精品解析：河南驻马店市新蔡县第一高级中学2025-2026学年上学期期末模拟考试高二数学试题（文科）

新蔡一高2025-2026学年上学期期末模拟考试 高二数学试题（文科） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知椭圆的离心率为，则的值为（ ） A. B. C. 4或 D. 或 2. 直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若平面，则（ ） A. B. 5 C. D. 1 3. 如图所示的九宫格中共有个格点，若在其中任取3个格点，恰好能构成三角形的取法共有（ ）种. A. 528 B. 524 C. 520 D. 516 4. 在棱长均相等的平行六面体中，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 在三棱锥中，三条棱、、两两垂直，且，分别经过三条棱、、，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为、、，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆，点在圆上，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，则（ ）． A. 与为对立事件 B. 与为相互独立事件 C. 与为相互独立事件 D. 与为互斥事件 8. 如图，在圆锥中，为底面圆的直径，过的中点与平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分.若，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则曲线表示两条直线 B. 若，则曲线是双曲线 C. 若，则曲线是椭圆 D. 若，则曲线的离心率为 10. 如图，圆锥的底面半径为3，高为，过靠近的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是（ ） A. 圆锥母线与底面所成的角为 B. 圆锥的侧面积为 C. 挖去圆柱的体积为 D. 剩下几何体的表面积为 11. 已知，则下列说法中正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则中含项的系数为48 D. 若为偶数，则能被4整除 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某多功能体育场馆决定承包举办马术、击剑、游泳、跑步四项比赛.应主办方要求，马术比赛和跑步比赛不相邻，游泳比赛不在第一场也不在最后一场，则不同的比赛方式共有______种. 13. 如图，在长方体中，，，为底面的中心，则点到直线的距离为__________. 14. 如图所示，墙上挂着两串礼品，甲、乙、丙、丁四人依次挑选礼品，每次只能从一串礼品的最下端取一件礼品，已知礼品最好，那么取得礼品可能性最大的是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240. （1）求的值及展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中的有理项． 16. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%、30%，45%. （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，求每台车床操作员应承担的份额. 17. 已知双曲线Γ：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点. （1）求，的坐标及双曲线Γ的渐近线方程； （2）是否存在过点的直线l与Γ的左、右两支分别交于A，B两点，使得.若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由. 18. 已知椭圆，点P为C的上顶点． （1）求椭圆C的离心率； （2）求椭圆上动点T到点P的距离的最大值； （3）设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 19. 如图，已知四棱锥中，顶点在底面上的射影落在线段上（不含端点），底面为直角梯形，． （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为，直线与平面所成的角为． ①求的值； ②当时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新蔡一高2025-2026学年上学期期末模拟考试 高二数学试题（文科） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知椭圆的离心率为，则的值为（ ） A. B. C. 4或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，按焦点位置及椭圆离心率的意义分类求解. 【详解】当的焦点在轴上时，， 易知，则，解得； 当的焦点在轴上时，， 易知，则，解得， 所以的值为或. 故选：D 2. 直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若平面，则（ ） A. B. 5 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，结合空间向量数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 因为平面，则， 所以，，解得. 故选：B. 3. 如图所示的九宫格中共有个格点，若在其中任取3个格点，恰好能构成三角形的取法共有（ ）种. A. 528 B. 524 C. 520 D. 516 【答案】D 【解析】 【分析】用间接法，总取法种数减去不能构成三角形的取法，分四点共线和三点共线两种情况，即可得到可以构成三角形的取法. 【详解】从个点中取个点共有种情况， ①四点共线的有种情况，从共线的个点中取个点都不能构成三角形， 所以在四点共线的情况下不能构成三角形的取法共有种情况， ②三点共线的共有种情况，所以不能构成三角形的取法共有种情况， 所以能够成三角形的取法共有种情况. 故选：D. 4. 在棱长均相等的平行六面体中，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基底法结合空间向量数量积公式及投影向量公式可求得投影向量. 【详解】设平行六面体棱长为，， 且，， ， 在上的投影向量为. 故选：D. 5. 在三棱锥中，三条棱、、两两垂直，且，分别经过三条棱、、，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为、、，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中点的对称性分析相应的截面，结合垂直关系求出截面面积，利用不等式的基本性质求解. 【详解】取的中点，连接、， 可知点、到平面的距离相等，所以平面平分三棱锥的体积， 因为，，，、平面，所以平面， 且平面，则， 设，，，，则， 因为为直角三角形，则， 所以， 同理可得：，， 因为，所以，， 则，所以． 故选：A. 6. 已知圆，点在圆上，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先拆分所求式为，利用表示的几何意义，将最大值问题转化为直线与圆的相切问题解决. 【详解】由， 由于点为圆上任意一点， 如图，可将看作圆上任意一点与点所在直线的斜率， 由图知，当直线与圆相切于第一象限时，直线的斜率最大， 此时，易得，， 因轴，故直线的斜率， 故的最大值为. 故选：C． 7. 依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，则（ ）． A. 与为对立事件 B. 与为相互独立事件 C. 与为相互独立事件 D. 与为互斥事件 【答案】B 【解析】 【分析】对立事件是指两个事件不能同时发生且必有一个发生；互斥事件是指两个事件不能同时发生；相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生没有影响，即. 【详解】对于A，，所以与不为对立事件． 对于B，，，，相互独立． 对于C，，，，不相互独立． 对于D，事件为，所以与不为互斥事件． 故选：B. 8. 如图，在圆锥中，为底面圆的直径，过的中点与平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分.若，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，该曲线与圆锥的底面圆交于点、，取的中点，过作，交直线于点，过点作轴，建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，得到及点坐标，即可求出，从而求出离心率. 【详解】设，该曲线与圆锥的底面圆交于点、， 因为，所以，即为等边三角形， 又为的中点，取的中点，过作，交直线于点，过点作轴， 以直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系， 设双曲线方程为， 所以，又，所以， 则点， 所以，解得（负值舍去）， 所以双曲线的离心率. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则曲线表示两条直线 B. 若，则曲线是双曲线 C. 若，则曲线是椭圆 D. 若，则曲线的离心率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据四种曲线的定义可得结果 【详解】A选项：由题意，曲线，若，则， 此时曲线，表示两条直线，A选项正确； B选项：若，又，则，曲线，可化为，此为双曲线方程，B选项正确； C选项：若，取，则曲线表示圆，C选项错误； D选项：若，又，所以，则为，则为等轴双曲线，其离心率为，D选项正确. 故选：ABD. 10. 如图，圆锥的底面半径为3，高为，过靠近的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是（ ） A. 圆锥母线与底面所成的角为 B. 圆锥的侧面积为 C. 挖去圆柱的体积为 D. 剩下几何体的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用勾股定理可求圆锥的母线长，挖去圆柱的半径和高，然后即可逐项求解. 【详解】 因为圆锥的底面半径为3，高为，所以母线长， 则，即圆锥母线与底面所成的角为，故A正确； 圆锥的侧面积，故B错误； 因为为的三等分点，所以， 则圆柱的体积为，故C正确； 圆柱的侧面积， 剩下几何体的表面积，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知，则下列说法中正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则中含项的系数为48 D. 若为偶数，则能被4整除 【答案】ABD 【解析】 【分析】逆用二项式定理求得，解方程判断AB；先求出，再根据这一项的生成过程分类讨论求解系数判断C；，结合二项展开式可得能被4整除判断D. 【详解】因为，所以，即， 对于A，若，则，解得，正确； 对于B，若，则，即， 由单调递减，及，可得，正确； 对于C，若，则，解得， 对于二项式，要生成这一项，相当于从5个含有的括号中， 若2个取出，1个取出，2个取出，则， 若1个取出，3个取出，1个取出，则， 若5个取出，则， 所以的系数为，错误； 对于D，，为偶数，不妨记， 则 能被8整除，所以能被4整除，正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某多功能体育场馆决定承包举办马术、击剑、游泳、跑步四项比赛.应主办方要求，马术比赛和跑步比赛不相邻，游泳比赛不在第一场也不在最后一场，则不同的比赛方式共有______种. 【答案】 【解析】 【分析】对游泳比赛的安排进行分类讨论，接下来依次安排马术比赛或跑步比赛，结合分步乘法和分类加法计数原理可得结果. 【详解】对游泳比赛的安排进行分类讨论： ①若游泳比赛安排在第二场，为保证马术、跑步不相邻， 则第一场安排马术比赛或跑步比赛，剩余两项比赛的安排无限制， 此时不同的安排方法种数为种； ②若游泳比赛安排在第三场，为保证马术、跑步不相邻， 则第四场安排马术比赛或跑步比赛，剩余两项比赛的安排无限制， 此时不同的安排方法种数为种. 综上所述，不同的安排方法种数为. 故答案为：. 13. 如图，在长方体中，，，为底面的中心，则点到直线的距离为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到直线的距离. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，，， 所以，点到直线的距离为. 故答案为：. 14. 如图所示，墙上挂着两串礼品，甲、乙、丙、丁四人依次挑选礼品，每次只能从一串礼品的最下端取一件礼品，已知礼品最好，那么取得礼品可能性最大的是______． 【答案】丁 【解析】 【分析】求出甲乙丙丁四人拿到礼品的概率比较即可得解. 【详解】挑选礼品的顺序共有共六种情况， 只有按顺序乙能拿到礼品，乙拿到礼品的概率是， 按顺序丙能拿到礼品，丙拿到礼品的概率是， 按顺序丁能拿到礼品，丁拿到礼品的概率是 甲拿到礼品的概率是0， 所以丁拿到礼品的可能性最大． 故答案为：丁. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240. （1）求的值及展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中的有理项． 【答案】（1）， （2）有理项有3项，分别为 【解析】 【分析】（1）利用赋值法可得各项系数和，结合题意列式计算可得，由二项式系数性质可得二项式系数最大项； （2）求得展开式通项公式，令，且，计算即可. 【小问1详解】 令，则展开式中各项系数之和为，各二项式系数和为， 则，解得， 展开式有5项，二项式系数最大的为第3项; 【小问2详解】 二项式的展开式的通项公式为， 令，且，解得， 则展开式中含的有理项有3项，分别为. 16. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%、30%，45%. （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，求每台车床操作员应承担的份额. 【答案】（1） （2）第1，2台车床操作员应分别承担的份额，第3台车床操作员应承担的份额. 【解析】 【分析】的份额.（1）设“任取一零件为次品”，“零件为第i台车床加工”，则，且，，两两互斥，求出、、，以及、、，由全概率公式得； （2）求“次品为第台车床所加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率由条件概率公式计算可得答案. 【小问1详解】 设“任取一零件为次品”，“零件为第i台车床加工”， 则，且，，两两互斥，根据题意得， ，，， ，，， 由全概率公式得 ； 【小问2详解】 “次品为第台车床所加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率， ； ， ， 故第1，2台车床操作员应承担的份额，第3台车床操作员应承担的份额. 17. 已知双曲线Γ：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点. （1）求，的坐标及双曲线Γ的渐近线方程； （2）是否存在过点的直线l与Γ的左、右两支分别交于A，B两点，使得.若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），， （2）存在， 【解析】 【分析】（1）结合双曲线焦点、渐近线的定义即可求解； （2）假设存在直线l，由得，取的中点，则，进而得；又利用得，于是联立方程组可得的坐标，从而得到直线的斜率并得出直线的方程. 【小问1详解】 由双曲线Γ的方程得，，得， 则，即. 故，，渐近线方程为. 【小问2详解】 存在过点的直线l与Γ的左、右两支分别交于A，B两点，使得. 易知直线l不与x轴重合.（当直线l与x轴重合时，A，B为双曲线的左右顶点，，，不满足题意） 设，，AB的中点. 由得为等腰三角形， 则，， 即，， 即，.① 因为点A，B在Γ上，所以 ②－③得，即， 则，即， 所以.④ 联立①④，消去得， 解得或（舍）， 当时，，所以， 由得， 所以直线的方程为. 18. 已知椭圆，点P为C的上顶点． （1）求椭圆C的离心率； （2）求椭圆上动点T到点P的距离的最大值； （3）设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）过定点， 【解析】 【分析】（1）根据方程确定的值，再求离心率的值. （2）利用两点间的距离公式，结合椭圆的范围和二次函数在给定区间上值域的求法求最大值. （3）设直线，与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示出，，根据列式，化简可得的关系，再确定直线是否过定点. 【小问1详解】 由题，，． 所以离心率． 【小问2详解】 由题可知，设， 则，． 由于， 所以当时，PT取到最大值为． 【小问3详解】 如图： 设，，． 因为直线l与椭圆C交于异于P的两点和，所以. 所以，故，则， ， 即． 故，所以或（因为，故舍去）． 当，，过定点. 因此直线过定点． 19. 如图，已知四棱锥中，顶点在底面上的射影落在线段上（不含端点），底面为直角梯形，． （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为，直线与平面所成的角为． ①求的值； ②当时，求的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2）①，② 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得根据三角形的边角关系可得，即可结合线面垂直的判定求解， （2）根据锐角三角函数即可求解①，建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角公式，结合二次函数的性质求解②. 【小问1详解】 由于平面平面故 由于底面为直角梯形，故， 过，且与相交于， 则， 又， 故,所以, 由于平面，， 所以平面， 【小问2详解】 ①由题意可知，过作的垂线，垂足为,连接, 由于平面平面故 ,平面， 故平面，平面，故， 故为二面角的平面角， 所以从而， ②以为原点，以为轴，以过且垂直于平面的直线为轴建系， 则，设， 从而 设平面法向量为， 则， 令，则， 而平面的法向量为， 所以 即， 又，代入上式可得 ， 当且仅当时等号成立，故的最小值为， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $