精品解析：贵州毕节市金沙县2025-2026学年第一学期期末教学质量检测九年级数学试题

金沙县2025-2026学年第一学期期末教学质量检测 九年级 数学 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 某几何体的示意图如图所示，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三视图，掌握相关知识是解决问题的关键．几何体的左视图就是从左面看所得到的图形，根据左视图的定义判断即可． 【详解】解：根据左视图的定义，C选项图形符合． 故选：C． 2. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根．根据方程有两个不相等的实数根，得到关于的不等式，求解得出的取值范围，再对选项判断即可得解． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 则a的值可以是， 故选：D． 3. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为边的中点，菱形的周长为40，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质．由菱形四边相等，对角线垂直，可得，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，且其周长为40， ∴，， ∴， ∵点为边的中点， ∴． 故选：B． 4. 从整数2，3，4，5中任选2个数相加，其和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用枚举法求事件的概率，从2，3，4，5中任选2个数，总共有6种组合，和为偶数的组合有2种，即可求出概率． 【详解】解：∵从2，3，4，5中任选2个数，总组合数为6种，具体为：． 和为偶数的是和，共2种． ∴和是偶数的概率． 故选：C． 5. 如图，，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，由，得，然后代入即可求解，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6. 反比例函数的图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数．根据题意反比例函数图象上点的坐标特征为横纵坐标之积等于比例系数k，据此计算即可得到本题答案． 【详解】解：反比例函数中，， A、，∴反比例函数的图象不经过点； B、，∴反比例函数的图象不经过点； C、，∴反比例函数的图象一定经过点； D、，∴反比例函数的图象不经过点； 故选：C． 7. 2025湘超：湖南足球的“超”级盛宴，它已不只是赛事，而是湖南体育新IP、城市文化新载体、消费升级新引擎，它填补了湖南职业足球空白，让足球回归大众、在这个足球联赛中，参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了91场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元二次方程． 根据参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了91场．设共有个队参加比赛，则列式，即可作答． 【详解】解：设共有个队参加比赛，依据参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了91场，得：， 故选：D． 8. 如图，与是位似图形，点是位似中心，，若，则的值为（ ） A. 3 B. 4.5 C. 5 D. 12.5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．先证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：与是位似图形，点O是位似中心， ， ∵， ∴， ， ， ． 故选：D． 9. 若一元二次方程的一个实数根为m，则的值是（ ）． A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用一元二次方程根的定义，得到，然后整体代入求值． 【详解】解：∵ 是方程 的实数根， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 10. 在矩形中，对角线相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义．先根据矩形的性质，结合角平分线的定义求出，利用等腰三角形的性质求出，即可求出答案． 【详解】解：在矩形中，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 11. 如图，平行四边形中，E为上一点，连接交于点F，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，得到，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 12. 如图，直线与直线分别交函数图象于点，，则以点，，为顶点的三角形面积是（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数与一次函数图象交点问题．过点A作轴，过点B作轴，得到矩形，将一次函数与反比例函数解析式联立，求出点A，B坐标，根据求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，过点B作轴，得到矩形， 联立，得：， 联立，得：， ，， ，， ， ， 点，在函数图象上， ， ， 故选：B． 二、填空题（每空4分，共16分） 13. 一元二次方程的根是_______． 【答案】，##， 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： ， 或， 所以，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 14. 山西省举行古建筑行业技能比拼大赛，孙师傅的徒弟计划参加．为判断徒弟是否适合参赛，孙师傅从徒弟手工制作的榫卯结构零件中随机抽查，检验其合格率，并将结果绘制成如下表格．由表格内容可知，若从手工制作的零件中随机抽取一个，则零件合格的概率为______．（结果精确到0.01） 抽取的零件个数 20 50 100 500 1000 合格率 0.93 0.94 0.96 0.95 0.95 【答案】0.95 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．根据频率估计概率可直接进行求解即可． 【详解】解：由表格数据，合格率在大量抽取时稳定于0.95， 故从手工制作的零件中随机抽取一个，零件合格的概率为0.95． 故答案为0.95． 15. 数学在生活中的许多应用，都能给人以美感，也造就了人类建筑史上的无数经典．如图，著名的上海东方明珠广播电视塔，塔高为468米，其上球体点位于塔身的黄金分割点处，使塔体显得挺拔俊美，具有审美效果，且．那么上球体到塔底的距离为_____米．（结果保留根号的形式） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，解题关键是掌握黄金分割比． 根据黄金分割比求解即可． 【详解】解：∵点是线段上的一个黄金分割点，且米，， ∴（米）． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，，点是线段上的一个动点，在的右侧作以为边的等边，若为的中点，连接，当取最小值时，则______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，根据勾股定理得到，根据斜边中线定理得到，进而推出是等边三角形，得到；连接，作于点，根据等边三角形的性质得到，，则点在过点且与夹角为的直线上运动，当时，即，取最小值，此时三点共线，则，推出是等边三角形，再利用等边三角形的性质和勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵点，， ∴，， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 如图，连接，作于点， ∵等边，为的中点， ∴，，，平分， ∴，， ∴点在过点且与夹角为的直线上运动， ∴当时，即，取最小值， ∴， ∴三点共线， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系、直角三角形的性质、等边三角形的性质与判定、勾股定理、垂线段最短，证出点在定直线上运动是解题的关键． 三、解答题（共9小题，共98分） 17. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据配方法求解一元二次方程即可； （2）运用提公因式法求解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ∴或 解得，； 【小问2详解】 解： ∴或 解得，． 18. （1）已知，求的值． （2）已知，求证：． 【答案】 （1）； （2）证明：设，则． 将代入等式左右两边，得左边，右边， 左边右边，即． 【解析】 【分析】分析片段 已知，将变形为，即，求得，将变形为，即可求解. 设，分别计算左边和右边，可以解决问题. 【详解】解：（1）， ． （2）略 【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是利用参数解决问题. 19. 如图是由6个大小相同的小立方块搭成的几何体，其中每个小立方块的棱长均为． （1）请在对应的方格中分别画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； （2）这个几何体的表面积（包括底面）是___________．． 【答案】（1） 如图所示： （2）26 【解析】 【分析】本题主要考查作图-从不同方向看几何体，几何体的表面积等知识，良好的空间想象能力是解答本题的关键，属于中考常考题型． （1）根据从不同方向看到的结果画出图形即可； （2）根据几何体的特征表面积的计算方法求解即可．计算方法是：从三个方向的看到的图形的面积乘以2，再加上被遮挡的两个面积之和， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：这个几何体的表面积为： ． 20. 如图，在中，，平分交于点D． （1）在边上求作一点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1） 如图所示，点E即为所求；     （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图―作垂线以及相似三角形的性质．熟记相关性质定理是解题关键． （1）过点作的垂线，即可确定点； （2）设，则，，根据相似三角形的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）在作图可得， ∵，平分 ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵ ∴， 即， 解得， ∴． 21. 如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式： ①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为； ②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线； ③调整D，E的位置，使，记录下的距离为； ④测量出之间的距离大约为． 数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明． 【答案】能测出树A与树B之间的距离为18米 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据平行证明，即可得，代入计算即可作答． 【详解】能测出树A与树B之间的距离，如下： ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∵的距离为，的距离为，之间的距离大约为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：能测出树A与树B之间的距离为18米． 22. 湘西州是全国宜居和旅游城市，旅游资源相当丰富．春节期间，小华和爸爸妈妈准备前往湘西旅游．小华一家计划先坐高铁到吉首，再考虑从以下四个地点中选择两个前往：凤凰古城、花垣十八洞村、芙蓉镇景区、永顺老司城景区．由于时间紧和意见难以统一，小华爸爸在外观相同的4个小球表面写上“A”，“B”，“C”，“D”，分别代表凤凰古城、花垣十八洞村、芙蓉镇景区、永顺老司城景区，并将小球装入不透明袋子里面，让小华从中随机抽取小球，来用以决定前往旅游的地点． （1）判断：小华一家前往凤凰古城旅游与前往花垣十八洞村旅游的概率__________（填“相等”或“不相等”）； （2）小华很想去花垣十八洞村，但是妈妈想去凤凰古城．于是爸爸说：小华可以随机摸出两个小球，第一次摸出第一个小球后不放回袋子里，再摸第二次，摸出第二个小球，如果摸出的两个小球中，至少有一个小球表面写的有字母“B”，那么就去花垣十八洞村．请你求出小华一家去花垣十八洞村旅游的概率． 【答案】（1）相等 （2） 【解析】 【分析】本题考查概率定义，列表法或树状图法求概率． （1）根据题意利用等可能性可得答案； （2）先根据题意画出树状图可得共有12种等可能的结果，其中至少有一个小球表面写的有字母B的结果有6种，即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：小华一家前往凤凰古城旅游与前往花垣十八洞村旅游的概率相等； 故答案为：相等 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中至少有一个小球表面写的有字母B的结果有6种， ∴一家去花垣十八洞村旅游的概率为：． 23. 某学校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．第一次购买40瓶氯化钠溶液和80瓶硫酸铜溶液需要500元，第二次购买20瓶氯化钠溶液和30瓶硫酸铜溶液需要200元． （1）求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？ （2）为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现配制每瓶氯化钠溶液的成本是元，每瓶硫酸铜溶液的成本是元，已知第三次购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，购买硫酸铜的数量比第一次购买硫酸铜的数量少瓶，商场获利330元，求的值． 【答案】（1）每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为2.5元，5元 （2）a的值为2 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系，列出正确的二元一次方程组和一元二次方程是解题的关键． （1）根据等量关系列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据等量关系列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为，元 由题意得， 解得， 答：每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为元，5元． 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得，， 解得，，， 当时，，不合题意，故舍去； ∴， 答：的值为． 24. 如图， 已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线与x轴的交点C的坐标及的面积； （3）直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数解析式为： ，一次函数的解析式为：； （2）点C的坐标为：，的面积为6； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键． （1）先通过点得到反比例函数解析式，再求出点坐标，再通过两点坐标得到一次函数解析式； （2）令一次函数的函数值等于0，求出的值即可知道与轴的交点坐标，再把的面积拆成的面积与的面积之和即可求解； （3）直接通过函数图象即可得到． 【小问1详解】 解： 在反比例函数 的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为： 把代入 得， 解得， 则A点坐标为． 把，分别代入， 得 解得 ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，， ∴点C的坐标为：， ∴的面积=的面积+的面积． 【小问3详解】 由图象可知，当或时，一次函数的值小于反比例函数的值． 25. 综合与实践： 如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转得到后，解决了这个问题． （1）如图2． ①求证：； ②求出、、之间的关系； （2）如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由； （3）如图4，在中，，，点D，E在边上，且，当，时，求的长． 【答案】（1） ①证明：由旋转可得，，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ② （2） ， 证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3，     ，，，， ， ， ，即， ， 又， ， ，即， 在和中 ， ， ． （3）40 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质及全等三角形的判定和性质、勾股定理，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①利用旋转的性质，证明，②根据全等三角形的性质得，等量代换，即可证明； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质得，，在中，，可求得，所以，再证明，利用得到． （3）同（2）方法，把绕点顺时针旋转得到，连接，可证明：，在中，，，，过点D作，垂足为，利用直角三角形性质和勾股定理求出即可求出答案． 【小问1详解】 ①略 ②解： 由①得， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图4， ，，，， ，， ， ，即， 又， ， 在和中 ， ， 过点D作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ． ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金沙县2025-2026学年第一学期期末教学质量检测 九年级 数学 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 某几何体的示意图如图所示，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 3. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为边的中点，菱形的周长为40，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 20 4. 从整数2，3，4，5中任选2个数相加，其和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 反比例函数的图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 7. 2025湘超：湖南足球的“超”级盛宴，它已不只是赛事，而是湖南体育新IP、城市文化新载体、消费升级新引擎，它填补了湖南职业足球空白，让足球回归大众、在这个足球联赛中，参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了91场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，与是位似图形，点是位似中心，，若，则的值为（ ） A. 3 B. 4.5 C. 5 D. 12.5 9. 若一元二次方程的一个实数根为m，则的值是（ ）． A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 10. 在矩形中，对角线相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，平行四边形中，E为上一点，连接交于点F，若，则（ ） A. B. C. D. 12. 如图，直线与直线分别交函数图象于点，，则以点，，为顶点的三角形面积是（ ） A. B. 3 C. D. 4 二、填空题（每空4分，共16分） 13. 一元二次方程的根是_______． 14. 山西省举行古建筑行业技能比拼大赛，孙师傅的徒弟计划参加．为判断徒弟是否适合参赛，孙师傅从徒弟手工制作的榫卯结构零件中随机抽查，检验其合格率，并将结果绘制成如下表格．由表格内容可知，若从手工制作的零件中随机抽取一个，则零件合格的概率为______．（结果精确到0.01） 抽取的零件个数 20 50 100 500 1000 合格率 0.93 0.94 0.96 0.95 0.95 15. 数学在生活中的许多应用，都能给人以美感，也造就了人类建筑史上的无数经典．如图，著名的上海东方明珠广播电视塔，塔高为468米，其上球体点位于塔身的黄金分割点处，使塔体显得挺拔俊美，具有审美效果，且．那么上球体到塔底的距离为_____米．（结果保留根号的形式） 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，，点是线段上的一个动点，在的右侧作以为边的等边，若为的中点，连接，当取最小值时，则______． 三、解答题（共9小题，共98分） 17. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 18. （1）已知，求的值． （2）已知，求证：． 19. 如图是由6个大小相同的小立方块搭成的几何体，其中每个小立方块的棱长均为． （1）请在对应的方格中分别画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； （2）这个几何体的表面积（包括底面）是___________．． 20. 如图，在中，，平分交于点D． （1）在边上求作一点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 21. 如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式： ①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为； ②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线； ③调整D，E的位置，使，记录下的距离为； ④测量出之间的距离大约为． 数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明． 22. 湘西州是全国宜居和旅游城市，旅游资源相当丰富．春节期间，小华和爸爸妈妈准备前往湘西旅游．小华一家计划先坐高铁到吉首，再考虑从以下四个地点中选择两个前往：凤凰古城、花垣十八洞村、芙蓉镇景区、永顺老司城景区．由于时间紧和意见难以统一，小华爸爸在外观相同的4个小球表面写上“A”，“B”，“C”，“D”，分别代表凤凰古城、花垣十八洞村、芙蓉镇景区、永顺老司城景区，并将小球装入不透明袋子里面，让小华从中随机抽取小球，来用以决定前往旅游的地点． （1）判断：小华一家前往凤凰古城旅游与前往花垣十八洞村旅游的概率__________（填“相等”或“不相等”）； （2）小华很想去花垣十八洞村，但是妈妈想去凤凰古城．于是爸爸说：小华可以随机摸出两个小球，第一次摸出第一个小球后不放回袋子里，再摸第二次，摸出第二个小球，如果摸出的两个小球中，至少有一个小球表面写的有字母“B”，那么就去花垣十八洞村．请你求出小华一家去花垣十八洞村旅游的概率． 23. 某学校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．第一次购买40瓶氯化钠溶液和80瓶硫酸铜溶液需要500元，第二次购买20瓶氯化钠溶液和30瓶硫酸铜溶液需要200元． （1）求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？ （2）为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现配制每瓶氯化钠溶液的成本是元，每瓶硫酸铜溶液的成本是元，已知第三次购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，购买硫酸铜的数量比第一次购买硫酸铜的数量少瓶，商场获利330元，求的值． 24. 如图， 已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线与x轴的交点C的坐标及的面积； （3）直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围． 25. 综合与实践： 如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转得到后，解决了这个问题． （1）如图2． ①求证：； ②求出、、之间的关系； （2）如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由； （3）如图4，在中，，，点D，E在边上，且，当，时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $