再用分别包装所需包装纸的总面积减去包在一起所需包装纸的面积，即是包在一起比分别包装节约包装纸的面积。 【解答】分别包装的表面积之和： （10×6＋10×1＋6×1）×2×4 ＝（60＋10＋6）×2×4 ＝76×2×4 ＝152×4 ＝608（cm2） 包在一起的高：1×4＝4（cm） 包装后的表面积： （10×6＋10×4＋6×4）×2 ＝（60＋40＋24）×2 ＝124×2 ＝248（cm2） 节约：608－248＝360（cm2） 包装后的表面积是（248）cm2，比分别包装节约（360）cm2的包装纸。 【易错专练4】乐乐的妈妈去广东出差，回来前给她和表妹、表弟每人买了2盒广东省的一种传统小吃——裹蒸粽。包装盒的长是30cm，宽是20cm，高是10cm。要把这几盒裹蒸粽包成一包，怎样包装最节省包装纸？最少需要多大的包装纸？（画出草图，接口处不计） 【答案】图见详解；7200平方厘米 【分析】将该长方体中最大的面重合叠放最节省包装纸，再根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算即可。 【解答】（平方厘米），（平方厘米），（平方厘米） 所以将的面重叠包装最节省包装纸，如下图： （厘米） （平方厘米） 答：将的面重叠包装最节省包装纸，最少需要7200平方厘米的包装纸。 【易错专练5】如下图，把一个长方体木块正好锯成三个大小相等的小正方体，它们的表面积的和比原来长方体表面积增加了36平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】126平方厘米 【分析】根据题意，把一个长方体木块平行于底面锯成三个大小相等的小正方体，说明原长方体的长、宽相等，它们的表面积的和比原来长方体表面积增加了4个底面的面积； 用增加的表面积36平方厘米除以4，求出原长方体的底面积为9平方厘米，因为底面是一个正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，得出原长方体的长、宽都是3厘米，再乘3，即是原长方体的高； 最后根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出原长方体的表面积。 【解答】36÷4＝9（平方厘米） 9＝3×3 所以原长方体的长、宽都是3厘米； 原长方体的高：3×3＝9（厘米） 原长方体的表面积： （3×3＋3×9＋3×9）×2 ＝（9＋27＋27）×2 ＝63×2 ＝126（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是126平方厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 长方体（一）易错专项讲义 简介： 1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。 2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。 目录 模块一 易错知识点梳理 1 模块二 易错点剖析训练 2 易错点1：棱长总和公式记忆混淆。 2 易错点2：展开图理解错误的特点，只要看到由六个完全图形组成就认为可以组成正方体或长方体。 4 易错点3：计算表面积时,易漏掉部分面的面积。 6 易错点4：忽略正方体的摆放方法，导致判断露在外面的面的个数出错。 7 易错点5：拼接或切割后立体图形表面积的变化理解错误。 9 模块一 易错知识点梳理 1、长方体的6个面有时不都是长方形。 2、长方体的长发生变化，这个长方体的左面和右面的大小不变。 3.、在长方体中，同一方向的4条棱互相平行。 4、长方体的高=棱长总和÷4-（长+宽）。 5、判断图形折叠后能否围成正方体，除了要具备6个相同的正方形外，还要考虑折叠时6个面是否重复。 6、正方体的棱长扩大到原来的n倍，表面积就扩大到原来的n2倍。 7、用几个相同的正方体拼成一个长方体后，有几个接合处，表面积就减少（接合处的个数×2）个面的面积。 8、在实际生活中，并不是所有的长方体形状的物体都有6个面，如长方体形状的鱼缸、游泳池等只有5个面，长方体形状的烟囱、通风管等只有4个面。 9、相同个数的小正方体摆放的方式不同，露在外面的面的个数一般也不同。 模块二 易错点剖析与训练 易错点1：棱长总和公式记忆混淆。 【典例1】一个长方体的长、宽、高分别是8厘米、6厘米、5厘米。这个长方体的棱长总和是多少厘米？ 【错误答案】 (8 + 6 + 5) × 2 = 19 × 2 = 38 (厘米) 【错解分析】 错误地将计算长方形周长的公式（长+宽）×2，套用到了长方体的棱长总和上。长方体有12条棱，包括4条长、4条宽、4条高。因此，棱长总和应该是（长+宽+高）×4。 【正确解答】棱长总和 = (长 + 宽 + 高) × 4 = (8 + 6 + 5) × 4 = 19 × 4 = 76 (厘米) 答：这个长方体的棱长总和是76厘米。 【易错专练1】一个长方体的木块，被截成两个完全相同的正方体，两个正方体的棱长之和比原来长方体棱长之和增加32厘米，求原来长方体的长（ ）厘米 【易错专练2】用60cm长的铁丝做一个最大的正方体框架，它的棱长是（ ）cm；如果用这根铁丝做一个长和宽都是3.6cm的长方体框架，那么这个长方体框架的高是（ ）cm。 【易错专练3】用一根铁丝刚好焊接成一个棱长为8cm的正方体框架。如果用这根铁丝焊接成一个长13cm、高4cm的长方体框架，铁丝将剩余4cm，那么这个长方体的宽应该为多少厘米？（接头处不计） 【易错专练4】秦兵马俑是世界八大奇迹之一，一个放置兵马俑模型的长方体玻璃储物柜长5dm，宽5dm，高8dm，储物柜外面的每条棱上都贴有装饰条。现在要用同样长的装饰条贴在一个正方体储物柜上。这个正方体储物柜的棱长是多少？（接头处忽略不计） 【易错专练5】在杭甘两地青少年手拉手志愿服务交流活动中，蓝蓝给甘孜的朋友精心准备了一份礼物（如图）。如果用彩带捆扎，至少需要多长的彩带？（蝴蝶结长30厘米） 易错点2：展开图理解错误的特点，只要看到由六个完全图形组成就认为可以组 成正方体或长方体。 【典例2】判断:只要是由六个完全一样的正方形组成的图形就一定能围成正方体。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】由六个完全一样的正方形组成的图形不一定都可以围成正方体。判断将图形进行折叠后能否围成正方体,除了看所判断的图形是否符合正方体展开图的特点外,还可以动手折一折,试一试。如下图就不能围成正方体。 【正确答案】错误 【易错专练1】下面图形（    ）是从下图的位置沿边剪开得到的。 A．B． C． D． 【易错专练2】如图图形是正方体平面展开图的共有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 【易错专练3】用做一个，“好”的对面是（ ），“小”的对面是（ ）。 【易错专练4】下图所示图形可以折成一个长方体，这个长方体的长是（ ），宽是（ ），高是（ ）。（单位：厘米） 【易错专练5】拼一拼，画一画，算一算。 （1）下面哪几个面可以拼成一个长方体？请把序号填在下面的括号里。（单位：厘米） 我选：（    ）可以拼成一个长方体。 （2）请你画出这个长方体的展开图，注意标上数据。 易错点3：计算表面积时,易漏掉部分面的面积。 【典例3】一个长方体的长是10厘米，宽是8厘米,高是5厘米。这个长方体的表面积是多少平方厘米? 【错误答案】10×8+8×5+10×5=170(平方厘米) 答:这个长方体的表面积是170平方厘米。 【错解分析】相对的两个面面积相等,容易出现只求出表面积的一半的错误。求长方体的表面积,就是求它的6个面的面积之和,也就是求出3个相邻面的面积和,再乘2即可,长方体的表面 积=(长×宽+长×高+宽×高)×2。 【正确答案】（10×8+8×5+10×5）×2=340(平方厘米) 答:这个长方体的表面积是340平方厘米。 【易错专练1】用硬纸板给四本书做如图所示的一个封套（单位：cm），做这个封套至少需要（    ）cm2。 A．984 B．744 C．1728 D．1488 【易错专练2】奇奇用纸箱制作了一个无盖长方体收纳箱。收纳箱的长为9dm，宽为6dm，高为3dm，若要给收纳箱的侧面贴上壁纸，壁纸的面积至少是（ ）dm2。 【易错专练3】计算下面图形的表面积。（单位：cm） 【易错专练4】儿童节前夕，某校小学生自制饼干要送给幼儿园的小朋友。购买的正方体饼干盒棱长12厘米。如果围着饼干盒贴上一圈彩纸（上下面不贴），一个饼干盒至少需要彩纸多少平方厘米？ 【易错专练5】一间教室长9米，宽6米，高3米，门窗面积为11.6平方米，如果每平方米用涂料0.5千克，粉刷教室的四周和顶面需要涂料多少千克？ 易错点4：忽略正方体的摆放方法，导致判断露在外面的面的个数出错。 【典例4】判断:4个相同的小正方体摆放在一起,露在外面的面有14个。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】4个相同的小正方体摆放在一起,有不同的摆法，因为摆放的方法不同,露在外面的面的个数不一定相同,所以这种说法不正确。 【正确答案】错误 【易错专练1】如图所示的是堆放在地面上的小正方体，共有（    ）个面露在外面。 A．14 B．18 C．21 D．23 【易错专练2】下图是放在墙角的4个正方体，露在外面的面有（    ）个。 A．8 B．9 C．10 【易错专练3】李老师把棱长为3分米的正方体纸箱放在墙角处（下图），一共放了（ ）个纸箱，有（ ）个面露在外面，露在外面的面积是（ ）平方分米。 【易错专练4】如图是由棱长为2cm的小正方体在墙角堆成的，露在外面的面共有（ ）个，露在外面的面积是（ ）cm2。 【易错专练5】将棱长为2分米的小正方体按如图所示靠墙进行摆放，第（3）个图形露在外面的面有（ ）个，第（5）个图形露在外面的面积是（ ）平方分米。 易错点5：拼接或切割后立体图形表面积的变化理解错误。 【典例5】把两个棱长为2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【错误答案】一个正方体表面积：2×2×6=24 (平方厘米) 两个正方体表面积：24×2=48 (平方厘米) 拼成长方体后表面积：48 ÷ 2 = 24 (平方厘米) 【错解分析】错误地理解了拼接对表面积的影响。两个正方体拼接时，会有两个面重合在一起，消失在长方体内部，不再属于表面积的一部分。所以拼成后的大长方体的表面积，等于原来两个小正方体表面积之和减去这两个重合面的面积。 【正确解答】 方法一（用总面积减重合面）： 两个正方体总面积：2 × (2×2×6) = 2×24 = 48 (平方厘米) 拼接时减少2个面，减少的面积：2 × (2×2) = 8 (平方厘米) 长方体的表面积：48 - 8 = 40 (平方厘米) 方法二（直接计算长方体表面积）：拼成的长方体：长=4cm, 宽=2cm, 高=2cm 表面积 = (4×2 + 4×2 + 2×2) × 2 = (8 + 8 + 4) × 2 = 20 × 2 = 40 (平方厘米) 答：这个长方体的表面积是40平方厘米。 【易错专练1】将两个棱长都是10cm的正方体拼成一个长方体包装在一起，此时与两个正方体独立包装相比，节省了（    ）cm2的包装纸。（接口处不计） A．100 B．200 C．400 【易错专练2】如图，把一个正方体平均分成两个一样的长方体，其中一个长方体的表面积是48平方厘米，原来的正方体表面积是（ ）平方厘米。 【易错专练3】如图，将4个长是10cm，宽是6cm，高是1cm的长方体盒子包成一包。包装后的表面积是（ ）cm2，比分别包装节约（ ）cm2的包装纸。（接口处不计） 【易错专练4】乐乐的妈妈去广东出差，回来前给她和表妹、表弟每人买了2盒广东省的一种传统小吃——裹蒸粽。包装盒的长是30cm，宽是20cm，高是10cm。要把这几盒裹蒸粽包成一包，怎样包装最节省包装纸？最少需要多大的包装纸？（画出草图，接口处不计） 【易错专练5】如下图，把一个长方体木块正好锯成三个大小相等的小正方体，它们的表面积的和比原来长方体表面积增加了36平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $