第二单元 圆柱和圆锥（易错专项讲义）数学苏教版六年级下册

该小学数学圆柱和圆锥易错专项讲义通过系统梳理11个核心易错知识点构建知识体系，以条理化列表呈现圆柱圆锥的特征、表面积体积公式等要点，清晰标注易混点如“圆锥高的定义”“圆柱体积与半径的关系”，突出知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“典例剖析+专项训练”模式，如易错点1通过圆锥纵切截面判断（典例1）分析错因，培养空间观念；易错点3结合圆柱体积公式判断题（典例3）强化推理意识。分层练习覆盖选择、填空、解决问题，助力不同学生攻克难点，为教师提供精准复习依据。

第二单元 圆柱和圆锥易错专项讲义 简介： 1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。 2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。 目录 模块一 易错知识点梳理 1 模块二 易错点剖析训练 2 易错点1：圆锥的特点认识错误。 2 易错点2：在解决与圆柱表面积相关的实际问题时,不能根据实际情况具体分析。 5 易错点3：对圆柱的体积公式理解不透彻，导致判断错误。 8 易错点4：圆柱和圆锥体积关系理解不透彻。 11 易错点5：在解决问题的过程中,易忘记统一单位，从而造成错解。 15 易错点6：切拼问题中对增加或减少问题考虑不全面。 18 模块一 易错知识点梳理 1、圆柱上、下两个底面是完全相同的两个圆，不是椭圆。 2、圆锥的高是指从圆锥的顶点到底面圆心的距离。 3、圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。 4、圆柱的侧面只有沿高剪开时，其展开图才是一个长方形（或正方形）。 5、圆柱的侧面展开图如果是正方形，那么圆柱的高和底面周长相等。 6、半圆能围成圆锥，但整个圆不能围成圆锥。 7、求通风管、下水管、烟囱这类圆柱形物体的表面积其实就是求它们的侧面积。 8、圆柱的高不变，若底面半径、直径或周长扩大到原来的n倍，则体积扩大到原来的n2倍；若底面半径、直径或周长缩小到原来的，则体积缩小到原来的。 9、运用圆锥体积的计算公式时不要忘记乘。 10、只有等底等高的圆柱和圆锥的体积才存在3倍的关系。 11、瓶子倒置前后，瓶中水的体积不变，所以无水部分的体积也不变。 当把一个物体完全浸没在一个盛水的容器中时（水未溢出），上升的水的体积就是这个物体的体积。反之，取出时下降的水的体积就是这个物体的体积。同时，该体积是由水的变化算出的，与物体的形状无关。 模块二 易错点剖析与训练 易错点1：圆锥的特点认识错误。 【典例1】填空：沿着圆锥的顶点与直径纵切,得到的截面图形是( ) 【错误答案】扇形 【错解分析】观察圆锥时过多地注意了圆锥的外部形状,从而忘记纵切后最下面的部分是直径。纵切后得到的图形是一个等腰三角形。 【正确答案】等腰三角形 【易错专练1】下面的图形中，是圆柱体的在图形下面的括号里画“”，是圆锥体的在图形下面的括号里画“” （    ）      （    ）         （    ）          （    ）      （    ）         （    ） 【答案】（△）（○）（    ）（    ）（    ）（○） 【分析】圆柱的特征：一个由曲面围成的侧面、上下两个相同的圆是底面、无数条高。 圆锥的特征：一个由曲面围成的侧面、一个圆是底面、一个顶点、一条高。根据圆柱与圆锥的特征进行判断。 【解答】符合圆锥特征是圆锥； 符合圆柱特征是圆柱； 上下圆不一样大，不是圆柱； 侧面凹进去，不是圆柱； 是三角形，不是圆锥； 符合圆柱特征是圆柱。 【易错专练2】海海用如图所示的方法测量圆锥，量出长度是6cm，可见圆锥的高（    ）。 A．等于6cm B．大于6cm C．小于6cm D．无法确定 【答案】C 【分析】根据圆锥的高的含义：从圆锥顶点到底面圆心的距离就是圆锥的高；并结合圆锥高的测量方法进行解答即可。 【解答】如图，圆锥的高是指顶点到圆心的距离，因此图示中的圆锥的高要小于6cm。 故答案为：C 【易错专练3】一个底面直径为8cm的圆锥（如图），从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了72cm2。这个圆锥的高是（ ）cm。 【答案】9 【分析】将圆锥从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了2个等腰三角形，三角形的底＝圆锥底面直径，三角形的高＝圆锥的高，增加的表面积÷2＝1个三角形的面积，三角形的面积×2÷底面直径＝圆锥的高，据此列式计算。 【解答】72÷2×2÷8＝9（cm） 这个圆锥的高是9cm。 【易错专练4】如图，圆锥的高是（ ）厘米，底面半径是（ ）厘米，底面周长是（ ）厘米。 【答案】8 6 37.68 【分析】由图知:圆锥的高是8厘米，底面半径是6厘米，根据圆的周长公式将数值代入即可求得圆锥的底面周长。 【解答】 ＝ ＝37.68（厘米） 圆锥的高是（8）厘米，底面半径是（6）厘米，底面周长是（37.68）厘米。 【易错专练5】如图，圆锥的高是（ ）厘米，底面半径是（ ）厘米，底面周长是（ ）厘米。 【答案】8 6 37.68 【分析】由图知:圆锥的高是8厘米，底面半径是6厘米，根据圆的周长公式将数值代入即可求得圆锥的底面周长。 【解答】 ＝ ＝37.68（厘米） 圆锥的高是（8）厘米，底面半径是（6）厘米，底面周长是（37.68）厘米。 易错点2：在解决与圆柱表面积相关的实际问题时,不能根据实际情况具体分析。 【典例2】判断：计算制作一个水桶或一根通风管需要的铁皮的面积都是求圆柱的表面积。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】因为水桶没有上底面,通风管两个底面都没有,所以计算制作一个水桶或计算制作 一根通风管需要的铁皮的面积并不是直接计算圆柱的表面积,如下图。 【正确答案】错误 【易错专练1】一个圆柱的底面半径是3cm，高是6cm，它的一个底面的面积是（ ）cm2，它的侧面积是（ ）cm2，表面积是（ ）cm2。 【答案】28.26 113.04 169.56 【分析】根据圆的面积＝，圆柱侧面积＝底面周长×高，圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，进行计算即可。 【解答】（平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 所以它的一个底面的面积是28.26平方厘米，它的侧面积是113.04平方厘米，表面积是169.56平方厘米。 【易错专练2】一个圆柱的底面半径是3cm，高是6cm，它的一个底面的面积是（ ）cm2，它的侧面积是（ ）cm2，表面积是（ ）cm2。 【答案】28.26 113.04 169.56 【分析】根据圆的面积＝，圆柱侧面积＝底面周长×高，圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，进行计算即可。 【解答】（平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 所以它的一个底面的面积是28.26平方厘米，它的侧面积是113.04平方厘米，表面积是169.56平方厘米。 【易错专练3】塑料大棚是一种用覆盖塑料薄膜搭成的拱形棚，供栽培蔬菜，被誉为中国农产品产量出现革命性增长的主要功臣。下面塑料大棚长20米，两端各是一个直径6米的半圆形，搭建这个塑料大棚大约用了（    ）平方米的塑料薄膜。 A．216.66 B．244.92 C．433.32 【答案】B 【分析】求搭建这个塑料大棚用塑料薄膜的面积，就是求直径是6米，高是20米的圆柱形的表面积的一半，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积，代入数据，即可解答。 【解答】[3.14×（6÷2）2×2＋3.14×6×20]÷2 ＝[3.14×9×2＋18.84×20]÷2 ＝[28.26×2＋376.8]÷2 ＝[56.52＋376.8]÷2 ＝433.32÷2 ＝244.92（平方米） 塑料大棚是一种用覆盖塑料薄膜搭成的拱形棚，供栽培蔬菜，被誉为中国农产品产量出现革命性增长的主要功臣。下面塑料大棚长20米，两端各是一个直径6米的半圆形，搭建这个塑料大棚大约用了244.92平方米。 故答案为：B 【点评】熟练掌握圆柱的表面积公式是解答本题的关键。 【易错专练4】乐乐过生日，妈妈做了一个三层蛋糕（如下图）。每层的高是6cm，底面半径分别是10cm，8cm，6cm，蛋糕表面抹上奶油（不包括底面）。抹奶油部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】1218.32cm2 【分析】圆柱的侧面积＝π×半径×2×高、底面积＝π×半径2，抹奶油部分是三个圆柱侧面积加一个底面积，根据公式代入计算即可。 【解答】下层侧面积：3.14×10×2×6＝376.8（cm2） 中层侧面积：3.14×8×2×6＝301.44（cm2） 上层侧面积：3.14×6×2×6＝226.08（cm2） 大圆的面积：3.14×102＝314（cm2） 抹奶油部分面积：376.8＋301.44＋226.08＋314＝1218.32（cm2） 答：抹奶油部分的面积是1218.32平方厘米。 【易错专练5】乐乐过生日，妈妈做了一个三层蛋糕（如下图）。每层的高是6cm，底面半径分别是10cm，8cm，6cm，蛋糕表面抹上奶油（不包括底面）。抹奶油部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】1218.32cm2 【分析】圆柱的侧面积＝π×半径×2×高、底面积＝π×半径2，抹奶油部分是三个圆柱侧面积加一个底面积，根据公式代入计算即可。 【解答】下层侧面积：3.14×10×2×6＝376.8（cm2） 中层侧面积：3.14×8×2×6＝301.44（cm2） 上层侧面积：3.14×6×2×6＝226.08（cm2） 大圆的面积：3.14×102＝314（cm2） 抹奶油部分面积：376.8＋301.44＋226.08＋314＝1218.32（cm2） 答：抹奶油部分的面积是1218.32平方厘米。 易错点3：对圆柱的体积公式理解不透彻，导致判断错误。 【典例3】判断：圆柱的高不变,底面直径扩大到原来的几倍,它的体积也扩大到原来的几倍。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】圆柱的底面直径扩大到原来的2倍，它的底面积就扩大到原来的4倍。圆柱的高不变,根据公式V=Sh ,圆柱的体积也扩大到原来的4倍。 圆柱的体积与圆柱的底面半径和高有关。当底面半径不变时,高扩大到原来的n倍,体积也扩大到原来的n倍;当高不变时,底面半径扩大到原来的n倍,体积就扩大到原来的n2倍。 【正确答案】错误 【易错专练1】把一个圆柱的底面半径和高都扩大到原来的3倍，体积也扩大到原来的9倍。（ ） 【答案】× 【分析】假设原来的圆柱的高是2厘米，底面半径也是1厘米，把一个圆柱的高和底面半径扩大到原来的3倍，则高变为6厘米，底面半径变为3厘米，据此根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，分别求出变化前后的体积，进而求出它们之间的关系即可。 【解答】假设原来的圆柱的高是2厘米，底面半径也是1厘米， 现在的高：2×3＝6（厘米） 底面半径：1×3＝3（厘米） 原来的体积：3.14×12×2 ＝3.14×1×2 ＝6.28（立方厘米） 现在的体积：3.14×32×6 ＝3.14×9×6 ＝169.56（立方厘米） 169.56÷6.28＝27 把一个圆柱的底面半径和高都扩大到原来的3倍，体积也扩大到原来的27倍。 故答案为：× 【点评】本题主要考查了圆柱的体积公式的灵活应用，可用假设法解决问题。 【易错专练2】把一个圆柱的底面半径和高都扩大到原来的3倍，体积也扩大到原来的9倍。（ ） 【答案】× 【分析】假设原来的圆柱的高是2厘米，底面半径也是1厘米，把一个圆柱的高和底面半径扩大到原来的3倍，则高变为6厘米，底面半径变为3厘米，据此根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，分别求出变化前后的体积，进而求出它们之间的关系即可。 【解答】假设原来的圆柱的高是2厘米，底面半径也是1厘米， 现在的高：2×3＝6（厘米） 底面半径：1×3＝3（厘米） 原来的体积：3.14×12×2 ＝3.14×1×2 ＝6.28（立方厘米） 现在的体积：3.14×32×6 ＝3.14×9×6 ＝169.56（立方厘米） 169.56÷6.28＝27 把一个圆柱的底面半径和高都扩大到原来的3倍，体积也扩大到原来的27倍。 故答案为：× 【点评】本题主要考查了圆柱的体积公式的灵活应用，可用假设法解决问题。 【易错专练3】一个圆柱的高扩大2倍，底面半径扩大2倍，它的体积就扩大4倍。（ ） 【答案】× 【分析】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，可知，当高不变的时候，半径扩大2倍，则r2就会扩大4倍，体积也会扩大4倍，如果高再扩大2倍，则在之前的基础上，再扩大2倍，即相当于扩大了4×2＝8倍，由此即可判断。 【解答】由分析可知，当圆柱的高扩大2倍，底面半径扩大2倍，它的体积会扩大8倍。 故答案为：×。 【点评】本题主要考查圆柱的体积，熟练掌握圆柱的体积公式并灵活运用。 【易错专练4】一个圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，它的体积就扩大到原来的4倍。（ ） 【答案】× 【分析】根据圆锥的体积公式：，再根据因数与积的变化规律，圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，圆锥的底面积就扩大到原来的4倍，如果高不变，那么圆锥的体积就扩大到原来的4倍，据此判断。 【解答】圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，圆锥的底面积就扩大到原来的4倍，如果高不变，那么圆锥的体积就扩大到原来的4倍。题干中未指明圆锥的高的变化情况，因此题干中的结论是错误的。 故答案为：× 【易错专练5】一个长方体和一个圆锥的底面积和高都相等，这个长方体的体积是圆锥体积的3倍。（ ） 【答案】√ 【分析】长方体体积＝底面积×高，圆锥体积＝×底面积×高，则等底等高的长方体是圆锥体积的3倍。据此可得出答案。 【解答】根据长方体的体积公式及圆锥的体积公式可知：等底等高的长方体体积是圆锥体积的3倍，则题干表述正确。 故答案为：√ 易错点4：圆柱和圆锥体积关系理解不透彻。 【典例4】判断:圆锥的体积是圆柱体积的,圆柱的体积是圆锥体积的3倍。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】只有等底、等高的圆锥和圆柱，圆锥的体积才是圆柱体积的，否则,它 们之间的关系是不确定的。 【正确答案】错误 【易错专练1】一根圆柱形木料切掉0.6dm3后，正好切成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是（ ）dm3。 【答案】0.3 【分析】当从圆柱形木料中切出最大的圆锥时，这个圆锥与原来的圆柱是等底等高的。因为等底等高圆柱体积是圆锥体积的3倍，所以圆柱体积比圆锥体积多的部分就是圆锥体积的2 倍。切掉的就是圆柱体积比圆锥体积多的部分，即这部分体积等于圆锥体积的2倍，由此即可求出圆锥的体积。 【解答】由分析可知， （） 这个圆锥的体积是。 【易错专练2】一根圆柱形木料切掉0.6dm3后，正好切成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是（ ）dm3。 【答案】0.3 【分析】当从圆柱形木料中切出最大的圆锥时，这个圆锥与原来的圆柱是等底等高的。因为等底等高圆柱体积是圆锥体积的3倍，所以圆柱体积比圆锥体积多的部分就是圆锥体积的2 倍。切掉的就是圆柱体积比圆锥体积多的部分，即这部分体积等于圆锥体积的2倍，由此即可求出圆锥的体积。 【解答】由分析可知， （） 这个圆锥的体积是。 【易错专练3】如图，李师傅把一个棱长为3分米的正方体木块，削成一个最大的圆柱，要削去（ ）立方分米的木头，再把这个圆柱削成一个最大的圆锥，还要削去（ ）立方分米的木头。（结果用π表示） 【答案】27－6.75π 4.5π 【分析】正方体木块削成最大的圆柱形，即正方体的边长即为圆柱形的底面直径和高；圆柱形木头削成圆锥形，即圆柱形的高即为圆锥形的高，圆柱形的底面即为圆锥形的底面，由此即可计算圆柱和圆锥体积，再用原体积分别与计算得出的体积相减即可解得。 【解答】由题，把一个棱长为3分米的正方体木块， 该木块体积为（立方分米），将其削成一个最大的圆柱， 则圆柱的高为3分米，圆柱的底面直径为3分米，半径为3÷2＝1.5分米， 故所削成圆柱的体积为， 即要削去部分的体积为（27－6.75π）立方分米； 将该圆柱削成一个最大的圆锥， 要削成的最大圆锥与圆柱同底同高， 圆锥体积为（立方分米）， 即要削去部分的体积为6.75π－2.25π＝4.5π（立方分米）。 【易错专练4】如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是（ ）立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少（ ）立方分米。 【答案】188.4 376.8 【分析】将圆锥沿底面直径和高切开后，表面积增加的部分是两个以圆锥的底面直径为底，圆锥的高为高的三角形的面积；用增加的表面积除以2，求出一个三角形的面积； 根据三角形面积＝底×高÷2可知，三角形的底＝面积×2÷高，由此求出三角形的底，也就是圆锥的底面直径； 根据圆锥体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆锥的体积。 等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，用圆锥的体积乘3求出圆柱的体积，再用圆柱体积减去圆锥体积，即是少的体积。 【解答】60÷2＝30（平方分米） 30×2÷5 ＝60÷5 ＝12（分米） 12÷2＝6（分米） ×3.14×62×5 ＝×3.14×36×5 ＝188.4（立方分米） 188.4×3＝565.2（立方分米） 565.2－188.4＝376.8（立方分米） 圆锥体积是188.4立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少376.8立方分米。 【易错专练5】如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是（ ）立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少（ ）立方分米。 【答案】188.4 376.8 【分析】将圆锥沿底面直径和高切开后，表面积增加的部分是两个以圆锥的底面直径为底，圆锥的高为高的三角形的面积；用增加的表面积除以2，求出一个三角形的面积； 根据三角形面积＝底×高÷2可知，三角形的底＝面积×2÷高，由此求出三角形的底，也就是圆锥的底面直径； 根据圆锥体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆锥的体积。 等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，用圆锥的体积乘3求出圆柱的体积，再用圆柱体积减去圆锥体积，即是少的体积。 【解答】60÷2＝30（平方分米） 30×2÷5 ＝60÷5 ＝12（分米） 12÷2＝6（分米） ×3.14×62×5 ＝×3.14×36×5 ＝188.4（立方分米） 188.4×3＝565.2（立方分米） 565.2－188.4＝376.8（立方分米） 圆锥体积是188.4立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少376.8立方分米。 易错点5：在解决问题的过程中,易忘记统一单位，从而造成错解。 【典例5】一个圆柱的底面直径是6分米,高是1米,这个圆柱的体积是多少? 【错误答案】3.14×(6÷2)2×1= 28.26(立方分米) 答:这个圆柱的体积是28.26立方分米。 【错解分析】解答时要认真审题。圆柱底面直径的单位是分米,高的单位是米,单位不统一,在解题过程中应先统一单位再计算。 【正确答案】 1米=10分米 3.14×(6÷2)2×10= 282.6(立方分米) 答:这个圆柱的体积是282.6立方分米。 【易错专练1】一个圆柱体油箱，从里面量直径是40厘米，高是60厘米。 （1）做这样一个油桶，至少需用铁皮多少平方分米？ （2）如果1升汽油重0.85千克，这个油桶可装汽油多少千克？（得数保留整千克数） 【答案】（1）100.48平方分米 （2）64千克 【分析】（1）由于油桶是有盖的，做这个油桶需要铁皮多少平方分米，相当于是求油桶的表面积，根据圆柱的表面积＝πdh＋2πr2，把数值代入即可求解； （2）如果1升汽油重0.85千克，即圆柱形油桶能装多少升汽油，根据圆柱的体积＝Sh，把数值代入即可求出能装多少体积的汽油，再把得出的结果换算成以升为单位的数，最后再乘0.85即可求出能装多少千克，结果保留整数即可。 【解答】（1）40厘米＝4分米，60厘米＝6分米 3.14×4×6＋3.14×（4÷2）2×2 ＝3.14×24＋3.14×22×2 ＝75.36＋3.14×4×2 ＝75.36＋3.14×8 ＝75.36＋25.12 ＝100.48（平方分米） 答：至少需用铁皮100.48平方分米。 （2）40厘米＝4分米，60厘米＝6分米 3.14×（4÷2）2×6 ＝3.14×22×6 ＝3.14×4×6 ＝3.14×24 ＝75.36（立方分米） 75.36立方分米＝75.36升 0.85×75.36＝64.056≈64（千克） 答：这个油桶可装汽油64千克。 【易错专练2】一个圆锥形沙堆，底面半径2米，高1.5米，用这个沙堆在8米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？ 【答案】39.25米 【分析】根据题意可知，圆锥形沙堆的容积等于铺在公路上形成长方体部分的沙子容积。根据计算沙堆的容积，再根据求出能铺多少米，注意单位换算；据此解答。 【解答】3.14×22×1.5÷3 ＝3.14×4×1.5÷3 ＝12.56×1.5÷3 ＝6.28（立方米） 2厘米＝0.02米 6.28÷（8×0.02） ＝6.28÷0.16 ＝39.25（米） 答：能铺39.25米。 【易错专练3】李师傅用白铁皮制作直径10厘米、长12分米的烟囱。制作25节需要白铁皮多少平方分米？（接缝处按1厘米计算） 【答案】972平方分米 【分析】因为烟囱没有底面只有侧面，要求制作圆柱形铁皮烟囱需要多少铁皮，实际上就是求圆柱的侧面积加接缝处的面积。根据，可计算出圆柱的侧面积；接缝处有1厘米宽，1厘米＝0.1分米，长是12分米，根据，可算出一根烟囱的接缝处的面积，再与圆柱的侧面积相加即可得1节烟囱需要铁皮的面积，再乘25即可得25节烟囱需要铁皮的面积。 【解答】10厘米＝1分米 1厘米＝0.1分米 （平方分米） 38.88×25＝972（平方分米） 答：制作25节需要白铁皮972平方分米。 【易错专练4】压路机的滚筒是圆柱形，底面直径1米，轮宽15分米。前轮滚动两周，压过路面的面积是多少平方米？ 【答案】9.42平方米 【分析】由题意可知，前轮滚动一周压过路面的面积等于压路机滚筒的侧面积，利用“”求出前轮滚动一周压过路面的面积，最后乘2求出前轮滚动两周压过路面的面积，据此解答。 【解答】15分米＝1.5米 1×3.14×1.5×2 ＝3.14×1.5×2 ＝4.71×2 ＝9.42（平方米） 答：压过路面的面积是9.42平方米。 【易错专练5】每到冬季，街道两旁一些树木的树干部分都涂成白色以防止冻裂，防治病虫害。天星小学计划给校园的50棵大树刷白，每平方米的树干需要400克石灰水，要求树干刷白的高度为1.2米。这批大树的平均直径是20厘米，至少需要多少克石灰水？ 【答案】15072克 【分析】根据题意，要给50棵大树的树干刷白，大树的平均直径是20厘米，刷白的高度为1.2米，根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，求出每棵树的刷白面积，再乘50，即是50棵树的刷白面积，最后乘每平方米需要的石灰水质量，即是刷白这批树需要石灰水的总质量。注意单位的换算：1米＝100厘米。 【解答】20厘米＝0.2米 3.14×0.2×1.2 ＝0.628×1.2 ＝0.7536（平方米） 0.7536×50＝37.68（平方米） 400×37.68＝15072（克） 答：至少需要15072克石灰水。 易错点6：切拼问题中对增加或减少问题考虑不全面。 【典例6】把一个底面直径为4厘米，高为5厘米的圆柱沿底面直径切成两个半圆柱，表面积增加了多少平方厘米？ 【错误解答】 增加了一个长方形的面积：4×5 = 20 (平方厘米) 答：表面积增加了20平方厘米。 【错解分析】沿底面直径纵切，会将圆柱分成两半，会增加两个完全一样的长方形切面，每个切面的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径。错误解答只算了一个切面的面积。 【正确解答】 增加的面积是两个长方形的面积。 每个长方形的面积：4×5 = 20 (平方厘米) 增加的总面积： 20 × 2 = 40 (平方厘米) 答：表面积增加了40平方厘米。 【易错专练1】把一个高是40厘米的圆柱锯成两个完全相同的小圆柱，表面积增加了24平方厘米，原来圆柱的体积是（ ）立方厘米。 【答案】480 【分析】将圆柱锯成两个小圆柱后，表面积增加了两个底面面积。用24除以2可得圆柱的底面积，根据，代入数据计算即可。 【解答】（立方厘米） 把一个高是40厘米的圆柱锯成两个完全相同的小圆柱，表面积增加了24平方厘米，原来圆柱的体积是480立方厘米。 【易错专练2】把一个底面半径为4厘米的圆柱，沿高切开，拼成一个近似的长方体，长方体的表面积比圆柱增加了40平方厘米，圆柱的体积是（ ）立方厘米。 【答案】251.2 【分析】把圆柱切开拼成一个近似长方体，表面积增加的是以圆柱的高为长、底面半径为宽的两个切面长方形的面积，据此用40除以2求出一个面的面积，再根据长方形的面积＝长×宽用一个面的面积除以圆柱的底面半径即可得到圆柱的高，最后根据圆柱的体积＝πr2h代入数据列式计算即可。 【解答】40÷2＝20（平方厘米） 20÷4＝5（厘米） 3.14×42×5 ＝3.14×16×5 ＝50.24×5 ＝251.2（立方厘米） 把一个底面半径为4厘米的圆柱，沿高切开，拼成一个近似的长方体，长方体的表面积比圆柱增加了40平方厘米，圆柱的体积是251.2立方厘米。 【易错专练3】一根圆木长1.5米，如果把它截成等长的3段小圆木后，表面积增加了113.04平方分米。每段小圆木的底面半径是（ ）分米，体积是（ ）立方分米。 【答案】3 141.3 【分析】根据题意，把一根圆木截成等长的3段小圆木后，表面积增加了113.04平方分米，增加的表面积是圆木的4个底面圆的面积；用增加的表面积除以4，即可求出圆木的底面积； 根据圆的面积公式S＝πr2可知，r2＝S÷π，据此求出圆木底面半径的平方，进而得出圆木的底面半径； 因为圆木平均分成3段小圆木，用原来圆木的高除以3，即是每段小圆木的高；再根据圆柱的体积公式V＝Sh，求出每段小圆木的体积。注意单位的换算：1米＝10分米。 【解答】1.5米＝15分米 圆木的底面积：113.04÷4＝28.26（平方分米） 圆木底面半径的平方：28.26÷3.14＝9（平方分米） 因为9＝3×3，所以圆木的底面半径是3分米； 圆木的体积： 28.26×（15÷3） ＝28.26×5 ＝141.3（立方分米） 每段小圆木的底面半径是（3）分米，体积是（141.3）立方分米。 【易错专练4】如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是（ ）立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少（ ）立方厘米。 【答案】188.4 376800 【分析】由题意可知，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，切面是以圆锥的底面直径为底，圆锥的高为高的等腰三角形，根据增加的表面积求出一个切面的面积，再利用“”求出圆锥的底面直径，然后利用“”求出圆锥的体积，当圆锥和圆柱等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥比圆柱少的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积，据此解答。 【解答】60÷2×2÷5 ＝60÷5 ＝12（分米） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝188.4（立方分米） 188.4×3－188.4 ＝188.4×（3－1） ＝188.4×2 ＝376.8（立方分米） 376.8立方分米＝376800立方厘米 所以，圆锥的体积是188.4立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少376800立方厘米。 【易错专练5】一根圆柱形木料，如果按图①所示的方式切成完全相同的4块，表面积会增加600cm2；如果按图②所示的方式切成完全相同的3块，表面积会增加314cm2。求这根木料的体积。 【答案】1177.5立方厘米 【分析】按图②的切法相当于增加了4个底面面积，用增加的面积除以4就是底面面积，根据底面积求出圆柱底面半径；按图①的切法，增加了8个长为圆柱高，宽为圆柱底面半径的长方形，据此可求出圆柱的高，根据圆柱的体积求出这根木料的体积即可。 【解答】（平方厘米） （平方厘米） 因为，所以底面半径为5厘米。 （平方厘米） 圆柱的高：（厘米） （立方厘米） 答：这块木料的体积是1177.5立方厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 圆柱和圆锥易错专项讲义 简介： 1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。 2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。 目录 模块一 易错知识点梳理 1 模块二 易错点剖析训练 2 易错点1：圆锥的特点认识错误。 2 易错点2：在解决与圆柱表面积相关的实际问题时,不能根据实际情况具体分析。 4 易错点3：对圆柱的体积公式理解不透彻，导致判断错误。 6 易错点4：圆柱和圆锥体积关系理解不透彻。 7 易错点5：在解决问题的过程中,易忘记统一单位，从而造成错解。 9 易错点6：切拼问题中对增加或减少问题考虑不全面。 11 模块一 易错知识点梳理 1、圆柱上、下两个底面是完全相同的两个圆，不是椭圆。 2、圆锥的高是指从圆锥的顶点到底面圆心的距离。 3、圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。 4、圆柱的侧面只有沿高剪开时，其展开图才是一个长方形（或正方形）。 5、圆柱的侧面展开图如果是正方形，那么圆柱的高和底面周长相等。 6、半圆能围成圆锥，但整个圆不能围成圆锥。 7、求通风管、下水管、烟囱这类圆柱形物体的表面积其实就是求它们的侧面积。 8、圆柱的高不变，若底面半径、直径或周长扩大到原来的n倍，则体积扩大到原来的n2倍；若底面半径、直径或周长缩小到原来的，则体积缩小到原来的。 9、运用圆锥体积的计算公式时不要忘记乘。 10、只有等底等高的圆柱和圆锥的体积才存在3倍的关系。 11、瓶子倒置前后，瓶中水的体积不变，所以无水部分的体积也不变。 当把一个物体完全浸没在一个盛水的容器中时（水未溢出），上升的水的体积就是这个物体的体积。反之，取出时下降的水的体积就是这个物体的体积。同时，该体积是由水的变化算出的，与物体的形状无关。 模块二 易错点剖析与训练 易错点1：圆锥的特点认识错误。 【典例1】填空：沿着圆锥的顶点与直径纵切,得到的截面图形是( ) 【错误答案】扇形 【错解分析】观察圆锥时过多地注意了圆锥的外部形状,从而忘记纵切后最下面的部分是直径。纵切后得到的图形是一个等腰三角形。 【正确答案】等腰三角形 【易错专练1】下面的图形中，是圆柱体的在图形下面的括号里画“”，是圆锥体的在图形下面的括号里画“” （    ）      （    ）         （    ）          （    ）      （    ）         （    ） 【易错专练2】海海用如图所示的方法测量圆锥，量出长度是6cm，可见圆锥的高（    ）。 A．等于6cm B．大于6cm C．小于6cm D．无法确定 【易错专练3】一个底面直径为8cm的圆锥（如图），从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了72cm2。这个圆锥的高是（ ）cm。 【易错专练4】如图，圆锥的高是（ ）厘米，底面半径是（ ）厘米，底面周长是（ ）厘米。 【易错专练5】如图，圆锥的高是（ ）厘米，底面半径是（ ）厘米，底面周长是（ ）厘米。 易错点2：在解决与圆柱表面积相关的实际问题时,不能根据实际情况具体分析。 【典例2】判断：计算制作一个水桶或一根通风管需要的铁皮的面积都是求圆柱的表面积。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】因为水桶没有上底面,通风管两个底面都没有,所以计算制作一个水桶或计算制作 一根通风管需要的铁皮的面积并不是直接计算圆柱的表面积,如下图。 【正确答案】错误 【易错专练1】一个圆柱的底面半径是3cm，高是6cm，它的一个底面的面积是（ ）cm2，它的侧面积是（ ）cm2，表面积是（ ）cm2。 【易错专练2】一个圆柱的底面半径是3cm，高是6cm，它的一个底面的面积是（ ）cm2，它的侧面积是（ ）cm2，表面积是（ ）cm2。 【易错专练3】塑料大棚是一种用覆盖塑料薄膜搭成的拱形棚，供栽培蔬菜，被誉为中国农产品产量出现革命性增长的主要功臣。下面塑料大棚长20米，两端各是一个直径6米的半圆形，搭建这个塑料大棚大约用了（    ）平方米的塑料薄膜。 A．216.66 B．244.92 C．433.32 【易错专练4】乐乐过生日，妈妈做了一个三层蛋糕（如下图）。每层的高是6cm，底面半径分别是10cm，8cm，6cm，蛋糕表面抹上奶油（不包括底面）。抹奶油部分的面积是多少平方厘米？ 【易错专练5】乐乐过生日，妈妈做了一个三层蛋糕（如下图）。每层的高是6cm，底面半径分别是10cm，8cm，6cm，蛋糕表面抹上奶油（不包括底面）。抹奶油部分的面积是多少平方厘米？ 易错点3：对圆柱的体积公式理解不透彻，导致判断错误。 【典例3】判断：圆柱的高不变,底面直径扩大到原来的几倍,它的体积也扩大到原来的几倍。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】圆柱的底面直径扩大到原来的2倍，它的底面积就扩大到原来的4倍。圆柱的高不变,根据公式V=Sh ,圆柱的体积也扩大到原来的4倍。 圆柱的体积与圆柱的底面半径和高有关。当底面半径不变时,高扩大到原来的n倍,体积也扩大到原来的n倍;当高不变时,底面半径扩大到原来的n倍,体积就扩大到原来的n2倍。 【正确答案】错误 【易错专练1】把一个圆柱的底面半径和高都扩大到原来的3倍，体积也扩大到原来的9倍。（ ） 【易错专练2】把一个圆柱的底面半径和高都扩大到原来的3倍，体积也扩大到原来的9倍。（ ） 【易错专练3】一个圆柱的高扩大2倍，底面半径扩大2倍，它的体积就扩大4倍。（ ） 【易错专练4】一个圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，它的体积就扩大到原来的4倍。（ ） 【易错专练5】一个长方体和一个圆锥的底面积和高都相等，这个长方体的体积是圆锥体积的3倍。（ ） 易错点4：圆柱和圆锥体积关系理解不透彻。 【典例4】判断:圆锥的体积是圆柱体积的,圆柱的体积是圆锥体积的3倍。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】只有等底、等高的圆锥和圆柱，圆锥的体积才是圆柱体积的，否则,它 们之间的关系是不确定的。 【正确答案】错误 【易错专练1】一根圆柱形木料切掉0.6dm3后，正好切成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是（ ）dm3。 【易错专练2】一根圆柱形木料切掉0.6dm3后，正好切成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是（ ）dm3。 【易错专练3】如图，李师傅把一个棱长为3分米的正方体木块，削成一个最大的圆柱，要削去（ ）立方分米的木头，再把这个圆柱削成一个最大的圆锥，还要削去（ ）立方分米的木头。（结果用π表示） 【易错专练4】如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是（ ）立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少（ ）立方分米。 【易错专练5】如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是（ ）立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少（ ）立方分米。 易错点5：在解决问题的过程中,易忘记统一单位，从而造成错解。 【典例5】一个圆柱的底面直径是6分米,高是1米,这个圆柱的体积是多少? 【错误答案】3.14×(6÷2)2×1= 28.26(立方分米) 答:这个圆柱的体积是28.26立方分米。 【错解分析】解答时要认真审题。圆柱底面直径的单位是分米,高的单位是米,单位不统一,在解题过程中应先统一单位再计算。 【正确答案】 1米=10分米 3.14×(6÷2)2×10= 282.6(立方分米) 答:这个圆柱的体积是282.6立方分米。 【易错专练1】一个圆柱体油箱，从里面量直径是40厘米，高是60厘米。 （1）做这样一个油桶，至少需用铁皮多少平方分米？ （2）如果1升汽油重0.85千克，这个油桶可装汽油多少千克？（得数保留整千克数） 【易错专练2】一个圆锥形沙堆，底面半径2米，高1.5米，用这个沙堆在8米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？ 【易错专练3】李师傅用白铁皮制作直径10厘米、长12分米的烟囱。制作25节需要白铁皮多少平方分米？（接缝处按1厘米计算） 【易错专练4】压路机的滚筒是圆柱形，底面直径1米，轮宽15分米。前轮滚动两周，压过路面的面积是多少平方米？ 【易错专练5】每到冬季，街道两旁一些树木的树干部分都涂成白色以防止冻裂，防治病虫害。天星小学计划给校园的50棵大树刷白，每平方米的树干需要400克石灰水，要求树干刷白的高度为1.2米。这批大树的平均直径是20厘米，至少需要多少克石灰水？ 易错点6：切拼问题中对增加或减少问题考虑不全面。 【典例6】把一个底面直径为4厘米，高为5厘米的圆柱沿底面直径切成两个半圆柱，表面积增加了多少平方厘米？ 【错误解答】 增加了一个长方形的面积：4×5 = 20 (平方厘米) 答：表面积增加了20平方厘米。 【错解分析】沿底面直径纵切，会将圆柱分成两半，会增加两个完全一样的长方形切面，每个切面的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径。错误解答只算了一个切面的面积。 【正确解答】 增加的面积是两个长方形的面积。 每个长方形的面积：4×5 = 20 (平方厘米) 增加的总面积： 20 × 2 = 40 (平方厘米) 答：表面积增加了40平方厘米。 【易错专练1】把一个高是40厘米的圆柱锯成两个完全相同的小圆柱，表面积增加了24平方厘米，原来圆柱的体积是（ ）立方厘米。 【易错专练2】把一个底面半径为4厘米的圆柱，沿高切开，拼成一个近似的长方体，长方体的表面积比圆柱增加了40平方厘米，圆柱的体积是（ ）立方厘米。 【易错专练3】一根圆木长1.5米，如果把它截成等长的3段小圆木后，表面积增加了113.04平方分米。每段小圆木的底面半径是（ ）分米，体积是（ ）立方分米。 【易错专练4】如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是（ ）立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少（ ）立方厘米。 【易错专练5】一根圆柱形木料，如果按图①所示的方式切成完全相同的4块，表面积会增加600cm2；如果按图②所示的方式切成完全相同的3块，表面积会增加314cm2。求这根木料的体积。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $