专题9.5 向量的应用（高效培优讲义）数学苏教版高一必修第二册

本讲义聚焦向量的应用这一核心知识点，系统梳理平面几何中用向量解决平行垂直、距离夹角问题的方法，以及物理中力、速度、位移、功的向量处理，作为向量基础运算的延伸，构建从理论到实践的学习支架。 该资料以“即学即练+题型分类+典例变式”为特色，通过证明平行四边形、计算力的合成等实例，培养逻辑推理与数学建模素养。课中助力教师系统授课，课后学生可通过练习题强化，有效查漏补缺。

专题9.5 向量的应用 教学目标 1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用． 2.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具． 3.通过对现实原型的观察、分析、比较，发展抽象，概括的思维能力． 4.通过运用向量知识解决现实生活中的问题，发展数学建模素养；在运用向量的方法解决数学问题的过程中，发展逻辑推理和数学运算素养． 教学重难点 1.重点 运用向量的有关知识对实际问题进行相关分析和计算，用向量方法解决实际问题．． 2.难点 实际问题转化为向量问题. 知识点01 平面几何中的向量方法 1．用向量研究平面几何问题的思想 向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作. 2．向量在平面几何中常见的应用 （1） 平面两个向量的数量积：； （2） 向量平行的判定: ； （3）向量平行与垂直的判定:； （4）平面内两点间的距离公式： （其中，） （5）求模：； ； （6）对于题目中遇到的有些平面图形(如长方形、正方形、直角三角形等)的计算求解问题,可通过建立平面直角坐标系,用坐标把向量表示出来,通过代数运算来解决(“形”转“数”). 3．用向量解决平面几何问题的步骤 ①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题； ③把运算结果“翻译”成几何关系. 【即学即练】 1．在中，若，则一定是（  ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上说法都不对 【答案】D 【分析】根据向量数量积的定义及三角形内角性质得，但B、C的大小不定，即可得答案. 【解析 】由，即， 又，则，即为锐角， 但不能确定B、C的大小，它们中可能存在钝角或直角或都为锐角. 故选：D 2．如图所示，分别在平行四边形的对角线的延长线和反向延长线上取点和点，使.试用向量方法证明：四边形是平行四边形. 【答案】证明见解析 【分析】由题知，，进而根据题意得，再根据向量共线即可证明. 【解析 】证明：因为四边形是平行四边形， 所以，， 因为，， 所以，即，且， 所以四边形是平行四边形. 3.用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：． 【答案】证明过程见解析 【分析】先得到，，从而利用数量积公式求出，得到垂直关系. 【解析 】由题意得，，      故， 因为，所以， 故. 知识点02 向量在物理中的应用 （1）力学问题的向量处理方法 ①解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题,即将力学各量之间的关系抽象成数学模型,再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象； ②向量是既有大小又有方向的量,表示向量的有向线段可以有共同的起点,也可以没有共同的起点.力是既有大小,又有方向的量.用向量知识解决共点力的问题,往往需要把向量平移到同一作用点上. （2）速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解,实质就是向量的加减运算,而运动的叠加也用到了向量的合成. ①向量在速度、加速度上的应用,实质是通过向量的线性运算解决物理问题,最后获得物理结果. ②用向量解决速度、加速度和位移等问题,用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘,有时也可借助坐标来求解. （3）功、动量问题的向量处理方法 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力与位移的数量积,即(为与的夹角).功是一个标量,它可正,也可负.动量实际上是数乘向量. 【即学即练】 1．如图，在细绳l上作用着一个大小为200N的力，与水平方向的夹角为45°，细绳上挂着一个重物，使细绳的另一端与水平面平行，求物重G的大小．    【答案】 【分析】作图，进行力（向量）的分解，即可得出答案. 【解析 】   设细绳作用力为，则， 如图，对力进行分解，可得. 根据力的平衡可知，物重G的大小为. 2．如图，一艘船从长江南岸点A出发，以km/h的速度垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h．    (1)试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度； (2)求船实际航行速度的大小与方向（方向用与江水速度间的夹角表示）． 【答案】(1)答案见解析；(2)船实际航行速度的大小为，方向与江水速度间的夹角为 【分析】（1）直接利用向量加法的平行四边形法则作图即可； （2）利用勾股定理求解船速的实际大小，在求解直角三角形即可得方向. 【解析 】（1）如图所示，表示船速，表示水速， 以为邻边作平行四边形， 则表示该船实际航行的速度；    （2）由题意， 在中，， 则，，所以， 所以船实际航行速度的大小为，方向与江水速度间的夹角为. 题型01 用向量证明平面几何中的平行或者垂直问题 【典例1】（1）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（  ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析 】利用向量数量积的坐标表示即可求得，由模长公式计算可得，即可得出结论. 【解析 】易知， 可得，即，且， 所以可得的形状是直角三角形. 故选：B. （2）已知在四边形中，，求与分别满足什么条件时，四边形满足下列情况. ①四边形是等腰梯形； ②四边形是平行四边形. 【答案】①，且与不平行； ②（或）. 【分析】①根据向量共线的定义和梯形的判定条件可得结论； ②根据向量共线的定义和平行四边形的判定条件可得答案. 【解析 】①，且与不平行. 因为，所以四边形ABCD为梯形或平行四边形. 若四边形ABCD为等腰梯形，则，同时两向量不平行. ②（或）. 若，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD为平行四边形. (1)证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理： (). (2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：. 【变式1】在中，若，则的形状是（  ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】利用平面向量的数量积运算律计算即可. 【解析 】由题意可知， 所以，即的形状是直角三角形. 故选：C 【变式2】已知平面四边形的四条边，，，的中点依次为E，F，G，H，且 ，则四边形一定为（  ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形 【答案】C 【分析 】由中位线定理可得四边形为平行四边形，结合已知以及，化简整理得，即，进一步即可得解. 【解析 】    由题意结合中位线定理可得，， 所以，即四边形为平行四边形. ， ， ， ， ，即，即， 所以，又，所以， 同理由中位线定理可得，所以， 故四边形为矩形. 故选：C. 【变式3】证明：三角形两边中点所连线段平行于第三边且其长度等于第三边长度的一半. 【答案】证明见解析 【分析】转化题目为在中，、分别为边、的中点，即证：，且，进而利用向量的线性运算性质证明即可. 【解析 】如图，在中，、分别为边、的中点， 即证：，且. 证明：因为、分别为边、的中点， 所以，， 所以， 又不在上， 所以，且. 所以三角形两边中点所连线段平行于第三边且其长度等于第三边长度的一半.    【变式4】如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】设，借助正方形的性质与向量的线性运算可得，，计算其数量积即可得证. 【解析 】设，由为正方形，则有，， 则， ， 故 ，故. 【变式5】在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）求出D的坐标，根据重心坐标公式即可求出E的坐标； （2）求出F的坐标，证明即可． 【解析 】（1）如图， ∵，，， ∴，则由重心坐标公式，得； （2）． 易知的外心F在y轴上，可设为． 由，得， ∴，即． ∴． ∴， ∴，即． 题型02 用向量解决夹角问题 【典例1】如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析 】先根据三角函数的定义求出和的长度，再利用向量的加法的长度，再利用向量的乘法求出，进而利用向量夹角的余弦公式即可求得的值． 【解析 】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 ， ， 故选：D． 用向量方法解决平面几何问题，将问题中涉及的几何元素用向量表示，再通过向量运算求解几何元素间的关系(如距离、夹角等)． 【变式1】已知菱形中，，，点为上一点，且，则的余弦值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与交于点，以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴建立平面直角坐标系，利用向量的夹角公式可得答案. 【解析 】设与交于点，以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴建立平面直角坐标系如图所示，则点，，， ∴，，则， 故选：D. 【变式2】如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则 .    【答案】 【分析】先利用向量的线性运算表示，，然后数量积求解夹角余弦值即可. 【解析 】设，，则， ，又，， 所以 . 故答案为： 【变式3】已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，． (1)求和的值； (2)若，，，求与所成角的余弦值． 【分析】（1）由向量的运算得出，进而得出和的值； （2）由向量的运算得出，，进而得出，，，再由数量积公式求解即可. 【解析】（1）根据题意，梯形中，，，E为的中点 则 又由可得， （2）是与所成的角，设向量与所成的角为 ，则 ，则 则， 因为 所以 所以与所成角的余弦值为. 【变式4】如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 【答案】(1)；(2) 【分析 】（1）设，，利用向量线性运算得，然后利用数量积模的运算律求解即可. （2）利用向量的夹角运算公式求解即可. 【解析 】（1）设，， 则. ， ． （2）设，则向量与的夹角为． ， ，即． 【变式5】如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， (1)求； (2)求的正弦值. 【答案】(1)；(2) 【分析 】（1）先通过向量线性运算求得，再将用、表示，利用平面向量数量积的运算性质可求得的长，即可求解的长； （2）把视作与夹角，运用平面向量的夹角公式求解.计算出的值，结合平面向量的数量积可计算出的值，最后利用同角三角函数关系求出正弦值即可. 【解析 】（1）由是上的中线，所以， 设，则， 又三点共线，所以，解得，所以， 因为是上的中线，所以， 所以 ， 所以，故. （2）为与夹角，且， 因为是BC上的中线，所以， 所以 ，所以， 又 ， 所以 ， 所以. 题型03 用向量解决线段的长度问题 【典例1】已知，，，，点D在边上且，则长度为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量数量积去求长度即可. 【解析 】中，点D在边上且， 则 又，，， 则 ，即长度为 故选：D 求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：或 . 【变式1】在中，点D是边的中点，，，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量的数量积与模的关系计算即可. 【解析 】如图所示，由题意可得： ， 即，解之得. 故选：A 【变式2】在△ABC中，，，，， . 【答案】 【分析】由平面向量的基本定理得,再根据向量数量积与模的关系计算即可. 【解析 】由题意可得：， 故 故答案为： 【变式3】如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在． 【分析 】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解； （2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解. 【解析 】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角．    的余弦值为． （2）设 ． ． 由题得． ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ，舍去． 综上，存在． 题型04 利用向量研究几何图形中的最值 【典例1】在平行四边形中，点在对角线上（包含端点），且，则有（  ）. A．最大值为，没有最小值 B．最小值为，没有最大值 C．最小值为，最大值为4 D．最小值为，最大值为 【答案】C 【分析】画出图形,通过平面向量的线性运算可将转化为两个共线向量的数量积,分类讨论的位置,利用不等式即可求出最值. 【解析】如图： 所以, （1）当点在上,设,,当时,有最小值; （2）当点在上,设,,当时,有最大值4;综上有最小值为,最大值为4. 故选: 【变式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为（  ） A．－ B．0 C．4 D．－1 【答案】A 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，设出点的坐标，写出的坐标，利用坐标计算数量积，结合二次函数的最小值，即可求得结果. 【解析】依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x，y轴， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2， 因为点P在边AC的中线BD上，所以可设P(t，2－t)(0≤t≤2)， 所以＝(t，2－t)，＝(t，－t)， 所以·＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2－， 当t＝时，·取得最小值－， 故选：A. 【变式2】在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析 】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，设，则，且，，从而得到，结合二次函数的性质即可求解. 【解析 】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系， 依题意，有，，，， 设，则，且，， ， 因，当时，，当时，， 故．    故选：D． 【变式3】平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为______ 【答案】 【分析】由已知，得，，，四点共圆，从而判断点的轨迹是以为弦，圆周角为的劣弧（不含，两点），根据数量积的几何意义，得出结论． 【解析 】由，，， 可得，故， 又，所以， 以为直径作圆，则，，，四点共圆， 如图所示，故点的轨迹是以为弦，圆周角为的劣弧（不含，两点）， 则， 又表示在上的投影， 由图可知，，， 故（此时点在劣弧的中点位置）， 即的最小值为． 故答案为：． 【变式4】如图，正方形的顶点A，B分别在x，y轴正半轴上滑动，M是边的中点． (1)求证：． (2)若正方形的边长为2，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析(2)8 【分析 】（1）根据向量线性运算可得，，再根据向量数量积的分配律运算证明； （2）根据题意，点O在以为直径的圆上，数形结合可得，结合（1）可得解. 【解析 】（1）因为，又是的中点，则， 所以，又， . （2）如图，取的中点，连接，， 由题，可知点O在以为直径的圆上， 所以， 当且仅当，，三点共线时取等号． 利用（1）结论：. 所以的最大值为8. 题型05 向量在几何中的其他应用 【典例1】（1）在平面直角坐标系中，已知A(3，4)，B(5，12)，O为坐标原点，的平分线交线段AB于点D，求点D的坐标． 【答案】 【分析】若可得，，根据角平分线的性质有，结合平面向量线性关系的坐标表示求参数，即可得D的坐标 【解析 】由题设，，若，则，， ∵的平分线交线段AB于点D，且， ∴，即，解得. ∴. （2）已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（  ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【答案】A 【分析 】先将整理，得到，再利用平面向量的三角形法则，求出，得到，从而得到直线BD一定经过三角形ABC的垂心. 【解析 】，， ，，， 是三角形的高线，直线BD一定经过三角形ABC的垂心. 故选：A. 向量法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系. 【变式1】是内一点，若满足，则是三角形的（　　） A．内心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】设为边上的中点，根据向量加法的平行四边形法则可得，由此即可得出结论. 【解析 】设为边上的中点， 由，得， 所以， 又点为公共端点，所以三点共线， 即点在边上的中线上，且， 所以是三角形的重心. 故选：C. 【变式2】在四边形中，，，，则四边形的面积为（ ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【分析 】根据向量关系确定四边形的形状为梯形，再结合向量的坐标运算得梯形相关长度即可求得梯形的面积. 【解析 】因为在四边形中，， 所以且，则四边形为梯形， 又，，所以， 则，且，则， 所以四边形的面积为. 故选：B. 【变式3】点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（  ） A．重心、外心、内心、垂心 B．外心、重心、内心、垂心 C．重心、垂心、外心、内心 D．外心、重心、垂心、内心 【答案】D 【分析 】根据模长相等可判断为的外心，利用重心性质以及向量共线定理可判断为重心；由垂直关系的向量表示可得点为垂心；再结合角平分线性质可判断点为内心. 【解析 】由可知，点到三点的距离相等， 可知为的外接圆圆心，即为的外心， 取的中点为，如下图所示：    易知，又，可知； 即在中线上靠近的三等分点， 同理可得为三条中线的交点，即为重心； 由可得，即， 可得，同理可得， 所以点为三条高的交点，因此点为垂心； 易知为沿方向上的单位向量，即； 令，所以，且为等腰三角形，，如下图：    由可得，即, 此时为角的平分线， 同理由可得为角的平分线， 因此可知为三条角平分线的交点，因此点为内心. 故选：D. 【变式4】试用向量的方法证明：在中，. 【答案】证明见解析 【分析】设，从而得出，化简整理可得 ，两边同时与作内积，利用向量的数量积公式即可求解. 【解析 】设，从而得出， ，， ，得证. 题型06 力、速度、位移的合成 【典例1】（1）已知平面上两个力同时作用于某质点上，其中，若对该质点再施加一个力，使该质点恰好处于平衡状态，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析 】先利用合力求出，再利用向量夹角公式可得答案. 【解析 】因为， 所以， 则. 故选：C. （2）某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析 】利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及模即可求解. 【解析 】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 且，设，由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得，而，于是， ， 所以该船完成此段航行的实际速度为. 故选：B. （1）力学问题的向量处理方法 ①解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题,即将力学各量之间的关系抽象成数学模型,再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象； ②向量是既有大小又有方向的量,表示向量的有向线段可以有共同的起点,也可以没有共同的起点.力是既有大小,又有方向的量.用向量知识解决共点力的问题,往往需要把向量平移到同一作用点上. （2）速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解,实质就是向量的加减运算,而运动的叠加也用到了向量的合成. ①向量在速度、加速度上的应用,实质是通过向量的线性运算解决物理问题,最后获得物理结果. ②用向量解决速度、加速度和位移等问题,用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘,有时也可借助坐标来求解. 【变式1】已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析 】先利用向量加法求出合力，然后利用相反向量求出即可. 【解析 】由题意，作用在该质点上的三个力，，， 则． 想要该质点恰好达到平衡状态，只需． 故选：C. 【变式2】如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（  ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【答案】B 【分析 】由向量加法的平行四边形法则结合向量模的求法判断C；求解直角三角形可得判断A；结合诱导公式求得判断B；求出船到达对岸的时间判断D. 【解析 】解：如图， 是河对岸一点，且与河岸垂直，那么当这艘船实际沿方向行驶时船的航程最短， ，，故C错误； 设船头方向与的夹角为，则，则船头方向与水流方向不垂直，故A错误； ，故B正确； 该船到达对岸的时间为分钟，故D错误． 故选：B. 【变式3】某河流南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和的夹角为，北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处时，__________ 【答案】 【分析 】设船的实际速度为，则，由题意可得，即，代入计算即可求出答案． 【解析 】解：设船的实际速度为，则， 北岸的点在的正北方向，游船正好到达处，则， 所以， 即，解得， 故答案为：．    【变式3】如图，两个力和同时作用在一个物体上，其中的大小为，方向向东，的大小为，方向向北，求它们的合力．    【答案】大小为，方向约为北偏东 【分析】作出图形，利用勾股定理求出两合力的大小，并结合锐角三角函数求出合力与正北方向的夹角，即可得出结论. 【解析 】解：如下图，，，以、为邻边作平行四边形， 由题意可知，，则四边形为矩形，    ， 设两个力和的合力为，则， 由勾股定理可得， 在中，，所以，， 所以，它们的合力大小为，方向约为北偏东. 题型07 功、动量的计算 【典例1】两个力，作用于同一质点，使该质点从点移动到点（其中、分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m）.求： (1)，分别对该质点做的功； (2)，的合力对该质点做的功. 【答案】(1)对该质点做的功为（），对该质点做的功（）； (2)（）. 【分析】（1）根据题意，求出位移，结合功的计算公式，即可求解； （2）根据题意，求出合力，结合功的计算公式，即可求解. 【解析 】（1）根据题意，，，， 故对该质点做的功（）； 对该质点做的功（）. （2）根据题意，，的合力， 故，的合力对该质点做的功（）. 功、动量问题的向量处理方法 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力与位移的数量积,即(为与的夹角).功是一个标量,它可正,也可负.动量实际上是数乘向量. 注：在解决问题时要注意数形结合 【变式1】冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为（ ） A． B． C．17 D．10 【答案】C 【分析 】借助功的定义计算即可得. 【解析 】因为，，所以，又， 故力对冰球所做的功为. 故选：C. 【变式2】如图，在倾角为、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功，（参考数据，）． 【答案】答案见解析 【分析】首先分析物体的受力，再计算各个力所做的功. 【解析 】物体受三个力，重力，斜面对物体的支持力，摩擦力， 且重力可分解为沿斜面向下的分力和垂直斜面的分力，则重力与位移之间的夹角， 则重力对物体做的功， 支持力与位移方向垂直，做功为， 摩擦力与位移方向相反，对物体做功 ．    【变式3】如图，质量的木块，在平行于斜面大小为10N向上的拉力F的作用下，沿倾角的光滑斜面向上滑行2.0m的距离．    (1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功； (2)求在这一过程中物体所受各力对物体做的功的代数和； (3)求物体所受合外力对物体所做的功，它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系？ 【答案】(1)拉力，支持力不做功，重力；(2)； (3)物体所受合外力对物体做的功与物体所受各力对物体做功的代数和相等. 【分析】（1）分析物体受力，按功的定义式求解每个力做的功； （2）将（1）中各值累加即可; （3）计算物体所受合外力对物体所做的功，与物体所受各力对物体做功的代数和比较即可. 【解析 】（1）木块受三个力的作用，重力，拉力和支持力，如图所示.    拉力与位移方向相同， 所以拉力对木块所做的功为. 支持力与位移方向垂直，不做功，所以. 重力对物体所做的功为. （2）物体所受各力对物体做功的代数和为. （3）设物体所受合外力的大小为， 则, 故合外力做功为. 故物体所受合外力对物体做的功与物体所受各力对物体做功的代数和相等. 1．已知向量，线段的中点为，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用平面向量基底表示，找到的关系求解即可. 【解析 】设， 则， 由， 得，又已知，且， 则有， 故. 故选：A. 2．在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析 】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解. 【解析 】解：建立如图直角坐标系，则, 得, 所以， 故选：D. 3．已知中，，，点在边上，，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析 】利用角平分线定理得到，利用平面向量的线性运算结合数量积的运算计算即可. 【解析 】 根据题意，因为，，所以为的平分线， 根据角平分线定理，可得，则 所以， 两边平方可得 ， 所以. 故选：C. 4．平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（  ） A． B．5N C． D． 【答案】C 【分析 】根据平衡状态得，结合向量的数量积求解即可． 【解析 】由题意得，， 所以， 故选：C． 5．已知非零向量，满足，且，则为（  ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析 】由左右互除得出，再由，得出，即可得出答案. 【解析 】， ， ， ， 为等腰三角形， 又， ， ，又，所以， 为等边三角形， 故选：D. 6．如图，一条河的南北两岸平行.游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，则游船要从A行到正北方向上位于北岸的码头处，其航行速度的大小（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量加法的几何意义、数量积的运算性质可得，然后再求出即可 【解析 】设与所成的角为， 由题意得，， 则 . 故选:A 7．已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析 】以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，表示出，再求取值范围即可. 【解析 】如图，以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，设， 则，， 可得， 因为，所以， 所以，当时，取得最小值； 当时，取得最大值，即. 故选：A. 8．（多选）小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中不正确的是（  ） A．越小越费力，越大越省力 B．始终有 C．当时， D．当时， 【答案】ABD 【分析】根据题意，由向量的平行四边形法则可得，由此分析选项，即可得答案． 【解析 】根据题意，由于，又由， 则有向量，为邻边的四边形为菱形， 则有，, 对于A，由于不变，则越小越省力，越大越费力，A错误； 对于B，由于，B错误； 对于C，当时，，C正确； 对于D，当时，，D错误． 故选：ABD 9.（多选）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（  ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【答案】ABD 【分析】，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时，即， 点在的角平分线上，同理证明即可求解. 【解析 】，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时，即，点在的角平分线上； ，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时，即， 点在的角平分线上； ，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时，即， 点在的角平分线上，故是的内心. 故选：ABD 10．若，则的形状为 . 【答案】直角三角形 【分析】根据向量三角形法则化成两向量数量积为零，即可判断三角形形状. 【解析 】由已知可得，， 故为直角三角形. 故答案为：直角三角形. 11．一物体在力的作用下，由移动到.已知，则对该物体所做的功为_________ 【答案】-8 【分析 】根据数量积公式，即可求解. 【解析 】由题意可知，，， 所以，所以对该物体所做的功为 . 故答案为：-8. 12．在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为________ 【答案】2 【分析 】借助向量线性运算法则与三点共线定理可得，再利用向量数量积公式计算即可得解. 【解析 】令，，由，， 则，， 则， 由、、三点共线，故，即， 即，则 ， 解得，即的长为. 故答案为：2 13．如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析 】（1）用、表示，再根据数量积的定义及运算律计算可得； （2）用、表示、，根据数量积的运算律求出，即可得证. 【解析 】（1）因为， 所以， 所以， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 所以，即，所以． 14．如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析 】（1）建立坐标系，设，表达出，，由得到方程，求出，利用平面向量夹角余弦公式求出答案； （2）设，表达出，结合，求出. 【解析 】（1）以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立平面直角坐标系， ，，设，则，，， ，， 由，则，即， 又，，， ，，，， ， 又为锐角，； （2）设，， ，， ， ，. 10 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.5 向量的应用 教学目标 1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用． 2.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具． 3.通过对现实原型的观察、分析、比较，发展抽象，概括的思维能力． 4.通过运用向量知识解决现实生活中的问题，发展数学建模素养；在运用向量的方法解决数学问题的过程中，发展逻辑推理和数学运算素养． 教学重难点 1.重点 运用向量的有关知识对实际问题进行相关分析和计算，用向量方法解决实际问题．． 2.难点 实际问题转化为向量问题. 知识点01 平面几何中的向量方法 1．用向量研究平面几何问题的思想 向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作. 2．向量在平面几何中常见的应用 （1） 平面两个向量的数量积：； （2） 向量平行的判定: ； （3）向量平行与垂直的判定:； （4）平面内两点间的距离公式： （其中，） （5）求模：； ； （6）对于题目中遇到的有些平面图形(如长方形、正方形、直角三角形等)的计算求解问题,可通过建立平面直角坐标系,用坐标把向量表示出来,通过代数运算来解决(“形”转“数”). 3．用向量解决平面几何问题的步骤 ①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题； ③把运算结果“翻译”成几何关系. 【即学即练】 1．在中，若，则一定是（  ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上说法都不对 2．如图所示，分别在平行四边形的对角线的延长线和反向延长线上取点和点，使.试用向量方法证明：四边形是平行四边形. 3.用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：． 知识点02 向量在物理中的应用 （1）力学问题的向量处理方法 ①解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题,即将力学各量之间的关系抽象成数学模型,再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象； ②向量是既有大小又有方向的量,表示向量的有向线段可以有共同的起点,也可以没有共同的起点.力是既有大小,又有方向的量.用向量知识解决共点力的问题,往往需要把向量平移到同一作用点上. （2）速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解,实质就是向量的加减运算,而运动的叠加也用到了向量的合成. ①向量在速度、加速度上的应用,实质是通过向量的线性运算解决物理问题,最后获得物理结果. ②用向量解决速度、加速度和位移等问题,用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘,有时也可借助坐标来求解. （3）功、动量问题的向量处理方法 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力与位移的数量积,即(为与的夹角).功是一个标量,它可正,也可负.动量实际上是数乘向量. 【即学即练】 1．如图，在细绳l上作用着一个大小为200N的力，与水平方向的夹角为45°，细绳上挂着一个重物，使细绳的另一端与水平面平行，求物重G的大小．    2．如图，一艘船从长江南岸点A出发，以km/h的速度垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h．    (1)试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度； (2)求船实际航行速度的大小与方向（方向用与江水速度间的夹角表示）． 题型01 用向量证明平面几何中的平行或者垂直问题 【典例1】（1）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（  ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 （2）已知在四边形中，，求与分别满足什么条件时，四边形满足下列情况. ①四边形是等腰梯形； ②四边形是平行四边形. (1)证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理： (). (2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：. 【变式1】在中，若，则的形状是（  ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式2】已知平面四边形的四条边，，，的中点依次为E，F，G，H，且 ，则四边形一定为（  ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形 【变式3】证明：三角形两边中点所连线段平行于第三边且其长度等于第三边长度的一半. 【变式4】如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【变式5】在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 题型02 用向量解决夹角问题 【典例1】如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（  ） A． B． C． D． 用向量方法解决平面几何问题，将问题中涉及的几何元素用向量表示，再通过向量运算求解几何元素间的关系(如距离、夹角等)． 【变式1】已知菱形中，，，点为上一点，且，则的余弦值为（  ） A． B． C． D． 【变式2】如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则 .    【变式3】已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，． (1)求和的值； (2)若，，，求与所成角的余弦值． 【变式4】如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 【变式5】如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， (1)求； (2)求的正弦值. 题型03 用向量解决线段的长度问题 【典例1】已知，，，，点D在边上且，则长度为（  ） A． B． C． D． 求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：或 . 【变式1】在中，点D是边的中点，，，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【变式2】在△ABC中，，，，， . 【变式3】如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 题型04 利用向量研究几何图形中的最值 【典例1】在平行四边形中，点在对角线上（包含端点），且，则有（  ）. A．最大值为，没有最小值 B．最小值为，没有最大值 C．最小值为，最大值为4 D．最小值为，最大值为 【变式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为（  ） A．－ B．0 C．4 D．－1 【变式2】在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（  ）    A． B． C． D． 【变式3】平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为______ 【变式4】如图，正方形的顶点A，B分别在x，y轴正半轴上滑动，M是边的中点． (1)求证：． (2)若正方形的边长为2，求的最大值． 题型05 向量在几何中的其他应用 【典例1】（1）在平面直角坐标系中，已知A(3，4)，B(5，12)，O为坐标原点，的平分线交线段AB于点D，求点D的坐标． （2）已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（  ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 向量法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系. 【变式1】是内一点，若满足，则是三角形的（　　） A．内心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式2】在四边形中，，，，则四边形的面积为（ ） A． B．4 C． D．6 【变式3】点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（  ） A．重心、外心、内心、垂心 B．外心、重心、内心、垂心 C．重心、垂心、外心、内心 D．外心、重心、垂心、内心 【变式4】试用向量的方法证明：在中，. 题型06 力、速度、位移的合成 【典例1】（1）已知平面上两个力同时作用于某质点上，其中，若对该质点再施加一个力，使该质点恰好处于平衡状态，则（  ） A． B． C． D． （2）某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（  ） A． B． C． D． （1）力学问题的向量处理方法 ①解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题,即将力学各量之间的关系抽象成数学模型,再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象； ②向量是既有大小又有方向的量,表示向量的有向线段可以有共同的起点,也可以没有共同的起点.力是既有大小,又有方向的量.用向量知识解决共点力的问题,往往需要把向量平移到同一作用点上. （2）速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解,实质就是向量的加减运算,而运动的叠加也用到了向量的合成. ①向量在速度、加速度上的应用,实质是通过向量的线性运算解决物理问题,最后获得物理结果. ②用向量解决速度、加速度和位移等问题,用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘,有时也可借助坐标来求解. 【变式1】已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（  ） A． B． C． D． 【变式2】如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（  ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【变式3】某河流南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和的夹角为，北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处时，__________ 【变式4】如图，两个力和同时作用在一个物体上，其中的大小为，方向向东，的大小为，方向向北，求它们的合力．    题型07 功、动量的计算 【典例1】两个力，作用于同一质点，使该质点从点移动到点（其中、分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m）.求： (1)，分别对该质点做的功； (2)，的合力对该质点做的功. 功、动量问题的向量处理方法 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力与位移的数量积,即(为与的夹角).功是一个标量,它可正,也可负.动量实际上是数乘向量. 注：在解决问题时要注意数形结合 【变式1】冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为（ ） A． B． C．17 D．10 【变式2】如图，在倾角为、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功，（参考数据，）．    【变式3】如图，质量的木块，在平行于斜面大小为10N向上的拉力F的作用下，沿倾角的光滑斜面向上滑行2.0m的距离．    (1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功； (2)求在这一过程中物体所受各力对物体做的功的代数和； (3)求物体所受合外力对物体所做的功，它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系？ 1．已知向量，线段的中点为，且，则（  ） A． B． C． D． 2．在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（  ） A． B． C． D． 3．已知中，，，点在边上，，则的长为（  ） A． B． C． D． 4．平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（  ） A． B．5N C． D． 5．已知非零向量，满足，且，则为（  ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 6．如图，一条河的南北两岸平行.游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，则游船要从A行到正北方向上位于北岸的码头处，其航行速度的大小（  ） A． B． C． D． 7．已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 8．（多选）小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中不正确的是（  ） A．越小越费力，越大越省力 B．始终有 C．当时， D．当时， 9.（多选）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（  ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 10．若，则的形状为 . 11．一物体在力的作用下，由移动到.已知，则对该物体所做的功为_________ 12．在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为________ 13．如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 14．如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $