精品解析：陕西咸阳育才田家炳中学2025-2026学年度第一学期期末质量检测高二数学试题

咸阳市育才田家炳中学2025~2026学年度第一学期期末质量检测 高二年级数学学科试题 考查范围：空间向量与立体几何、平面解析几何、数列、函数与导数 时长：120分钟 满分：150分 命题人：刘文斌 注意事项： 1．答卷前，考生务必核对自己的姓名、准考证号. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3．考试结束后，答题卡要交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 在正方体中，则直线与直线所成的角为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线的倾斜角为，则（ ） A. 等于 B. 等于 C. 等于 D. 不存在 4. 数列的第9项是（ ） A. B. C. D. 5. 在等差数列中，，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 6 6. 已知是等比数列，且，则（ ） A. 64 B. 32 C. 16 D. 8 7. 某物体运动后，其位移（单位：）为.在这段时间里，该物体的平均速度为（ ） A. B. C. D. 8. 曲线在点处的切线方程为（   ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知数列的通项公式为则（ ） A. B. C. D. 10. 如图是的导数的图象，则下面判断错误的是（ ） A. 在内是增函数 B. 在内是减函数 C. 在时取得极大值 D. 当时取得极小值 11. 已知曲线，，则（ ） A. 与的焦点坐标相同 B. 的长轴长为8 C. 与的离心率互为倒数 D. 的渐近线方程为 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 12. 已知圆柱底面圆的半径为1，母线长为4，则该圆柱的体积为______． 13. 已知直线，，则和之间的距离为_________． 14. 已知3是a与b的等差中项，1是a与b的等比中项，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设是等比数列， （1）求的通项公式； （2）求． 16. 已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过的直线与交于，两点. （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线的倾斜角为，求. 17. 在正四棱柱中，是棱上的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 若，求： （1）的单调递减区间； （2）在上的最小值和最大值． 19. 直线经过两直线和的交点. （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 咸阳市育才田家炳中学2025~2026学年度第一学期期末质量检测 高二年级数学学科试题 考查范围：空间向量与立体几何、平面解析几何、数列、函数与导数 时长：120分钟 满分：150分 命题人：刘文斌 注意事项： 1．答卷前，考生务必核对自己的姓名、准考证号. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3．考试结束后，答题卡要交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：C. 2. 在正方体中，则直线与直线所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义，结合正方体的性质即可求解. 【详解】在正方体中，, 故直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角, 由于，故直线与直线所成的角为, 故选：A 3. 若直线的倾斜角为，则（ ） A. 等于 B. 等于 C. 等于 D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】利用是一个常数值，得出直线是一条垂直于轴的直线，从而得出直线的倾斜角． 【详解】因为是一条垂直于轴的直线， 所以直线的倾斜角为，故C正确． 故选：C 4. 数列的第9项是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察分子为等差数列，通项，分母等于分子，且奇数项为正，偶数项为负，即可得出答案. 【详解】分子为等差数列，通项，；分母；奇数项为正. 故选：D 5. 在等差数列中，，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的性质即可求解. 【详解】由等差数列的性质得，解得， 又因为，，解得. 故选：D. 6. 已知是等比数列，且，则（ ） A. 64 B. 32 C. 16 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的基本量计算即可. 【详解】设等比数列的公比是， 因为且，所以，所以； 所以； 故选：B 7. 某物体运动后，其位移（单位：）为.在这段时间里，该物体的平均速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均速度的含义，代入数据，计算即可得答案. 【详解】当时，位移为， 当时，位移为， 在这段时间里，该物体的平均速度为. 故选：A. 8. 曲线在点处的切线方程为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求导函数，得到斜率为 ，再利用点斜式写出切线方程化简即可. 【详解】求导函数得到，则切线斜率为 ， 所以曲线在点处的切线方程为，即； 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知数列的通项公式为则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】计算即可判断AB选项，计算出即可判断CD选项. 【详解】因为以， ，所以A错误，B正确； ，故C正确； 因为，所以，所以，故D错误． 故选：BC. 10. 如图是的导数的图象，则下面判断错误的是（ ） A. 在内是增函数 B. 在内是减函数 C. 在时取得极大值 D. 当时取得极小值 【答案】AC 【解析】 【分析】由的图象，可得函数的单调性，从而即可求解. 【详解】解：对A，由的图象，可知时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故选项A错误； 对B，由的图象，可知时，，所以在上单调递减，故选项B正确； 对C，由的图象，可知时，， 所以在上单调递增，因为左右两边的单调性相同，所以取不到极大值，故选项C错误； 对D，由的图象，可知时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在时取得极小值，故选项D正确. 故选：AC. 11. 已知曲线，，则（ ） A. 与的焦点坐标相同 B. 的长轴长为8 C. 与的离心率互为倒数 D. 的渐近线方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】分析椭圆和双曲线的性质，再逐项判断即可. 【详解】对：， 可知焦点在轴上，其中，，所以. 所以长轴长为，离心率为； 对，可知焦点在轴上，且，， 所以，所以其离心率， 渐近线为. 所以A错误，BCD正确. 故选：BCD 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 12. 已知圆柱底面圆的半径为1，母线长为4，则该圆柱的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱的体积公式求得正确答案. 【详解】依题意，圆柱的体积为. 故答案为： 13. 已知直线，，则和之间的距离为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两平行线的距离公式即可求解. 【详解】直线即， 所以和之间的距离为. 故答案为：. 14. 已知3是a与b的等差中项，1是a与b的等比中项，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差中项得到的值，利用等比中项的值，则代入数值得到求解. 【详解】是a与b的等差中项，，， 是a与b的等比中项，， . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设是等比数列， （1）求的通项公式； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设条件算出公比，进而得到通项公式； （2）利用等比数列的求和公式计算. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 由题知，解得， 则等比数列的通项公式； 【小问2详解】 结合（1）可知，是首项为，公比为的等比数列， 共项， 由等比数列的求和公式， 16. 已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过的直线与交于，两点. （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线的倾斜角为，求. 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】（1）依题意求出焦准距，即得抛物线方程； （2）先求得直线的方程，与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用抛物线焦点弦公式计算即得. 【小问1详解】 由题意，，则抛物线的标准方程为：. 【小问2详解】 由抛物线可得其焦点为，则直线的方程为：， 将其代入抛物线方程，整理得：， 则，设，则， 于是. 17. 在正四棱柱中，是棱上的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， ， 因为， 所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，通过验证即可证明； （2）写出与平面的法向量，再运用向量夹角公式即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题可知，. 则， 设平面的法向量为， 则有，即， 不妨取，则，故. 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 18. 若，求： （1）的单调递减区间； （2）在上的最小值和最大值． 【答案】（1）的增区间为，减区间为 （2），. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数并判断其符号后可得函数的单调区间； （2）根据（1）中的单调性可得函数的最值. 【小问1详解】 ， 当或时，；当时，， 故的增区间为，减区间为. 【小问2详解】 由（1）可得在为减函数，在上为增函数， 故，. 19. 直线经过两直线和的交点. （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出直线、的交点坐标，求出直线的斜率，可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求出的值，综合可得出直线的方程. 【小问1详解】 联立两直线和的方程，解得，，即交点坐标为， 直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 根据题意得：圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为，即. 综上，直线的方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $