第一单元 圆柱与圆锥（易错专项讲义）数学北师大版六年级下册

该小学数学圆柱与圆锥易错专项讲义通过知识框架系统梳理单元核心概念，涵盖圆柱圆锥的高、表面积（无盖/通风管等特殊情况）、体积公式（含圆锥体积除以3）等14个易错知识点，清晰呈现概念间内在联系与重难点分布。 讲义以“易错点剖析+针对性训练”为特色，如“无盖水桶表面积”典例通过错解分析强化审题能力，培养抽象与几何直观素养，“圆锥体积计算”专项训练纠正公式混淆问题提升运算能力，结合“博士帽制作”“沙堆体积”等生活实例发展模型意识，分层练习满足不同学生需求，助力教师实施精准复习教学。

第一单元 圆柱与圆锥易错专项讲义 简介： 1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。 2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。 目录 模块一 易错知识点梳理 1 模块二 易错点剖析训练 2 易错点1：求“无盖”等不规则圆柱体的表面积时，审题不清。 2 易错点2：在解决问题的过程中,易忘记统一单位，从而造成错解。 4 易错点3：体积公式应用混乱，特别是圆锥忘记除以3。 6 易错点4：利用体积不变原理解决问题时（等积变形），找不准对应关系。 8 易错点5：与生活实际结合时，理解出现偏差。 10 1、圆柱的底面是圆，不是椭圆。模块一 易错知识点梳理 2、圆锥的高是指从圆锥的顶点到底面圆心的距离。 3、圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。 4、圆柱的侧面只有沿高剪开时，其展开图才是一个长方形（或正方形）。 5、圆柱的侧面展开图如果是正方形，那么圆柱的高和底面周长相等。 6、半圆能围成圆锥，但整个圆不能围成圆锥。 7、将一个圆柱截成两个小圆柱后，表面积之和比原来的表面积增加了两个底面积。 8、求通风管、烟囱这类圆柱形物体的表面积其实就是求它们的侧面积。 9、计算圆柱的体积，一定要先算出底面积，再与高相乘。 10、圆柱的高不变，若底面半径、直径或周长扩大到原来的n倍，则体积扩大到原来的n2倍；若底面半径、直径或周长缩小到原来的，则体积缩小到原来的。 11、瓶子倒置前后，瓶中水的体积不变，所以无水部分的体积也不变。 12、运用圆锥体积的计算公式时不要忘记乘。 13、当圆柱与圆锥的体积和高分别相等时，S柱﹕S锥=1﹕3，当圆柱与圆锥的体积和底面积分别相等时，h柱﹕h锥=1﹕3。 14、只有等底等高的圆柱和圆锥的体积一定存在3倍的关系。 模块二 易错点剖析与训练 易错点1：求“无盖”等不规则圆柱体的表面积时，审题不清。 【典例1】一个圆柱形铁皮水桶，高是6分米，底面直径是高的。制作这个无盖水桶至少需要多少平方分米的铁皮？ 【错误解答】底面直径：6 ×= 4（分米） 底面半径：4 ÷ 2 = 2（分米） 表面积：2 × 3.14 × 2² + 3.14 × 4 × 6 = 25.12 + 75.36 = 100.48（平方分米） 答：需要100.48平方分米铁皮。 【错解分析】 错误地计算了完整圆柱的表面积（两个底一个侧）。题目明确是“无盖水桶”，意味着只需要“一个底面积 + 侧面积”。上面的解答多算了一个底面积。 【正确解答】 底面直径：6 ×= 4（分米） 底面半径：4 ÷ 2 = 2（分米） 一个底面积：3.14 × 2² = 12.56（平方分米） 侧面积：3.14 × 4 × 6 = 75.36（平方分米） 需要铁皮面积：12.56 + 75.36 = 87.92（平方分米） 答：制作这个无盖水桶至少需要87.92平方分米的铁皮。 【易错专练1】下图的“博士帽”用卡纸做成。上面是边长为30厘米的正方形。下面是底面直径为16 厘米、高为10厘米的无底无盖圆柱。制作20顶这样的“博士帽”至少需要卡纸多少平方厘米？合多少平方米？ 【易错专练2】一个圆柱形的无盖水桶，其底面半径2分米，高10分米。（厚度忽略不计）做一对这样的铁皮水桶至少需要铁皮多少平方分米？ 【易错专练3】一个圆柱形的无盖铁皮水桶，底面直径是4分米，高是6分米。为了防止生锈，要在水桶内外两面都涂上防锈漆，涂漆部分的面积是多少平方分米？（桶壁厚度忽略不计） 【易错专练4】一个底面直径是3厘米、高4厘米的无盖圆柱体笔筒。你能在下面的方格纸上画出个无盖圆柱体的表面展开图并求出表面积吗？（π取近似值3） 表面积： 【易错专练5】用一张长方形铁皮（如下图）裁剪出底面和侧面，做一个容积最大的圆柱形无盖水桶。 （1）请你在下图中画出水桶的底面和侧面展开图。 （2）这个水桶的底面直径是（    ）分米，高是（    ）分米。 （3）这个水桶的表面积是多少平方分米？（无盖） 易错点2：在解决问题的过程中,易忘记统一单位，从而造成错解。 【典例2】一个圆柱的底面直径是6分米,高是1米,这个圆柱的体积是多少? 【错误答案】3.14×(6÷2)2×1= 28.26(立方分米) 答:这个圆柱的体积是28.26立方分米。 【错解分析】解答时要认真审题。圆柱底面直径的单位是分米,高的单位是米,单位不统一,在解题过程中应先统一单位再计算。 【正确答案】 1米=10分米 3.14×(6÷2)2×10= 282.6(立方分米) 答:这个圆柱的体积是282.6立方分米。 【易错专练1】一根2m长的圆柱形钢管，其外直径为30cm，内直径为20cm。要制造这根钢管需要多少立方米的钢材？ 【易错专练2】小恒发现每次刷牙挤出的牙膏均呈圆柱形。牙膏管口是圆形的，直径为5mm，小恒每次刷牙都挤出1cm长的牙膏，一支牙膏可用72次。现牙膏厂为促进销售，将新包装的管口直径扩大了1mm，其他不变。如果小恒刷牙时还是每次挤出1cm长的牙膏，那么一支新包装的牙膏能用多少次？ 【易错专练3】有一块圆柱形木料，底面直径是30厘米，长是1.2米。工厂要将这种圆木加工成最大的圆锥体，这种圆锥体的体积是多少？ 【易错专练4】在建筑工地上有一个近似于圆锥形状的沙堆，测得底面直径4米，高12分米。每立方米沙大约重1.5吨，这堆沙约重多少吨？（得数保留整吨数） 【易错专练5】在建筑工地上有一个近似于圆锥形状的沙堆，测得底面直径4米，高12分米。每立方米沙大约重1.5吨，这堆沙约重多少吨？（得数保留整吨数） 易错点3：体积公式应用混乱，特别是圆锥忘记除以3。 【典例3】一个圆锥形沙堆，底面周长是12.56米，高是3米。如果每立方米沙重1.5吨，这堆沙重多少吨？ 【错误答案】 底面半径：12.56 ÷ 3.14 ÷ 2 = 2（米） 底面积：3.14 × 2² = 12.56（平方米） 体积：12.56 × 3 = 37.68（立方米）​ 重量：37.68 × 1.5 = 56.52（吨） 答：这堆沙重56.52吨。 【错解分析】 完全忽略了这是圆锥，错误地使用了圆柱的体积公式 V = Sh进行计算，而没有使用圆锥的体积公式 V =Sh。 【正确解答】 底面半径：12.56 ÷ 3.14 ÷ 2 = 2（米） 底面积：3.14 × 2² = 12.56（平方米） 圆锥体积：× 12.56 × 3 = 12.56（立方米） 重量：12.56 × 1.5 = 18.84（吨） 答：这堆沙重18.84吨。 【易错专练1】手工课上，小明用橡皮泥做了一个底面直径是20cm、高是12cm的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方厘米？ 【易错专练2】一个高50厘米的圆柱形容器内，放有一个高为20厘米的长方体铁块。打开水龙头往容器内注水3分钟，水正好没过长方体顶面。再注水18分钟，水灌满了容器。容器的底面积与长方体底面积的比是多少？ 【易错专练3】下图所示的是一个蒙古包，上半部分可以看成一个圆锥，下半部分可以看成一个圆柱。这个蒙古包的体积是多少立方米？ 【易错专练4】中国人食笋的历史久远，在《诗经》里就有“其蔌维何？维笋及蒲”的诗句。右图的竹笋可近似看作一个圆锥，这个竹笋的体积约是多少立方厘米？ 【易错专练5】一个从里面量底面直径是40厘米的圆柱形容器中装有一些水，将一个高是15厘米，底面半径是10厘米的实心圆锥形铁块完全浸没在水中（水未溢出）。当铁块从水中取出后，容器中的水面下降了几厘米？ 易错点4：利用体积不变原理解决问题时（等积变形），找不准对应关系。 【典例4】把一个底面半径是4厘米，高是6厘米的圆柱形钢坯，熔铸成一个底面半径为3厘米的圆锥形零件。这个圆锥形零件的高是多少厘米？ 【错误答案】 圆柱体积：3.14 × 4² × 6 = 301.44（立方厘米） 圆锥的高：301.44 ÷ (3.14 × 3²) = 301.44 ÷ 28.26 ≈ 10.67（厘米） 【错解分析】 知道利用体积不变原理，先求出了圆柱（也是圆锥）的体积。但在使用圆锥体积公式逆求高时，公式应为 h = 3V ÷ S，错误解答漏掉了“×3”这一步，实质上是用了圆柱求高的方法。 【正确解答】 钢坯（圆柱）体积：V = πr²h = 3.14 × 4² × 6 = 301.44（立方厘米） 圆锥零件体积与圆柱相等，设圆锥的高为h。 圆锥体积公式：V =πr²h 即：301.44 =× 3.14 × 3² × h 301.44 =× 28.26 × h 301.44 = 9.42 × h h = 301.44 ÷ 9.42 h = 32（厘米） 答：这个圆锥形零件的高是32厘米。 【易错专练1】古代匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为10厘米圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形，然后完全没入一底面积为3000平方厘米的长方体容器里“淬火”，水面上升了1.8厘米。这个圆锥的高是多少厘米？（损耗忽略不计）（π取3） 【易错专练2】一个从里面量底面半径为2分米的圆柱形玻璃容器中装有水，水中完全浸没着一个底面直径为2分米，高为1.8分米的圆锥形铅锤，当铅锤取出后，水面下降了多少分米？ 【易错专练3】一个底面直径是20厘米的圆柱形杯子中装有水，水里完全浸没着一个底面直径是8厘米，高是15厘米的圆锥形铁块，当铁块从水中完全取出时，杯子里的水面会下降多少厘米？ 【易错专练4】从古代一直到近代，匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为1分米的圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形铁块，然后完全投入一底面积为31.4平方分米的长方体容器里淬火，水面上升了0.1分米。这个圆锥形铁块的高是多少分米？（损耗忽略不计） 【易错专练5】张大伯将一堆底面半径是3米，高是2米的圆锥形小麦装入一个圆柱形粮囤里，正好装满，粮囤的底面积是6平方米。粮囤的高是多少米？ 易错点5：与生活实际结合时，理解出现偏差。 【典例5】把一根长2米的圆柱形木料沿横截面（与底面平行）锯成两段小圆柱后，表面积比原来增加了12.56平方分米。原来这根木料的体积是多少立方分米？ 【错误答案】2米= 20分米 增加的面积是侧面积的一部分，无法计算。或12.56 × 20 = 251.2（立方分米） 【错解分析】 不理解“沿横截面锯成两段”意味着什么。这样锯开，表面积增加的是2个底面积。错误地将增加的面积当作侧面积或与之相乘。 【正确解答】统一单位：2米= 20分米。 分析增加的面积：锯成两段，增加2个横截面（即底面）。所以，2个底面积 = 12.56 平方分米 1个底面积 = 12.56 ÷ 2 = 6.28 （平方分米） 求原木料体积：圆柱体积=底面积×高 V = 6.28 × 20 = 125.6（立方分米） 答：原来这根木料的体积是125.6立方分米。 【易错专练1】一个圆柱形的零件，将它的高减少4厘米，表面积比原来减少125.6平方厘米，体积是原来的，这个圆柱形零件原来的体积是多少立方厘米？ 【易错专练2】一座粮仓的形状如右下图，王爷爷家今年共收水稻300立方米，如果全部运到这个粮仓中，那么能装下吗？请说明理由。（仓壁厚度忽略不计） 【易错专练3】一根长20分米，底面直径是8分米的圆柱形木料横放入水中，正好有一半浮在水面上。 （1）这根木料露出水面部分的面积是多少平方分米？ （2）这根木料没入水中部分的体积是多少立方分米？ 【易错专练4】如图是一卷卫生纸，纸宽是10厘米，中间硬纸轴的直径是3.5厘米，制作一提（12卷）这种卫生纸的纸轴，至少需要多少硬纸板？（接缝处忽略不计，π取3.14） 【易错专练5】蔬菜基地要搭建一批蔬菜大棚，大棚的前后面用砖砌成大小相同的半圆，顶部用塑料膜覆盖如图所示，建造20个这样的蔬菜大棚大约需要多少平方米的塑料膜？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 圆柱与圆锥易错专项讲义 简介： 1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。 2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。 目录 模块一 易错知识点梳理 1 模块二 易错点剖析训练 2 易错点1：求“无盖”等不规则圆柱体的表面积时，审题不清。 2 易错点2：在解决问题的过程中,易忘记统一单位，从而造成错解。 6 易错点3：体积公式应用混乱，特别是圆锥忘记除以3。 10 易错点4：利用体积不变原理解决问题时（等积变形），找不准对应关系。 13 易错点5：与生活实际结合时，理解出现偏差。 17 1、圆柱的底面是圆，不是椭圆。模块一 易错知识点梳理 2、圆锥的高是指从圆锥的顶点到底面圆心的距离。 3、圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。 4、圆柱的侧面只有沿高剪开时，其展开图才是一个长方形（或正方形）。 5、圆柱的侧面展开图如果是正方形，那么圆柱的高和底面周长相等。 6、半圆能围成圆锥，但整个圆不能围成圆锥。 7、将一个圆柱截成两个小圆柱后，表面积之和比原来的表面积增加了两个底面积。 8、求通风管、烟囱这类圆柱形物体的表面积其实就是求它们的侧面积。 9、计算圆柱的体积，一定要先算出底面积，再与高相乘。 10、圆柱的高不变，若底面半径、直径或周长扩大到原来的n倍，则体积扩大到原来的n2倍；若底面半径、直径或周长缩小到原来的，则体积缩小到原来的。 11、瓶子倒置前后，瓶中水的体积不变，所以无水部分的体积也不变。 12、运用圆锥体积的计算公式时不要忘记乘。 13、当圆柱与圆锥的体积和高分别相等时，S柱﹕S锥=1﹕3，当圆柱与圆锥的体积和底面积分别相等时，h柱﹕h锥=1﹕3。 14、只有等底等高的圆柱和圆锥的体积一定存在3倍的关系。 模块二 易错点剖析与训练 易错点1：求“无盖”等不规则圆柱体的表面积时，审题不清。 【典例1】一个圆柱形铁皮水桶，高是6分米，底面直径是高的。制作这个无盖水桶至少需要多少平方分米的铁皮？ 【错误解答】底面直径：6 ×= 4（分米） 底面半径：4 ÷ 2 = 2（分米） 表面积：2 × 3.14 × 2² + 3.14 × 4 × 6 = 25.12 + 75.36 = 100.48（平方分米） 答：需要100.48平方分米铁皮。 【错解分析】 错误地计算了完整圆柱的表面积（两个底一个侧）。题目明确是“无盖水桶”，意味着只需要“一个底面积 + 侧面积”。上面的解答多算了一个底面积。 【正确解答】 底面直径：6 ×= 4（分米） 底面半径：4 ÷ 2 = 2（分米） 一个底面积：3.14 × 2² = 12.56（平方分米） 侧面积：3.14 × 4 × 6 = 75.36（平方分米） 需要铁皮面积：12.56 + 75.36 = 87.92（平方分米） 答：制作这个无盖水桶至少需要87.92平方分米的铁皮。 【易错专练1】下图的“博士帽”用卡纸做成。上面是边长为30厘米的正方形。下面是底面直径为16 厘米、高为10厘米的无底无盖圆柱。制作20顶这样的“博士帽”至少需要卡纸多少平方厘米？合多少平方米？ 【答案】28048平方厘米；2.8048平方米 【分析】由题意可知，一顶“博士帽”所需卡纸的面积等于正方形的面积加上圆柱的侧面积，正方形的面积＝边长×边长，圆柱的侧面积＝底面直径×圆周率×高，要求制作20顶“博士帽”，用博士帽的表面积×20即可；最后根据1平方米＝10000平方厘米，进行单位换算，即可解答。 【解答】（平方厘米） ＝50.24×10 ＝502.4（平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 28048平方厘米＝2.8048平方米 答：制作20顶这样的“博士帽”至少需要卡纸28048平方厘米，合2.8048平方米。 【易错专练2】一个圆柱形的无盖水桶，其底面半径2分米，高10分米。（厚度忽略不计）做一对这样的铁皮水桶至少需要铁皮多少平方分米？ 【答案】276.32平方分米 【分析】已知圆柱形无盖水桶只有侧面和底面，求做一对这样的铁皮水桶需要铁皮的面积，就是求2个无盖水桶的表面积； 一个无盖水桶的表面积＝侧面积＋底面积，根据S侧＝2πrh，S底＝πr2，代入数据计算，求出一个铁皮水桶的表面积，再乘2即可。 【解答】2×3.14×2×10＋3.14×22 ＝12.56×10＋3.14×4 ＝125.6＋12.56 ＝138.16（平方分米） 138.16×2＝276.32（平方分米） 答：做一对这样的铁皮水桶至少需要铁皮276.32平方分米。 【易错专练3】一个圆柱形的无盖铁皮水桶，底面直径是4分米，高是6分米。为了防止生锈，要在水桶内外两面都涂上防锈漆，涂漆部分的面积是多少平方分米？（桶壁厚度忽略不计） 【答案】175.84平方分米 【分析】已知圆柱形铁皮水桶无盖，也就是只有侧面和底面；那么无盖水桶两面涂漆的面积＝（侧面积＋底面积）×2，根据S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算求解。 【解答】[3.14×4×6＋3.14（4÷2）2] ×2 ＝[3.14×24＋3.14×4] ×2 ＝[75.36＋12.56] ×2 ＝87.92×2 ＝175.84（平方分米） 答：涂漆部分的面积是175.84平方分米。 【点评】本题考查圆柱表面积公式的灵活运用，理解圆柱形的无盖铁皮水桶是一个少了上底面的圆柱体，计算无盖圆柱体的表面积时只需计算侧面积与一个底面积之和。 【易错专练4】一个底面直径是3厘米、高4厘米的无盖圆柱体笔筒。你能在下面的方格纸上画出个无盖圆柱体的表面展开图并求出表面积吗？（π取近似值3） 表面积： 【答案】见详解；表面积42.75平方厘米 【分析】（1）由圆柱的侧面展开图的特点可知：圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，圆柱的底面直径和高已知，求出底面周长，于是可以画出其表面展开图；由此作图即可； （2）根据公式“圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2”，因为是无盖，所以只加一个底面积，把数据代入公式解答即可。 【解答】（1）如图所示，即为所要求画的圆柱的表面展开图： 3×3＝9（厘米） 3÷2＝1.5（厘米） （2）3×3×4＋3×（3÷2）2 ＝36＋3×1.52 ＝36＋6.75 ＝42.75（平方厘米） 答：表面积是42.75平方厘米。 【点评】此题主要考查圆柱的表面积的计算，关键是理解并掌握圆柱表面积的计算公式。 【易错专练5】用一张长方形铁皮（如下图）裁剪出底面和侧面，做一个容积最大的圆柱形无盖水桶。 （1）请你在下图中画出水桶的底面和侧面展开图。 （2）这个水桶的底面直径是（    ）分米，高是（    ）分米。 （3）这个水桶的表面积是多少平方分米？（无盖） 【答案】（1）见详解 （2）2；2； （3）15.7平方分米 【分析】（1）要做一个容积最大的圆柱形无盖水桶，这个圆柱的底面直径和高都应等于长方形铁皮的宽，即都是2分米。据此先以2分米为直径（即1分米为半径）画出水桶的底面。圆的周长＝πd，则这个圆柱的底面周长＝3.14×2＝6.28（分米），而8.28－2＝6.28（分米），说明剩下的小长方形铁皮正好是圆柱的侧面展开图。据此解答。 （2）由（1）的分析可知：这个水桶的底面直径和高都是2分米。 （3）这个水桶的表面积＝侧面积＋底面积＝Ch＋πr2，据此代入数据计算即可解答。 【解答】通过分析可得： （1）8.28－2＝6.28（分米） 作图如下： （2）这个水桶的底面直径是2分米，高是2分米。 （3）6.28×2＋3.14×（2÷2）2 ＝12.56＋3.14×12 ＝12.56＋3.14×1 ＝12.56＋3.14 ＝15.7（平方分米） 答：这个水桶的表面积是15.7平方分米。 易错点2：在解决问题的过程中,易忘记统一单位，从而造成错解。 【典例2】一个圆柱的底面直径是6分米,高是1米,这个圆柱的体积是多少? 【错误答案】3.14×(6÷2)2×1= 28.26(立方分米) 答:这个圆柱的体积是28.26立方分米。 【错解分析】解答时要认真审题。圆柱底面直径的单位是分米,高的单位是米,单位不统一,在解题过程中应先统一单位再计算。 【正确答案】 1米=10分米 3.14×(6÷2)2×10= 282.6(立方分米) 答:这个圆柱的体积是282.6立方分米。 【易错专练1】一根2m长的圆柱形钢管，其外直径为30cm，内直径为20cm。要制造这根钢管需要多少立方米的钢材？ 【答案】0.0785立方米 【分析】先根据1米＝100厘米，把单位统一，再利用圆柱的体积＝底面积×高，分别求出以外部直径为30厘米，长2米的圆柱形钢管的体积和以内部直径为20厘米，长2米的圆柱形钢管的体积，再把两个体积相减，可得到这个钢管需要钢材的体积，据此解答。 【解答】30厘米＝0.3米 20厘米＝0.2米 （立方米） 答：要制造这根钢管需要0.0785立方米的钢材。 【点评】本题考查圆柱形体积的应用，要理解圆柱形钢管是空心的圆柱形，用外部圆柱形的体积减去内部圆柱形的体积，进而得到圆柱形钢管的体积，是解题的关键。 【易错专练2】小恒发现每次刷牙挤出的牙膏均呈圆柱形。牙膏管口是圆形的，直径为5mm，小恒每次刷牙都挤出1cm长的牙膏，一支牙膏可用72次。现牙膏厂为促进销售，将新包装的管口直径扩大了1mm，其他不变。如果小恒刷牙时还是每次挤出1cm长的牙膏，那么一支新包装的牙膏能用多少次？ 【答案】50次 【分析】已知牙膏管口是圆形的，直径为5mm，小恒每次刷牙都挤出1cm长的牙膏，一支牙膏可用72次。根据圆柱的体积公式，求出1次挤出圆柱形牙膏的体积，再乘72，求出一支牙膏的总体积；又已知现牙膏厂为促进销售，将新包装的管口直径扩大了1mm，其他不变，即牙膏总体积不变，根据圆柱的体积公式，求出1次挤出管口直径增大后的圆柱形牙膏的体积，再用总体积除以1次挤出管口直径增大后的圆柱形牙膏的体积，即可得到新包装牙膏能用的次数，据此解答。（注意：单位不统一，要先把单位换算成相同的再计算） 【解答】1厘米＝10毫米 （立方毫米） （立方毫米） （次） 答：一支新包装的牙膏能用50次。 【易错专练3】有一块圆柱形木料，底面直径是30厘米，长是1.2米。工厂要将这种圆木加工成最大的圆锥体，这种圆锥体的体积是多少？ 【答案】28260立方厘米 【分析】已知圆柱形木料的底面直径和高，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出木料的体积； 要把这种圆木加工成最大的圆锥体，那么圆锥和圆柱等底等高；根据等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，用圆柱的体积乘，即可求出圆锥的体积。 【解答】1.2米＝120厘米 3.14×（30÷2）2×120 ＝3.14×152×120 ＝3.14×225×120 ＝84780（立方厘米） 84780×＝28260（立方厘米） 答：这种圆锥体的体积是28260立方厘米。 【易错专练4】在建筑工地上有一个近似于圆锥形状的沙堆，测得底面直径4米，高12分米。每立方米沙大约重1.5吨，这堆沙约重多少吨？（得数保留整吨数） 【答案】8吨 【分析】已知圆锥形沙堆的底面直径和高，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出沙堆的体积，再乘每立方米沙的重量，即是这堆沙的总重量，得数根据“四舍五入”法保留整吨数。注意单位的换算：1米＝10分米。 【解答】12分米＝1.2米 ×3.14×（4÷2）2×1.2 ＝×3.14×22×1.2 ＝×3.14×4×1.2 ＝5.024（立方米） 1.5×5.024≈8（吨） 答：这堆沙约重8吨。 【易错专练5】在建筑工地上有一个近似于圆锥形状的沙堆，测得底面直径4米，高12分米。每立方米沙大约重1.5吨，这堆沙约重多少吨？（得数保留整吨数） 【答案】8吨 【分析】已知圆锥形沙堆的底面直径和高，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出沙堆的体积，再乘每立方米沙的重量，即是这堆沙的总重量，得数根据“四舍五入”法保留整吨数。注意单位的换算：1米＝10分米。 【解答】12分米＝1.2米 ×3.14×（4÷2）2×1.2 ＝×3.14×22×1.2 ＝×3.14×4×1.2 ＝5.024（立方米） 1.5×5.024≈8（吨） 答：这堆沙约重8吨。 易错点3：体积公式应用混乱，特别是圆锥忘记除以3。 【典例3】一个圆锥形沙堆，底面周长是12.56米，高是3米。如果每立方米沙重1.5吨，这堆沙重多少吨？ 【错误答案】 底面半径：12.56 ÷ 3.14 ÷ 2 = 2（米） 底面积：3.14 × 2² = 12.56（平方米） 体积：12.56 × 3 = 37.68（立方米）​ 重量：37.68 × 1.5 = 56.52（吨） 答：这堆沙重56.52吨。 【错解分析】 完全忽略了这是圆锥，错误地使用了圆柱的体积公式 V = Sh进行计算，而没有使用圆锥的体积公式 V =Sh。 【正确解答】 底面半径：12.56 ÷ 3.14 ÷ 2 = 2（米） 底面积：3.14 × 2² = 12.56（平方米） 圆锥体积：× 12.56 × 3 = 12.56（立方米） 重量：12.56 × 1.5 = 18.84（吨） 答：这堆沙重18.84吨。 【易错专练1】手工课上，小明用橡皮泥做了一个底面直径是20cm、高是12cm的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方厘米？ 【答案】3768立方厘米 【分析】根据圆柱的体积公式，圆柱体积＝πh进行带入计算。 【解答】r＝d÷2＝20÷2＝10（厘米） ＝πh＝3.14××12＝3.14×100×12＝3768（立方厘米） 答：这个圆柱的体积是3768立方厘米。 【易错专练2】一个高50厘米的圆柱形容器内，放有一个高为20厘米的长方体铁块。打开水龙头往容器内注水3分钟，水正好没过长方体顶面。再注水18分钟，水灌满了容器。容器的底面积与长方体底面积的比是多少？ 【答案】4∶3 【分析】后18分钟注满了容器上方50－20＝30厘米的高度，则注满1厘米高的容器空间，需要18÷30＝0.6 分钟。如果容器里没有长方体，注满20厘米高需要20×0.6＝12分钟，但实际只花了3分钟，少的12－3＝9分钟，是因为长方体占了空间，少注了水。时间差对应“长方体的体积”，而体积＝底面积×高（高都是20厘米），所以长方体底面积对应的注水时间是9分钟，容器底面积对应的注水时间是12分钟，底面积的比＝时间的比（高相同），即容器底面积∶长方体底面积＝12∶9＝4∶3 。 【解答】无长方体的容器高度：50－20＝30（厘米） 注1厘米容器空间用时：18÷30＝0.6（分钟） 注20厘米纯容器空间用时：20×0.6＝12（分钟） 长方体占空间对应时间：12－3＝9（分钟） 底面积比：12∶9 ＝（12÷3）∶（9÷3） ＝4∶3 答：容器的底面积与长方体底面积的比是4∶3。 【点评】这道题的关键是利用注水速度不变，先算出注满单位高度容器的时间，再通过“注满20厘米纯容器的理论时间”和“实际注水时间”的差值，得出长方体占据空间对应的注水时间，最后根据“同高时底面积比等于注水时间比”，算出容器与长方体的底面积比。 【易错专练3】下图所示的是一个蒙古包，上半部分可以看成一个圆锥，下半部分可以看成一个圆柱。这个蒙古包的体积是多少立方米？ 【答案】75.36立方米 【分析】根据、分别求出圆柱和圆锥的体积，再相加即可。 【解答】 （平方米） （立方米） （立方米） （立方米） 答：这个蒙古包的体积是75.36立方米。 【易错专练4】中国人食笋的历史久远，在《诗经》里就有“其蔌维何？维笋及蒲”的诗句。右图的竹笋可近似看作一个圆锥，这个竹笋的体积约是多少立方厘米？ 【答案】141.3立方厘米 【分析】竹笋可近似看作一个圆锥，已知圆锥的底面直径和高，利用圆锥的体积，即可求出这个竹笋的体积。 【解答】 （立方厘米） 答：这个竹笋的体积约是141.3立方厘米。 【易错专练5】一个从里面量底面直径是40厘米的圆柱形容器中装有一些水，将一个高是15厘米，底面半径是10厘米的实心圆锥形铁块完全浸没在水中（水未溢出）。当铁块从水中取出后，容器中的水面下降了几厘米？ 【答案】1.25厘米 【分析】根据题意，将一个实心圆锥形铁块完全浸没在圆柱形容器的水中，再从水中取出，那么水面下降部分的体积等于圆锥形铁块的体积； 根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出圆锥形铁块的体积，也是水面下降部分的体积； 水面下降部分是一个底面直径为40厘米的圆柱形，先根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆柱的底面积；再根据圆柱的体积公式V＝Sh可知，圆柱的高＝V÷S，据此求出水面下降的高度。 【解答】圆锥形铁块的体积： ×3.14×102×15 ＝×3.14×100×15 ＝1570（立方厘米） 圆柱形容器的底面积： 3.14×（40÷2）2 ＝3.14×202 ＝3.14×400 ＝1256（平方厘米） 水面下降： 1570÷1256＝1.25（厘米） 答：当铁块从水中取出后，容器中的水面下降了1.25厘米。 易错点4：利用体积不变原理解决问题时（等积变形），找不准对应关系。 【典例4】把一个底面半径是4厘米，高是6厘米的圆柱形钢坯，熔铸成一个底面半径为3厘米的圆锥形零件。这个圆锥形零件的高是多少厘米？ 【错误答案】 圆柱体积：3.14 × 4² × 6 = 301.44（立方厘米） 圆锥的高：301.44 ÷ (3.14 × 3²) = 301.44 ÷ 28.26 ≈ 10.67（厘米） 【错解分析】 知道利用体积不变原理，先求出了圆柱（也是圆锥）的体积。但在使用圆锥体积公式逆求高时，公式应为 h = 3V ÷ S，错误解答漏掉了“×3”这一步，实质上是用了圆柱求高的方法。 【正确解答】 钢坯（圆柱）体积：V = πr²h = 3.14 × 4² × 6 = 301.44（立方厘米） 圆锥零件体积与圆柱相等，设圆锥的高为h。 圆锥体积公式：V =πr²h 即：301.44 =× 3.14 × 3² × h 301.44 =× 28.26 × h 301.44 = 9.42 × h h = 301.44 ÷ 9.42 h = 32（厘米） 答：这个圆锥形零件的高是32厘米。 【易错专练1】古代匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为10厘米圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形，然后完全没入一底面积为3000平方厘米的长方体容器里“淬火”，水面上升了1.8厘米。这个圆锥的高是多少厘米？（损耗忽略不计）（π取3） 【答案】54厘米 【分析】由题意知：“将底面半径为10厘米圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形”，则这个圆锥铁块的底面半径也是10厘米。又知：将铁块完全放入长方体容器中，则上升部分水的体积＝圆锥铁块的体积。长方体体积＝底面积×高，圆锥的体积＝×圆锥的底面积×圆锥的高，则圆锥的高＝3×圆锥的体积÷圆锥的底面积，据此计算即可。 【解答】上升部分水的体积＝圆锥的体积＝3000×1.8＝5400（立方厘米） 圆锥的高： =3×5400÷300 （厘米） 答：这个圆锥的高是54厘米。 【易错专练2】一个从里面量底面半径为2分米的圆柱形玻璃容器中装有水，水中完全浸没着一个底面直径为2分米，高为1.8分米的圆锥形铅锤，当铅锤取出后，水面下降了多少分米？ 【答案】0.15分米 【分析】铅锤的体积等于铅锤取出玻璃容器时，水下降的体积。已知圆锥形铅锤底面直径为2分米，那么半径为2÷2＝1分米，高为1.8分米，根据圆锥的体积V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入即可得出圆锥的体积。圆柱形玻璃容器的底面半径为2分米，根据圆柱体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），则h＝V÷π÷r2，把圆锥的体积和半径2分米代入计算即可解答。 【解答】2÷2＝1（分米） ×3.14×12×1.8 ＝×3.14×1×1.8 ＝1.884（立方分米） 1.884÷3.14÷22 ＝1.884÷3.14÷4 ＝0.15（分米） 答：水面下降了0.15分米。 【易错专练3】一个底面直径是20厘米的圆柱形杯子中装有水，水里完全浸没着一个底面直径是8厘米，高是15厘米的圆锥形铁块，当铁块从水中完全取出时，杯子里的水面会下降多少厘米？ 【答案】0.8厘米 【分析】圆锥形铁块底面直径8厘米，因此半径为8÷2＝4厘米，高为15厘米。根据圆锥体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入公式即可计算出圆锥形铁块的体积（水面下降部分的水体积）。 水面下降部分的水形成一个圆柱体，其体积等于圆锥体积，圆柱形杯子底面直径20厘米，因此半径为20÷2＝10厘米。根据圆柱体积公式V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），则h＝V÷（πr2），把计算出的圆锥体积，和圆柱形杯子底面半径代入计算即可。 【解答】8÷2＝4（厘米） ×3.14×42×15 ＝×3.14×16×15 ＝251.2（立方厘米） 20÷2＝10（厘米） 251.2÷（3.14×102） ＝251.2÷（3.14×100） ＝251.2÷314 ＝0.8（厘米） 答：杯子里的水面会下降0.8厘米。 【易错专练4】从古代一直到近代，匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为1分米的圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形铁块，然后完全投入一底面积为31.4平方分米的长方体容器里淬火，水面上升了0.1分米。这个圆锥形铁块的高是多少分米？（损耗忽略不计） 【答案】3分米 【分析】从题意可知：圆柱体积＝圆锥体积＝上升水的体积。上升水的体积＝长方体容器底面积×上升高度，代入数据计算，圆锥的体积（上升水的体积）。又知圆柱底面积＝圆锥底面积，即圆锥底面半径也为1分米，根据圆的面积：S＝πr2，代入数据求出圆面积，因为圆锥的体积＝底面积×高÷3，所以圆锥的高＝体积×3÷底面积，代入数据计算，即可求出这个圆锥形铁块的高。 【解答】体积：31.4×0.1＝3.14（立方分米） 底面积：12×3.14 ＝1×3.14 ＝3.14（平方分米） 高：3.14×3÷3.14＝3（分米） 答：这个圆锥形铁块的高是3分米。 【易错专练5】张大伯将一堆底面半径是3米，高是2米的圆锥形小麦装入一个圆柱形粮囤里，正好装满，粮囤的底面积是6平方米。粮囤的高是多少米？ 【答案】3.14米 【分析】根据圆锥的体积，代入数据得出小麦的体积，将小麦装入一个圆柱形粮囤里，正好装满，则圆柱形粮囤的容积等于小麦的体积，根据“”得出圆柱形粮囤的高。 【解答】×3.14×32×2÷6 ＝×3.14×9×2÷6 ＝×9×3.14×2÷6 ＝3×3.14×2÷6 ＝9.42×2÷6 ＝18.84÷6 ＝3.14（米） 答：粮囤的高是3.14米。 易错点5：与生活实际结合时，理解出现偏差。 【典例5】把一根长2米的圆柱形木料沿横截面（与底面平行）锯成两段小圆柱后，表面积比原来增加了12.56平方分米。原来这根木料的体积是多少立方分米？ 【错误答案】2米= 20分米 增加的面积是侧面积的一部分，无法计算。或12.56 × 20 = 251.2（立方分米） 【错解分析】 不理解“沿横截面锯成两段”意味着什么。这样锯开，表面积增加的是2个底面积。错误地将增加的面积当作侧面积或与之相乘。 【正确解答】统一单位：2米= 20分米。 分析增加的面积：锯成两段，增加2个横截面（即底面）。所以，2个底面积 = 12.56 平方分米 1个底面积 = 12.56 ÷ 2 = 6.28 （平方分米） 求原木料体积：圆柱体积=底面积×高 V = 6.28 × 20 = 125.6（立方分米） 答：原来这根木料的体积是125.6立方分米。 【易错专练1】一个圆柱形的零件，将它的高减少4厘米，表面积比原来减少125.6平方厘米，体积是原来的，这个圆柱形零件原来的体积是多少立方厘米？ 【答案】785立方厘米 【分析】由题可知，高减少4厘米，表面积比原来减少125.6平方厘米，减少部分就是高4厘米的圆柱的侧面积，利用侧面积＝底面周长×高，即可求得这个圆柱的底面周长，从而求得这个圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积公式求得减少部分的体积；再把原来圆柱的体积看作单位“1”，根据减少部分的体积是原来圆柱体积的，利用分数除法计算即可求得这个圆柱原来的体积。 【解答】圆柱的底面半径为：125.6÷2÷3.14÷4 ＝62.8÷3.14÷4 ＝20÷4 ＝5（厘米） 减少部分的体积为：3.14×52×4 ＝3.14×25×4 ＝78.5×4 ＝314（立方厘米） 原来圆柱的体积为：314÷（1－） ＝314÷ ＝314× ＝785（立方厘米） 答： 这个圆柱形零件原来的体积是785立方厘米。 【点评】抓住高减少4厘米时，表面积减少125.6平方厘米，从而求得这个圆柱的底面半径是解决本题的关键。 【易错专练2】一座粮仓的形状如右下图，王爷爷家今年共收水稻300立方米，如果全部运到这个粮仓中，那么能装下吗？请说明理由。（仓壁厚度忽略不计） 【答案】能；理由见详解 【分析】这个粮仓是由圆锥和圆柱两部分组成的。圆柱和圆锥的底面直径都是8米，求出底面半径是8÷2＝4米；圆柱的高是5米，根据圆柱的体积公式求出圆柱形部分的容积；圆锥的高是3米，根据圆锥的体积公式求出圆锥形部分的容积；然后将两部分的容积相加求出总容积，最后将总容积与300立方米作比较即可解答。 【解答】8÷2＝4（米） 3.14×42×5 ＝3.14×16×5 ＝50.24×5 ＝251.2（立方米） ×3.14×42×3 ＝3.14×16 ＝50.24（立方米） 251.2＋50.24＝301.44（立方米） 301.44＞300 答：能装下，因为粮仓的容积大于水稻的体积。 【易错专练3】一根长20分米，底面直径是8分米的圆柱形木料横放入水中，正好有一半浮在水面上。 （1）这根木料露出水面部分的面积是多少平方分米？ （2）这根木料没入水中部分的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）301.44平方分米；（2）502.4立方分米 【分析】（1）木料横放，露出水面部分的面积是圆柱表面积的一半。圆柱表面积由两个底面积和侧面积组成，公式为S＝2πr2＋2πrh（r是底面半径，h是圆柱的长）。已知底面直径8分米，所以半径为8÷2＝4分米，圆柱长h＝20分米，π取3.14。把数据代入公式可得出木料的表面积，再把表面积除以2即可得出露出水面部分的面积。 （2）没入水中部分体积是圆柱体积的一半。圆柱体积公式为V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），已知r为4分米，高为20分米，把数据代入公式算出总体积再除以2即可。 【解答】（1）8÷2＝4（分米） 2×3.14×42＋2×3.14×4×20 ＝2×3.14×16＋2×3.14×4×20 ＝100.48＋502.4 ＝602.88（平方分米） 602.88÷2＝301.44（平方分米） 答：露出水面部分面积是301.44平方分米。 （2）3.14×42×20 ＝3.14×16×20 ＝1004.8（立方分米） 1004.8÷2＝502.4（立方分米） 答：没入水中部分体积是502.4立方分米。 【易错专练4】如图是一卷卫生纸，纸宽是10厘米，中间硬纸轴的直径是3.5厘米，制作一提（12卷）这种卫生纸的纸轴，至少需要多少硬纸板？（接缝处忽略不计，π取3.14） 【答案】1318.8平方厘米 【分析】硬纸轴是圆柱体，求制作纸轴需要的硬纸板面积，就是求圆柱的侧面积。圆柱侧面积公式为S＝πdh（d是底面直径，h是圆柱的高，这里纸宽就是圆柱的高）。已知中间硬纸轴的直径为3.5厘米，纸宽（即圆柱的高）h＝10厘米，π＝3.14。根据公式即可计算出一卷纸轴的侧面积，因为一提有12卷，所以用一卷纸轴的侧面积乘12即可解答。 【解答】3.14×3.5×10＝109.9（平方厘米） 109.9×12＝1318.8（平方厘米） 答：至少需要1318.8平方厘米硬纸板。 【易错专练5】蔬菜基地要搭建一批蔬菜大棚，大棚的前后面用砖砌成大小相同的半圆，顶部用塑料膜覆盖如图所示，建造20个这样的蔬菜大棚大约需要多少平方米的塑料膜？ 【答案】7536平方米 【分析】由图可知，大棚顶部塑料膜的形状可看作是圆柱侧面积的一半，已知圆柱的底面直径为8米，圆柱的长度（即高）为30米，圆柱的侧面积公式为“S＝πdh”，那么半个圆柱侧面积（即一个大棚顶部塑料膜面积）就用整个圆柱的侧面积除以2；最后计算20个大棚需要的塑料膜面积，用一个大棚的面积乘20即可。 【解答】8×3.14×30÷2×20 ＝25.12×30÷2×20 ＝753.6÷2×20 ＝376.8×20 ＝7536（平方米） 答：建造20个这样的蔬菜大棚大约需要7536平方米的塑料膜。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $