7.3.2 正弦型函数的性质与图像（知识梳理+题型归纳+同步训练）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

7.3.2　正弦型函数的性质与图象（解析版） 知识点一　正弦型函数 一般地，形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数称为正弦型函数，其中A，ω，φ都是常数，且A≠0，ω≠0． 知识点二　参数A，φ，ω的变化对函数图象的影响 (1) 振幅变换——纵向伸缩变换 y＝sinx的图象y＝Asinx的图象 (2) 相位变换——左右平移变换 y＝sinx的图象y＝sin(x＋φ)的图象 (3)周期变换——横向伸缩变换 y＝sinx的图象y＝sinωx的图象 知识点三　A，φ，ω对三角函数性质的影响 (1)一般地，函数y＝Asinx(A≠0)的定义域为R，值域为[－|A|，|A|]，周期是2π． (2)一般地，函数y＝sin(x＋φ)的定义域为R，值域为[－1，1]，周期是2π． (3)一般地，函数y＝sinωx(ω≠0)的定义域为R，值域为[－1，1]，周期是． 知识点四　正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的性质 名称 性质 定义域 R 值域 [－|A|，|A|] 对称性 对称中心 图象的对称中心(x1，0)由ωx1＋φ＝kπ(k∈Z)求得 对称轴 图象的对称轴直线x＝x2由ωx2＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得 奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数， 当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数， 当φ≠(k∈Z)时为非奇非偶函数 单调性 通过整体代换可求出其单调区间 单调递增区间由 求得 单调递减区间由 求得 知识点五　由y＝sinx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的过程 (1)途径1先平移后伸缩： y＝sinx的图象y＝sin(x＋φ)的图象y＝sin(ωx＋φ)的图象y＝Asin(ωx＋φ)的图象． (2)途径2先伸缩后平移： y＝sinx的图象y＝sinωx的图象y＝sin(ωx＋φ)的图象y＝Asin(ωx＋φ)的图象． 知识点六　五点法作正弦型函数的图象 令u＝ωx＋φ，则将u分别取0，，π，，2π并求出对应的x值，列表如下： x － u＝ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 由此可得五个关键点：，，，，. 描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左、向右分别平移，从而得到正弦型函数的大致图象． 知识点七　正弦型函数的物理意义 当函数y＝Asin(ωx＋φ)表示一个物体做简谐运动时的位移时， (1)|A|表示物体能偏离平衡位置的最大距离，称为振幅． (2)φ在决定x＝0时物体的位置(即Asinφ)中起关键作用，称为初相． (3)周期T＝表示物体完成一次运动所需要的时间．此时，f＝＝表示单位时间内能够完成的运动次数，称为频率． 题型一 值域（最值）问题 角度1 已知函数求值域（最值） 1．（25-26高一上·湖北随州·期末）已知函数的最小正周期是．求函数在上的最大值和最小值，以及取得最值时的的值． 【详解】（1）因为函数的最小正周期是， 所以，解得，所以， 设，因为，所以， 当即，； 当，即时，， 所以在的最大值为0，此时；的最小值为，此时. 2．已知函数.求在上的值域. 【详解】因为，所以，所以. 又因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以：当，即时，取得最小值； 当，即时，取得最大值. 故在上的值域为. 3．（24-25高一下·湖北·月考）已知函数的最小正周期为2，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的最小正周期为2， 所以，解得：，即， 当时，， 当时，函数取得最大值，最大值为； 当时，函数取得最小值，最小值为， 所以函数的值域为. 故选：A. 角度2 已知函数值域（最值）求参数 ω，φ 1．（2025·四川内江·一模）已知函数在处取最大值，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在处取最大值， 所以，即， 当时，. 故选：B 2．（25-26高一上·江苏盐城·月考）已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，则，由题意可得，解得. 当时，令，解得，易知， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 由题意可得，则，即， 化简可得，解得. 综上所述，的取值范围为. 故选：A. 3．（24-25高一下·河北保定·期末）已知函数的图象在上恰好有2个最高点和1个最低点，且这三个点总可以组成一个锐角三角形，则ω的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意作图如下：    由，则令，解得， 可得，， 由题意可得，解得， 易知为等腰三角形，，底，其上的高为， 由题意可得，则，解得， 所以. 故选： 4．（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）已知函数，函数图象与相邻两个交点的距离为，若任意恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，由题意可得相邻最低点距离个周期，即，， 由得：，， 即， 所以， ，， 即，，解得：. 故选：C. 题型二 正弦型函数的单调性 角度1 求正弦型函数的单调区间 1．（25-26高一上·海南·期末）已知函数，则的单调递增区间是 . 【答案】 【详解】由，得， 又因为，所以的单调递增区间为 故答案为： 2．（25-26高一上·江苏南京·月考）若函数的单调递减区间是 . 【答案】. 【详解】因为函数，令， 要求的单调递减区间，则是求的单调递增区间. 那么有，解得. 所以函数的单调递减区间是. 故答案为：. 3．（2025高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于函数， 故函数的单调递增区间，即函数的减区间． 令，，求得， 故所求的函数的单调递增区间是. 故选：B 4．（24-25高一下·甘肃定西·期末）下列区间是函数单调递增区间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知， 令，，解得，， 所以函数的单调递增区间为，， 令，则，由，故选：C. 角度2 已知单调区间求参 1．（宁波市2025-2026学年第一学期期末考试高一数学试题）已知函数在区间上不单调，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】当时，，依题意，，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）若函数在区间上单调，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】当时，，依题意，，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 3．（24-25高一下·上海·开学考试）已知函数在区间上是严格增函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由，则， 由题意在上单调递增，且， 所以，则，故， 综上，，则，故. 故答案为： 4．（2025·湖南郴州·三模）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由解得，， 令，得， 依题意，在区间上单调递增，则实数的取值范围为. 故答案为： 5．（24-25高三上·湖北十堰·期末）已知，函数在上单调递减，则的最大值为 . 【答案】10 【详解】因为，所以， 又因为在上单调递减， 设，可知在上单调递减， 则，解得， 且，则，解得， 当时，，当时，， 所以的最大值为10. 故答案为：10. 题型三　正弦型函数的图象问题 角度1“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数． (1)填写下表，并用“五点法”画出函数在一个周期内的简图；    (2)若函数在区间上的值域为，求的值． 【详解】（1）列表如下： 0 0 2 0 0 作图如下：    （2），则． 当时，不符合题意． 当时，，符合题意； 当时，，符合题意． 综上，或 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，用“五点法”作出在上简图． 【详解】∵，∴，列表如下： 0 0 2 0 描点，连线，在上的图象如下： 3．（24-25高一下·云南丽江·期末）已知函数 (1)用“五点法”作出 在 上的简图； (2)求 的最大值以及取得最大值时 的集合. 【详解】（1）由 ，得 ， 列表如下: 0 1 2 1 0 1 画出函数 的图象，如图: （2）当 ，即 时， ， 所以函数 的最大值为 2，此时 的集合为 . 角度2 函数的图象变换 1．（24-25高三下·江苏南通·月考）将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象的解析式为， 因为的图象关于原点对称，所以，解得， 因为，所以. 故选：B. 2．（24-25高一下·陕西·月考）把函数图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】把函数图象向左平移个单位长度，得， 再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得. 故选：A 3．（24-25高一下·辽宁·月考）将函数的图像按以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的，纵坐标不变；③向上平移1个单位长度．可得到的图像，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数向左平移个单位长度， 得到， 横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到， 向上平移1个单位长度，得到， 则，又，解得， 则. 故选：A. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的最小正周期为，且过点，若将图象上所有点的纵坐标变为原来的，横坐标不变，再向左平移个单位长度得到，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，则，故， 又函数过点，故， 即，，解得，， 由得，故． 将图象上所有点的纵坐标变为原来的，横坐标不变，得， 再向左平移个单位长度得. 故选：C 题型四 周期问题 角度1 求函数的周期 1．（2025·云南昭通·模拟预测）已知函数，则它的最小正周期、初相分别是（    ） A．2π， B．， C．2π， D．， 【答案】B 【详解】由解析式可知， 由周期公式可得最小正周期为，初相为. 故选：B 2．（2025高二下·天津南开·学业考试）函数的最小正周期是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在三角函数中，，因此最小正周期. 故选：C. 3.（2025·湖南长沙·模拟预测）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数的最小正周期，所以函数的最小正周期为. 故选：B. 4．已知函数（）的图象经过点，一条对称轴方程为.则函数的周期可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，为函数的一个对称中心， 所以，则，， 当时， 故选B 5．已知函数与直线的交点中，距离最近的两点间距离为，那么此函数的周期是（    ） A． B．π C．2π D．4π 【答案】B 【详解】 令或 ， 令，得 故选：B 【点睛】本题考查了三角函数图像的性质，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目. 角度2 已知周期求参数ω的值 1．（25-26高一上·四川德阳·期末）已知函数的最小正周期为，则正数的值等于（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】因为函数的最小正周期为，则， 所以， 故选：B 2．（24-25高二上·湖南·期中）设函数.已知，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意，为的最小值点，为的最大值点. 则，即，且，所以. 故选：B. 题型五 奇偶性与对称性问题 角度1 对称中心和对称轴的求法 1．（2026高二上·云南·学业考试）下列直线中，是函数图象对称轴的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A：因为，不为最值， 所以不是函数的对称轴，故A错误； 对于选项B：因为，不为最值， 所以不是函数的对称轴，故B错误； 对于选项C：因为，为最大值， 所以是函数的对称轴，故C正确； 对于选项D：因为，不为最值， 所以不是函数的对称轴，故D错误； 故选：C. 2．（25-26高一上·广东·期末）函数图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，，解得， 图象的对称轴是． 故选：C． 3．（2025·云南·模拟预测）已知函数，则的图象的对称中心可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的对称中心的横坐标为：，解得， 当时，得到对称中心. 故选:B. 4．（25-26高三上·河北·期中）已知函数，则曲线在区间上的对称中心的个数为（   ） A．6 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】对于函数，其对称中心的横坐标满足， 故，，解得，， 其在区间上的横坐标可以为，，，，， 于是曲线在区间上有个对称中心. 故选：D. 角度2 已知函数的奇偶性、对称性求参数 1．（25-26高三上·青海西宁·期中）已知函数图象的一条对称轴是直线，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则， 又，所以当时，．结合选项，A，B，C中的数值取不到， 故选：D． 2．（25-26高三上·贵州遵义·月考）已知函数，且对任意，都有，则的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，知是的对称轴， 故. 解得,结合，得. 故选：A 3．设函数，若，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的图象可由的图象向右平移个单位长度得到， 其最小正周期，画出的图象. 令，得， 故的图象离轴最近的一条对称轴为直线， 因为，令， 因为，考虑临界状态，而， 若，由对称性可知，离0最近的. 若满足题意，显然. 故选：B. 4．（25-26高三上·北京顺义·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由， 则或， 即或， 因为，则为正整数，可以为或， 由， 则或， 即或， 由于为正整数，则可以为或， 综上所述，可以为则的最小值为2. 故选：B 5．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，若的图象关于对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，图象关于对称， ， ，解得， ，，故A正确． 故选：A． 6．（24-25高一下·广西·期中）已知函数，若，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】因为，则， 则对称中心为，则， 可得，解得， 且， 可知：，解得的最小值为， 故选：C. 7．（24-25高三下·广东广州·月考）记函数的最小正周期为.若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【详解】由题意得，所以. 因为的图象关于点中心对称，所以，所以， 由，得，所以，所以. 故选：C. 8．（25-26高三上·河南·月考）已知函数是定义在上的偶函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，则， 又，则当时，，故的最小值为. 故选：B． 9．（24-25高一下·江西上饶·月考）已知函数是奇函数，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由是奇函数，则是偶函数， 所以，即， 故当时，， 故选：A． 10．（25-26高三上·浙江·月考）若函数的图象向右平移个单位后为一个奇函数的图象，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】平移后得到函数的图象，则， 解得，而因此最小可取. 故选：D. 题型六　正弦型函数的性质的应用 角度1 求正弦型函数的性质 1．（25-26高一上·天津·月考）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】D 【详解】A：，所以的图象关于点对称，正确； B：是函数的最大值，故直线是图象的一条对称轴，正确； C、D：由，解得， 所以的单调递增区间为， 当时，在上单调递增，而，故C正确，D错误. 故选：D 2．（多选）（25-26高二上·广东揭阳·期中）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为8 B．的值域为 C．的图象关于点对称 D．在上单调递减 【答案】ABD 【详解】对A，由题意得的最小正周期为，A正确， 对B，因为，则值域为， B正确. 对C，因为，所以的图象关于直线对称，再结合正弦型函数图象特点知C错误. 由，得，因为函数在上单调递减，所以在上单调递减，D正确.故选：ABD 角度2利用函数的综合性质求参数 1．（24-25高一下·江苏徐州·期中）已知，函数在上有且只有一个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得， 由于函数在上有且只有一个零点， 故，解得， 故选：B 2．（24-25高三上·辽宁·期中）函数，若对恒成立，且在上恰有条对称轴，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】由题知，当时取得最大值，即， 所以，即， 又在上有条对称轴，所以， 所以，所以. 故选：B 3．若对任意实数，函数在上至少有五个不同的零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的最小正周期为， 由于函数在上至少有五个不同的零点， 故需满足，即，即的最小值为， 故选：B 4．（24-25高一下·河南南阳·月考）函数在区间上恰有个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以， 又在区间上恰有个零点，所以，解得， 即的取值范围为. 故选：C 5．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）设函数，若对于任意实数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，令，则， 则原问题转化为在区间上至少有2个，至多有3个t，使得，求的取值范围； 作出和的图象，如图： 结合图象可知满足条件的最短区间的长度为， 最长区间的长度为， 故得，解得，即， 故选：B 6．（24-25高三下·云南·期中）已知函数 的一个对称中心为 ，一条对称轴为 ，且 在 上单增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 因在单增，可知函数的周期满足，即； 又，所以有，则，所以，则； 又因一条对称轴为，则，故有()， 解得()，由于，所以. 所以. 故选：D． 7．已知函数在区间上单调递减，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在区间上单调递减，， 由，得①. 又，图象关于点对称， 即②. 由②-①得，由于， 则，代入①，即， 由于，则． 故选：C. 题型七　由图象或性质求解析式 1．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 由图像根据五点法，当 时,对应得到, 即，因为，所以或， 当，验证单调递增区间： 令， 当时，为其一个增区间，由图象可得位于减区间上，矛盾， 所以. 故选：D 2．（25-26高三上·河南商丘·月考）如图是函数的部分图象，则该函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：，解得， 设函数的最小正周期为， 则，可得， 且，则，解得，可得， 代入点可得，即， 又因为，则， 可得，解得， 所以. 故选：C. 3．（25-26高一上·云南楚雄·月考）函数在一个周期内的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数图像可知，所以，又，所以， 将代入得到，因为，所以， 故，解得． 故选：C． 4．（25-26高一上·新疆喀什·期末）函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（   ）    A．函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B．函数在区间上单调递减 C．函数图象关于直线对称 D．函数图象的对称中心为 【答案】B 【详解】由图，，因为过点，所以， 结合图象的单调性可得，又，所以， 又过点，所以， 结合五点作图法可得，解得， 所以. 对于A：由的图象向左平移个单位得到，A错误； 对于B：由得，令， 因为在单调递减，所以在单调递减，B正确； 对于C：因为，所以图象不关于直线对称，C错误； 对于D：因为， 所以不是的对称中心，D错误； 故选：B. 5．（24-25高一下·上海嘉定·期中）已知函数，，的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，求函数的值域. 【详解】（1） 根据图象可得：，， 由，因为，所以解得， 此时，代入最高点可得; ，可得，， 又因为，所以， 即； （2）由，，解得，， 所以的递增区间为； （3）当时，，此时有， 即的值域为. 6．（24-25高一下·江西景德镇·期中）已知函数的图象如图所示.    (1)求函数的解析式及单调递增区间； (2)先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向右平移个单位后得到函数的图象.若在有解，求实数的取值范围. 【详解】（1）由图可知：，所以，所以， ，由图易得，则， 又，则，则，， 所以，， 所以. 令，， 解得，， 所以的单调递增区间为，. （2）由题. 当，时，. 所以. 题型八　三角函数图象的实际应用 1．（25-26高一上·天津滨海新·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间t（单位：s）时相对于平衡位置的高度h（单位：cm）由关系式确定，则下列结论正确的是（    ） A．小球在开始振动（即）时在平衡位置下方1 cm处 B．小球的最高点和最低点相距2 cm C．小球往复运动一次所需时间为s D．每秒钟小球往复振动的次数为 【答案】D 【详解】由，当时，，即小球在开始振动（即）时在平衡位置上方1 cm处，故A错误； 由可知，振幅为，所以小球的最高点和最低点相距，故B错误； 由可知周期，故小球往复运动一次所需时间为s，故C错误； 由周期可知，频率为，即每秒钟小球往复振动的次数为，故D正确. 故选：D 2．（25-26高一上·海南·期末）某游乐园计划推出“畅游欢乐季”活动，需要为每位游客准备一份物资.为避免物资浪费或不足，运营团队需要提前规划每月物资储备.经统计，游乐园的游客人数每月呈周期性变化，并且有以下规律： ①每年相同的月份，游客人数基本相同； ②2月份游客人数最少，8月份游客人数最多，相差约400人； ③2月份游客约为100人，随后逐月增加直到8月份达到最多. (1)若一年中游客人数与月份之间的关系为，且.试求出函数的解析式； (2)请问哪几个月份要准备不少于份的物资？ 【详解】（1）因为且 由条件①，可知这个函数的周期是12，即，故； 由②③可知，最小，最大，且，. 则有，解得； 根据分析可知，当时，取最小值， 当时，取最大值. 故，且， ，又因为，故， 所以函数解析式为：且. （2）令，化简得， 即，解得. 因为，且，所以6、7、8、9、10， 即在6月、7月、8月、9月、10月5个月份要准备不少于400份的物资. 3．（24-25高一下·重庆沙坪坝·月考）建设生态文明是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系. (1)求的表达式： (2)请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长. 【详解】（1）因为图象上最低点坐标为，与之相邻的最高点坐标为， 所以， 所以，解得， 将代入解析式，有， 故，解得， 由，故， 所以； （2）由（1）得，，所以， 所以， 解得， 因为，所以， 所以该商场的中央空调应在本天内开启时长为8小时. 4．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）“兰州黄河之眼”摩天轮是兰州的新型地标建筑．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，摩天轮最高点距离地面高度为88米，转盘直径为80米，当游客坐上“兰州之眼”摩天轮的座舱开始计时．开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟．开始转动t分钟后距离地面的高度为米． (1)经过t分钟后游客距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少68米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 【详解】（1）由题意可知：摩天轮最高点距离地面88，最低点距离地面， 则，解得， 因转一周大约需要，则，故， 又因，解得，因，则， 故，； （2）由，可得， 因，根据余弦函数的图象性质可得，解得， 则，即摩天轮在运行一周的过程中，游客能有6分钟最佳视觉效果. 一．单选题 1．函数的最小正周期是（    ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【详解】函数的最小正周期为. 故选:D 2．函数在区间的值域为（    ） A．[，1] B．[1，] C．[1，2] D．[，2] 【答案】C 【分析】当时，，然后根据正弦函数的知识可得答案. 【详解】当时，，，， 故选：C 3．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则在下列区间中，函数单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）, 得到， 对于A，由，得， 所以函数在上单调递增，故A不符合； 对于B，由，得， 所以函数在上不单调，故B不符合； 对于C，由，得， 所以函数在上单调递减，故C符合； 对于D，由，得， 所以函数在上不单调，故D不符合. 故选：C. 4．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数，（，），，，且在区间上单调，则的最大值为（ ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】设函数的最小正周期为， 因为在区间上单调，所以，即， 又因为，则有， 又，，则得， 消去，可得，即， 因为，所以，可得， 故当时，取得最大值为5， 当时，，，， 此时，符合题意. 故选：B. 5．将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数变换，得到函数解析式，利用整体思想结合正弦函数的性质，可得答案. 【详解】将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到的图象， 再将图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象． 当时，，． 故选：C. 2． 多选题 6．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数的部分图象如图，则（   ） A． B．为奇函数 C．在上单调递增 D． 【答案】ACD 【详解】由五点作图法可得，解得，故A正确； 再由，得，. 对B： ， 因余弦函数为偶函数，所以为偶函数，故B错误； 对C：由，，而正弦函数在单调递增， 故在上单调递增，所以C正确； 对D： ，所以D正确. 故选：ACD 7．（25-26高一上·江苏无锡·月考）下面关于叙述中正确的是（   ） A．关于点对称 B．关于直线对称 C．在区间上单调递增 D．函数是偶函数 【答案】ACD 【详解】A.，所以关于点对称，故A正确； B. ，所以函数不关于直线对称，故B错误； C.当，，所以函数在区间上单调递增，故C正确； D. ，为偶函数，故D正确. 故选：ACD 3． 填空题 8．已知（）在区间上单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】对于，令，，则， 因为，所以， 结合正弦函数的单调性可知： 又，所以. 故答案为：. 9．函数的部分图象如图所示，则 .    【答案】0 【分析】根据函数图像确定以及的值，可得函数解析式，结合特殊角三角函数值，即可得答案. 【详解】由图象可知的最小正周期，故； 将代入可得，则， 故，而，故， 即，故， 故答案为：0 四．解答题 10．已知函数. (1)求函数的周期以及单调递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值及相应的值. 【详解】（1）由可得：函数的周期为. 令， 解得：， ∴的单调递增区间为，． （2）令，因为，所以. 所以当，即时，在区间上可取得最大值，最大值为； 当，即时，在区间上可取得最小值，最小值为. 故在区间上最大值为，相应的；最小值为，相应的. 11．（24-25高一下·浙江宁波·开学考试）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式及其单调递增区间； (2)将函数的图象上所有的点向左平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若方程在上有三个不相等的实数根，求的值. 【详解】（1）由图可得 又，所以，所以， 所以， 又因为过点， 所以， 又，所以，所以. 令， 所以递增区间为. （2）将函数的图象上所有的点向左平移个单位， 则所得图象对应的解析式为， 再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得的图象， 则， 当时，， 而在上为减函数，在上为增函数， 在上为减函数， 故在上为减函数，在上为增函数，为减函数， ，，故当时， 函数的函数图像如下， 因为在上有三个不相等的实数根，故. 且，， 所以，故. 12．已知函数在上单调，的图象关于点中心对称且关于直线对称，则的取值个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意得的图象关于点中心对称且关于直线对称， 故，则， 即， 由函数在上单调， 得，即，即， 解得，而，故或1，或2， 当时，，则，结合，得， 则，此时， 当时，，由于在上单调递增， 故在上单调递增，满足题意； 当时，，则，结合，得， 则，此时， 当时，，由于在上不单调， 故在上不单调，此时不合题意； 当时，，则，结合，得， 则，此时， 当时，，由于在上单调递增， 故在上单调递增，满足题意； 综上，或. 故选：B 13．（25-26高一上·湖南衡阳·月考）已知的值域为为的一个零点，且对任意实数，都满足，且函数的周期为所有可能周期中的最大值，当符合条件的正数取最小值时，的值为（   ） A．2 B． C． D．5 【答案】D 【详解】，， ，值域为，，， ，， 设，则， ， 且函数的周期为所有可能周期中的最大值，， ，，，， 为的一个零点，， ，或， ，或， 或， 符合条件的正数取最小值，， ，， ，，， ， ，， . 故选：D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3.2　正弦型函数的性质与图象（学生版） 知识点一　正弦型函数 一般地，形如____________的函数称为正弦型函数，其中A，ω，φ都是常数，且________． 知识点二　参数A，φ，ω的变化对函数图象的影响 (1) 振幅变换——纵向伸缩变换 y＝sinx的图象y＝Asinx的图象 (2) 相位变换——左右平移变换 y＝sinx的图象y＝sin(x＋φ)的图象 (3)周期变换——横向伸缩变换 y＝sinx的图象y＝sinωx的图象 知识点三　A，φ，ω对三角函数性质的影响 (1)一般地，函数y＝Asinx(A≠0)的定义域为R，值域为_________，周期是_____． (2)一般地，函数y＝sin(x＋φ)的定义域为R，值域为____________，周期是______． (3)一般地，函数y＝sinωx(ω≠0)的定义域为R，值域为________，周期是_________． 知识点四　正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的性质 名称 性质 定义域 R 值域 [－|A|，|A|] 对称性 对称中心 图象的对称中心(x1，0)由ωx1＋φ＝kπ(k∈Z)求得 对称轴 图象的对称轴直线x＝x2由ωx2＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得 奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数， 当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数， 当φ≠(k∈Z)时为非奇非偶函数 单调性 通过整体代换可求出其单调区间 单调递增区间由 求得 单调递减区间由 求得 知识点五　由y＝sinx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的过程 (1)途径1先平移后伸缩： y＝sinx的图象y＝sin(x＋φ)的图象y＝sin(ωx＋φ)的图象y＝Asin(ωx＋φ)的图象． (2)途径2先伸缩后平移： y＝sinx的图象y＝sinωx的图象y＝sin(ωx＋φ)的图象y＝Asin(ωx＋φ)的图象． 知识点六　五点法作正弦型函数的图象 令u＝ωx＋φ，则将u分别取0，，π，，2π并求出对应的x值，列表如下： x － u＝ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 由此可得五个关键点：，，，，. 描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左、向右分别平移，从而得到正弦型函数的大致图象． 知识点七　正弦型函数的物理意义 当函数y＝Asin(ωx＋φ)表示一个物体做简谐运动时的位移时， (1)|A|表示物体能偏离平衡位置的最大距离，称为振幅． (2)φ在决定x＝0时物体的位置(即Asinφ)中起关键作用，称为初相． (3)周期T＝______表示物体完成一次运动所需要的时间．此时，f＝＝_______表示单位时间内能够完成的运动次数，称为频率． 题型一 值域（最值）问题 角度1 已知函数求值域（最值） 1．（25-26高一上·湖北随州·期末）已知函数的最小正周期是．求函数在上的最大值和最小值，以及取得最值时的的值． 2．已知函数.求在上的值域. 3．（24-25高一下·湖北·月考）已知函数的最小正周期为2，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 角度2 已知函数值域（最值）求参数 ω，φ 1．（2025·四川内江·一模）已知函数在处取最大值，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏盐城·月考）已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河北保定·期末）已知函数的图象在上恰好有2个最高点和1个最低点，且这三个点总可以组成一个锐角三角形，则ω的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）已知函数，函数图象与相邻两个交点的距离为，若任意恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型二 正弦型函数的单调性 角度1 求正弦型函数的单调区间 1．（25-26高一上·海南·期末）已知函数，则的单调递增区间是 . 2．（25-26高一上·江苏南京·月考）若函数的单调递减区间是 . 3．（2025高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·甘肃定西·期末）下列区间是函数单调递增区间的是（    ） A． B． C． D． 角度2 已知单调区间求参 1．（宁波市2025-2026学年第一学期期末考试高一数学试题）已知函数在区间上不单调，则的取值范围为 . 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）若函数在区间上单调，则的取值范围为 . 3．（24-25高一下·上海·开学考试）已知函数在区间上是严格增函数，则的取值范围是 ． 4．（2025·湖南郴州·三模）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围为 . 5．（24-25高三上·湖北十堰·期末）已知，函数在上单调递减，则的最大值为 . 题型三　正弦型函数的图象问题 角度1“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数． (1)填写下表，并用“五点法”画出函数在一个周期内的简图；    (2)若函数在区间上的值域为，求的值． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，用“五点法”作出在上简图． 3．（24-25高一下·云南丽江·期末）已知函数 (1)用“五点法”作出 在 上的简图； (2)求 的最大值以及取得最大值时 的集合. 角度2 函数的图象变换 1．（24-25高三下·江苏南通·月考）将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·陕西·月考）把函数图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·辽宁·月考）将函数的图像按以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的，纵坐标不变；③向上平移1个单位长度．可得到的图像，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的最小正周期为，且过点，若将图象上所有点的纵坐标变为原来的，横坐标不变，再向左平移个单位长度得到，则（   ） A． B． C． D． 题型四 周期问题 角度1 求函数的周期 1．（2025·云南昭通·模拟预测）已知函数，则它的最小正周期、初相分别是（    ） A．2π， B．， C．2π， D．， 2．（2025高二下·天津南开·学业考试）函数的最小正周期是（    ）． A． B． C． D． 3.（2025·湖南长沙·模拟预测）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数（）的图象经过点，一条对称轴方程为.则函数的周期可以是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数与直线的交点中，距离最近的两点间距离为，那么此函数的周期是（    ） A． B．π C．2π D．4π 角度2 已知周期求参数ω的值 1．（25-26高一上·四川德阳·期末）已知函数的最小正周期为，则正数的值等于（    ） A．1 B．2 C． D．4 2．（24-25高二上·湖南·期中）设函数.已知，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型五 奇偶性与对称性问题 角度1 对称中心和对称轴的求法 1．（2026高二上·云南·学业考试）下列直线中，是函数图象对称轴的为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东·期末）函数图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·云南·模拟预测）已知函数，则的图象的对称中心可能是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·河北·期中）已知函数，则曲线在区间上的对称中心的个数为（   ） A．6 B．3 C．4 D．5 角度2 已知函数的奇偶性、对称性求参数 1．（25-26高三上·青海西宁·期中）已知函数图象的一条对称轴是直线，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·贵州遵义·月考）已知函数，且对任意，都有，则的取值为（   ） A． B． C． D． 3．设函数，若，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·北京顺义·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 5．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，若的图象关于对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·广西·期中）已知函数，若，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 7．（24-25高三下·广东广州·月考）记函数的最小正周期为.若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 8．（25-26高三上·河南·月考）已知函数是定义在上的偶函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·江西上饶·月考）已知函数是奇函数，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·浙江·月考）若函数的图象向右平移个单位后为一个奇函数的图象，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型六　正弦型函数的性质的应用 角度1 求正弦型函数的性质 1．（25-26高一上·天津·月考）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．在上单调递减 2．（多选）（25-26高二上·广东揭阳·期中）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为8 B．的值域为 C．的图象关于点对称 D．在上单调递减 角度2利用函数的综合性质求参数 1．（24-25高一下·江苏徐州·期中）已知，函数在上有且只有一个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·辽宁·期中）函数，若对恒成立，且在上恰有条对称轴，则（    ） A． B． C． D．或 3．若对任意实数，函数在上至少有五个不同的零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河南南阳·月考）函数在区间上恰有个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）设函数，若对于任意实数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·云南·期中）已知函数 的一个对称中心为 ，一条对称轴为 ，且 在 上单增，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在区间上单调递减，，则（    ） A． B． C． D． 题型七　由图象或性质求解析式 1．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河南商丘·月考）如图是函数的部分图象，则该函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·云南楚雄·月考）函数在一个周期内的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·新疆喀什·期末）函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（   ）    A．函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B．函数在区间上单调递减 C．函数图象关于直线对称 D．函数图象的对称中心为 5．（24-25高一下·上海嘉定·期中）已知函数，，的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，求函数的值域. 6．（24-25高一下·江西景德镇·期中）已知函数的图象如图所示.    (1)求函数的解析式及单调递增区间； (2)先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向右平移个单位后得到函数的图象.若在有解，求实数的取值范围. 题型八　三角函数图象的实际应用 1．（25-26高一上·天津滨海新·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间t（单位：s）时相对于平衡位置的高度h（单位：cm）由关系式确定，则下列结论正确的是（    ） A．小球在开始振动（即）时在平衡位置下方1 cm处 B．小球的最高点和最低点相距2 cm C．小球往复运动一次所需时间为s D．每秒钟小球往复振动的次数为 2．（25-26高一上·海南·期末）某游乐园计划推出“畅游欢乐季”活动，需要为每位游客准备一份物资.为避免物资浪费或不足，运营团队需要提前规划每月物资储备.经统计，游乐园的游客人数每月呈周期性变化，并且有以下规律： ①每年相同的月份，游客人数基本相同； ②2月份游客人数最少，8月份游客人数最多，相差约400人； ③2月份游客约为100人，随后逐月增加直到8月份达到最多. (1)若一年中游客人数与月份之间的关系为，且.试求出函数的解析式； (2)请问哪几个月份要准备不少于份的物资？ 3．（24-25高一下·重庆沙坪坝·月考）建设生态文明是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系. (1)求的表达式： (2)请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长. 4．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）“兰州黄河之眼”摩天轮是兰州的新型地标建筑．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，摩天轮最高点距离地面高度为88米，转盘直径为80米，当游客坐上“兰州之眼”摩天轮的座舱开始计时．开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟．开始转动t分钟后距离地面的高度为米． (1)经过t分钟后游客距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少68米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 一．单选题 1．函数的最小正周期是（    ） A． B． C．6 D． 2．函数在区间的值域为（    ） A．[，1] B．[1，] C．[1，2] D．[，2] 3．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则在下列区间中，函数单调递减的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数，（，），，，且在区间上单调，则的最大值为（ ） A．3 B．5 C．6 D．7 5．将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 2． 多选题 6．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数的部分图象如图，则（   ） A． B．为奇函数 C．在上单调递增 D． 7．（25-26高一上·江苏无锡·月考）下面关于叙述中正确的是（   ） A．关于点对称 B．关于直线对称 C．在区间上单调递增 D．函数是偶函数 3． 填空题 8．已知（）在区间上单调递增，则的取值范围为 . 9．函数的部分图象如图所示，则 .    四．解答题 10．已知函数. (1)求函数的周期以及单调递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值及相应的值. 11．（24-25高一下·浙江宁波·开学考试）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式及其单调递增区间； (2)将函数的图象上所有的点向左平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若方程在上有三个不相等的实数根，求的值. 12．已知函数在上单调，的图象关于点中心对称且关于直线对称，则的取值个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．（25-26高一上·湖南衡阳·月考）已知的值域为为的一个零点，且对任意实数，都满足，且函数的周期为所有可能周期中的最大值，当符合条件的正数取最小值时，的值为（   ） A．2 B． C． D．5 学科网（北京）股份有限公司 $