第五章三角函数习题（一）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

华中师大一附中《三角函数》习题（一） 一、单选题 1．已知是的内角，且，则的值为（    ） A．-1或7 B．或1 C．-1 D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 4．点位于(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．拱券是教堂建筑的主要素材之一，常见的拱券包括半圆拱､等边哥特拱､弓形拱､马蹄拱､二心内心拱､四心拱､土耳其拱､波斯拱等.如图，分别以点A和B为圆心，以线段AB为半径作圆弧，交于点C，等边哥特拱是由线段AB，，所围成的图形.若，则该拱券的面积是（    ） A． B． C． D． 6．用弧度制表示为（    ） A． B． C． D． 7．已知为第四象限角，，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．已知角的终边过点，且，则实数（   ） A．4 B． C．5 D． 9．在平面直角坐标系中，在在角终边上，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，若是方程的根，若，则（    ）. A． B． C． D． 二、多选题 11．已知下列等式的左右两边都有意义，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 12．下列命题为真命题的是（    ） A．若是第一象限角，则 B．终边经过点的角的集合是 C．对，恒成立 D．若，且，则 13．下列命题为真命题的有（   ） A．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 B．函数的单调递减区间为 C．“”是“”的充分不必要条件 D．函数的最小值为5 14．已知，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 15．下列结论正确的是（   ） A．1rad的角比的角大 B．与角终边相同的最小正角是 C．已知某扇形的圆心角是，半径是3，则该扇形的面积是6π D．已知角α的终边经过点，则 三、填空题 16．用一根长度为的绳子围成一个扇形，当扇形面积最大时，其圆心角的弧度数为 ． 17．已知，则 . 18．已知，且，则的值为 . 19．已知，则 ． 20．已知角的终边上有一点，则的值为 ． 四、解答题 21．已知 (1)化简． (2)若为第三象限角，且，求的值． 22．在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边经过点 (1)求的值和； (2)化简求值 23．已知函数． (1)化简； (2)若，求的值． 24．已知扇形的半径为，弧长为，面积为，圆心角为． (1)若，求该扇形的周长和面积； (2)若扇形的周长为20，面积为9，求． 25．计算求值. (1) (2)若，且，求下列式子. （i） （ii）. 试卷第2页，共4页 第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 华中师大一附中《三角函数》习题（一）答案 1．C 【分析】将等式两边平方，应用同角三角函数的平方关系及商数关系可得，结合题设即可确定的值. 【详解】∵， ∴ ∴或． 由且，故． ∴. 故选：C． 2．B 【分析】根据给定条件，切化弦，利用诱导公式、同角公式求解作答. 【详解】由得：，即，， 整理得，而，解得， 所以. 故选：B 3．D 【分析】根据得，即可得，进而根据判断，根据，即可求解. 【详解】由于，，所以，故， 由于，所以，而，故， 又，故，故， 因此， 故选：D 4．C 【分析】首先求出所在象限，然后判断和符号即可求解. 【详解】∵， ∴913°角为第三象限角， ∴，， ∴点位于第三象限. 故选:C． 5．D 【分析】求出扇形的面积和三角形的面积即得解. 【详解】解：设的长为. 所以扇形的面积为. 的面积为. 所以该拱券的面积为. 故选：D 6．C 【解析】根据弧度制与角度制的关系求解即可. 【详解】因为弧度， 所以， 故选：C 7．B 【分析】根据为第四象限角得到，利用同角三角函数的基本关系可得结果. 【详解】∵为第四象限角，∴， ∵，则， 即，故， 所以， ∴， ∴. 故选：B. 8．B 【分析】根据三角函数的定义结合诱导公式即可求得. 【详解】根据三角函数的定义可知，， 又，， ，且 故， 故选：B. 9．B 【分析】根据给定条件，利用三角函数定义，诱导公式及同角公式计算即得. 【详解】依题意，， 所以. 故选：B 10．B 【分析】设，根据方程的三个根的形式表示出，然后根据列方程，结合同角的三角函数的关系求解. 【详解】由于有三个根，于是，不妨设， 其中，对展开可得： ， 则，而，故， 根据可知，，于是，故 故选：B 11．ABC 【分析】对于A、B，由同角三角函数的基本关系进行化简证明即可，对于C、D，由诱导公式进行化简证明即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：ABC. 12．ACD 【分析】由所在象限得出的范围，进而可得的范围，即可判断A；根据角的终边经过点可写出角的集合即可判断B；根据同角的三角函数关系结合角的范围，可判断C；将平方，从而可求得的符号，求出的值，进而可判断D. 【详解】对于A，若是第一象限角，则， 则， 当时，，为第一象限角， 当时，，为第三象限角， 所以是第一或第三象限角，故；，故A正确； 对于B，终边经过点的角的终边落在第一、三象限的角平分线上， 即角的集合是，故B错误； 对于C，当时，， 则，故C正确； 对于D，若，则， 即若，所以， 则， 又，则，所以， 故，D正确. 故选：ACD. 13．AC 【分析】对于A，应用扇形的弧长及面积公式计算即可判断；对于B，先求函数的定义域，结合复合函数单调性分析判断；对于C，结合诱导公式，利用充分条件、必要条件的概念判断即可；对于D，由同角三角函数基本关系及对勾函数的单调性即可判断. 【详解】对于A，设扇形的半径为，因为扇形的圆心角为，且所对应的弧长为， 则，所以，则该扇形的面积为，故A正确； 对于B，令，解得或， 可知函数的定义域为， 因为在定义域内单调递增，且在内单调递减，在内单调递增， 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以函数的单调递减区间是，故B错误； 对于C，一方面：当时，， 另一方面：注意到，但不是的整数倍， 故“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，函数， 令，则， 设，该函数在区间上单调递减， 故当时，取得最小值，所以的最小值为，故D错误. 故选：AC. 14．ABC 【分析】将式子两边同时平方，可得，即可判断的取值范围，进而确定余弦值和正切值的符号，可判断选项ABC错误，再利用同角三角函数的基本关系可求得选项D中表达式的值，即可做出判断. 【详解】将两边同时平方，可得； 所以，即符号相同， 又因为，所以应在第一象限，所以，故A错误； 当时，，故BC均错误； 由可知， ；即D正确； 故选：ABC. 15．AD 【分析】运用弧度制概念、终边相同角，弧度制下的弧长面积公式和三角函数定义逐个计算判定. 【详解】对于A，，A正确； 对于B， 与角终边相同的最小正角是，B错误； 对于C， ，C错误； 对于D， ，D正确. 故选：AD. 16． 【分析】根据已知条件及基本不等式，利用弧长公式及扇形的面积公式即可求解. 【详解】设扇形的弧长为，半径为，则，， 则，当且仅当时，等号成立， 所以扇形面积， 当时，扇形面积取得最大为. 所以圆心角的弧度数为. 故答案为:. 17． 【分析】由诱导公式得，再结合诱导公式求解即可. 【详解】因为，所以. 又因为， 所以. 故答案为： 18． 【分析】由诱导公式计算可得. 【详解】，所以， 因为，所以 所以， 故答案为：. 19． 【分析】化简，将两边平方可得，代入原等式即可求解. 【详解】由题可得：， 因为，所以，则，即， 所以， 故答案为： 20． 【分析】由题意及三角函数的定义可得，再根据诱导公式及 同角三角函数的基本关系的应用化简后代入即可求值. 【详解】因为角的终边上有一点，所以. 所以 . 故答案为：. 21．(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式即可化简. （2）利用诱导公式求得利用诱导公式，再利用同角三角函数的基本关系求得的值. 【详解】（1） ． （2）∵为第三象限角，且， ∴，． 22．(1)， (2) 【分析】（1）根据三角函数定义求得m的值，然后根据正切函数的定义直接计算得到答案. （2）利用诱导公式和同角三角函数的关系化简化简整理为齐次式，然后切化弦得到原式等于，计算得到答案. 【详解】（1）终边经过点，故，解得，. （2） . 23．(1) (2) 【分析】（1）应用诱导公式化简求解； （2）根据已知得出，应用齐次式弦化切计算得，计算求解. 【详解】（1） （2）由（1）知， 则， 则， 故． 24．(1)， (2) 【分析】（1）确定，再计算周长和面积得到答案. （2）确定方程组，解得答案，再验证即可. 【详解】（1），所以，所以扇形的周长为． ． （2）扇形的周长为20，面积为9，所以，解得或． 当时，，此时（不合题意，舍去）； 当时，，此时． 综上所述：． 25．(1)； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式求解即得. （2）（i）（ii）利用同角公式求出，再利用诱导公式及齐次式法计算即得. 【详解】（1）由于， 所以. （2）（i）由，，得，， 所以. （ii）. 答案第10页，共10页 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $