精品解析：上海市市西中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

市西中学2024学年第一学期高二年级数学期末 2025.01 一、填空题（本大题满分42分，共有12题，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分） 1. 已知直线的一个法向量是，则它的斜率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的法向量与直线的方向向量垂直即可求解. 【详解】设直线的斜率为，则直线的方向向量为， 直线的一个法向量是， ，解得. 直线的斜率为. 故答案为：. 2. 若，则______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据排列数的运算性质计算即可求解. 【详解】由题意知，，则， 由，解得. 故答案为：7 3. 如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】由圆锥的侧面积公式 故答案为：2π 4. 已知球的表面积是，则该球的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】 设球的半径为r，代入表面积公式，可解得，代入体积公式，即可得答案. 【详解】设球的半径为r，则表面积， 解得， 所以体积， 故答案为： 【点睛】本题考查已知球的表面积求体积，关键是求出半径，再进行求解，考查基础知识掌握程度，属基础题. 5. 设，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据赋值法求解即可； 【详解】根据二项式性质，令解得：， 故答案为：1. 6. 在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点P到底面的距离为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据点面距公式代入计算即可得. 【详解】由点面距公式得， 故答案为： 7. 已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为________. 【答案】或． 【解析】 【分析】先求，再根据夹角公式求得直线的斜率，利用点斜式即可求出直线的方程. 【详解】设直线的斜率为， 因为，且为锐角， 所以， 所以，解得， 故过点，且与直线的夹角为的直线的方程 为，即． 当直线的斜率不存在时，此时直线的方程，符合题意. 所以直线的方程为或. 故答案为：或 8. 某学校为了获得该校全体高中学生的体有锻炼情况，按照男、女生的比例分别抽样调查了55名男生和45名女生的每周锻炼时间，通过计算得到男生每周锻炼时间的平均数为8小时，方差为6；女生每周锻炼时间的平均数为6小时，方差为8．根据所有样本的方差来估计该校学生每周锻炼时间的方差为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出100名学生每周锻炼的平均时间，然后再求这100名学生每周锻炼时间的方差，从而可估计该校学生每周锻炼时间的方差 【详解】由题意可得55名男生和45名女生的每周锻炼时间的平均数为 小时， 因为55名男生每周锻炼时间的方差为6；45名女生每周锻炼时间的方差为8， 所以这100名学生每周锻炼时间的方差为 ， 所以该校学生每周锻炼时间的方差约为， 故答案为： 9. 如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为，，. 例如，图中上档的数字和. 若，，成等差数列，则不同的分珠计数法有____种. 【答案】32 【解析】 【分析】先确定每档可取的整数，再根据公差分类讨论，最后根据分类计数原理得结果. 【详解】每档可取7到14中的每个整数， 若公差为0，共有8种； 若公差为±1，则共有12种； 若公差为±2，则共有8种； 若公差为±3，则共有4种； 所以，不同分珠方法有：8＋12＋8＋4＝32种， 故答案为32 【点睛】本题考查分类计数原理，考查基本分析求解能力，属难题. 10. 从边长为1的正八边形的顶点中随机选3个点作为三角形的顶点，从棱长为2的正方体的顶点中随机选3个点作为三角形的顶点，则为直角三角形的概率是为等腰三角形的概率的________倍． 【答案】2 【解析】 【分析】先求出八边形中的等腰三角形的个数，从而由组合知识得到为等腰三角形的概率为，再求出不是直角三角形的情况，得到为直角三角形的概率为，得到答案. 【详解】在八边形中，以为顶点的等腰三角形有3个， 分别为， 故为等腰三角形的情况数共个， 故为等腰三角形的概率为， 从棱长为2的正方体的顶点中随机选3个点作为三角形的顶点， 不是直角三角形的情况，如下图中的等边三角形，这样的等边三角形共8个， 分别为，，，，，，，， 所以为直角三角形的概率为， 由于， 故为直角三角形的概率是为等腰三角形的概率的2倍. 故答案为：2 11. 如图，点是棱长为2的正四面体底面的中心，过点的直线交棱于点是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交下点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】确定，根据共面得到，解得答案. 【详解】 ； 四点共面，故，即. 故答案为： 12. 已知直三棱柱中，，过点的平面分别交棱AB，AC于点D，E，若直线与平面所成角为，则截面三角形面积的最小值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先推导出平面，过点作交于点，再证明平面，所以，设，由等面积法可知，，从而，即可求解. 【详解】因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 平面，所以， 过点作交于点，连接， ，，平面， 所以平面，过点作交于点， 因为平面，所以， 平面，，所以平面， 因为直线与平面所成角为，所以， 在中，由，，可得，， 设，在中，，由等面积法可知， 因为平面，又由平面，所以， 所以， 因为， 当且仅当时，等号成立，所以. 故答案为：. 二、选择题（本大题满分16分，每题4分） 13. 某家大型超市近10天的日客流量（单位：千人次）分别为：2.5、2.8、4.4、3.6.下列图形中不利于描述这些数据的是（ ） A. 散点图 B. 条形图 C. 茎叶图 D. 扇形图 【答案】A 【解析】 【分析】根据数据的特征以及各统计图表的特征分析即可； 【详解】解：茎叶图、条形图、扇形图均能将数据描述出来，并且能够体现出数据的变化趋势；散点图表示因变量随自变量而变化的大致趋势，故用来描述该超市近10天的日客流量不是很合适； 故选：A 14. 已知直线与直线，那么“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可 【详解】解：当时，，而当时，， 所以“”是“”的充分必要条件， 故选：C 15. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A. 甲地：总体均值为3，中位数为4 B. 乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C. 丙地：中位数为2，众数为3 D. 丁地：总体均值为2，总体方差为3 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合. 考点：众数、中位数、平均数、方差 16. 如图，在四棱台中，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断出的最小值为四棱台的高，添加如图所示的辅助线后可求四棱台的高，从而可得所求的最小值. 【详解】如图，设，则平面， 故， 的最小值即为四棱台的高. 如下图，过作，垂足为，过作，垂足为， 过作平面，垂足为，连接， 则，， 因为，，故， 故，而，故，所以， 因为平面，故，而， 故平面，因平面，故， 故，故，即的最小值为， 故选：B. 三、解答题（本大题满分42分，本大题共5题） 17. 如图，在直三棱柱中，，，⊥，交于点，为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）因为三棱柱为直三棱柱， 所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 因为⊥，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由直三棱柱得到⊥，根据⊥，得到线面垂直，故⊥，结合得到线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，结合（1），求出平面的一个法向量为，利用线面角的求解公式得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设，， 因为，所以， 解得，则， 由（1）知，平面的一个法向量为， 又， 设直线与平面所成角的大小为， 则 故直线与平面所成角大小为 18. 证明：如果两个事件A与B独立，那么事件A与也独立． 【答案】因为， 根据互斥事件的概率加法公式，可得， 因为两个事件A与B独立，所以， 所以 ， 故事件A与独立. 【解析】 【分析】根据得，结合事件A与B独立，得到，从而得到. 【详解】略 19. 某微小企业员工的年龄分布茎叶图如图所示： （1）求该公司员工年龄的平均数和第百分位数； （2）从该公司员工中随机抽取一位，记所抽取员工年龄在区间内为事件，所抽取员工年龄在区间内为事件，判断事件与是否互相独立，并说明理由. 【答案】（1）年龄的平均数为，第百分位数为； （2）事件、相互独立，理由：由茎叶图可知，，， 事件为“抽取员工的年龄为岁”，则， 所以，，所以，事件、相互独立. 【解析】 【分析】（1）根据平均数公式以及百分位数的定义可求得结果； （2）求出、、的值，利用独立事件的定义判断可得出结论. 【小问1详解】 该公司员工年龄（单位：岁）由小到大依次为：、、、、、、、、、、、， 年龄的平均数为； 该公司共有名员工，因为， 故该公司员工年龄的第百分位数为. 【小问2详解】 略 20. 如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角形锯成三角形，设直线的斜率为． （1）求直线的方程（用表示）； （2）求锯成的面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的方程；（2）先由题意确定的范围，再联立直线方程组即可求得M、N的坐标，再利用（1）结论可得到与M到直线的距离，由此得到的面积关于的关系式，利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 设直线， 因为直线过点，所以，即， 所以， 【小问2详解】 又因为，，易得直线，直线， 联立，解得；联立，解得， 故，. 因为，，所以，所以， 因为， 设M到直线的距离为d，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以S的最小值为. 21. 清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若． （1）求该“蒺藜形多面体”的表面积和体积； （2）若点，分别在线段，上移动，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正四面体的表面积即可求解，利用割补法，结合体积公式即可求解； （2）建立空间坐标系，利用点点距离即可求解. 【小问1详解】 因为，所以． 蒺藜形多面体的表面可看作是八个全等的棱长为的小正四面体构成， 故该几何体的表面积为． 该几何体的体积为 【小问2详解】 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，   ， 当且仅当，时，等号成立． 故PQ的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 市西中学2024学年第一学期高二年级数学期末 2025.01 一、填空题（本大题满分42分，共有12题，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分） 1. 已知直线的一个法向量是，则它的斜率为__________． 2. 若，则______. 3. 如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为_______. 4. 已知球的表面积是，则该球的体积为________. 5. 设，则______. 6. 在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点P到底面的距离为________. 7. 已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为________. 8. 某学校为了获得该校全体高中学生的体有锻炼情况，按照男、女生的比例分别抽样调查了55名男生和45名女生的每周锻炼时间，通过计算得到男生每周锻炼时间的平均数为8小时，方差为6；女生每周锻炼时间的平均数为6小时，方差为8．根据所有样本的方差来估计该校学生每周锻炼时间的方差为________． 9. 如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为，，. 例如，图中上档的数字和. 若，，成等差数列，则不同的分珠计数法有____种. 10. 从边长为1的正八边形的顶点中随机选3个点作为三角形的顶点，从棱长为2的正方体的顶点中随机选3个点作为三角形的顶点，则为直角三角形的概率是为等腰三角形的概率的________倍． 11. 如图，点是棱长为2的正四面体底面的中心，过点的直线交棱于点是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交下点，则______． 12. 已知直三棱柱中，，过点的平面分别交棱AB，AC于点D，E，若直线与平面所成角为，则截面三角形面积的最小值为_____________． 二、选择题（本大题满分16分，每题4分） 13. 某家大型超市近10天的日客流量（单位：千人次）分别为：2.5、2.8、4.4、3.6.下列图形中不利于描述这些数据的是（ ） A. 散点图 B. 条形图 C. 茎叶图 D. 扇形图 14. 已知直线与直线，那么“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A. 甲地：总体均值为3，中位数为4 B. 乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C. 丙地：中位数为2，众数为3 D. 丁地：总体均值为2，总体方差为3 16. 如图，在四棱台中，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分42分，本大题共5题） 17. 如图，在直三棱柱中，，，⊥，交于点，为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 18. 证明：如果两个事件A与B独立，那么事件A与也独立． 19. 某微小企业员工的年龄分布茎叶图如图所示： （1）求该公司员工年龄的平均数和第百分位数； （2）从该公司员工中随机抽取一位，记所抽取员工年龄在区间内为事件，所抽取员工年龄在区间内为事件，判断事件与是否互相独立，并说明理由. 20. 如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角形锯成三角形，设直线的斜率为． （1）求直线的方程（用表示）； （2）求锯成的面积的最小值． 21. 清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若． （1）求该“蒺藜形多面体”的表面积和体积； （2）若点，分别在线段，上移动，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $