专题06 四边形相关最值问题分类训练（6种类型48道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版八年级下册

专题06 四边形相关最值问题分类训练 （6种类型48道） 1．如图，在平行四边形，，，，点P、Q分别是和上的动点，在点P和点Q运动的过程中，的最小值为（   ）地 城 类型01 平行四边形相关最值问题 A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，等边三角形的判定和性质，根据垂线段最短作出辅助线，确定点P，Q的位置是解答此题的关键． 取的中点G，连接．首先证明，作点B关于的对称点F，连接，证，则的长即为的最小值，求出的长即可． 【详解】解：取的中点G，连接．在中，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 作点B关于的对称点F，连接，交于点P，由对称可知，B、A、F在一条直线上，，， ∵， ∴， ∴， 当点Q与点G重合时，，的长即为的最小值， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：D． 2．直线分别交平行四边形边、于点、，将图形沿直线对折，点、分别落在点、处．若，，，当点落在边上任意点时，设点为直线上的动点，则的最小值是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理解直角三角形、轴对称最短路径问题等知识，连接交于，连接，，作交的延长线于．因为、关于直线对称，推出，推出，推出当点P与重合时，的值最小，最小值为的长； 【详解】解：如图所示，连接交于，连接，，作交的延长线于． 、关于直线对称， ， ， 当点与重合时，的值最小，最小值等于的长； 在中，， ， ， 在中，， 的最小值为， 故选：D． 3．如图，在平行四边形纸片中，，，是线段的中点，点在边所在的直线上，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先作，交的延长线于点，连接，根据平行四边形的性质，再根据三角形三边之间的关系可知当点共线时最小，然后根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：如图所示，过点作，交的延长线于点，连接， 四边形是平行四边形，， ，． ，点是线段的中点， ，． 根据折叠的性质得． 根据三角形三边之间的关系，可得， 当点，，共线时，最小， ，， ， ． ，， ， ． ， 最小值是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，折叠的性质等知识点，掌握以上知识点是解题的关键． 4．如图，在平行四边形中，，，E是边延长线上一点，连接，是等边三角形，连接，则的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、含的直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键。 如图：在射线上取点G，使，连接，，根据平行四边形性质证明是等边三角形，得到，，根据是等边三角形，得到，得到，可证，可得，即，由点F在直线上运动，则当时，根据含的直角三角形的性质得到的值即可． 【详解】解：如图：在射线上取点G，使，连接，， ∵平行四边形中， ，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在直线上运动， 当时，最小， 此时，， ∴, ∴的最小值为． 故选：D． 5．如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质以及垂线段最短的性质，勾股定理等知识，设与交于点O，作于，首先利用勾股定理求出，当P与重合时，的值最小，的最小值，从而求解． 【详解】解：设与交于点O，作于．如图所示： 在中，， ∴为等腰直角三角形， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 当P与重合时，的值最小，则的值最小， 的最小值． 故选：C． 6．如图，为等边三角形，D、E分别是边、上的点，且满足，P是边上的动点，以P、D、E为顶点，为对角线构造，若，则的最小值为（    ）    A． B． C． D．10 【答案】A 【分析】依据题意，建立平面直角坐标系，由直线的解析式可设，，再根据平行四边形的对角线互相平分进而求出x，y的关系，最后根据垂线段最短可以得解． 【详解】解：由题意，建立平面直角坐标系，如图，设平行四边形对角线交于点M．    由题意，， ，， 是的中点， ， 由题意，设直线表达式为，， ， ， 直线表达式为， 在直线上， 设，， ，， 上面两式消去m得，， 在直线上（如上图）， 当垂直于直线时，最小， 对于直线， 令， ， 令， ， 利用面积法可得的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键． 7．如图，在中，，，P为边上一动点，以，为边作平行四边形，则对角线长度的最小值为（　　） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是作高线构造等腰直角三角形． 由平行四边形的性质可知O是、的中点，最短也就是最短，所以过O作的垂线，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出的最小值． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵最短也就是最短， 过O作于， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值． 故选：C． 8．如图，在平行四边形中，，，E是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质，延长至点，使得，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，求出，可得，，证明四边形为矩形，可得，由等边三角形的性质可得，，证明，得出，即可得出当最小时，也最小，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当最小时，也最小， ∵当点与点重合时，最小，此时， ∴的最小值为， 故选：C． 9．如图，在中，，，，点在边上，点为边上的动点，点、分别为的中点，则的最小值是（　　）地 城 类型02 中位线相关最值问题 A．2 B．2.5 C．2.4 D．1.2 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的面积，勾股定理，三角形中位线，垂线段最短等知识点，根据垂线段最短确定出的位置是解答本题的关键． 根据已知条件判断出是的中位线，得到，当时，的值最小，根据勾股定理和等面积法求出，即可得解． 【详解】如图，连接， 点、分别是、的中点， 是的中位线， ， 当时，的值最小，此时的值也就最小， 由勾股定理得：， ， ， ． 故选:． 10．如图，在平行四边形中，，是上的一点，且是上的一动点，连接，取的中点，连接，则线段取得最小值是（  ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】过A作于H，在ED上截取，连接，由含30度角的直角三角形的性质得到，由勾股定理求出，由三角形中位线定理推出，由垂线段最短得到，即可得到线段的最小值． 【详解】解：过A作于H，在ED上截取，连接， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 是AP的中点，E是的中点， 是的中位线， ， ， 线段取得最小值是 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，垂线段最短，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形中位线定理，关键是通过作辅助线构造三角形的中位线． 11．如图，在菱形中，菱形的周长是16，，，分别是边上的动点，连接和，G，H分别为的中点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识． 连接，根据菱形定义得，根据三角形中位线性质得，当时，最小，得到最小值，根据是等腰直角三角形得，得的最小值为． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是菱形，周长为16， ∴， ∵G，H分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 当时， 最小，得到最小值， 则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选：A． 12．如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，中位线定理，勾股定理，根据中位线定理可得出点的运动轨迹是线段，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知，故的最小值为的长，由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图： 当点与点重合时，点在处，，此时为中点， 当点与点重合时，点在处，，此时为中点， ∴是中位线， 且， 当点在上除点、的位置时，为中点， ∴是中位线，是中位线， ，， ∴点在线段上， 点的运动轨迹是线段， 当时，取得最小值， 矩形中，，，为的中点，为中点， ∴，， 、、为等腰直角三角形， ，， ∵， ， ， ，即， 的最小值为的长， 在等腰直角中，， 的最小值是． 故选：D． 13．如图，，分别是射线和上的两个动点，是中点，长始终为，延长至，使，作交于点，连接，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过N作，且使，连接，取的中点S，连接，，．先证明，由全等三角形的性质得出，，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得出，，再证明为等腰直角三角形，有勾股定理得出，由三角形中位线判定和性质可得出，最后利用三角形三边关系即可得出答案． 【详解】解：过N作，且使，连接，取的中点S，连接，，． ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ 即， 在和中， ∴， ∴，，， ∵，是中点，， ∴， 又∵，S是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵是中点，S是的中点， ∴， 在中， ， ∴的最大值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了综合性的三角形问题，等角对等边，等腰直角三角形的判定以及性质， 全等三角形的判定以及性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形中位线的判定以及性质，三角形三边关系的应用，勾股定理等知识，综合性较强，难度较大，正确作出辅助线是解题的关键． 14．如图，和是等腰三角形，，，为的中点，线段的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查中位线性质和勾股定理． 取的中点，连接，过点C作于点，根据三角形中位线的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：取的中点，连接，过作于点， ∵的中点，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 当且仅当三点共线时，最大为， 故选：B． 15．如图：等边三角形中，，E、F分别是边上的动点，且，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点D、G，连接，则可得，，因此转而求的最小值；过A作，且，连接，可证明，则有，进而转化为求的最小值，当点E在线段上时，取得最小值，在中由勾股定理即可求得最小值，从而求得的最小值． 【详解】解：如图，取的中点D、G，连接， ∴，， ∴； ∵， ∴的最小值转化为求的最小值； 在等边三角形中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 过A作，且，连接， 则， ∴， ∴， ∴， ∴当点E在线段上时，取得最小值，且最小值为线段的长； ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为．    故选：C． 【点睛】本题考查了求线段和的最小值问题，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，把求的最小值转化为求的最小值，进而转化为求的最小值，是本题的难点与关键所在． 16．如图，在四边形中，，，，，点为上异于、的一定点，点为上的一动点，、分别为、的中点，当从到的运动过程中，线段扫过图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，连接，取，中点，，连接，，过作于，过作于，作于，作于．先由三角形中位线定理证，则三点共线，故的运动轨迹是线段，即线段扫过图形为，同理可证是的中位线，得到；证明四边形为矩形，得到，则，由勾股定理得；再证明分别为，的中位线，推出，则，则的面积为． 【详解】解：如图，连接，取，中点，，连接，，过作于，过作于，作于，作于． ∵为中点，，的中点分别是，， ∴分别是的中位线， ∴， ∴三点共线， ∴的运动轨迹是线段，即线段扫过图形为， 同理可证是的中位线， ∴； ，，， ， 四边形为矩形， ∴ ∴， 在中，由勾股定理得； 分别为，中点， ∴分别为，的中位线， ∴， ∴， ∴， 的面积为． 故选A． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理，矩形的性质与判定，确定的运动轨迹是线段，即线段扫过图形为是解题的关键． 17．如图，长方形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（     ）地 城 类型03 矩形相关最值问题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段最短的计算，掌握以上知识，数形结合，合理作出辅助线是关键． 如图所示，过点G作于点H，作，交于点M，交于点N，可证，得到，当点在线段上运动时，点在线段的某一部分上运动，再得到四边形，四边形都是矩形，则，，，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点G作于点H，作，交于点M，交于点N， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴当点在线段上运动时，点在线段的某一部分上运动，如图所示， 当点重合时，线段的值最小， 根据作图，， ∴四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 故选：B． 18．如图，在矩形中，分别为上的动点且为的中点，于点于点P，连接．若，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边的中线的性质，连接，，，由矩形，得到，，，再根据斜边中点得到，即可得到，最后证明四边形是矩形，得到，当点在上时，最小，即最小． 【详解】解：连接，，， ∵在矩形中，， ∴，， ∴， ∵为的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当点在上时，最小，即最小， 故选：D． 19．如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线交于点，交于点，是上一动点，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由四边形为矩形，则，，故有，然后证明，则，从而得垂直平分，得到，要使有最小值，则需三点共线，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴要使有最小值，则需三点共线， 如图， ∵矩形中， ，， ∴， ∴， ∵过对角线的中点作的垂线交于点，交于点， ∴垂直平分， ∴ ∴， ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂直平分线性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，平行线的性质，两点之间线段最短等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 20．如图，在矩形中，，，点为边上的一点，且满足，为射线上一动点，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、平行四边形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．延长到点， 使，作直线，得出四边形为平行四边形，则在平行的直线上运动，当时，最小，进而根据已知，结合含度角的直角三角形的性质，勾股定理，即可求解． 【详解】解：延长到点， 使，作直线，如图： 四边形为平行四边形， ， ∴， 四边形为平行四边形， 在平行于的直线上运动， 当时，最小， ， 四边形为平行四边形，， ， ， ， ， ， ， ∴的最小值是． 故选：D． 21．在矩形中，，点在上，点在上，且，连接，则的最小值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．17 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，将军饮马河原理，熟练掌握性质和原理是解题的关键．连接，证明转化得到，利用将军饮马原理，勾股定理解答即可． 【详解】解：连接， ∵矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长到点，使得， 连接交于点F， ∴当点P与点F重合时，取得最小值，且最小值为的长， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 22．如图，在矩形中，是边上一动点，是对角线上一动点，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 依据题意，延长到，使，连接，，由四边形是矩形，从而，，，，先证，进而，故，所以当点、、共线时，最小，最小值为，最后利用勾股定理进行计算可以得解． 【详解】解：延长到，使，连接，， 四边形是矩形， ，，，． ． ，， ． ， ， 当点、、共线时，最小，最小值为． 最小值为． ， ． 在中，，， ． 最小值为． 23．如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M，N分别是，的中点连接，，，点E在边上，，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角形的中位线可得 ，转化所求最值为，再依据将军饮马模型解答即可． 【详解】∵点分别是的中点, , ∵, ∴四边形是平行四边形， ， ， 的最小值就是的最小值， 找到点关于直线对称点，连接 当点三点共线时，的最小值就是, 在中, ， ∴， ∴的最小值 故选: B． 【点睛】本题考查矩形的性质，直线三角形斜边中线的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题的关键是牢固掌握上述知识点，熟练运用等量代换思想． 24．如图，在矩形中，，，点P、点Q分别在上，，线段在上，且，连接，则线段的最小长度是（    ）．    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质、最短路径问题等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． 如图，在上取一点G，使，连接．再证明四边形为平行四边形，即，进而说明，最后运用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：如图，在上取一点G，使，连接．    ∵在矩形中，， ， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ． 又，， ， 的最小长度为5． 25．如图，在中，，，是平面上一动点，连接，的中点， 连接， 当， 的最小值为（   ）地 城 类型04 直角三角形斜边上中线相关最值问题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理、三角形的中位线的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，添加辅助线，利用三角形的中位线性质求解是解答的关键．取的中点F，连接，，利用三角形的中位线性质得到，再利用勾股定理和直角三角形的中线性质求得，然后利用三角形三边关系得到，当B、F、E共线时取等号，进而得到答案． 【详解】解：取的中点F，连接，，如图， ∵是的中点，点F是的中点， ∴是的中位线，又， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵，当B、F、E共线时取等号，如图 ∴的最小值为， 故选：C． 26．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及直角三角形斜边上的中线性质，用勾股定理解三角形等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．证四边形是矩形，得，再由垂线段最短和三角形面积求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 根据垂线段最短可知，当时，最短，则也最短， 此时，， ， 即最短时，， 的最小值， 故选：C． 27．如图，在直角△中，，，在上取点，使，作于，连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作，交的延长线于点，取的中点，连接、，因为于点，所以，而，则，推导出，进而证明△△，得，则，求得，由，得，所以，则的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：作，交的延长线于点，取的中点，连接、， 点在上，于点， ， ， ， ，， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ， ， ， ， 的最小值为， 故选：． 【点睛】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 28．如图，在四边形中，，是对角线的中点，是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为（　　） A．4 B．3 C．5 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．连接，，根据直角三角形斜边的中线的性质，可得，过点作于点，根据等腰三角形三线合一的性质，可得的长度，根据勾股定理求出的长，根据垂线段最短即可确定的最小值． 【详解】解：连接，，如图， ∵，是对角线的中点， ∴，， ∵， ∴， 过点作于点， ∴， ∴点是线段的中点， ∵， ∴， 根据勾股定理，得， 由垂线段最短可知当时有最小值，即的长， 故选：B． 29．如图，在中，，，，．点、、分别是边、、上的动点，点是的中点，若，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，先结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而得点的运动轨迹，则当时，的长度最短，即最短，由直角三角形面积计算公式求出后即可得的最小值． 【详解】解：连接， ，点、、分别是边、、上的动点，点是的中点，， ， 即点在以为圆心，为半径的圆上运动， 垂线段最短， 当时，的长度最短，此时，也最短， ， ， 最小值为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂线段最短，解题关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出点的运动轨迹． 30．如图，已知线段，点P为线段上一动点，以为边作等边，再以为直角边，为直角，在同侧作，点为中点，连接，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】连接，，过点作交直线于点，利用直角三角形斜边中线定理得到，根据等边三角形的性质得到，，得出垂直平分，进而得出，利用含30度角的直角三角形得到，最后利用垂线段最短即可求出的最小值． 【详解】解：如图，连接，，过点作交直线于点， ∵在中，，点为中点， ∴， ∵等边， ∴，， ∵，， ∴垂直平分， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为4． 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的判定、垂线段最短，添加适当的辅助线证出平分是解题的关键． 31．如图，在中，，，，点P为边上一动点，于点E，于点F，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键．连接，取的中点G，连结，，先证明为等腰直角三角形，得到，进而可知当时最小，利用直角三角形的性质求出的最小值即可得到答案． 【详解】解：连接，取的中点G，连结，， ，， ， ， ， ， ， 当时，取最小值，此时，的值也最小， ， ， ， ， 的最小值为， 此时，的最小值为． 故选C． 32．如图，在等腰中，斜边的长为4，D为的中点，E为边上的动点，． 交于点F，P为的中点，连接，，则的最小值是（ ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，、，作线段的垂直平分线，作A关于垂直平分线的对称点，根据题意可得：点P在的垂直平分线上运动，得出的最小值为，结合图形利用垂直及平行的关系得出，且，在中，利用勾股定理求解即可得． 本题主要考查了以等腰直角三角形为背景的轴对称最短路径问题．熟练掌握等腰直角三角形性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理解直角三角形，轴对称的性质，垂直及平行的判定和性质等，找出点的运动路径，作出相应辅助线，是解题关键． 【详解】 连接，、． 是等腰直角三角形， 且在中，为的中点， ． 同理． ． 点在的垂直平分线上运动． 作A关于垂直平分线的对称点，连接． 的最小值为． ，为中点， ． 在中， ． 故选：C． 33．如图，菱形中，，E是对角线上的任意一点，则的最小值为（   ）地 城 类型05 菱形相关最值问题 A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先得出，，从而可得，于是有．由于，可得当最小时，最小，即最小，再求得， 利用勾股定理求得，从而可得的最小值为． 【详解】解：过点E作于点F，连接． 因为，且四边形为菱形， 所以，， 因此， 所以． 由于， 因此当最小时，最小， 即最小． 根据垂线段最短， 当时，最小， 记此时的为． 因为，， 所以， 因此， 所以的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂线段最短，三角形三边关系的应用，含30度角的直角三角形，用勾股定理解三角形，利用菱形的性质求线段长等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 34．如图，在菱形中，，分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点、，作直线，与交于点，如果点为线段上一动点，当取最小值时，（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，如图，连接，设交于点，交于点O．证明，推出，推出当点P与点重合时，的值最小，求出即可． 【详解】解：如图，连接，设交于点，交于点O． ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，都是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由作图可知垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴（负值舍去）， ∵D，B关于对称， ∴， ∴， ∴当点P与点重合时，的值最小，此时． 故选：B． 35．如图，在菱形中，，，为线段上的一个动点，四边形是平行四边形，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，利用四边形为平行四边形，得出，，由为线段上的动点，可知运动方向和距离相等，利用相对运动，可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动，过点作的平行线，过点作关于线段的对称点，由对称性得，则，当且仅当依次共线时，取得最小值，此时，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，分别证明四边形和四边形是矩形，求出 ，，再利用勾股定理求出即可，正确作出辅助线是解题的关键 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵为线段上的动点， ∴可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动， 如图，过点作的平行线，过点作关于线段的对称点， 由对称性得，， ∴，当且仅当依次共线时，取得最小值， 如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点， ∵菱形中，，， ∴，，， ∵， ∴由对称性可得， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为． 故选：B． 36．如图，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是明确长度的最小为．连接，过点作边上的垂线，垂足记为点，由三角形三边关系可得，可得长度的最小为，由折叠性质可得，由菱形性质可得，从而得到，，再利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作边上的垂线，垂足记为点， 在中，， 长度的最小为， ∵点为中点， ， 由折叠性质可得：， ∵四边形为菱形，， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理可得：， ， 故选：D． 37．如图，在菱形中，，E为上的一个动点，画，其中为对角线，则的最小值是 ． 【详解】解：设平行四边形的对角线交点为O，则，； ∵在菱形中，， ∴， ∴，； ∵， ∴当最小时，最小， 当时，最小， 在中，， ∴， ∴， 即的最小值是3； 故答案为：3． 38．如图，在菱形中，，，与相交于点O，点P是线段上的任意点，以为对角线作平行四边形，连结，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】过作，与交于，的运动轨迹在直线上，当时，取得最小值，结合直角三角形的特征，由勾股定理，由菱形的性质及等边三角形的判定方法得是等边三角形，结合平行四边形的性质及勾股定理得，即可求解． 【详解】解：过作，与交于，分别过点O、Q做的垂线，垂足分别为M、N。 四边形是菱形， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， 的运动轨迹在直线上， 当时，取得最小值， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，垂线段最短等；掌握菱形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定及性质，能找出取得最小值的条件，熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 39．如图，在菱形中，，、分别是、上的动点，满足．若，则周长的最小值为（   ） A． B． C．12 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，正确添加常用辅助线构造全等三角形是解题的关键． 如图：连接．先根据菱形的性质说明都是等边三角形，再结合已知条件证明可得，进而证明是等边三角形；再根据垂线段最短求得的最小值为，最后求的周长即可． 【详解】解：如图：连接． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴都是等边三角形， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 根据垂线段最短可知，当时，的长最短， 如图：过B作垂足为， ∵, ∴, ∴， ∴,即的最小值为， ∴周长的最小值为． 故选B． 40．如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形与三角形综合．熟练掌握菱形性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，勾股定理，是解题的关键． 作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接，则，可得，根据，得，得,得,根据菱形性质和，可得，得，得，得取得最小值为17 ． 【详解】作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接， 则，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，，且， ∴， ∴， ∴， ∴当点E在线段上时，取得最小值17． 故选：C． 41．如图，在边长为的正方形中，若分别是边上的动点，，与交于点，连接，则的最小值为 ．地 城 类型06 正方形形相关最值问题 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合运用，理解点的运动，得到点在以为直径的圆弧上运动，掌握正方形的性质，勾股定理的计算是关键． 根据正方形的性质可证，得到，即，则点在以为直径的圆弧上运动，根据两点之间线段最短，得当点共线时，，此时的值最小，结合勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴点在以为直径的圆弧上运动，如图所示，取的中点，以点为圆心，以为半径画弧， ∴根据两点之间线段最短，得当点共线时，，此时的值最小， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为： ． 42．在正方形中，，点在对角线上，．点E、F分别在边、上，且，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，等边对等角，全等三角形的判定和性质． 作交于M，反向延长到G，使，作交于N，延长到H，使，连接，，根据正方形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据等边对等角得到，可知，根据勾股定理求出，则，，证明四边形是正方形，得到，，则，，证明，得到，则，根据勾股定理求的值即可． 【详解】解：如图，作交于M，反向延长到G，使，作交于N，延长到H，使，连接，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴ 解得：（负值舍去）， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 43．如图，在正方形中，，点E是对角线上的一个动点，且不与端点B、D重合，连接，过点B作，垂足为F，连接．则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质，线段最短的计算，理解点的运动是关键． 如图所示，连接交于点，当点重合时，点与点重合，且点四点在以为直径的圆上，点的运动路径是，当点共线时，的值最小，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接交于点， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵点是线段上的动点，， ∴当点重合时，点与点重合，且点四点在以为直径的圆上， ∴点的运动路径是， 设的中点为点，则， 如图所示，连接，交于点， ∵， ∴当点共线时，，则值最小时，的值最小，且， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：． 44．如图，为正方形的对角线，点O为的中点，点E为边上一点，连接并延长交于点F，过点A作于点P，连接，若正方形的边长为2，则 ，的最小值为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】取的中点，连接、，，根据正方形的性质可得，，进而根据勾股定理可求得，得到，再由勾股定理得到，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，最后根据三角形三边关系可知，即可解答． 【详解】解：如图，取的中点，连接、，， ∵为正方形的对角线，点O为的中点，正方形的边长为2， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边中线的性质，三角形三边关系等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 45．如图，正方形的对角线长为10．是的平分线，点E是边上的动点，在上找一点F，使得的值最小，则最小值为 ． 【答案】5 【分析】要解决的最小值问题，需利用轴对称（反射法）将折线转化为直线段．结合正方形的性质（对角线与边长的关系、角平分线的对称性），找到点关于的对称点，则，因此．根据“两点之间线段最短”，当、、共线且上时，最小值为到的垂直距离（或对应线段长度）． 【详解】正方形的对角线． 设正方形边长为， 由勾股定理（正方形邻边相等，）， 得：， 整理得：， 解得：， 即正方形边长为， 是的平分线，． 作点关于的对称点，则是的垂直平分线， ． ， 根据“两点之间线段最短”，当、、共线且上时，的最小值为到的距离（或对应线段长度）． ∵,， ,由勾股定理得：， 设代入得：， 解得（负值舍去）， 即， 的最小值为5． 故答案为：． 【点睛】本题核心是利用轴对称（反射法）将折线距离转化为直线距离，结合正方形的对角线性质（对角线与边长的关系、角平分线的对称性）简化问题．关键步骤是找到对称点，将转化为两点间的线段长度，再利用正方形的几何特征确定最小值． 46．如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上运动，且，连接，过点作交于点，连接，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】延长交的延长线于点，连接，，容易证明，则．结合正方形的性质可得，，则点是直角斜边上的中点，因此是定值．由可知，当点、、三点共线时，最短，计算此时的长即可． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点，连接，， 在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， 又∵． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即点为的中点， 在直角中，点是斜边的中点， ∴， 在直角中，， ∵， ∴当点、、三点共线时，取到最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，线段最值问题与勾股定理，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 47．如图，在正方形中，，是边上的动点，且，连接交对角线于点，连接交于点，若，则长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线定理、三角形三边关系等重要知识点．证明为直角并构造斜边中线是解答本题的关键． 先证明，，推出为直角，然后取中点，连接和，根据三角形三边关系，即两边之差大于等于第三边（取等号时，三边重合），求出的最小值． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，取中点，连接， 则， ∵． ∴． 当且仅当、、三点共线时，取得最小值． 故答案为：． 48．如图，正方形的边长为为正方形内一个动点，且，点在边上运动，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先由辅助圆-直径对直角，确定点在以为直径的上运动，然后作点关于的对称点，得到，从而由定点到圆周上动点距离最值求法，当四点共线时，的值最小，连接，交于，交于，则的值最小，为的长，然后作，通过构建直角三角形，由勾股定理求得的长，代入计算即可求解． 【详解】解：正方形的边长为为正方形内一个动点，且， 点在以为直径的右侧半圆上运动，其中圆心为线段的中点， 作点关于的对称点，如图所示： ， 由定点到圆周上动点距离最值求法，当四点共线时，的值最小， 连接，交于，交于，如图所示： 则的值最小为的长，即， ， ， 作，垂足为，如图所示： 则四边形是矩形， ，， ， ， 在中，，，由勾股定理可得， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、辅助圆-直径对直角、动点最值-点圆模型、正方形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，明确两点之间线段最短是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 四边形相关最值问题分类训练 （6种类型48道） 1．如图，在平行四边形中，，，，点P、Q分别是和上的动点，在点P和点Q运动的过程中，的最小值为（   ）地 城 类型01 平行四边形相关最值问题 A．4 B．3 C． D． 2．直线分别交平行四边形边、于点、，将图形沿直线对折，点、分别落在点、处．若，，，当点落在边上任意点时，设点为直线上的动点，则的最小值是（ ）． A． B． C． D． 3．如图，在平行四边形纸片中，，，是线段的中点，点在边所在的直线上，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在平行四边形中，，，E是边延长线上一点，连接，是等边三角形，连接，则的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 5．如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 6．如图，为等边三角形，D、E分别是边、上的点，且满足，P是边上的动点，以P、D、E为顶点，为对角线构造，若，则的最小值为（    ）    A． B． C． D．10 7．如图，在中，，，P为边上一动点，以，为边作平行四边形，则对角线长度的最小值为（　　） A．6 B．8 C． D． 8．如图，在平行四边形中，，，E是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D．4 9．如图，在中，，，，点在边上，点为边上的动点，点、分别为的中点，则的最小值是（　　）地 城 类型02 中位线相关最值问题 A．2 B．2.5 C．2.4 D．1.2 10．如图，在平行四边形中，，是上的一点，且是上的一动点，连接，取的中点，连接，则线段取得最小值是（  ） A．5 B． C． D． 11．如图，在菱形中，菱形的周长是16，，，分别是边上的动点，连接和，G，H分别为的中点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 12．如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是（   ） A．4 B．8 C． D． 13．如图，，分别是射线和上的两个动点，是中点，长始终为，延长至，使，作交于点，连接，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 14．如图，和是等腰三角形，，，为的中点，线段的最大值为（    ） A． B． C． D． 15．如图：等边三角形中，，E、F分别是边上的动点，且，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 16．如图，在四边形中，，，，，点为上异于、的一定点，点为上的一动点，、分别为、的中点，当从到的运动过程中，线段扫过图形的面积为（    ） A． B． C． D． 17．如图，长方形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（     ）地 城 类型03 矩形相关最值问题 A． B． C． D． 18．如图，在矩形中，分别为上的动点且为的中点，于点于点P，连接．若，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D． 19．如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线交于点，交于点，是上一动点，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 20．如图，在矩形中，，，点为边上的一点，且满足，为射线上一动点，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 21．在矩形中，，点在上，点在上，且，连接，则的最小值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．17 22．如图，在矩形中，是边上一动点，是对角线上一动点，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 23．如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M，N分别是，的中点连接，，，点E在边上，，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D．4 24．如图，在矩形中，，，点P、点Q分别在上，，线段在上，且，连接，则线段的最小长度是（    ）．    A．4 B．5 C．6 D．7 25．如图，在中，，，是平面上一动点，连接，的中点， 连接， 当， 的最小值为（   ）地 城 类型04 直角三角形斜边上中线相关最值问题 A． B． C． D． 26．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 27．如图，在直角△中，，，在上取点，使，作于，连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 28．如图，在四边形中，，是对角线的中点，是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为（　　） A．4 B．3 C．5 D．2 29．如图，在中，，，，．点、、分别是边、、上的动点，点是的中点，若，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 30．如图，已知线段，点P为线段上一动点，以为边作等边，再以为直角边，为直角，在同侧作，点为中点，连接，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D． 31．如图，在中，，，，点P为边上一动点，于点E，于点F，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 32．如图，在等腰中，斜边的长为4，D为的中点，E为边上的动点，． 交于点F，P为的中点，连接，，则的最小值是（ ） A．3 B． C． D． 33．如图，菱形中，，E是对角线上的任意一点，则的最小值为（   ）地 城 类型05 菱形相关最值问题 A． B．2 C． D． 34．如图，在菱形中，，分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点、，作直线，与交于点，如果点为线段上一动点，当取最小值时，（   ） A． B．1 C． D． 35．如图，在菱形中，，，为线段上的一个动点，四边形是平行四边形，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 36．如图，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 37．如图，在菱形中，，E为上的一个动点，画，其中为对角线，则的最小值是 ． 38．如图，在菱形中，，，与相交于点O，点P是线段上的任意点，以为对角线作平行四边形，连结，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 39．如图，在菱形中，，、分别是、上的动点，满足．若，则周长的最小值为（   ） A． B． C．12 D．18 40．如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 41．如图，在边长为的正方形中，若分别是边上的动点，，与交于点，连接，则的最小值为 ．地 城 类型06 正方形形相关最值问题 42．在正方形中，，点在对角线上，．点E、F分别在边、上，且，连接、，则的最小值为 ． 43．如图，在正方形中，，点E是对角线上的一个动点，且不与端点B、D重合，连接，过点B作，垂足为F，连接．则的最小值是 ． 44．如图，为正方形的对角线，点O为的中点，点E为边上一点，连接并延长交于点F，过点A作于点P，连接，若正方形的边长为2，则 ，的最小值为 ．（结果保留根号） 45．如图，正方形的对角线长为10．是的平分线，点E是边上的动点，在上找一点F，使得的值最小，则最小值为 ． 46．如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上运动，且，连接，过点作交于点，连接，则线段长度的最小值为 ． 47．如图，在正方形中，，是边上的动点，且，连接交对角线于点，连接交于点，若，则长度的最小值为 ． 48．如图，正方形的边长为为正方形内一个动点，且，点在边上运动，连接，则的最小值为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $