2026年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟题（四）

2026年广东省普通高中学业水平合格性考试模拟题（四） 数 学 本试卷共10页，23小题，满分150分。考试用时150分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将时间类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.作答选考题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 5.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．设集合，，则（    ）． A． B． C． D． 3．函数的周期为 A． B． C． D．12 4．命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 5．设函数，则下列函数中为奇函数的是（       ） A． B． C． D． 6．已知正方体的棱长为，为正方体内部一动点，球为正方体内切球，过点作直线与球交于，两点，若的面积最大值为4，则满足条件的点形成的几何体体积为（ ） A． B． C． D． 7．为了得到函数，的图像，只需将余弦曲线上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 8．有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取了3000个数据，统计如下： 数据 个数 800 1300 900 平均数 78.1 85 91.9 请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数约为（    ） A．91.16 B．85.23 C．84.73 D．79.97 9．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．某校组织学生选报数学建模、物理实验两门选修课，规定每位学生至少选报一门.已知选报数学建模的学生占比，选报物理实验的学生占比.现在等可能的从该校选取一名学生，设事件A为“该学生选报数学建模”，事件为“该学生选报物理实验”，事件为“该学生两门选修课都选报”，则下列结论错误的是（   ） A． B．A与不互斥 C． D．A与相互独立 11．设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则下列结论中正确的是（      ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 12．若函数在定义域上是单调递增函数，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 13．设，则的值为 ． 14．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边与以坐标原点为圆心、为半径的圆交于点，若点的横坐标与纵坐标之和为，则的值为 ． 15．在中，，M为BC的中点，则_______．（用表示） 16．已知关于x的不等式其中且，若该不等式的解集恰好为， 则 17．在平面直角坐标系中,已知点A在单位圆上且位于第三象限,点A的纵坐标为-,若点A沿单位圆逆时针运动到点B,所经过的弧长为,则点B的坐标为　　　　.  18．已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则这个圆台的侧面积为 . 三、解答题（本大题共4小题，第19,20,21小题各10分，第22小题12分，共42分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。） 19．设函数是定义在R上的函数，对任意的实数都有，且当时的取值范围是． (1)求证：存在实数使得； (2)当时，求的取值范围； (3)判断函数的单调性，并予以证明． 20．某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，，）. （1）求选取的市民年龄在内的人数； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； （3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率. 21．已知、，分别是内角，，的对边，，． （1）求； （2）若的面积为，求． 22．多面体ABCDE中，与均为边长为2的等边三角形，为腰长为的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F为BC的中点. (1)求证：平面ECD； (2)求多面体ABCDE的体积. 参考答案 1．【答案】B 【详解】, 若，则，， 所以复数在复平面内对应的点位于第二象限. 故选B 2．【答案】D 【详解】集合，， 则， 故选D. 3．【答案】C 【分析】 根据求解即可 【详解】 由题,,则, 故选：C 4．【答案】A 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“”的否定为：． 故选A． 5．【答案】A 【分析】 根据奇函数的定义，进行判断即可得解. 【详解】 对A，令 ，的定义域为，关于原点对称， ，则为奇函数. 对B，令 ，的定义域为，的定义域不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数. 对C，的定义域为，不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数. 对D，的定义域为，不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数. 故选：A. 6．【答案】D 7．【答案】B 【分析】根据余弦函数平移规律直接判断. 【详解】将图像所有的点向右平移个单位长度，得到图像， 即为了得到函数，的图像，只需将余弦曲线上所有的点向右平行移动个单位长度. 故选：B 8．【答案】B 【详解】由题可知：样本平均数为， 所以估计这4万个数据的平均数约为. 故选B 9．【答案】A 【分析】根据题意分析可知，利用基本不等式运算求解. 【详解】因为正实数x，y满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选A. 10．【答案】D 【详解】因为每位学生至少选报一门，所以，C正确； 由容斥原理，所以， 所以，A正确； 因为，所以A与B不互斥，B正确； 因为，，所以A与C不独立，D错误. 故选D 11．【答案】C 【详解】对于A中，由，只有当与相交时才能得到，所以A错误； 对于B中，由，，可得，又由，所以，所以B错误； 对于C中，若，，所以，又，所以，所以C正确； 对于D中，由，，则或，当时，由，则或与异面；当时，由，则或与相交，所以D错误． 故选C. 12．【答案】D 【详解】函数在定义域上是单调递增函数，则有：，解得. 故选D. 点睛：本题主要考查函数的单调性，考查分段函数连续单调的问题.分段函数有两段，第一段是一次函数，第二段是指数函数.对于一次函数，要单调递增就需要斜率大于零，对于指数函数，要单调递增就需要底数大于一.两段分别递增还不行，还需要在两段交接的地方，左边不大于右边，这样才能满足在身上单调递增. 13．【答案】 【详解】，. 14．【答案】/ 【详解】设，由题意可知，所以， 所以. 15．【答案】 【详解】解：，，所以。 16．【答案】4 【详解】由二次函数，所以， 因为，不等式的解集一定是两个区间，而不是一个区间， 所以， 而当时，因为二次函数关于对称， 所以不等式的解集中的端点值满足， 此时有，代入得， 解得或， 当时，与矛盾，故舍去； 当时，，此时满足题意，即. 17．【答案】 【详解】设点A是角α的终边与单位圆的交点, 因为点A在单位圆上且位于第三象限,点A的纵坐标为-, 所以sin α=-, cos α=-=-, 因为点A沿单位圆逆时针运动到点B,所经过的弧长为, 所以∠AOB==, 所以点B的横坐标为cos=-sin α=, 纵坐标为sin=cos α=-, 即点B的坐标为. 18．【答案】 【详解】因为圆台的上底面圆半径2，下底面圆半径4，它的侧面展开图扇环的圆心角为， 设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为x，如图，由题意可得： ，解得， 所以圆台的侧面积.    19．【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)单调递减，证明见解析. 【详解】（1）令，则， 当时的取值范围是，即，故， 显然存在，使，得证； （2）令，则，即， 若，则，故，即， 而，则，当时，取值范围是； （3）单调递减，证明如下： 令，则， 所以，则， 由题设及（2）知，，则，即， 所以单调递减，得证. 20．【答案】（1）20； （2）平均数32.25; 第80百分位数37.5； （3） 【详解】（1）由题意可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为. （2）平均数为 32.25; 前三组的频率和为， 第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为. （3）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法在第3，4两组市民抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，，则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，，，，，，，共有10种. 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，，，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为. 21．【答案】（1）；（2）2. 【解析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，然后结合余弦定理可求； （2）由已知结合三角形的面积公式即可直接求解． 【详解】（1）由及正弦定理可得，， 所以， 即，所以，所以， 因为，所以， 由余弦定理可得，. （2）由（1）知， 因为的面积为，所以，解可得， 则. 【关键点拨】本题的关键在于正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面积公式在求解三角形中的应用． 22．【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 （1）由面面垂直得线面垂直，进而得到线线平行，从而证得线面平行；（2）将多面体ABCDE分为两个三棱锥进行求解体积. 【详解】 (1) 证明：因为为等腰三角形，F为BC的中点，所以AF⊥BC， 又平面ABC⊥平面BCD，平面平面，平面ABC. 所以AF⊥平面BCD，取CD的中点G，连接EG，因为是等边三角形，所以EG⊥CD，因为平面CDE⊥平面BCD，交线为CD，且EG平面CDE，所以EG⊥平面BCD，所以， 又平面ECD，平面ECD，所以平面ECD. (2) 设多面体ABCDE的体积为V，则，连接DF， 因为与均为边长为2的等边三角形， 为腰长为的等腰三角形，所以，， 所以， 因为，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC， 所以 故. 学科网（北京）股份有限公司 $