第五章 三角函数 习题（二）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

华中师大一附中《三角函数》习题（二） 一、单选题 1．已知为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知，为锐角，，，则的值为(    ) A． B． C． D． 4．已知函数，的值域为，则的值不可能是（    ） A．1 B． C． D． 5．化简等于（　） A．2cos B．2cos C．2cos D．2cos 6．若函数在区间上的最大值与最小值的和为，则实数 A． B．0 C．2 D．3 7．已知，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，均为锐角，，，则（    ） A． B．或 C． D． 9．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．若，且为第一象限角，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．对于函数，给出下列选项其中不正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．存在，使 C．存在，使函数的图象关于轴对称 D．存在，使恒成立 12．把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若中间层旋转角（为锐角），记表面积增加量为，则下列说法正确的是（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．的最大值为 D．的最大值为 13．已知，，若，是关于的方程的两个根（含重根），则可能是（     ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 三、填空题 14．已知角的终边与单位圆交于点()，则= . 15．已知角，，，则 . 16．已知，是函数，的两个零点，则 ． 17．已知，且是第一象限的角，则 ． 18．在中，若，则的最大值为 . 19．已知是锐角，且，则 ， ． 20．若方程的两个根分别是α，β，则 ， . 四、解答题 21．证明下列等式成立． (1)； (2)； (3)． 22．已知，求证： (1)； (2)． 23．在中，已知，判断三角形的形状． 24．化简：． 25．若，求函数的最值及取得最值时相应的的值． 试卷第2页，共3页 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 华中师大一附中《三角函数》习题（二）答案 1．A 【分析】利用商数关系和平方关系求出，然后由正弦的两角差公式可得. 【详解】因为为锐角，，所以， 联立，解得， 因为，所以， 所以 . 故选：A 2．C 【分析】利用积化和差公式得到，代入求值即可. 【详解】， 由积化和差得， 即， 故，解得. 故选：C 3．A 【分析】，根据正弦的差角公式展开计算即可. 【详解】∵，，∴， 又∵，∴， 又，∴， ∴， ， ∴ 故选：A. 4．C 【分析】先转化函数为，根据，，得到，再根据，由求解. 【详解】函数， 因为，， 所以， 又因为， 所以， 所以， 解得. 故选：C. 【点睛】本题主要考查三角函数值域的应用以及辅助角法的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题. 5．B 【详解】cosx＋sinx＝2＝2 ＝2cos.故选B. 6．B 【分析】结合二倍角的正弦和余弦公式化简得，由可得，结合函数最值的关系即可求得实数 【详解】，因为，所以，则.又在上的最大值与最小值的和为，所以， 解得. 故答案为B 【点睛】本题考查三角函数的化简，在给定区间求函数值域，属于基础题 7．D 【解析】先利用二倍角公式化简整理得到，再利用同角三角函数的平方关系，结合范围解出即可. 【详解】由，，得，， 所以，即，故， 代入得，，故， 因为，所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛： 本题解题关键在于熟记公式并准确运算，还要注意角的范围的限制，才能突破难点. 8．A 【分析】先利用同角的三角函数的基本关系式可求的值，再利用两角差的正弦可求的值. 【详解】因为，均为锐角，故， 因为，， 所以，， 所以 . 故选：A. 9．C 【分析】逆用两角差的余弦公式求得，再利用平方关系求解 【详解】，， . 故选：C 【点睛】本题考查两角差的余弦公式，考查同角三角函数基本关系，是基础题 10．B 【分析】由, 且为第一象限角, 利用同角三角函数间的基本关系求出与的值, 利用二倍角公式化简后, 将各自的值代入计算即可求出值. 【详解】因为为第一象限角，且， 所以，且是第一或第三象限角. 当是第一象限角时，； 当是第三象限角时，. 故. 故选：B 11．ABD 【解析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用正弦函数的对称性，函数的值域对称轴判断选项的正误即可. 【详解】函数， 对于：函数，当时，， 不能得到函数的图象关于点对称.不对； 对于，可得，，不存在； 不对. 对于：函数的对称轴方程为：，可得， 当，时，可得图象关于轴对称.对. 对于说明是函数的周期， 函数的周期为，故， 不存在，使恒成立，不对. 故选：. 【点睛】本题考查和差公式及三角函数性质，根据公式对原式进行化简，再代入选项值判断对称性、周期性即可，属于中等题. 12．BC 【分析】假设斜边长为，则，，即可代入求解A，根据正弦的对称性求解B，再结合基本不等式可判断CD． 【详解】设三角形的斜边长为，则 ①， 所以， 对于A，当时，由①式得，， 所以，故A错误； 对于B，的对称轴为 ，， 当时，，即的图象关于直线对称，故B正确； 对于C,D，， 因为，当且仅当时，等号成立， 又由①可得，， 所以， 因为为锐角，所以，所以,， 所以,，所以,， 所以,，所以， 即，故C正确，D错误． 故选：BC. 13．BCD 【分析】由韦达定理及正切的两角和公式通过分类讨论可求解. 【详解】因为方程有两根，， 所以，所以， 且或. 所以， 因为，所以，从而可得， 所以. 当时，，所以，，此时锐角三角形. 当时，，可知中有一个钝角，些时钝角三角形. 若，则，此时，所以，解得或（舍）， 当时，是等腰三角形. 因此，可能是锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形. 故选：BCD 14． 【分析】由角的终边与单位圆交于点()，利用三角函数的定义求得，然后利用二倍角的正弦公式求得，然后由诱导公式由求解. 【详解】因为角的终边与单位圆交于点()， 所以， 所以， 所以， 故答案为： 【点睛】本题主要考查三角函数的定义，诱导公式以及二倍角公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 15． 【分析】根据已知条件解得，然后再求得的值，最后根据角的范围即可求解的值． 【详解】根据条件， ，即， ， 则， 整理可得， 即， 即， ， ， 故. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦、正切公式及倍角公式的运用，在计算过程中注意角度的配凑，本题有一定量的计算，还要求学生能够熟练运用公式． 16． 【分析】利用和差化积公式得，再结合正弦函数性质即可得到答案. 【详解】根据和差化积公式得， 则令， 当时，因为，则，此时无解， 当 ，因为，则， 则或，解得或， 则. 故答案为：. 17．或 【分析】根据同角三角函数关系，建立方程求出sinα，cosα的值，结合正切函数的公式进行求解即可． 【详解】解：∵α是第一象限角，， ∴ 平方得， 得，即， 则或， 当时，，则． 当时，，则， 即或． 故答案为：或． 18． 【解析】由求出角B，代入化简等式，利用两角和与差的三角函数公式即二倍角公式进一步化简等式可得，由角A的范围求出的最大值即可求得等式得最大值. 【详解】因为，所以， 又，所以，，则， ， 由知， 当时，取得最大值1， 此时. 故答案为： 【点睛】本题考查三角恒等变换化简式子，正弦型函数的单调性与最值，属于中档题. 19． 【分析】利用已知条件结合二倍角公式和两角差的余弦即可得到答案. 【详解】由题意得，，又是锐角，， ， ． 故答案为：；. 20． 【分析】利用韦达定理、两角和的正余弦公式以及辅助角公式即可求解. 【详解】由题意知， 所以 . 故答案为：；. 21．(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）应用二倍角正余弦公式化简，即可证； （2）应用和差角余弦公式整理化简，即可证； （3）应用平方关系、辅助角公式化简，即可证. 【详解】（1）； （2）； （3）. 22．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）运用积化和差公式化简，变形即可； （2）运用弦化切公式计算证明即可. 【详解】（1）， ， 则，即． （2）由（1）知， 则，则． 23．A＝60°的非等腰三角形 【分析】切化弦，结合两角和差的余弦公式，三角形内角和公式，即可判断三角形的形状． 【详解】∵，(sinB≠sinC)， ∴，(sinB≠sinC)， ∴sinAsinC－sinAsinB＝cosAcosB－cosAcosC， ∴cosAcosC＋sinAsinC＝cosAcosB＋sinAsinB， ∴cos(A－C)＝cos(A－B)， ∵0°＜A，B，C＜180°， ∴－180°＜A－C＜180°，－180°＜A－B＜180°， ∴A－C＝A－B或A－C＝B－A，即B＝C（舍去）或2A＝B＋C， 又A＋B＋C＝180°，∴A＝60°， ∴△ABC为A＝60°的非等腰三角形． 24． 【分析】由于侧重角度不同，出发点不同，所以本题化简的方法不止一种． 法一：利用半角公式把化为，化为； 法二：函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名称的统一）； （3）次数为2（有降次的可能）； （4）有平方项（可以进行配方）． 【详解】法一（“角”入手，“倍角”变“单角”）: 原式 ． 法二（从“名”入手，“异名”化“同名”）： 原式 ． 法三（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）： 原式 ． 法四（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）： 原式 ． 25．时，函数取得最大值，最大值为． 【分析】令，求出的范围从而原函数化为，再利用配方法求最值可得答案. 【详解】，令， 则．∵， ∴， 从而原函数化为， 由二次函数的性质可知，当， 即时，函数取得最小值，最小值为； 当，即时，函数取得最大值，最大值为． 答案第10页，共11页 答案第1页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $