第七章 命题与证明2 平行线的证明 寒假巩固2025-2026学年北师大版数学八年级上册

北师大版（2024）八年级上册 第七章 命题与证明2 平行线的证明 寒假巩固 【题型1】运用同位角相等证明两直线平行 【典型例题】下列选项图形中，已知∠1＝∠2，能判定AB∥CD的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】如图，若∠1＝63°，则添加下列哪个条件后，可判定l1∥l2 (　　) A.∠2＝127° B.∠4＝117° C.∠3＝27° D.∠5＝17° 【举一反三2】如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法(图中三角形ABC是三角板)，其依据是(　　) A.同旁内角互补，两直线平行 B.两直线平行，同旁内角互补 C.同位角相等，两直线平行 D.两直线平行，同位角相等 【举一反三3】如图，直线a，c固定，∠1＝70°，直线b绕着点O旋转，当旋转到使∠2＝　  　°时，有a∥b． 【举一反三4】如图，已知：∠AOE+∠BEF＝180°，∠AOE+∠CDE＝180°，求证：CD∥BE． 【举一反三5】如图，AF与BD相交于点C，∠B＝∠ACB，且CD平分∠ECF．试说明：AB∥CE． 【题型2】运用内错角相等证明两直线平行 【典型例题】如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是(　　) A.∠1＝∠4 B.∠1＝∠3 C.∠5＝∠ADC D.∠2＝∠4 【举一反三1】如图，直线a，b被第三条直线c所截．由“∠1＝∠2”，得到“a∥b”的依据是(　　) A.两直线平行，同位角相等 B.同位角相等，两直线平行 C.两直线平行，内错角相等 D.内错角相等，两直线平行 【举一反三2】如图，点E，F分别在线段CD和AB上，下列条件能判定AB∥CD的是(　　) A.∠ABE＝∠AFD B.∠ABE＝∠BEC C.∠BEC＝∠AFD D.∠FDC＝∠BEC 【举一反三3】如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，射线CE在∠ACD内部，下列条件中能判定AB∥CE的是(　　) A.∠A＝∠ACE B.∠B＝∠ACB C.∠A＝∠ECD D.∠B＝∠ACE 【举一反三4】如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，∠1＝∠2，求证：DC∥AB． 【举一反三5】光线从空气中射入水中会发生折射现象，光线从水中射入空气中，同样会发生折射现象．如图是光线从空气中射入水中，再从水中射入空气中的示意图．已知∠1＝∠4，∠2＝∠3．请你用所学知识来判断c与d是否平行？并说明理由． 【题型3】运用同旁内角互补证明两直线平行 【典型例题】如图，能判定AB∥DF的条件是(　　) A.∠1＝∠2 B.∠2＝∠4 C.∠3＝∠4 D.∠3+∠1＝180° 【举一反三1】如图是一款教室护眼灯AB，用两根电线AC，BD吊在天花板EF上，已知∠ACD＝90°，为保证护眼灯AB与天花板EF平行，添加下列条件中，正确的是(　　) A.∠BDC＝90° B.∠BDF＝90° C.∠BAC＝90° D.∠ACE＝90° 【举一反三2】如图，已知∠B+∠BEF＝180°，则(　　) A.AD∥EF B.EF∥BC C.AB∥CD D.AD∥BC 【举一反三3】如图，添加下列一个条件后，能判定AB∥CD的是(　　) A.∠1＝∠2 B.∠BAD＝∠BCD C.∠B+∠D＝180 D.∠1+∠3+∠D＝180° 【举一反三4】如图，已知∠B+∠BEF＝180°，则(　　) A.AD∥EF B.EF∥BC C.AB∥CD D.AD∥BC 【题型4】证明两直线平行的综合应用 【典型例题】如图，点E在BC的延长线上，在下列四个条件中，不能判断AB∥CD的是(　　) A.∠1＝∠2 B.∠B＝∠DCE C.∠3＝∠4 D.∠D+∠DAB＝180° 【举一反三1】下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的图形有(　　) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【举一反三2】如图，下列说法中正确的是(　　) A.若∠2＝∠4，则AB∥CD B.若∠BAD+∠ADC＝180°，则AB∥CD C.若∠1＝∠3，则AD∥BC D.若∠BAD+∠ABC＝180°，则AB∥CD 【举一反三3】如图，下列不能判定AB∥EF的条件是(　　) A.∠B+∠BFE＝180° B.∠1＝∠2 C.∠3＝∠4 D.∠B＝∠5 【举一反三4】下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的图形有(　　) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【题型5】运用两直线平行分析同位角 【典型例题】如图，AB∥DE，FG⊥BC于F，∠CDE＝35°，则∠FGB等于(　　) A.40° B.55° C.65° D.70° 【举一反三1】如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝42°，则∠2的度数是(　　) A.42° B.48° C.58° D.84° 【举一反三2】如图，AB∥CD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD等于(　　) A.35° B.45° C.55° D.65° 【举一反三3】如图，四条直线a，b，c，d，其中a∥b，∠1＝35°，∠2＝80°，则∠3等于(　　) A.30° B.40° C.45° D.75° 【题型6】运用两直线平行分析内错角 【典型例题】将一副三角尺(厚度不计)如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的大小为(　　) A.100° B.105° C.115° D.120° 【举一反三1】如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，EG平分∠AEF，如果∠1＝32°，那么∠2的度数是(　　) A.64° B.68° C.58° D.60° 【举一反三2】如图，已知BM平分∠ABC，且BM∥AD，若∠ABC＝70°，则∠A的度数是(　　) A.30° B.35° C.40° D.70° 【举一反三3】如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，EG平分∠AEF，如果∠1＝32°，那么∠2的度数是(　　) A.64° B.68° C.58° D.60° 【举一反三4】将一副三角尺(厚度不计)如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的大小为(　　) A.100° B.105° C.115° D.120° 【题型7】运用两直线平行分析同旁内角 【典型例题】已知直线a∥b，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，若∠1＝24°，则∠2的度数是(　　) A.56° B.66° C.76° D.86° 【举一反三1】如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，∠1＝70°，则∠3的度数为(　　) A.70° B.80° C.40° D.30° 【举一反三2】如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，∠1＝70°，则∠3的度数为(　　) A.70° B.80° C.40° D.30° 【举一反三3】如图，若m∥n，∠1＝105°，则∠2等于(　　) A.55° B.60° C.65° D.75° 【题型8】平行线性质判定的综合运用 【典型例题】如图所示，下列推理正确的个数有(　　) ①若∠1＝∠2，则AB∥CD ； ②若AD∥BC，则∠3+∠A＝180°； ③若∠C+∠CDA＝180°，则AD∥BC； ④若AB∥CD，则∠3＝∠4． A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【举一反三1】如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是(　　) A.∠1＝180°﹣∠3 B.∠1＝∠3﹣∠2 C.∠2+∠3＝180°﹣∠1 D.∠2+∠3＝180°+∠1 【举一反三2】如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果图中∠1是70°，那么∠2的度数是　         　． 【举一反三3】填写下面证明过程或推理依据： 证明：∵∠1+∠EFD＝180°( 　           　)， ∠1+∠2＝180°(已知)， ∴∠EFD＝　  　( 　              　)， ∴AB 　    　( 　                 　)， ∴∠ADE＝　    　( 　                  　)， ∵∠3＝∠B(已知)， ∴∠ADE＝∠B( 　      　)， ∴DE∥BC( 　                            　)， ∴∠DEC+∠C＝180°( 　                                 　)． 【举一反三4】如图，D是BC上一点，DE∥AB，交AC于点E，DF∥AC交AB点F． (1)找出图中与∠BAC相等的角，并说明理由； (2)若∠BDE+∠CDF＝245°，求∠BAC的度数． 【题型9】实际问题的建模运用 【典型例题】近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)如图所示，其中BC⊥AB，ED∥AB，经使用发现，当∠DCB＝140°时，台灯光线最佳．则此时∠EDC的度数为(　　) A.130° B.120° C.110° D.100° 【举一反三1】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，∠1+∠2＝129°，∠3＝102°，则∠4的度数为(　　) A.57° B.54° C.52° D.51° 【举一反三2】如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝40°，边OB上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与边OB平行，∠ODE＝∠ADC，则∠CDE的度数是(　　) A.110° B.108° C.100° D.115° 【举一反三3】如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝40°，边OB上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与边OB平行，∠ODE＝∠ADC，则∠CDE的度数是(　　) A.110° B.108° C.100° D.115° 【举一反三4】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，∠1+∠2＝129°，∠3＝102°，则∠4的度数为(　　) A.57° B.54° C.52° D.51° 【举一反三5】如图是放置在水平操场上的篮球架及其侧面示意图，已知篮球架的横梁EF始终平行于底座AB，主柱AD垂直于地面.调整前，横梁EF与上拉杆CF形成的∠F＝130°，当∠CDB＝25°时，点H，D，B在同一条直线上，此时∠H的度数是 　　． 【举一反三6】光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，水面MN与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，变成光线BC射到水底C处，射线BD是光线AB的延长线，∠1＝60°，∠2＝43°，则∠DBC的度数为 　    　． 【举一反三7】如图是放置在水平操场上的篮球架及其侧面示意图，已知篮球架的横梁EF始终平行于底座AB，主柱AD垂直于地面.调整前，横梁EF与上拉杆CF形成的∠F＝130°，当∠CDB＝25°时，点H，D，B在同一条直线上，此时∠H的度数是 　　． 【举一反三8】某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知∠BAC＝120°，AB∥DE，∠D＝80°，则∠ACD＝　　°． 【题型10】拐点问题 【典型例题】一副三角板如图所示摆放，若直线a∥b，则∠1的度数为(　　) A.10° B.15° C.20° D.25° 【举一反三1】如图，AB∥CD，∠G＝90°，∠BEG＝x，则∠DFG可以表示为(　　) A.180°﹣x B.90°+x C.90°﹣x D.180°﹣2x 【举一反三2】如图a∥b，则图中∠A，∠B，∠1，∠2的数量关系是 　                           　． 【举一反三3】已知：直线AB∥CD，点P在AB的上方，且∠AEP＝50°，∠PFC＝120°． (1)如图1，求∠EPF的度数； (2)如图2，若∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数． 北师大版（2024）八年级上册 第七章 命题与证明2 平行线的证明 寒假巩固（参考答案） 【题型1】运用同位角相等证明两直线平行 【典型例题】下列选项图形中，已知∠1＝∠2，能判定AB∥CD的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：A项，∵∠1＝∠2， ∴AD∥BC， 故不符合题意； B项，∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD， 故符合题意； C项，由∠1＝∠2不能得到AB∥CD， 故不符合题意； D项，由∠1＝∠2不能得到任何两条直线平行， 故不符合题意． 故选：B． 【举一反三1】如图，若∠1＝63°，则添加下列哪个条件后，可判定l1∥l2 (　　) A.∠2＝127° B.∠4＝117° C.∠3＝27° D.∠5＝17° 【答案】B 【解析】解：A项，∵∠2＝127°，∠2+∠3＝180°， ∴∠3＝53°， ∵∠1＝63°， ∴∠1≠∠3， ∴不能判定l1∥l2， 故A不符合题意； B项，∵∠4＝117°，∠4+∠3＝180°， ∴∠3＝63°， ∵∠1＝63°， ∴∠1＝∠3， ∴l1∥l2， 故B符合题意； C项，∵∠1＝63°，∠3＝27°， ∴∠1≠∠3， ∴不能判定l1∥l2， 故C不符合题意； D项，∵∠1＝63°，∠5＝∠3＝17°， ∴∠1≠∠3， ∴不能判定l1∥l2， 故D不符合题意. 故选：B． 【举一反三2】如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法(图中三角形ABC是三角板)，其依据是(　　) A.同旁内角互补，两直线平行 B.两直线平行，同旁内角互补 C.同位角相等，两直线平行 D.两直线平行，同位角相等 【答案】C 【解析】解：∵∠1＝∠2， ∴a∥b(同位角相等，两直线平行)， ∴C正确． 故选：C． 【举一反三3】如图，直线a，c固定，∠1＝70°，直线b绕着点O旋转，当旋转到使∠2＝　  　°时，有a∥b． 【答案】70 【解析】解：当a∥b， ∴∠2＝∠1＝70°， ∴∠2＝70°时，∠2＝∠1， ∴a∥c. 故答案为：70． 【举一反三4】如图，已知：∠AOE+∠BEF＝180°，∠AOE+∠CDE＝180°，求证：CD∥BE． 【答案】证明：∵∠AOE+∠BEF＝180°，∠AOE+∠CDE＝180°， ∴∠BEF＝∠CDE(同角的补角相等)， ∴BE∥CD(同位角相等，两直线平行)． 【举一反三5】如图，AF与BD相交于点C，∠B＝∠ACB，且CD平分∠ECF．试说明：AB∥CE． 【答案】解：因为CD平分∠ECF， 所以∠ECD＝∠FCD(角平分线的定义)． 因为∠ACB＝∠FCD(对顶角相等)， 所以∠ECD＝∠ACB(等量代换)． 因为∠B＝∠ACB， 所以∠B＝∠ECD(等量代换)． 所以AB∥CE(同位角相等，两直线平行)． 【题型2】运用内错角相等证明两直线平行 【典型例题】如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是(　　) A.∠1＝∠4 B.∠1＝∠3 C.∠5＝∠ADC D.∠2＝∠4 【答案】B 【解析】解：A项，∠1＝∠4，不能判定AB∥CD，故该选项不正确，不符合题意； B项，∵∠1＝∠3，∴AB∥CD，故该选项正确，符合题意； C项，∵∠5＝∠ADC，∴AD∥BC，故该选项不正确，不符合题意； D项，∠2＝∠4，∴AD∥BC，故该选项不正确，不符合题意. 故选：B． 【举一反三1】如图，直线a，b被第三条直线c所截．由“∠1＝∠2”，得到“a∥b”的依据是(　　) A.两直线平行，同位角相等 B.同位角相等，两直线平行 C.两直线平行，内错角相等 D.内错角相等，两直线平行 【答案】D 【解析】解：∵∠1＝∠2， ∴a∥b(内错角相等，两直线平行). 故选：D． 【举一反三2】如图，点E，F分别在线段CD和AB上，下列条件能判定AB∥CD的是(　　) A.∠ABE＝∠AFD B.∠ABE＝∠BEC C.∠BEC＝∠AFD D.∠FDC＝∠BEC 【答案】B 【解析】解：A项，∠ABE＝∠AFD能判定BE∥DF，不能判定AB∥CD，则此项不符合题意； B项，∠ABE＝∠BEC能判定AB∥CD，则此项符合题意； C项，∠BEC＝∠AFD不能判定AB∥CD，则此项不符合题意； D项，∠FDC＝∠BEC能判定BE∥DF，不能判定AB∥CD，则此项不符合题意． 故选：B． 【举一反三3】如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，射线CE在∠ACD内部，下列条件中能判定AB∥CE的是(　　) A.∠A＝∠ACE B.∠B＝∠ACB C.∠A＝∠ECD D.∠B＝∠ACE 【答案】A 【解析】解：A选项，∠A＝∠ACE，内错角相等，两直线平行，故符合题意； B选项，∠B＝∠ACB，不能判定AB∥CE，故不符合题意； C选项，∠A＝∠ECD，不能判定AB∥CE，故不符合题意； D选项，∠B＝∠ACE，不能判定AB∥CE，故不符合题意. 故选：A． 【举一反三4】如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，∠1＝∠2，求证：DC∥AB． 【答案】证明：∵BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的角平分线， ∴∠3＝∠ADC，∠2＝∠ABC， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠3＝∠2， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴DC∥AB． 【举一反三5】光线从空气中射入水中会发生折射现象，光线从水中射入空气中，同样会发生折射现象．如图是光线从空气中射入水中，再从水中射入空气中的示意图．已知∠1＝∠4，∠2＝∠3．请你用所学知识来判断c与d是否平行？并说明理由． 【答案】解：c∥d. 理由如下： 如图，∵∠2+∠5＝∠3+∠6，∠2＝∠3， ∴∠5＝∠6， ∵∠1＝∠4， ∴∠1+∠5＝∠4+∠6(等式的性质)， ∴c∥d(内错角相等，两直线平行)． 【题型3】运用同旁内角互补证明两直线平行 【典型例题】如图，能判定AB∥DF的条件是(　　) A.∠1＝∠2 B.∠2＝∠4 C.∠3＝∠4 D.∠3+∠1＝180° 【答案】D 【解析】解：A项，∵∠1＝∠2， ∴BC∥DE，则此项不符合题意； B项，∵∠2＝∠4， ∴BC∥DE，则此项不符合题意； C项，由∠3＝∠4不能判定AB∥DF，则此项不符合题意； D项，∵∠3+∠1＝180°，∠1＝∠4， ∴∠3+∠4＝180°， ∴AB∥DF，则此项符合题意. 故选：D． 【举一反三1】如图是一款教室护眼灯AB，用两根电线AC，BD吊在天花板EF上，已知∠ACD＝90°，为保证护眼灯AB与天花板EF平行，添加下列条件中，正确的是(　　) A.∠BDC＝90° B.∠BDF＝90° C.∠BAC＝90° D.∠ACE＝90° 【答案】C 【解析】解：A项，由∠BDC＝90°，不能判定AB∥EF，故该选项不符合题意； B项，由∠BDF＝90°，不能判定AB∥EF，故该选项不符合题意； C项，由∠BAC＝90°，能判定AB∥EF，故该选项符合题意； D项，由∠ACE＝90°，不能判定AB∥EF，故该选项不符合题意. 故选：C． 【举一反三2】如图，已知∠B+∠BEF＝180°，则(　　) A.AD∥EF B.EF∥BC C.AB∥CD D.AD∥BC 【答案】B 【解析】解：∵∠B+∠BEF＝180°， ∴EF∥BC(同旁内角互补，两直线平行)． 故选：B． 【举一反三3】如图，添加下列一个条件后，能判定AB∥CD的是(　　) A.∠1＝∠2 B.∠BAD＝∠BCD C.∠B+∠D＝180 D.∠1+∠3+∠D＝180° 【答案】D 【解析】解：∵∠1＝∠2， ∴AD∥BC， 故A不符合题意； 由∠BAD＝∠BCD，不能判定AB∥CD， 故B不符合题意； 由∠B+∠D＝180°，不能判定AB∥CD， 故C不符合题意； ∵∠1+∠3+∠D＝180°， ∴AB∥CD， 故D符合题意. 故选：D． 【举一反三4】如图，已知∠B+∠BEF＝180°，则(　　) A.AD∥EF B.EF∥BC C.AB∥CD D.AD∥BC 【答案】B 【解析】解：∵∠B+∠BEF＝180°， ∴EF∥BC(同旁内角互补，两直线平行)． 故选：B． 【题型4】证明两直线平行的综合应用 【典型例题】如图，点E在BC的延长线上，在下列四个条件中，不能判断AB∥CD的是(　　) A.∠1＝∠2 B.∠B＝∠DCE C.∠3＝∠4 D.∠D+∠DAB＝180° 【答案】C 【解析】解：A项，∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD，故此选项不符合题意； B项，∵∠B＝∠DCE， ∴AB∥CD，故此选项不符合题意； C项，∵∠3＝∠4， ∴AD∥CB，故此选项符合题意； D项，∵∠D+∠DAB＝180°， ∴AB∥CD，故此选项不符合题意． 故选：C． 【举一反三1】下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的图形有(　　) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】C 【解析】解：第一个图形， 由∠1＝∠2不能得到AB∥CD，故不符合题意； 第二个图形， ∵∠1＝∠2， ∴∠BAC＝∠DCA， ∴AB∥CD，故符合题意； 第三个图形， 由∠1＝∠2不能得到AB∥CD，故不符合题意； 第四个图形， ∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD，故符合题意． 故选：C． 【举一反三2】如图，下列说法中正确的是(　　) A.若∠2＝∠4，则AB∥CD B.若∠BAD+∠ADC＝180°，则AB∥CD C.若∠1＝∠3，则AD∥BC D.若∠BAD+∠ABC＝180°，则AB∥CD 【答案】B 【解析】解：若∠2＝∠4，则AD∥BC， 故A不符合题意； 若∠BAD+∠ADC＝180°，则AB∥CD， 故B符合题意； 若∠1＝∠3，则AB∥CD， 故C不符合题意； 若∠BAD+∠ABC＝180°，则AD∥BC， 故D不符合题意. 故选：B． 【举一反三3】如图，下列不能判定AB∥EF的条件是(　　) A.∠B+∠BFE＝180° B.∠1＝∠2 C.∠3＝∠4 D.∠B＝∠5 【答案】B 【解析】解：A项，∵∠B+∠BFE＝180°， ∴AB∥EF(同旁内角互补，两直线平行)，故A不符合题意； B项，∵∠1＝∠2， ∴DE∥BC(内错角相等，两直线平行)，故B符合题意； C项，∵∠3＝∠4， ∴AB∥EF(内错角相等，两直线平行)，故C不符合题意； D项，∵∠B＝∠5， ∴AB∥EF(同位角相等，两直线平行)，故D不符合题意. 故选：B． 【举一反三4】下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的图形有(　　) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】C 【解析】解：第一个图形， 由∠1＝∠2不能得到AB∥CD，故不符合题意； 第二个图形， ∵∠1＝∠2， ∴∠BAC＝∠DCA， ∴AB∥CD，故符合题意； 第三个图形， 由∠1＝∠2不能得到AB∥CD，故不符合题意； 第四个图形， ∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD，故符合题意． 故选：C． 【题型5】运用两直线平行分析同位角 【典型例题】如图，AB∥DE，FG⊥BC于F，∠CDE＝35°，则∠FGB等于(　　) A.40° B.55° C.65° D.70° 【答案】B 【解析】解：∵AB∥DE，∠CDE＝35°， ∴∠B＝∠CDE＝35°， 又∵FG⊥BC，∴∠BFG=90° 由三角形内角和是180°可知 ∠FGB＝180°-90°﹣∠B＝55. 故选：B． 【举一反三1】如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝42°，则∠2的度数是(　　) A.42° B.48° C.58° D.84° 【答案】B 【解析】解：如图， ∵∠1+∠3＝180°﹣90°＝90°，∠1＝42°， ∴∠3＝90°﹣∠1＝48°， ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3＝48°． 故选：B． 【举一反三2】如图，AB∥CD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD等于(　　) A.35° B.45° C.55° D.65° 【答案】C 【解析】解：∵AD⊥AC， ∴∠CAD＝90°，又∵∠BAD＝35°， ∴∠BAE=55°. ∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAE＝55°. 故选：C． 【举一反三3】如图，四条直线a，b，c，d，其中a∥b，∠1＝35°，∠2＝80°，则∠3等于(　　) A.30° B.40° C.45° D.75° 【答案】C 【解析】解：如图， ∵a∥b，∠1＝35°，∠2＝80°， ∴∠4+∠1＝∠2， ∴∠3＝∠4=80°﹣35°＝45°． 故选：C． 【题型6】运用两直线平行分析内错角 【典型例题】将一副三角尺(厚度不计)如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的大小为(　　) A.100° B.105° C.115° D.120° 【答案】B 【解析】解：如图， ∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠BED＝30°， 又∵∠DEF＝45°， ∴∠BEF＝75°， ∴∠1＝180°﹣∠BEF＝105°. 故选：B． 【举一反三1】如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，EG平分∠AEF，如果∠1＝32°，那么∠2的度数是(　　) A.64° B.68° C.58° D.60° 【答案】A 【解析】解：∵AB∥CD， ∴∠1＝∠AEG． ∵EG平分∠AEF， ∴∠AEF＝2∠AEG， ∴∠AEF＝2∠1＝64°， ∴∠2＝∠AEF =64°． 故选：A． 【举一反三2】如图，已知BM平分∠ABC，且BM∥AD，若∠ABC＝70°，则∠A的度数是(　　) A.30° B.35° C.40° D.70° 【答案】B 【解析】解：∵BM平分∠ABC， ∴∠MBA＝∠ABC＝35°． ∵BM∥AD， ∴∠A＝∠MBA＝35°． 故选：B． 【举一反三3】如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，EG平分∠AEF，如果∠1＝32°，那么∠2的度数是(　　) A.64° B.68° C.58° D.60° 【答案】A 【解析】解：∵AB∥CD， ∴∠1＝∠AEG． ∵EG平分∠AEF， ∴∠AEF＝2∠AEG， ∴∠AEF＝2∠1＝64°， ∴∠2＝∠AEF =64°． 故选：A． 【举一反三4】将一副三角尺(厚度不计)如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的大小为(　　) A.100° B.105° C.115° D.120° 【答案】B 【解析】解：如图， ∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠BED＝30°， 又∵∠DEF＝45°， ∴∠BEF＝75°， ∴∠1＝180°﹣∠BEF＝105°. 故选：B． 【题型7】运用两直线平行分析同旁内角 【典型例题】已知直线a∥b，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，若∠1＝24°，则∠2的度数是(　　) A.56° B.66° C.76° D.86° 【答案】B 【解析】解：∵a∥b， ∴∠2+∠BAC+∠1＝180°， ∵∠BAC＝90°，∠1＝24°， ∴∠2＝66°． 故选：B． 【举一反三1】如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，∠1＝70°，则∠3的度数为(　　) A.70° B.80° C.40° D.30° 【答案】C 【解析】解：∵EG平分∠BEF， ∴∠BEF＝2∠1＝140°， ∵AB∥CD， ∴∠3＝180°﹣∠BEF＝40°. 故选：C． 【举一反三2】如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，∠1＝70°，则∠3的度数为(　　) A.70° B.80° C.40° D.30° 【答案】C 【解析】解：∵EG平分∠BEF， ∴∠BEF＝2∠1＝140°， ∵AB∥CD， ∴∠3＝180°﹣∠BEF＝40°. 故选：C． 【举一反三3】如图，若m∥n，∠1＝105°，则∠2等于(　　) A.55° B.60° C.65° D.75° 【答案】D 【解析】解：∵m∥n， ∴∠1+∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补)， ∵∠1＝105°， ∴∠2＝180°﹣105°＝75°． 故选：D． 【题型8】平行线性质判定的综合运用 【典型例题】如图所示，下列推理正确的个数有(　　) ①若∠1＝∠2，则AB∥CD ； ②若AD∥BC，则∠3+∠A＝180°； ③若∠C+∠CDA＝180°，则AD∥BC； ④若AB∥CD，则∠3＝∠4． A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】C 【解析】解：∵∠1＝∠2， ∴AB∥DC，∴①正确； ∵AD∥BC， ∴∠CBA+∠A＝180°，∠3+∠A＜180°，∴②错误； ∵∠C+∠CDA＝180°， ∴AD∥BC，∴③正确； 由AD∥BC才能推出∠3＝∠4，而由AB∥CD不能推出∠3＝∠4，∴④错误. 正确的个数有2个. 故选：C． 【举一反三1】如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是(　　) A.∠1＝180°﹣∠3 B.∠1＝∠3﹣∠2 C.∠2+∠3＝180°﹣∠1 D.∠2+∠3＝180°+∠1 【答案】D 【解析】解：∵AB∥CD， ∴∠2+∠BDC＝180°，即∠BDC＝180°﹣∠2， ∵EF∥CD， ∴∠BDC+∠1＝∠3，即∠BDC＝∠3﹣∠1， ∴180°﹣∠2＝∠3﹣∠1，即∠2+∠3＝180°+∠1. 故选：D． 【举一反三2】如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果图中∠1是70°，那么∠2的度数是　         　． 【答案】110° 【解析】解：如图所示，由题意可知l∥l'， ∵l∥l'， ∴∠1+∠3＝180°(两直线平行，同旁内角互补)， 又∵∠1＝70°， ∴∠3＝110°， ∴∠2＝∠3＝110°(两直线平行，内错角相等)． 故答案为：110°． 【举一反三3】填写下面证明过程或推理依据： 证明：∵∠1+∠EFD＝180°( 　           　)， ∠1+∠2＝180°(已知)， ∴∠EFD＝　  　( 　              　)， ∴AB 　    　( 　                 　)， ∴∠ADE＝　    　( 　                  　)， ∵∠3＝∠B(已知)， ∴∠ADE＝∠B( 　      　)， ∴DE∥BC( 　                            　)， ∴∠DEC+∠C＝180°( 　                                 　)． 【答案】解：∵∠1+∠EFD＝180°(平角的定义)， ∠1+∠2＝180°(已知)， ∴∠EFD＝∠2(同角的补角相等)， ∴AB∥EF(内错角相等，两直线平行)， ∴∠ADE＝∠3(两直线平行，内错角相等)， ∵∠3＝∠B(已知)， ∴∠ADE＝∠B(等量代换)， ∴DE∥BC(同位角相等，两直线平行)， ∴∠DEC+∠C＝180°(两直线平行，同旁内角互补)． 故答案为：平角的定义；∠2；同角的补角相等；∥EF；内错角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【举一反三4】如图，D是BC上一点，DE∥AB，交AC于点E，DF∥AC交AB点F． (1)找出图中与∠BAC相等的角，并说明理由； (2)若∠BDE+∠CDF＝245°，求∠BAC的度数． 【答案】解：(1)∵DE∥AB， ∴∠DEC＝∠BAC， ∵DF∥AC， ∴∠BFD＝∠BAC，∠EDF＝∠DEC＝∠BAC， ∴与∠BAC相等的角有∠DEC，∠BFD，∠EDF. (2)∵∠BDE+∠CDF＝245°， ∴∠BDF+∠FDE+∠CDF＝245°， ∴∠BDC+∠FDE＝245°， ∴180°+∠FDE＝245°， ∴∠FDE＝65°， ∴由(1)可得，∠BAC＝∠FDE＝65°． 【题型9】实际问题的建模运用 【典型例题】近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)如图所示，其中BC⊥AB，ED∥AB，经使用发现，当∠DCB＝140°时，台灯光线最佳．则此时∠EDC的度数为(　　) A.130° B.120° C.110° D.100° 【答案】A 【解析】解：过点C作CK∥AB， ∵ED∥AB， ∴CK∥ED， ∵BC⊥AB， ∴BC⊥CK， ∴∠BCK＝90°， ∵∠DCB＝140°， ∴∠DCK＝∠DCB﹣∠BCK＝50°， ∵CK∥DE， ∴∠EDC+∠DCK＝180°， ∴∠EDC＝130°． 故选：A． 【举一反三1】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，∠1+∠2＝129°，∠3＝102°，则∠4的度数为(　　) A.57° B.54° C.52° D.51° 【答案】D 【解析】解：如图， ∵AC∥BD，∠3＝102°， ∴∠3＝∠MAC＝102°， ∵AB∥CD， ∴∠MAC+∠2＝180°， ∴∠2＝78°， ∵∠1+∠2＝129°， ∴∠1＝51°， ∵AE∥BF， ∴∠1＝∠FBM＝51°， ∵EF∥AB， ∴∠4＝∠FBM＝51°. 故选：D． 【举一反三2】如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝40°，边OB上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与边OB平行，∠ODE＝∠ADC，则∠CDE的度数是(　　) A.110° B.108° C.100° D.115° 【答案】C 【解析】解：过点D作DF⊥AO交OB于点F． ∵入射角等于反射角， ∴∠1＝∠3， ∵CD∥OB， ∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等), ∴∠2＝∠3(等量代换). 在Rt△DOF中，∠ODF＝90°，∠AOB＝40°， ∴∠2＝90°﹣40°＝50°， ∴∠3＝∠1＝∠2＝50°， ∴∠CDE＝∠1+∠3＝100°． 故选：C． 【举一反三3】如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝40°，边OB上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与边OB平行，∠ODE＝∠ADC，则∠CDE的度数是(　　) A.110° B.108° C.100° D.115° 【答案】C 【解析】解：过点D作DF⊥AO交OB于点F． ∵入射角等于反射角， ∴∠1＝∠3， ∵CD∥OB， ∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等), ∴∠2＝∠3(等量代换). 在Rt△DOF中，∠ODF＝90°，∠AOB＝40°， ∴∠2＝90°﹣40°＝50°， ∴∠3＝∠1＝∠2＝50°， ∴∠CDE＝∠1+∠3＝100°． 故选：C． 【举一反三4】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，∠1+∠2＝129°，∠3＝102°，则∠4的度数为(　　) A.57° B.54° C.52° D.51° 【答案】D 【解析】解：如图， ∵AC∥BD，∠3＝102°， ∴∠3＝∠MAC＝102°， ∵AB∥CD， ∴∠MAC+∠2＝180°， ∴∠2＝78°， ∵∠1+∠2＝129°， ∴∠1＝51°， ∵AE∥BF， ∴∠1＝∠FBM＝51°， ∵EF∥AB， ∴∠4＝∠FBM＝51°. 故选：D． 【举一反三5】如图是放置在水平操场上的篮球架及其侧面示意图，已知篮球架的横梁EF始终平行于底座AB，主柱AD垂直于地面.调整前，横梁EF与上拉杆CF形成的∠F＝130°，当∠CDB＝25°时，点H，D，B在同一条直线上，此时∠H的度数是 　　． 【答案】105° 【解析】解：过D点作DI∥EF，如图， ∴∠F+∠FDI＝180°， ∵∠F＝130°， ∴∠FDI＝50°， ∵∠CDB＝25°，主柱AD垂直于地面，EF始终平行于底座AB，∴∠IDA=90°, ∠FDH=∠CDB＝25°， ∴∠ADB＝180°﹣90°﹣25°﹣50°＝15°， ∴∠ABH＝90°﹣15°＝75°， ∵GH∥AB， ∴∠H+∠ABH＝180°， ∴∠H＝180°﹣75°＝105°． 故答案为：105°． 【举一反三6】光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，水面MN与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，变成光线BC射到水底C处，射线BD是光线AB的延长线，∠1＝60°，∠2＝43°，则∠DBC的度数为 　    　． 【答案】17° 【解析】解： ∵MN∥EF， ∴∠1+∠CBN＝180°， ∵∠1＝60°， ∴∠CBN＝180°﹣60°＝120°， ∵∠2＝43°， ∴∠CBA＝∠CBN+∠2＝120°+43°＝163°， ∵∠DBC+∠CBA＝180°， ∴∠DBC＝180°﹣163°＝17°， 故答案为：17°． 【举一反三7】如图是放置在水平操场上的篮球架及其侧面示意图，已知篮球架的横梁EF始终平行于底座AB，主柱AD垂直于地面.调整前，横梁EF与上拉杆CF形成的∠F＝130°，当∠CDB＝25°时，点H，D，B在同一条直线上，此时∠H的度数是 　　． 【答案】105° 【解析】解：过D点作DI∥EF，如图， ∴∠F+∠FDI＝180°， ∵∠F＝130°， ∴∠FDI＝50°， ∵∠CDB＝25°，主柱AD垂直于地面，EF始终平行于底座AB，∴∠IDA=90°, ∠FDH=∠CDB＝25°， ∴∠ADB＝180°﹣90°﹣25°﹣50°＝15°， ∴∠ABH＝90°﹣15°＝75°， ∵GH∥AB， ∴∠H+∠ABH＝180°， ∴∠H＝180°﹣75°＝105°． 故答案为：105°． 【举一反三8】某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知∠BAC＝120°，AB∥DE，∠D＝80°，则∠ACD＝　　°． 【答案】20 【解析】解：过点C作CF∥AB，如图所示， ∵AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴∠ACF＝∠BAC，∠D+∠DCF＝180°， 又∠BAC＝120°，∠D＝80°， ∴∠ACF＝120°，∠DCF＝100°， ∴∠ACD＝∠ACF﹣∠DCF＝20°． 故答案为：20． 【题型10】拐点问题 【典型例题】一副三角板如图所示摆放，若直线a∥b，则∠1的度数为(　　) A.10° B.15° C.20° D.25° 【答案】B 【解析】解：过点B作MN∥a， ∵a∥b， ∴MN∥a∥b， ∴∠1＝∠NBA，∠NBE＝∠CEB， ∵△BEC是等腰直角三角形， ∴∠BEC＝45°， ∴∠NBE＝45°， ∵△ABF直角三角形，∠ABF＝60°， ∴∠ABF＝∠ABN+∠NBE＝∠1+45°＝60°， ∴∠1＝15°. 故选：B． 【举一反三1】如图，AB∥CD，∠G＝90°，∠BEG＝x，则∠DFG可以表示为(　　) A.180°﹣x B.90°+x C.90°﹣x D.180°﹣2x 【答案】C 【解析】解：过点G作GH∥AB，如图所示， ∵AB∥CD， ∴AB∥GH∥CD， ∴∠EGH＝∠BEG，∠FGH＝∠DFG， ∴∠EGF＝∠EGH+∠FGH＝∠BEG+∠DFG， ∵∠EGF＝90°，∠BEG＝x， ∴90°＝x+∠DFG， ∴∠DFG＝90°﹣x． 故选：C． 【举一反三2】如图a∥b，则图中∠A，∠B，∠1，∠2的数量关系是 　                           　． 【答案】∠ABD﹣∠1＝∠CAB﹣∠2 【解析】解：如图，过点B作BM∥a，过点A作AN∥b，则∠1＝∠MBD，∠2＝∠CAN， ∵a∥b， ∴BM∥AN， ∴∠ABM＝∠BAN， ∴∠ABD﹣∠MBD＝∠CAB﹣∠CAN，即∠ABD﹣∠1＝∠CAB﹣∠2． 故答案为：∠ABD﹣∠1＝∠CAB﹣∠2． 【举一反三3】已知：直线AB∥CD，点P在AB的上方，且∠AEP＝50°，∠PFC＝120°． (1)如图1，求∠EPF的度数； (2)如图2，若∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数． 【答案】解：(1)如图1，过点P作PM∥AB， ∴∠MPE＝∠AEP＝50°， ∵AB∥CD， ∴PM∥CD， ∴∠PFC＝∠MPF＝120°， ∴∠EPF＝∠MPF﹣∠MPE＝120°﹣50°＝70°. (2)如图2所示， ∵EG是∠PEA的平分线，FG是∠PFC的平分线， ∴∠AEG= ∠AEP=25° ，∠GFC= ∠PFC=60°. 过点G作GM∥AB， ∴∠MGE＝∠AEG＝25°， ∵AB∥CD， ∴GM∥CD， ∴∠GFC＝∠MGF＝60°， ∴∠EGF＝∠MGF﹣∠MGE＝60°﹣25°＝35°． 学科网（北京）股份有限公司 $