第19章 四边形（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材沪科版八年级下册

第19章 四边形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．从多边形的一个顶点引对角线，能将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，点在上，，，作于点，交于，则的长是（   ） A．4 B． C． D．3 3．平行四边形的对角线和相交于点，下列说法正确的是（） A．若，则平行四边形是菱形 B．若，则平行四边形是矩形 C．若，则平行四边形是菱形 D．若，则平行四边形是矩形 4．如图，平行四边形中，对角线、相交于，过点作交于点，若，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 5．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（   ） A． B． C．2cm D． 6．如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．运动时间为，将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形，射线经过点时，可以是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在长方形中，，，以点为圆心，的长为半径画圆弧交对角线于点，连接,．则下列说法错误的是（     ） A．的长是3.6 B． C．的面积为1.68 D．与面积相等 8．如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法： ①若，则四边形为矩形； ②若，则四边形为菱形； ③若四边形是平行四边形，则与互相平分； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，菱形中，，E和点F分别在边上，连接，，若M、N分别为线段的中点，则线段的长度等于（   ） A． B． C． D．3 10．如图，在中，，，，D为上一动点（不与点A重合），为等边三角形，过D点作的垂线，F为垂线上任意一点，G为的中点且始终有，则线段长的最小值是（   ） A． B．6 C． D．9 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形的边数为___________． 12．如图，平行四边形中，分别平分交于点E、点F，已知，则的长为_________ 13．如图，在四边形中，，，，点E，F，G分别是的中点，连接，则的长为________．    14．如图，是正方形的对角线，是上一点，是的垂直平分线且交于点，是垂足． （1）的度数为______； （2）若，则______． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且． (1)求证：； (2)若，平分，求的长． 16．小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到． (1)求少加的内角的度数． (2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 17．如图，在的网格中每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，线段的两个端点都在格点上，以格点为顶点分别按下列要求画图． (1)在图①中，以为一边画平行四边形，使其面积为6； (2)在图②中，以为一边画一个菱形； 18．如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 19．某数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)在图5中画出从点出发的所有对角线； (2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ①表格中______，______；（用含n的代数式表示） ②拓展应用： 若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次，请计算总共要比赛多少场． 20．如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 21．学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题：“求代数式的最小值”． (1)小刚同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是______； (2)已知a，b均为正数，且，求的最小值． 22．综合与实践 已知在正方形中，点、分别为边、上两个动点． (1)①如图1，连接，相交于点，若，则和的数量关系为________； ②如图2，在①的条件下，若点是中点，连接，求证：． (2)如图3，作的垂直平分线交于点，交于点． ①若，，求的长； ②如图4，连接、、，若，四边形的面积的取值范围是________． 23．如图，是的对角线，是经过的中点的直线，且与分别交于点． (1)连接，如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)将沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点，分别交于点． ①如图2，求证：； ②连接，如图3，判断和之间位置的关系并加以证明． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第19章四边形（高效培优单元自测·提升卷） (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 1.从多边形的一个顶点引对角线，能将这个多边形分成10个三角形，则这个多边形的边数为() A.12 B.10 C.9 D.8 【答案】A 【详解】解：从多边形的一个顶点引对角线，能将这个多边形分成10个三角形，则这个多边形的边数为 10+2=12, 故选：A. 2.如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD=10,CD=6,作AF⊥DE于点G,交CD于F,则 DF的长是() A.4 B.10 3 c. D.3 【答案】B 【详解】解：：矩形ABCD,AE=AD=10,CD=6, AD=BC=AE=10,AB=CD=6,∠B=∠C=90°， BE=AE2-AB2=8 .EC=BC-BE =2, :AD=AE=I0,AF⊥DE, :直线AF是线段DE的垂直平分线， .:FE FD, 设CF=x,则FE=DF=6-x, 则(6-x)2=x2+4, 解符多 1/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DF=6-x=10 故选：B. 3.平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,下列说法正确的是() A.若OB=OD,则平行四边形ABCD是菱形 B.若AC=BD,则平行四边形ABCD是矩形 C.若OA=OD,则平行四边形ABCD是菱形 D.若AC⊥BD,则平行四边形ABCD是矩形 【答案】B 【详解】解：：平行四边形对角线互相平分， 0A=0C,0B=0D A:OB=OD是平行四边形固有性质，不能推出菱形，：.A错误。 B:若AC=BD,则平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），B正确. C:若0A=0D,则0A=0D=0B=0C(:0A=0C,0B=0D), AC=2OA,BD=2OD,故AC=BD,推出矩形，而非菱形，.C错误 D:若AC⊥BD,则平行四边形ABCD是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形），而非矩形，·.D错误. 故选：B. 4.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O,过点O作OE⊥AC交AD于点E,若AE=4, DE=3,AB=5,则AC的长为() 4 E A.32 B.42 c.52 D.5V2 2 【答案】B 【详解】解：如图，连接EC, 4 D 2/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :平行四边形ABCD中，OE⊥AC, :EO垂直平分AC, AE=4,DE=3,AB=5, :EC=AE=4,CD=AB=5, EC2+DE2=32+42=25,CD2=25, ..EC2+DE2=CD, :△EDC是直角三角形，△AEC是等腰直角三角形， ·AC=VAE2+EC2=V16+16=V32=4v2, 故选B, 5.“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长 为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移2Cm得到正方形A'B'C'D',形成一个“方胜"图案，则点D,B 之间的距离为() B A.（2-√2)cmB.2V2-2]cm C.2cm D.2√2cm 【答案】B 【详解】解：由题意得BB'=2cm, :四边形ABCD是正方形， .AB=AD=2cm,∠A=90°， BD=√AB2+AD2=2V2cm, :DB'=BD-BB'=(2v2-2cm, :点D,B之间的距离为2V2-2cm, 故选：B 6.如图，在长方形ABCD中，AB=6cm,AD=14cm,动点P从D点出发，以1cm/s的速度沿着DA向A点 运动，同时动点Q从B点出发以2cm/s的速度沿BC向C点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同 3/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 时停止.运动时间为t,将四边形PDCQ以直线PQ为轴进行翻折，得到四边形PD'CQ,射线OC经过点A 时，可以是() A.t=3 c.1=10 D.t=4 2 3 【答案】D 【详解】解：连接AC D :四边形ABCD是长方形， .AD∥BC,∠B=90°， ∴.∠APQ=∠PQC 由翻折的性质可知：∠PQC=∠PQC', :射线QC经过点A,即A,C,Q三点共线， ∴.∠AQP=∠PQC', .∠APQ=∠AQP, .AP=AO 由题意得：DP=t,BQ=2t, :AP AD-DP=14-t. 在Rt△ABQ中，AB2+BQ=AQ, .62+(21)2=(14-t)2, 解得4=4,2=- 40 (舍去). 3 :点Q到达终点的时间为14÷2=7s, 0≤t≤7， 4/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1=4符合题意 7.如图，在长方形ABCD中，AB=3,BC=4,以点B为圆心，BA的长为半径画圆弧交对角线AC于点 M，连接BM,DM,则下列说法错误的是() A.AM的长是3.6 B.DM⊥CM C.△BCM的面积为1.68 D.△BCM与△DCM面积相等 【答案】B 【详解】解：A.过B作BN⊥AC于点N, D .∠ABC=90°，AB=3,BC=4, :AC=AB2+BC2=5, BN⊥AC, .:BN. .BN=AB.BC_12 AC 5 AN =AB-BN-9 根据作图可得AB=BM, 一AM2AN36,故A正确，不符合题意 B.在长方形ABCD中，AB‖CD,AB=CD, ·∠BAN=∠DCM, 7 CM=AC-AM=≠AN, 5 :△ABN与△DCM不全等， 5122 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠DMC≠∠ANB, 即DM与CM不垂直，故B不正确，符合题意： CSaw=5c-5 w8-BC-4M-BN-号=168，故C正确，不符合题意， 1 25 D.过D作DE⊥AC于点E, D :∠ANB=∠CED=90°，∠BAN=∠ECD,AB=DC, △ABN≌△CDE(AAS, :BN DE, -S=CM-BN=CM-DE=w,放D正确，不特合题意. 2 8.如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点.则下列说法： ①若AC=BD,则四边形EFGH为矩形： ②若AC⊥BD,则四边形EFGH为菱形： ③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分； ④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等 其中正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【详解】解：：点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点， EH=FG=)BD,EF=HG=3AC,EH∥BD∥FG,EF∥AC∥HG, :四边形EFGH是平行四边形， ①若AC=BD,则EH=FG=EF=HG, 四边形EFGH为菱形，即①错误； 6/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②若AC⊥BD,则EH⊥EF,即∠HEF=90°， :四边形EFGH为矩形，即②错误： ③AC与BD是否互相平分均能得到四边形EFGH是平行四边形，即③错误； ④若四边形EFGH是正方形，则EH=FG=EF=HG,∠HEF=90°， AC⊥BD,AC=BD,即AC与BD互相垂直且相等，故④正确， 故正确的个数是1个 故选：A. 9.如图，菱形ABCD中，∠B=60°，E和点F分别在边AC,AB上，连接AC,BF=4,CE=2,若M、N 分别为线段EF、BC的中点，则线段MN的长度等于() E B W A.√6 B.√万 C.22 D.3 【答案】B 【详解】解：如图，连接CF,取CF的中点H,连接MH,NH,过点N作NK⊥MH于K, B N :四边形ABCD是菱形，∠B=60°， .AB=BC, ABC是等边三角形， LACB=60°=LBAC, :M、N分别为线段EF、BC的中点，点H是CF的中点，BF=4,CE=2, :M∥CE、Mm=CE=lNH∥B脉M=BF=2. LACF=∠FHM,LBFH+LFHN=180°， ∠FHN=180°-∠BFH=180°-60°+∠ACF)=120°-∠ACF, .∠MHN=∠FHN+∠FHM=∠FHN+∠ACF=120°， 7/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠NHK=60°， :NK⊥MH, .∠HNK=30°， K=号=K=NH-R=5 .MK =MH KH=2, MN=VMK+NK2=2+(3) =V4+3=√万. 故选：B. 10.如图，在ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=6,D为AB上一动点（不与点A重合）， △AED为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任意一点，G为EF的中点且始终有DG=EF, 则线段BG长的最小值是() E D A.√108 B.6 C.27 D.9 【答案】B 【详解】解：如图，连接DG,AG,设AG、DE交于点H, G B :DE⊥DF,G为EF的中点， ∴.DG=GE :△AED为等边三角形， AD=AE,∠DAE=60°， ∴AG垂直平分线段DE, .AG⊥DE, 8/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 .∠DAG= 2 ∠DAE=30°， 点G在射线AH上， 过B作BG⊥AG交射线AG于G', 则当G与G重合时，BG取得最小值，最小值为线段BG'的长， :LACB=∠BG'A=90°，∠CAB=∠G'AB=30°，AB=AB, ·△ABC≌△ABG'AAS), .BG'=BC=6, 即BG的最小值为6 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.一个多边形的外角和是内角和的)，则这个多边形的边数为 【答案】6 【详解】解：设这个多边形的边数是n, 依题意得-2×180×60， 解得n=6, 即这个多边形的边数是6. 12.如图，平行四边形ABCD中，BE、CF分别平分LABC、∠BCD交AD于点E、点F,已知 AB=6,BC=10,则EF的长为 B 【答案】2 【详解】解：四边形ABCD为平行四边形， .AE /BC,AD=BC=10,AB=CD=6, ∴LAEB=LEBC, :BE平分∠ABC, ∠ABE=∠EBC, ∠ABE=∠AEB, ∴.AB=AE=6, 9/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理得：DF=CD=6, ·EF=AE+DF-AD=6+6-10=2. 故答案为：2. 13.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=5,BC=12,点E,F,G分别是AD,BD,DC的中点， 连接EG,EF,FG,则EG的长为 G B 《路1号 【详解】：连接AC, D G :∠ABC=90°，AB=5,BC=12, .AC=V52+122=13, :点E、G分别是AD、DC的中点， EG=4C=2 _13 故答案为： 3 2 14.如图，BD是正方形ABCD的对角线，E是BC上一点，FG是AE的垂直平分线且交BD于点F,G是 垂足 D B (1)∠EAF的度数为°： (2)若AB=8,BE=2,则DF= 【答案】 45 3√2 【详解】解：(1)如图，过点F作FM⊥AB于点M,作FN⊥BC于点N,则LAMF=∠ENF=90°。 10/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 四边形ABCD是正方形， M :BD平分∠ABC, :FM FN :FG是AE的垂直平分线， :AF EF, △AFM≌△EFN(HL), ∠FAM=∠FEN, ∠FAB+∠BEF=180°， ∠AFE+∠ABE=I80°， ∠AFE=180°-∠ABE=90°， “△AEF是等腰直角三角形， LEAF=45°： 故答案为：45； (2):BD是正方形ABCD的对角线，AB=8, BD=VAB2+AD2=8√2 设AM=x,EN=x,BM=8-x, .'FM=FN,∠FMB=∠MBN=∠FNB=90°， ·四边形BMFN是正方形， BM=BN,即8-x=x+2,解得x=3, .BM=8-3=5, BF=VFM2+BM?=5√2， .DF BD-BF=82-52=32. 故答案为：3√2 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 11/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB边上，且CE=CD,F为线段CE上一点，且LDFC=∠B. 刀 A E (1)求证： BCE≌FDC: (2)若AB=8,AD=5,CE平分∠BCD,求AE的长. 【详解】(1)证明：在平行四边形ABCD中，CD∥AB, ·∠DCF=∠CEB; :∠DFC=∠B,CE=CD, ∴.△BCE≌△FDC(AAS); (2)解：在平行四边形ABCD中，BC=AD=5; :CE平分∠BCD, .∠DCF=LBCE; 由(1)知∠DCF=∠CEB, ∠BCE=∠CEB, .BE BC=5, .AE=AB-BE=8-5=3. 16.小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到2010°. (1)求少加的内角的度数. (2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形. 【详解】(1)解：设这个多边形的边数为n,则2010°<(m-2)180°<2010°+180°， 解得13<n<14 6 :n为正整数， .n=14, .少加的内角的度数为14-2)×180°-2010°=150° (2)解：若这个多边形是正多边形，则每个外角的度数为180°-150°=30°， :它的边数应等于360=12. 30 由(1)可知，这个多边形的边数为14,14≠12， 12/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “这个多边形不是正多边形 17.如图，在4×4的网格中每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，线段AB的两个端点都在 格点上，以格点为顶点分别按下列要求画图， ① ② (1)在图①中，以AB为一边画平行四边形ABCD,使其面积为6； (2)在图②中，以AB为一边画一个菱形ABEF; 【详解】(1)解：如图①中，平行四边形ABCD即为所求； (2)解：如图②中，菱形ABEF即为所求 ① ② 18.如图，在口ABCD中，AE平分∠BAD,交BC于点E,BF平分∠ABC,交AD于点F,AE与BF交于 点P,连接EF,PD D B (1)求证：四边形ABEF是菱形； (2)若AB=8,AD=12,∠ABC=60°，求DP的长 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC. ∴∠DAE=LAEB, :AE平分∠BAD, ∠DAE=∠BAE. ∠BAE=∠AEB. :AB BE. 13/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理：AB=AF. :AF=BE. :四边形ABEF是平行四边形， AB=BE, 四边形ABEF是菱形 (2)解：四边形ABEF是菱形， AELBF,AP2AE】 :∠ABC=60°， LABF=30°，∠BAP=∠FAP=60°，△ABE为等边三角形， AB=8, .AB=AE=8, AP=4, 如图：过点P作PM⊥AD于M, A M D ∠APM=90°-∠FAP=30°， B E C :AM=TAP=2.PM=AP-AM=2 :AD=12, .DM=10, ∴PD=VPM2+DM2 =V25+102=4W7. 19.某数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与 边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律。 D D D G 图1 图2 图3 图4 图5 (1)在图5中画出从A点出发的所有对角线； (2)根据探究，整理得到下面表格： 14/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 多边形的边数 4 6 8 从一个顶点出发的对角线 1 3 4 的条数 多边形对角线的总条数 2 9 14 20 b ①表格中a= b= (用含n的代数式表示) ②拓展应用： 若该校要举办足球比赛，总共有11个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次，请计算总共 要比赛多少场. 【详解】(1)如图所示，即为所求； F (2)解：①n-3, n(n-3) 2 ②11x11-1÷2=55(场)， 答：共需要比赛55场， 20.如图，在口ABCD中，点E,F分别是AD,BC的中点，连接BE,DF. D (1)求证：四边形BEDF是平行四边形； (2)若BE平分∠ABC,AB=6,求口ABCD的周长. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC,AD=BC. :点E,F分别是AD,BC的中点， AE=DE=AD,BF=CF=IBC, 2 .DE BF. 又：DE∥BF, 15/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :四边形BEDF是平行四边形； (2)解：：BE平分∠ABC, .∠ABE=∠EBC, 又AD∥BC, ·LAEB=∠EBC, .∠ABE=∠AEB, :AE AB =6, .AD=2AE=12, 口ABCD的周长为2×(6+12)=36. 21.学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题：“求代数式V+4+12-x+9的 最小值”. A 2 12-x 3 B (1)小刚同学发现√x2+4可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，V12-x)+9可看作两直角边 分别是12-x和3的直角三角形的斜边长.于是构造出下图，将问题转化为求线段AB的长，进而求得 VR+4+V12-x)2+9的最小值是一： (2)已知a,b均为正数，且a+b=8,求√a2+16+V63+4的最小值. 【详解】(1)解：过点B作BE⊥AC的延长线于点E,如图： A Ch 12一D 3 3 E 12 在R△APC中，PA=√AC2+PC2=√+22=√+4， 在R0BPD中，PB=VPD2+BD2=V12-x)2+32=V12-x2+9, PA+PB≥AB, 16/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Vx2+4+V12-x)2+9的最小值为AB的长， 在Rt△ABE中，AB=√AE2+BE2=V2+3)2+12=13, V2+4+12-x)2+9的最小值是13： (2)解：过点B作BF⊥AC交AC延长线于点F,如图， D aE B AC=2,CD=b,DE=a,BE=4, :在Rt△BDE中，BD=VDE2+BE2=√a2+16: 在Rt△ACD中，AD=√AC2+CD2=Vb2+4, a2+16+b2+4=BD+AD, :当A,D,B三点共线时，AD+BD的值最小，最小值为AB的长， :EC⊥AF,BF⊥AC,BE⊥CE, :四边形CEBF为长方形， :BF=CE=CD+DE=a+b=8,CF=BE=4, .AF=AC+CF=6, AB=AF2+BF2=10, √a2+16+Vb+4的最小值为10. 22.综合与实践 己知在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD上两个动点. D D 图1 图2 图3 图4 (1)①如图1，连接AE,BF相交于点O,若AE⊥BF,则AE和BF的数量关系为 ②如图2，在①的条件下，若点E是BC中点，连接DO,求证：AD=D0, 17/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图3，作AE的垂直平分线交AB于点G,交CD于点F, ①若DF=2,BG=4,求BE的长； ②如图4，连接AF、GE、EF,若AB=4,四边形AGEF的面积S的取值范围是 【详解】(1)解：①：四边形ABCD是正方形， ·∠ABE=∠C=90°，AB=BC, ·∠ABF+∠CBF=90°， :AE⊥BF, ·∠ABF+∠BAE=90°， ·∠BAE=∠CBF, 在△ABE和BCF中， ∠ABE=∠C AB=BC ∠BAE=∠CBF :△ABE≌△BCF(ASA, ·AE=BF. ②证明：延长BF、AD交于点H, :四边形ABCD是正方形， ·AD∥BC,AD=BC=CD, ·∠H=∠FBC,∠HDF=∠BCF, :△ABE≌△BCF, ·BE=CF, “点E是BC中点， :BE=CE=CF=DF :△HDF≌ABCF(ASA, :BC=DH, ·AD=DH, :AE⊥BF, :AD-DO-TAH: 2 18/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图2 (2)解：①如图，连接GE,作GH⊥CD于H· :正方形ABCD, .∠BAD=∠D=90°， ·LBAD=∠D=∠GHD=90°， 四边形AGHD是矩形， :设AG=DH=x,则FH=DH-DF=x-2,AD=GH,∠AGH=90°， :GF垂直平分AE,四边形ABCD是正方形， ·∠ABE=∠GHF=90°，AB=AD=GH,AG=GE=x, :LBAE+∠AGF=90°，LAGF+LFGH=90°， :ZBAE ZFGH 在△ABE和△GHF中， [∠BAE=∠FGH AB=GH ∠B=∠GHF :△ABE≌△GHF(ASA), ·BE=FH=x-2, 在Rt△BEG中，BG+BE2=GE2, :42+(x-22=x2, 解得x=5, :BE=x-2=5-2=3: D F G ---H B ②如图，作GH⊥CD于H. 19/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 GF垂直平分AE, :FA=FE,AG=GE,MA=ME, FG=FG, :△FAG≌△FEG(SSS), :SAFAG=S△FEG, :△ABE≌△GHF, :AE FG, 55am=25a=2 xFGAM-2xFG×4E=方4E 4E最小时，点E与点B重合，此时S,批=)×4=8，但此时么G,E三点共线，AGEF不是四边 不符合题意， 当AE最大时，四边形AGEF面积最大，此时点E与点C重合，S=号×(AB2+BC)=16, 8<S≤16 D F G H E 图4 23.如图，BD是口ABCD的对角线，EF是经过BD的中点O的直线，且与AD,BC分别交于点E,F. B 图1 图2 图3 (1)连接AC,AF,CE,如图1，求证：四边形AECF是平行四边形； (2)将▣ABCD沿直线EF折叠，点A落在点A处，点B落在点B处，设FB,交CD于点G,A,B分别交 CD,AD于点N,M, ①如图2，求证：△A,EM≌△CFG; 20/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②连接MG,如图3，判断MG和EF之间位置的关系并加以证明. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,AO=OC, .∠DAC=LBCA, 在△AOE和△COF中， ∠DAC=∠BCA A0=OC, ∠AOE=∠COF △AOE≌△COF(ASA), :AE=CF :四边形AECF是平行四边形 (2)解：①证明：由(1)得AE=CF, 如图：延长AE和CB且交于点H, MD B 四边形ABCD是平行四边形， H-[2 3 B 4 ∴.AD∥BC,∠A=∠C, ∠1=∠2. 由折叠可知∠A=∠A,A,E∥B,F,AE=A,E, ∠2=∠3，A,E=CF,∠A=∠C, ∠1=∠3， △AEM≌△CFG(ASA ②解：MG∥EF,证明如下： 如图：过点G作GK EM,交EF于点K, 21/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 MD N B ∠DEF=∠GKF. 由折叠可知∠BFE=∠GFE. AD∥BC, .∠BFE=∠DEF, .∠DEF=∠GFE, LGFK=∠GKF, :.GK =GF 由(1)可知△A,EM≌△CFG, :ME=GF, :.GK ME, 四边形EKGM是平行四边形， MG∥EF. 22/22