精品解析：上海市市西中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题

市西中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期末 一、填空题（本大题满分54分，共有12题，请在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每题填对得4分，7-12题每题填对得5分） 1. 直线的倾斜角为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由直线垂直于 x 轴可得答案. 【详解】直线即这是一条垂直于 x 轴的直线，倾斜角为. 故答案为：. 2. 不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据分式不等式小于0的条件，把原不等式转化为分子、分母异号的不等式组，解不等式组求出解集． 【详解】， 或，解得， 不等式的解集为：． 故答案为：． 3. 椭圆的短轴长为______． 【答案】 【解析】 【分析】依据椭圆标准方程，根据短轴长求解即可. 【详解】椭圆的标准方程为，其中为长半轴长，为短半轴长，短轴长为， 而题干的椭圆方程可写成，所以，故短轴长为. 故答案为： 4. 数列为等比数列，，公比，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式可求答案. 【详解】因为等比数列中，，公比，所以. 故答案为： 5. 已知圆锥的底面半径为3，母线长为9，则该圆锥的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出圆锥的高，然后根据圆锥的体积公式即可求得. 【详解】 设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，则； 又，所以圆锥的体积为. 故答案为：. 6. 已知直线与圆，则圆截直线所得的弦长为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出圆的圆心及半径，再利用圆的弦长公式计算得解. 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 所以所求弦长为. 故答案为： 7. 设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆标准方程的特点列不等式，解不等式即可. 【详解】由题意，得，解得， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 8. 已知在中，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用余弦定理求出角的余弦值，再代入向量数量积的定义式，计算出的值. 【详解】在中，， 由已知条件得：， . 故答案为：. 9. 已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，则球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】将直三棱柱补成长方体，将问题转化为求解长方体外接球半径即可. 【详解】由，可知，，故， 将直三棱柱补成如图所示， 以为邻边的长方体， 故直三棱柱外接球半径等于长方体体对角线一半，即半径， 所以球的表面积为， 故答案为：. 10. 已知圆和圆内切，若直线既与圆相切，也与圆相切，则直线的斜率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两圆内切求出值，结合切线的性质得到直线应与过两圆圆心的直线垂直，即斜率之积为-1，代入求解即可. 【详解】圆圆心，半径；圆圆心，半径. 因为两圆内切，所以，即， 整理得，解得. 则圆圆心，半径. 设直线的斜率为. 由两圆内切且直线与两圆均相切可得，该直线应与过两圆圆心的直线垂直， 所以，即，解得. 故答案为：. 11. 粽子是我国南北各地的节令食品，因各地风俗不同，粽子的形状和食材也会不同．有一种各面都是正三角形的正四面体形粽子，若该正四面体粽子的棱长为cm，则现有cm体积的食材，最多可以包成这种粽子______个． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意得到正四面体粽子的体积为，即可得到答案. 【详解】设为的中心，连接，如图所示： 因为，解得， 所以， 所以， 因为，所以最多可以包成这种粽子个. 故答案为： 12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，以为直径作圆，若椭圆与圆有四个不同的交点，且该四个交点恰为一个面积为的矩形的四个顶点，则椭圆的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆方程可得，以为直径的圆为：，联立圆与椭圆的方程，求出，结合矩形其中一个顶点为及矩形的面积为，列方程求解即可. 【详解】由椭圆，得，则， 以为直径的圆为：， 联立，则， 而矩形其中一个顶点为， 因为矩形的面积为，所以，即， 则，解得，则， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 二、选择题（本大题满分18分，共有4题，每题有且只有一个正确答案，请在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13、14题选对得4分，15、16题选对得5分） 13. 设，则“”是“是实数”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分又不必要 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数与共轭复数及充分必要条件的定义判断即可. 【详解】设复数，则它的共轭复数. 若，则，化简得，所以，此时，是实数. 所以“”能推出“是实数”，充分性成立. 若是实数，则，此时，，所以. 所以 “是实数”能推出“”，必要性成立. 故“”是“是实数”的充分必要条件. 故选：C. 14. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的线性运算可得结果. 【详解】. 故选：A. 15. 如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：，求直线被椭圆所截得的弦长，代入椭圆方程即可求解. 【详解】以图中水面所在的直线为轴，水面的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：， 当水位上升时，水面的宽度也即当时，直线被椭圆所截的弦长. 把代入椭圆方程可得：， 所以当水位上升时，水面的宽度为， 故选：. 16. 如图，平面中两条直线和相交于点，所成角的大小为．对于平面上任意一点，若、分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”．给出下列命题： 命题甲：“距离坐标”为的点有且仅有4个； 命题乙：所有满足的点在一个以O为圆心的圆上．下列结论正确的是（ ） A. 甲、乙均为真命题 B. 甲、乙均为假命题 C. 甲为真命题，乙为假命题 D. 甲为假命题，乙为真命题 【答案】C 【解析】 【分析】根据“距离坐标”的概念可判断命题甲的真假，举反例可说明命题乙错误. 【详解】对命题甲：如下图，虚线部分分别为到两条直线的距离为1和2的平行直线，四条虚线总共有4个交点，故坐标为的点有且仅有4个.故命题甲为真命题. 对命题乙：如下图，和分别在直线和上， 易得，则点都在以为圆心，以为半径的圆上. 设点，即点到两条直线的距离均为，且满足. 但此时， 因为，所以，即点在圆外，故命题乙为假命题. 故选：C 三、解答题（本大题满分78分，共有5题，请在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤，若需添加辅助线，请用黑色字迹钢笔或水笔添画在答题纸上） 17. 已知点． （1）求外接圆的一般方程． （2）为坐标原点，求直线与直线夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程为，将点代入方程，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）根据题意，求得向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 设圆的一般方程为， 将点代入上式， 可得，即， 解得， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由，可得， 所以， 设直线与直线所成的角为， 则， 所以直线与直线所成的角的余弦值为. 18. 已知函数，． （1）若函数是偶函数，求实数的值． （2）若，将方程的所有正数解从小到大排列，构成数列，其前项和为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的定义和和角公式可求答案； （2）解出方程的根，求出通项公式，利用分组求和的方法可得答案. 【小问1详解】 因为函数是偶函数，所以，，整理可得，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 由得， 解得， 从小到大排列为：，所以， . 19. 如图，已知是正四棱柱，点是侧棱上的一点． （1）证明：直线直线． （2）若是中点，且直线与平面所成角的大小为，求二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题及线面垂直的判定定理可得平面，进而利用线面垂直的性质定理证明； （2）建立空间直角坐标系，设，由空间向量知识结合与平面夹角可得，随后可表示出平面与平面的法向量，据此可得答案. 【小问1详解】 如图，连接，由题可得四边形为正方形， 则，又由题可得平面，因平面， 则.又因平面，， 则平面，结合平面，可得； 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系，设. 则， . 易得平面法向量为，由题可得与平面夹角满足： . 则， 设平面法向量为，则， 取，则，，从而. 又平面法向量为，由图可得二面角的平面角为锐角， 则，因，则. 20. 已知椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，且是正三角形． （1）求椭圆的标准方程． （2）已知点，若对于椭圆上任意一点，均有，求实数的取值范围． （3）是否存在椭圆上两个不同的点，使得两点关于直线对称？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，由为正三角形，得到，求得，进而求得椭圆的标准方程； （2）设椭圆上的任意一点，得到，由恒成立，化简得到恒成立，令，结合二次函数的性质，分类讨论，列出不等式，即可求解； （3）假设存在椭圆上两点关于直线对称，得到直线的方程为，联立方程组，利用，求得，再由在直线上，求得，进而得到结论. 【小问1详解】 解：由椭圆的左右焦点分别为，，可得， 又由为正三角形，且，可得，即， 所以，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 解：设椭圆上的任意一点，则满足，即， 因为，可得， 将代入得， 由恒成立，即恒成立， 整理得恒成立， 令，可得的开口向上，对称轴为， 当时，即时，在上单调递增， 可得最小值为，解得，矛盾，舍去； 当时，即时，在上递减，在上递增， 可得最小值为，解得，矛盾，舍去； 当时，即时，在上单调递减， 可得最小值为，恒成立， 综上可得，实数的取值范围为. 【小问3详解】 解：假设存在椭圆上两点关于直线对称， 可得，所以的斜率为，可设直线的方程为， 又由的中点在直线上，可得， 联立方程组，整理得， 则，解得， 由，可得，则， 因为，可得，解得， 此时不满足， 所以不存在满足条件的点，使得两点关于直线对称. 21. 在空间直角坐标系中，已知圆柱下底面的圆心为坐标原点，旋转轴为轴，底面半径为1，高为2，点为该圆柱侧面（含上、下底面圆周）上的点. （1）写出点在平面上的投影的坐标，并证明：； （2）已知点，，在平面上，若，求点到平面的距离的最大值； （3）已知当时，点的轨迹是一个椭圆，求该椭圆所在平面的一个法向量及该椭圆的两个焦点的坐标. 【答案】（1），证明见解析 （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据点在平面上投影的定义即可判断投影点的坐标，结合圆的定义即可证明； （2）根据点的坐标可求得的坐标，进而可求得平面的法向量，利用点到平面的距离公式求得点到平面的距离，然后利用基本不等式即可求解； （3）取椭圆所在平面上不共线的三个点，可求得法向量的坐标，结合椭圆的定义可判断椭圆的长轴和短轴，利用勾股定理可求得对应点的坐标，进一步即可判断该椭圆的两个焦点在空间中的坐标. 【小问1详解】 因为是点在平面上的投影， 所以平面，故其坐标为； 因为点在底面的圆周上，又底面圆的半径为1， 所以，即； 【小问2详解】 依题意， 因为点，，在平面上， 所以； 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，则； 又当时，点的坐标为，所以； 由（1）知，，又， 所以，当且仅当时，取等号； 所以点到平面的距离为 ， 当且仅当，取等号； 所以点到平面的距离的最大值为； 【小问3详解】 取，则，， 设椭圆与上、下底面的交点为，圆柱与y轴交点为T， 则，， 且在椭圆所在平面上，所以， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，所以， 即该椭圆所在平面的一个法向量为； 如图，连接，则为椭圆的长轴长，底面直径为短轴长， 因为，，解得， 所以半焦距为； 在中，， 所以，所以； 在中，， 又，所以； 即该椭圆的两个焦点的坐标分别为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 市西中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期末 一、填空题（本大题满分54分，共有12题，请在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每题填对得4分，7-12题每题填对得5分） 1. 直线的倾斜角为______． 2. 不等式的解集为_____． 3. 椭圆的短轴长为______． 4. 数列为等比数列，，公比，则______． 5. 已知圆锥的底面半径为3，母线长为9，则该圆锥的体积为______. 6. 已知直线与圆，则圆截直线所得的弦长为______． 7. 设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是______． 8. 已知在中，，，，则______． 9. 已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，则球的表面积为______． 10. 已知圆和圆内切，若直线既与圆相切，也与圆相切，则直线的斜率为______． 11. 粽子是我国南北各地的节令食品，因各地风俗不同，粽子的形状和食材也会不同．有一种各面都是正三角形的正四面体形粽子，若该正四面体粽子的棱长为cm，则现有cm体积的食材，最多可以包成这种粽子______个． 12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，以为直径作圆，若椭圆与圆有四个不同的交点，且该四个交点恰为一个面积为的矩形的四个顶点，则椭圆的离心率为______． 二、选择题（本大题满分18分，共有4题，每题有且只有一个正确答案，请在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13、14题选对得4分，15、16题选对得5分） 13. 设，则“”是“是实数”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分又不必要 14. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 15. 如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（ ） A. B. C. D. 16. 如图，平面中两条直线和相交于点，所成角的大小为．对于平面上任意一点，若、分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”．给出下列命题： 命题甲：“距离坐标”为的点有且仅有4个； 命题乙：所有满足的点在一个以O为圆心的圆上．下列结论正确的是（ ） A. 甲、乙均为真命题 B. 甲、乙均为假命题 C. 甲为真命题，乙为假命题 D. 甲为假命题，乙为真命题 三、解答题（本大题满分78分，共有5题，请在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤，若需添加辅助线，请用黑色字迹钢笔或水笔添画在答题纸上） 17. 已知点． （1）求外接圆的一般方程． （2）为坐标原点，求直线与直线夹角的余弦值． 18. 已知函数，． （1）若函数是偶函数，求实数的值． （2）若，将方程的所有正数解从小到大排列，构成数列，其前项和为，求的值． 19. 如图，已知是正四棱柱，点是侧棱上的一点． （1）证明：直线直线． （2）若是中点，且直线与平面所成角的大小为，求二面角的大小． 20. 已知椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，且是正三角形． （1）求椭圆的标准方程． （2）已知点，若对于椭圆上任意一点，均有，求实数的取值范围． （3）是否存在椭圆上两个不同的点，使得两点关于直线对称？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 21. 在空间直角坐标系中，已知圆柱下底面的圆心为坐标原点，旋转轴为轴，底面半径为1，高为2，点为该圆柱侧面（含上、下底面圆周）上的点. （1）写出点在平面上的投影的坐标，并证明：； （2）已知点，，在平面上，若，求点到平面的距离的最大值； （3）已知当时，点的轨迹是一个椭圆，求该椭圆所在平面的一个法向量及该椭圆的两个焦点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $