1.2整式的乘法寒假预习讲义-2025-2026学年北师大版七年级下学期数学（知识点归纳+题型精讲+能力测试）.

1.2整式的乘法寒假预习讲义（北师大版） 💧 预习内容概览 1.课前预习◆目标 2重点知识◆梳理归纳 3.核心考点◆精讲精练 4.强化巩固◆单元闯关 ☘ 课前预习★目标 ●掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式的计算方法及应用，明确运算步骤和符号处理要点； ●初步感知多项式乘多项式的转化思想，能尝试运用分配律完成基础运算； ●能区分整式乘法的不同类型，选择对应法则进行计算，养成规范书写运算过程的习惯； ●结合简单实际情境，尝试运用整式乘法解决初步的数学问题，体会运算的实际意义。 💦 重点知识★梳理归纳 【知识点1】单项式的乘法法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式． 【重点提醒】（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用． （2） 单项式的乘法方法步骤：①积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；②相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式;③运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成． （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则． 【知识点2】单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 即． 【重点提醒】（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题． （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同． （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号． （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果． 【知识点3】多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即． 【重点提醒】多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积．多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并．特殊的二项式相乘： ✔ 核心考点★精讲精练 题型1计算单项式乘单项式 【例1】．长方形的长为，宽为，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．定义新运算：，则的运算结果是 ． 【变式2】．计算： (1) (2) 题型2计算单项式乘多项式及求值 【例2】．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．若，则的值是 ． 【变式2】．化简： 题型3单项式乘多项式的应用 【例3】．如图，在长方形土地的内部围出一个长方形区域，尺寸如图所示（单位：），则用含有a，b，x的式子表示图中阴影部分的面积（   ）． A． B． C． D． 【变式1】．一个长方形的长宽之和为5，一边长为，则这个长方形的面积可以用含的式子表示为 ． 【变式2】．已知用7个完全相同的长、宽分别为，的小长方形（如图1）和两个阴影长方形，拼成1个宽为10的大长方形（如图2）． (1)大长方形的长为________，阴影长方形的面积为________；（用含，的代数式表示） (2)若，求阴影长方形与阴影长方形的周长的和． 题型4计算多项式乘多项式 【例4】．下列各式中，结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．有一电脑程序能处理整式的相关计算，已知输入的整式，整式，屏幕自动将整式补齐，则整式 ． 【变式2】．计算 (1) (2) 题型5多项式乘多项式与图形面积 【例5】．我们知道对于一个几何图形，可以采用两种不同的方法计算它的面积，从而得到一个数学等式．如图，可以得到的数学等式是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．小明有足够多的如图所示的正方形卡片A，B和长方形卡片C，如果他要拼一个长为，宽为的大长方形，共需要C类卡片 张； 【变式2】．张伯伯去年租了一块长为、宽为的长方形土地，今年续租时，土地承包商对张伯伯说：“我把这块地的长增加10m，宽减少10m，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”请你通过所学知识帮助张伯伯算一算他是否吃亏． 题型6（x+p）(x+q)型多项式乘法 【例6】．若，则m、n的值分别是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．若，则的值为 ． 【变式2】．已知时，关于x的多项式能被整除，求m的值． 题型7利用单项式乘法求字母或代数式的值 【例7】．如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 【变式1】．已知，则 ， ． 【变式2】．小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 题型8利用单项式乘多项式求字母的值 【例8】．已知单项式，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如果的展开式中不含有这一项，那么的值为 ． 【变式2】．已知中不含项，求a的值． 题型9已知多项式乘积不含某项求字母的值 【例9】．要使的结果中不含项，则的值为（   ） A．2 B． C．0 D．1 【变式1】．已知．若的值与x的取值无关，则当时，A的值为 ． 【变式2】．已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项，求的值． 题型10多项式乘法中的规律性问题 【例10】．“杨辉三角”给出了展开式的系数规律（其中n为正整数，展开式的项按a的次数降幂排列）： 依据以上规律，写出展开式中含的系数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式（的次数由大到小的排列，的次数由小到大的排列）的系数规律（两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方左右两个数之和） 根据上面的规律，的展开式为 ． 【变式2】．观察下列各式． (1)根据以上规律，则 _______； (2)你能否由此归纳出一般规律_______； (3)根据以上规律求： 的结果． ✍ 强化巩固★单元闯关 一、单选题 1．下列计算正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．若，则代数式的值为（    ） A．16 B． C．20 D． 3．已知，代数式的值是（   ） A． B．3 C．5 D．7 4．已知单项式与的积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．若，则（    ） A．6 B． C．8 D． 6．若展开后不含的一次项，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 7．对任意两个有理数定义一种运算“”，具体运算方式为，下列结论正确的是（    ） A． B．对任意有理数m，n，有 C．当时， D．当时， 8．观察下列各式，寻找规律．已知，计算： ，， ，，… 则的个位数字是（   ） A． B． C． D． 9．如图，边长为a的正方形，边长为b的正方形，边长为b，c的长方形，边长为b，的长方形，组成了边长为a，的长方形．其中边长为a的大正方形面积为26，图中的阴影部分的总面积为8，则边长为b的小正方形的面积为（    ） A．7 B．10 C．11 D．14 二、填空题 10．计算： ． 11．计算： （1）________________． （2）_________________． 12．若，则 ． 13．当时，的值是 ． 14．已知单项式与的积为，则 ． 15．若计算的结果中含项的系数为，则的值为 ． 16．若要使 的展开式中不含的项，则常数a的值为 ． 17．正方形和正方形的边长分别为，用含的代数式表示阴影部分的面积 ；（要化简哟） 18．某班级组织联欢活动布置教室，需要制作出一些边长如图所示的A，B，C三种彩色卡片，其中．最后需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，那么所准备的C种卡片的张数不能少于 张． 19．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，它揭示了（n为非负整数）展开式的各项系数的规律，根据图中规律，展开式中含项的系数是 ． 三、解答题 20．计算： (1)． (2)． (3)． 21．计算： (1)； (2)． 22．先化简，再求值：，其中． 23．已知的计算结果中不含x的三次项，求a的值． 24．某工厂设计了一个新的零件模型，该模型平面图为一个大长方形内部挖去一个小长方形（如图）．其中大长方形的长为，宽为，小长方形的长为，宽为． (1)求零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）；（结果需要化简） (2)零件模型平面图的面积比挖去的小长方形的面积大多少平方厘米？ 25．小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为和______． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“系多项式”．若关于x的多项式是“系多项式”，则______． 26．我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式 ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得： 【理解应用】 (1)若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ； (2)已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 27．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为________； (2)展开式中共有________项，第19项系数为________； (3)根据上面的规律，写出的展开式：________； (4)利用上面的规律计算：； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2整式的乘法寒假预习讲义（北师大版） 💧 预习内容概览 1.课前预习◆目标 2重点知识◆梳理归纳 3.核心考点◆精讲精练 4.强化巩固◆单元闯关 ☘ 课前预习★目标 ●掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式的计算方法及应用，明确运算步骤和符号处理要点； ●初步感知多项式乘多项式的转化思想，能尝试运用分配律完成基础运算； ●能区分整式乘法的不同类型，选择对应法则进行计算，养成规范书写运算过程的习惯； ●结合简单实际情境，尝试运用整式乘法解决初步的数学问题，体会运算的实际意义。 💦 重点知识★梳理归纳 【知识点1】单项式的乘法法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式． 【重点提醒】（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用． （2） 单项式的乘法方法步骤：①积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；②相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式;③运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成． （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则． 【知识点2】单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 即． 【重点提醒】（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题． （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同． （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号． （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果． 【知识点3】多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即． 【重点提醒】多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积．多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并．特殊的二项式相乘： ✔ 核心考点★精讲精练 题型1计算单项式乘单项式 【例1】．长方形的长为，宽为，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的乘法． 长方形的面积等于长乘以宽，直接计算即可． 【详解】解：长方形的面积长宽． 故选：D． 【变式1】．定义新运算：，则的运算结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，理解新定义并正确计算是解题的关键． 根据新运算的定义列式计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故答案为：． 【变式2】．计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据幂的乘方和同底数幂除法运算法则，进行计算即可； （2）根据积的乘方和单项式乘单项式运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型2计算单项式乘多项式及求值 【例2】．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算和单项式乘多项式，掌握运算法则是关键；利用这些法则对各选项计算即可． 【详解】解：A，，正确， B，，错误， C，，错误， D，，错误． 故选：A． 【变式1】．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，积的乘方的逆用． 先计算单项式乘以多项式，再逆用积的乘方将各项化为的形式，进而根据计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式2】．化简： 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则． 先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可． 【详解】解： 题型3单项式乘多项式的应用 【例3】．如图，在长方形土地的内部围出一个长方形区域，尺寸如图所示（单位：），则用含有a，b，x的式子表示图中阴影部分的面积（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算与图形的面积，掌握整式的混合运算规则是解题的关键． 根据大长方形的面积减去中间长方形的面积，运用整式的运算得到结果即可． 【详解】解： ， 故选：B ． 【变式1】．一个长方形的长宽之和为5，一边长为，则这个长方形的面积可以用含的式子表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘多项式的应用，列代数式，解题关键是掌握上述知识点并能运用． 根据长方形面积公式，由长宽之和为5，一边长为x，表示出另一边，进而得到面积表达式． 【详解】解：设一边长为， 则另一边长为． 长方形的面积． 故答案为：． 【变式2】．已知用7个完全相同的长、宽分别为，的小长方形（如图1）和两个阴影长方形，拼成1个宽为10的大长方形（如图2）． (1)大长方形的长为________，阴影长方形的面积为________；（用含，的代数式表示） (2)若，求阴影长方形与阴影长方形的周长的和． 【答案】(1)； (2)44 【分析】本题主要考查了列代数式，整式的加减计算，单项式乘多项式，正确理解题意是解题的关键． （1）由图可知，大长方形的长为；阴影长方形的长为，宽为，再根据长方形的面积公式求解即可； （2）分别表示出阴影和阴影的长和宽，再求出阴影和阴影的周长和，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，大长方形的长为； 阴影长方形的长为，宽为， 则阴影长方形的面积． 故答案为：  ； （2）解：由题意，知阴影长方形的长为，宽为，阴影长方形的长为，宽为， ∴阴影长方形的周长为，阴影长方形的周长为， ∴阴影长方形与阴影长方形的周长的和为． ，则，即阴影长方形与阴影长方形的周长的和为44． 题型4计算多项式乘多项式 【例4】．下列各式中，结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 对每个选项运用多项式乘法法则展开计算，对比左右两边是否相等，从而找出结果错误的选项． 【详解】解：A、与右边相等，正确，不符合题意； B、与右边相等，正确，不符合题意； C、而选项右边是，错误，符合题意； D、与右边相等，正确，不符合题意． 故选：C． 【变式1】．有一电脑程序能处理整式的相关计算，已知输入的整式，整式，屏幕自动将整式补齐，则整式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的运算，根据多项式乘以多项式的运算法则求出的展开结果即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 【变式2】．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算积的乘方，再运算单项式乘单项式，最后合并同类项，即可作答． （2）先运算单项式乘多项式，多项式乘多项式，再合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型5多项式乘多项式与图形面积 【例5】．我们知道对于一个几何图形，可以采用两种不同的方法计算它的面积，从而得到一个数学等式．如图，可以得到的数学等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式乘法的几何意义，体现数形结合的思想．图中的面积可表示为一个大的正方形的面积或所分成的9个图形的面积之和，由此可得到答案． 【详解】解：图中的面积可表示为：， 或， 故可以得到的数学等式是：， 故选：D． 【变式1】．小明有足够多的如图所示的正方形卡片A，B和长方形卡片C，如果他要拼一个长为，宽为的大长方形，共需要C类卡片 张； 【答案】11 【分析】本题考查了整式的乘法． 计算，结果中项的系数即为需要C类卡片的张数． 【详解】解：， 需要C类卡片11张． 故答案为：11． 【变式2】．张伯伯去年租了一块长为、宽为的长方形土地，今年续租时，土地承包商对张伯伯说：“我把这块地的长增加10m，宽减少10m，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”请你通过所学知识帮助张伯伯算一算他是否吃亏． 【答案】张伯伯吃亏了 【分析】先分别表示出原来和现在的土地面积，再通过作差比较面积大小，判断张伯伯是否吃亏． 【详解】解：原来长方形土地的面积为：． 今年土地的长为 ，宽为 ，面积为： ． ∵ ， ∴． ∴． ∴ ，即张伯伯租到的土地面积变小了． ∴张伯伯吃亏了． 【点睛】本题考查了整式的乘法运算及作差法比较大小，解题关键是通过代数运算表示面积变化，并结合已知条件判断差值的正负，从而确定面积的增减情况． 题型6（x+p）(x+q)型多项式乘法 【例6】．若，则m、n的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘法：通过展开左边多项式并比较系数，求出m和n的值． 【详解】解：∵， 又∵， 比较系数得：． 故选：B． 【变式1】．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，通过展开左边多项式并与右边比较系数，求出b和c的值即可． 【详解】解：， ∵， ∴； ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式2】．已知时，关于x的多项式能被整除，求m的值． 【答案】 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，根据题意设，然后展开后比较求解即可． 【详解】解：∵时，关于x的多项式能被整除， ∴设 ∴ ∴， ∴， ∴． 题型7利用单项式乘法求字母或代数式的值 【例7】．如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 【答案】C 【分析】本题考查整式乘除，解题的关键是掌握单项式与单项式乘法．根据单项式乘以单项式法则即可求出、的值． 【详解】解：由题意可知： ， ，， ，， 故选：C 【变式1】．已知，则 ， ． 【答案】 9 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键． 根据单项式乘单项式的运算法则得到，再结合题中条件列方程求解． 【详解】，， ， ， 解得， 故答案为：；9． 【变式2】．小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）由题意得，，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于，的方程，解方程即可； （2）先利用单项式乘单项式法则进行化简，然后把（1）中求出的，的值代入即可得到答案；或将，的值代入原式中计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 即， 所以，， 解得，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， 所以原式． 一题多解法（2）由（1）知，，， 所以原式 ． 题型8利用单项式乘多项式求字母的值 【例8】．已知单项式，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据等式左边利用单项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件确定出、，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1】．如果的展开式中不含有这一项，那么的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用单项式乘多项式化简，再利用的展开式中不含有这一项，得出其他项的系数为零，进而得出答案． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含有这一项， ∴， ∴． 故答案为： 【变式2】．已知中不含项，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的无关型运算． 先计算原整式，求出的系数，进而根据“不含项”计算即可． 【详解】解：原式 ． 因为不含项， 所以．解得． 题型9已知多项式乘积不含某项求字母的值 【例9】．要使的结果中不含项，则的值为（   ） A．2 B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的运算，根据多项式乘以多项式的运算法则求出的展开结果，再根据展开结果中不含项得到含项的系数为0，据此求解即可． 【详解】解： ， ∵的结果中不含项， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】．已知．若的值与x的取值无关，则当时，A的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了整式加减的无关型问题，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．原式利用多项式乘以多项式法则和整式加减运算法则计算，再根据值与x的取值无关，求出、的值，进而得到代数式，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 的值与x的取值无关， ，， ，， ， 当时，A的值为， 故答案为：3． 【变式2】．已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法法则，同类项的合并，多项式项的系数，幂的运算及负整数指数幂的运算．先根据多项式乘法法则求出两个多项式的乘积，再根据不含项和项这一条件求出m、n的值，最后代入计算结果． 【详解】解：， ∵关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项， ∴，， ∴， ∴． 题型10多项式乘法中的规律性问题 【例10】．“杨辉三角”给出了展开式的系数规律（其中n为正整数，展开式的项按a的次数降幂排列）： 依据以上规律，写出展开式中含的系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据展开式的规律，发现每个展开式的第二项系数是n，第一个字母的指数为，第二个字母的指数为1，依此规律解答即可． 本题考查了规律的探索，熟练掌握规律的发现是解题的关键． 【详解】解：由题意发现： 中，每个展开式的第二项系数是n，第一个字母的指数为，第二个字母的指数为1， 故的第二项为， 故含项的系数是． 故选：D． 【变式1】．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式（的次数由大到小的排列，的次数由小到大的排列）的系数规律（两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方左右两个数之和） 根据上面的规律，的展开式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力． 根据图形中的“杨辉三角”的数字规律得出即可求出的展开式． 【详解】解：“杨辉三角”的数字规律可知：对应行的数字（即展开式的系数）分别为1，5，10，10，5，1，每一项的次数为5， 故， 故答案为 【变式2】．观察下列各式． (1)根据以上规律，则 _______； (2)你能否由此归纳出一般规律_______； (3)根据以上规律求： 的结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律型问题，弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键． （1）仿照已知等式写出答案即可； （2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可； （3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可． 【详解】（1）解：观察题中已有等式规律，可得出： ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）解：通过观察总结可知：当前面的多项式最高次数为n时，得数的x次数应该为n+1， ． 故答案为：． （3）解： 根据（2）的结论，有， 因此，原式． ✍ 强化巩固★单元闯关 一、单选题 1．下列计算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项与同底数幂的运算，积的乘方，掌握好相关知识是关键． 根据整式的加法和乘法运算法则，逐一判断即可． 【详解】解：A：，但右边为，故A错误； B：，但右边为，故B错误； C：，但右边为，故C错误； D：，右边为，故D正确． 故选：D． 2．若，则代数式的值为（    ） A．16 B． C．20 D． 【答案】D 【分析】先将代数式化简，再利用已知条件代入求值. 【详解】∵ , 又∵ , ∴ , ∴ 原式 . 【点睛】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键． 3．已知，代数式的值是（   ） A． B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式，代数式求值，将所求代数式展开，利用已知方程变形代入求值． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ . 故选：C． 4．已知单项式与的积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要查了单项式乘以单项式．根据单项式乘以单项式法则可得，即可求解． 【详解】解：∵单项式与的积为， ∴， 即， ∴． 故选：A 5．若，则（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘多项式，正确计算是解题的关键． 利用单项式乘多项式法则展开左边表达式，比较同类项系数求即可. 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 故选：C. 6．若展开后不含的一次项，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得，结合展开式中不含，令项的系数为0，解答即可． 本题考查了整式的加减中，不含某项的计算，熟练掌握不含某项的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 ， ∵展开式中不含， ∴， 解得． 故选：C． 7．对任意两个有理数定义一种运算“”，具体运算方式为，下列结论正确的是（    ） A． B．对任意有理数m，n，有 C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的混合运算．根据新运算，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，，则当时，，故本选项错误，不符合题意； C、当时，，，无法得到，故本选项错误，不符合题意； D、当时，，，则，故本选项正确，符合题意； 故选：D 8．观察下列各式，寻找规律．已知，计算： ，， ，，… 则的个位数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是数字类规律题，考查了整式乘法，认真观察、仔细思考，弄清题中的规律是解决这类问题的方法.首先利用已知的等比数列求和公式，将转化为；接着根据的幂的个位数字周期规律(周期为)，判断出的个位数字为，进而推出的个位数字为；最后通过分析的奇偶性，得出该式的个位数字为． 【详解】解：依据变化规律，可得：， ∴（当)， 令，，则 . 求 的个位数字， ∵的幂的个位周期为4（3，9，7，1），且 ，余数为1， ∴的个位为， ∴的个位为， ∵为偶数，除以后个位为， ∴和的个位数字为． 故选：C． 9．如图，边长为a的正方形，边长为b的正方形，边长为b，c的长方形，边长为b，的长方形，组成了边长为a，的长方形．其中边长为a的大正方形面积为26，图中的阴影部分的总面积为8，则边长为b的小正方形的面积为（    ） A．7 B．10 C．11 D．14 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，单项式乘以多项式的应用，根据三角形面积公式和正方形面积公式得到，，则可推出，据此可得答案． 【详解】解：∵边长为a的大正方形面积为26，图中的阴影部分的总面积为8， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴边长为b的小正方形的面积为10， 故选：B． 二、填空题 10．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘法，根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘． 【详解】解：原式． 故答案为：． 11．计算： （1）________________． （2）_________________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法运算与合并同类项，掌握单项式乘多项式法则，以及合并同类项的法则是解题的关键． （1）通过单项式乘多项式法则展开并合并同类项； （2）运用单项式与多项式相乘的法则，分别相乘后合并． 【详解】解：（1）原式 ． 故答案为：． （2）原式 ． 故答案为：． 12．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了计算多项式乘多项式，型多项式乘法，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 将等式左边展开，与右边多项式对比系数，求出a和b的值，再计算它们的和． 【详解】解： ． 因为， 所以 所以，常数项． 故， 故答案为：． 13．当时，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式与多项式相乘，先将所求代数式展开整理，再结合已知条件进行整体代入计算． 【详解】解：化简：； ∵， ∴将其代入化简后的式子，得； 故答案为：． 14．已知单项式与的积为，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式法则，根据单项式乘单项式法则可得，求出m、n的值，然后代入中计算求解即可． 【详解】解：， ， ，， ． 故答案为：1． 15．若计算的结果中含项的系数为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的知识点包括多项式的乘法运算法则、同类项的合并方法，以及通过系数对应关系构建方程求解参数的代数思想，核心是对整式运算和方程求解的综合应用；将多项式展开后，合并同类项，根据项的系数为，列出方程求解． 【详解】解： ∵项的系数为， ∴， 解得． 故答案为：． 16．若要使 的展开式中不含的项，则常数a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，合并同类项，以及整式不含某项，正确掌握相关运算法则是解题关键．利用相关运算法则计算得到，根据展开式中不含的项，即的系数为零，据此建立等式求解，即可解题． 【详解】解：， ， 展开式中不含的项， ， 解得， 故答案为：． 17．正方形和正方形的边长分别为，用含的代数式表示阴影部分的面积 ；（要化简哟） 【答案】 【分析】本题考查整式加减的应用，单项式乘多项式．阴影部分的面积等于两个正方形面积之和减去和的面积，由此列式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 18．某班级组织联欢活动布置教室，需要制作出一些边长如图所示的A，B，C三种彩色卡片，其中．最后需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，那么所准备的C种卡片的张数不能少于 张． 【答案】23 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，根据需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，得出长方形面积为，再用多项式乘多项式运算法则进行计算，得出长方形面积为，即可得出答案． 【详解】解：∵需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形， ∴长方形的面积为： ， ∴所准备的C种卡片的张数不能少于23张． 故答案为：23． 19．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，它揭示了（n为非负整数）展开式的各项系数的规律，根据图中规律，展开式中含项的系数是 ． 【答案】6 【分析】本题考查多项式乘法中的规律探究，根据，令，，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当，时，， ∴含项的系数是6． 故答案为：6． 三、解答题 20．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用积的乘方运算法则以及单项式乘单项式运算法则计算得出答案； （2）用单项式乘多项式的每一项即可； （3）运用多项式乘多项式和去括号的法则先计算，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】此题主要考查了积的乘方运算、单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键． 21．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方以及多项式乘以多项式． （1）根据化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方进行计算即可求解． （2）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：原式 22．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 1 【分析】先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方和代数式求值，正确计算是解题的关键． 23．已知的计算结果中不含x的三次项，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法． 先计算单项式与多项式的乘法，再根据计算结果中不含x的三次项得到，求解即可． 【详解】解：． 计算结果不含x的三次项， ， 解得． 24．某工厂设计了一个新的零件模型，该模型平面图为一个大长方形内部挖去一个小长方形（如图）．其中大长方形的长为，宽为，小长方形的长为，宽为． (1)求零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）；（结果需要化简） (2)零件模型平面图的面积比挖去的小长方形的面积大多少平方厘米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式与图形面积，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则． （1）根据该零件模型平面图的面积等于大长方形的面积减去小长方形的面积，列出算式，再根据多项式乘多项式法则进行化简即可； （2）由（1）中的结果进行计算即可． 【详解】（1）解：大长方形的面积为：， 小长方形的面积为：， 阴影部分的面积为：． 答：零件模型平面图的面积为． （2）解：由（1）可知，零件模型平面图的面积为，挖去的小长方形的面积为， ． 答：零件模型平面图的面积比挖去的小长方形的面积大． 25．小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为和______． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“系多项式”．若关于x的多项式是“系多项式”，则______． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了整式乘法的应用； （1）根据题意，令，解方程得出的值，即可得出答案； （2）根据题意，把代入多项式，得，然后解关于的方程即可得出的值，再把的值代入，进而得出答案； （3）根据题意，由“系多项式”定义，进而得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，令， 或， 解得：或， 故答案为：3 ； （2）解：根据题意，把代入，得， 解得：， 把代入，得， 令， 解得：， ∴多项式的另一个零点是； （3）解：， ∴的两个零点分别是和7， 根据“系多项式”的定义，有， ， 故答案为：． 26．我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式 ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得： 【理解应用】 (1)若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ； (2)已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出相关的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，故将多项式整理为，令系数为0，即可求出； （2）先计算，结合多项式的值与的取值无关，即可求出答案． 【详解】（1）解：， ∵其值与的取值无关， ∴， 解得． 故答案为：． （2）解： ∵的值与的取值无关， ∴，， 解得，． 27．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为________； (2)展开式中共有________项，第19项系数为________； (3)根据上面的规律，写出的展开式：________； (4)利用上面的规律计算：； 【答案】(1)6 (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式中的规律，数字的变化规律，解题关键是找出规律． （1）根据表中数据特点解题即可； （2）先找出规律，用表示出展开式中共项数，当时，用表示出倒数第项的系数，代入数据计算即可； （3）根据图示顺推即可得到展开式； （4）根据展开式，令，时代入展开式即可得到所求代数式的值； 【详解】（1）解：图中括号内的数为， 故答案为：6； （2）展开式有项， ，展开式有项，倒数第三项系数为； ，展开式有项，倒数第3项系数为3，倒数第三项系数为； ，展开式有项，倒数第3项系数为6，倒数第三项系数为； 展开式有项，倒数第3项系数为，倒数第三项系数为； ……； 以此类推，展开式中共有项，倒数第三项的系数， ∴展开式共有项，第项系数为， 故答案为：，； （3）根据图示，， 故答案为：； （4）∵， 当，时，， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $