精品解析：江西南昌市第二中学2025-2026学年度上学期高二数学期末试卷

南昌二中2025-2026学年度上学期高二数学期末试卷 一．单选题： 1. 复数的共轭复数的虚部是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义，结合复数虚部的定义进行求解即可. 【详解】因为复数的共轭复数是， 所以复数的虚部为. 故选：C 2. 空间四边形中，，，，点，分别为，中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用空间向量加减、数乘的几何意义用，，表示出. 【详解】如图，. 故选：C 3. 已知某市高三一次模拟考试数学成绩，且，则从该市任取名高三学生，恰有名学生成绩不低于分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用正态分布的对称性求解即可. 【详解】由，且，可知成绩不低于分的概率是， 则名高三学生，恰有名学生成绩不低于分的概率是. 故选：C 【点睛】本题考查的是正态分布及二项分布的知识，较简单. 4. 圆A：x2+y2＝1与圆B：x2﹣4x+y2﹣5＝0的公共点个数为（　　） A. 0 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆心距等于两圆半径之和可得两圆外切，所以只有一个公共点． 【详解】解：因为圆 配成标准式可得圆，故其圆心为，半径为1， 圆的圆心，半径为1， 所以圆心距为，两圆的半径之和为， 所以两圆相外切，只有一个公共点． 故选：． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系及其判定．属于基础题． 5. 阅读不仅可以开阔视野，还可以提升语言表达和写作能力.某校全体学生参加的期末过程性评价中大约有的学生写作能力被评为优秀等级.经调查知，该校大约有的学生每天阅读时间超过小时，这些学生中写作能力被评为优秀等级的占.现从每天阅读时间不超过小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用全概率公式可构造方程求得所求概率. 【详解】设写作能力被评为优秀等级为事件，每天阅读时间超过小时为事件， 则，，； ， ， 即从每天阅读时间不超过小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为. 故选：B. 6. 为了迎接学校即将到来的某项活动，某班组织学生进行卫生大扫除，班主任将班级中的9名同学平均分配到三个包干区（编号1、2、3）进行卫生打扫，其中甲同学必须打扫1号包干区，则不同的分配方法有（ ） A. 560种 B. 280种 C. 840种 D. 1120种 【答案】A 【解析】 【分析】现将9名同学平均分成3组，再将含有甲的分组打扫1号包干区，其他两组分别负责2、3号包干区，最后结合分步乘法计数原理即可求解. 【详解】第一步，将9名同学平均分成3组，共有种分法； 第二步，含有甲的分组打扫1号包干区，其他两组分别负责2、3号包干区，共有种分法； 由分步乘法计数原理可知，所有分配方法共种. 故选：A. 7. 双曲线的左、右顶点分别为,点在双曲线上（异于），设直线的斜率为，直线的斜率为，且，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点斜率公式可得，即可由离心率公式求解. 【详解】设，则，, 故， 故，则. 故选：B 8. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.如：与相关的代数问题可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，若实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两点的距离公式和椭圆的定义可得点在椭圆上.继而有表示点与椭圆上一点所连直线的斜率，设该直线的方程为，由图可知，当直线与椭圆相切时，取得最值.联立椭圆与直线的方程，利用根的判别式可求得答案. 【详解】因为，可转化为点到点和点的距离之和为， 故点在椭圆上.表示点与椭圆上一点所连直线的斜率， 设该直线的方程为，由图可知，当直线与椭圆相切时，取得最值. 联立方程组整理得， ，解得或，故的取值范围是 故选：C. 二．多选题： 9. 下列关于的二项展开式，说法正确的是（ ） A. 展开式共有10项 B. 展开式的二项式系数之和为1024 C. 展开式的常数项为8064 D. 展开式的第6项的二项式系数最大 【答案】BD 【解析】 【分析】由二项展开式及性质可知A错误，B正确.利用二项展开式的通项公式求常数项和第6项可知C错误，D正确. 【详解】由题意可知，展开式共有11项，故A错误； 展开式的二项式系数之和为，故B正确； 展开式的通项为， 令，得，所以展开式的常数项为，故C错误； 当时，二项式系数最大，所以展开式的第6项的二项式系数最大，故D正确. 故选：BD. 10. 下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若随机变量，则 C. 若随机变量服从两点分布，且，则 D. 若随机变量满足，，，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】A.由随机变量服从二项分布求解；B.由随机变量服从正态分布求解；C.由随机变量服从两点分布求解；D.由随机变量服从超几何分布求解； 【详解】A.若随机变量，则，故不正确； B.若随机变量，则，故正确； C.若随机变量服从两点分布，且，则，故正确； D.由随机变量满足随机变量满足，，，， 则， 所以，故不正确； 故选：BC. 11. 如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则的最小值为2 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线定义计算判断A；由余弦定理计算判断B，C；由余弦定理、二倍角的余弦计算判断D作答. 【详解】依题意，，解得，A不正确； 令，由余弦定理得： ， 当时，，即，因此，B正确； 当时，，即，有， 而，则有，解得，C不正确； ， ，于是得， 解得，而，因此，D不正确. 故选：ACD 三．填空题： 12. 利用变量的5组实验数据，求得关于的经验回归方程为，若这5组数据对应的点都在该回归直线上，则相关系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据变量的相关性，直接得出相关系数. 【详解】由经验回归方程知与负相关， 因为这5组数据对应的点都在回归直线上，所以相关系数为. 故答案为： 13. 在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据两点间距离公式，化简求动点的轨迹方程. 【详解】设动点，又，，则，， 因为点满足， 所以，化简整理得， 所以动点的轨迹方程为. 14. 如图，正方体 棱长为2， 为 的中点， 为空间中的点，且满足 ，则多面体 体积的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意建立合适的空间直角坐标系，得到 点坐标，然后求出点到平面的距离的最大值，再根据三棱锥的体积公式得到的体积，即可求解． 【详解】由已知，以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 因为 ， 则 ，则  ， 不妨取平面的法向量为， 则点到平面的距离为 ， 当且仅当时取“=”， 又， 所以，即三棱锥的体积的最大值为，  又因为 为  的中点，则， 所以多面体  的体积的最大值为. 故答案为：. 四．解答题： 15. 随着手机的日益普及，学生使用手机对学校管理和学生发展带来诸多不利影响.为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，对我校80名学生调查得到部分统计数据如下表，记为事件：“学习成绩优秀且不使用手机”；为事件：“学习成绩不优秀且不使用手机”，且已知事件的频率是事件的频率的2倍. 不使用手机 使用手机 合计 学习成绩优秀人数 12 学习成绩不优秀人数 26 合计 （1）求表中，的值，并补全表中所缺数据； （2）运用独立性检验思想，判断是否有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响？ 参考数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），补全表中所缺数据如下： 不使用手机 使用手机 合计 学习成绩优秀人数 28 12 40 学习成绩不优秀人数 14 26 40 合计 42 38 80 （2）有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响.【解析】 【分析】（1）由题意可得从而可求出的值，进而可填出列联表； （2）直接利用公式求解，然后根据临界值表得结论 【详解】解：（1）由已知得解得 补全表中所缺数据如下： 不使用手机 使用手机 合计 学习成绩优秀人数 28 12 40 学习成绩不优秀人数 14 26 40 合计 42 38 80 （2）根据题意计算观测值为， 所以有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响. 16. 如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直和线面垂直的性质定理可证得；由菱形边长和角度的关系可证得；利用线面垂直的判定定理可证得结论； （2）以为坐标原点建立起空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值. 【详解】（1）平面平面，平面平面，且平面，平面， 平面，， 四边形为菱形且为中点，，又，， 又，， 平面，，平面. （2）以为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则，， ，，，， 则，，， 设平面的法向量， 则，令，则，，， 设平面的法向量， 则，令，则，，， ， 二面角为钝二面角，二面角的余弦值为. 【点睛】本题考查立体几何中线面垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；涉及到面面垂直的性质定理、线面垂直的判定与性质定理的应用，属于常考题型. 17. 已知椭圆的右顶点，且离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设为原点，过点的直线与椭圆交于两点、，直线和分别与直线交于点、，求与面积之和的最小值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）最小值为. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）设椭圆的焦距为，根据题意列出关于、、的方程组，求出这三个量的值，即可求出椭圆的方程； （Ⅱ）设点，可得出点坐标为，求出点、的坐标，求出与面积之和的表达式，结合等式，利用基本不等式可求出与面积之和的最小值. 【详解】（Ⅰ）设椭圆的焦距为，依题意，得，解得. 所以椭圆的方程为； （Ⅱ）设点，依题意，点坐标为， 满足（且）， 直线的方程为，令，得，即. 直线的方程为，同理可得. 设为与轴的交点. . 又因为，，所以. 当且仅当取等号，所以的最小值为. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积之和最值的求解，考查计算能力，属于中等题. 18. 21世纪某次机器人展览会上，已知某公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰 外观 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 10 10 米色内饰 2 3 （1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求和，并判断事件A和事件B是否独立. （2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设： 假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰都异色，以及仅外观或内饰同色. 假设2：按抽奖的可能性大小，概率越小奖项越高 假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖800元，二等奖500元，三等奖300元 请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望. 【答案】（1），，不独立 （2） X 800 500 300 P 446 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式和事件的独立性定义即可得出； （2）分别求出三种结果对应的概率，比较大小，确定对应的概率，求出分布列，利用期望公式进行计算即可. 【小问1详解】 ， ，， ，所以A，B不独立； 【小问2详解】 记外观与内饰均同色为事件，外观与内饰都异色为事件，仅外观或仅内饰同色为事件， 则， ， ， ， ∴一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都异色， 二等奖为两个汽车模型的外观与内饰均同色， 三等奖为两个汽车模型仅外观或仅内饰同色． X的分布列： X 800 500 300 P ． 19. 造型可以看作图中曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为 （1）求a的值; （2）当点在C上时，求证： （3）如图，过点F作两条互相垂直的弦，分别交曲线C于，，，，其中，求四边形面积的最小值. 【答案】（1） （2） 方法一：因为，所以曲线C的方程为， 可化为，即， 因此， 所以，当且仅当且时取等号. 方法二：同上曲线C的方程为， 因此， 所以，当且仅当且时取等号. 方法三：如图设点P在x轴，直线上的射影分别为Q，R， 则根据定义， 因此，即， 所以，当且仅当且时取等号. （3） 【解析】 【分析】（1）根据曲线C上的点满足的条件，结合可求a的值； （2）当点在C上时，方法一：利用解不等式求解；方法二：利用求解；方法三：设点P在x轴与直线上的射影分别为Q，R，利用求解即可. （3）讨论直线的斜率，当斜率存在时，设直线AB的方程为，其中，利用弦长公式，三角形面积公式可得，再结合换元法以及三角函有界性可求四边形面积的最小值. 【小问1详解】 因为O在曲线上，所以O到的距离为，而， 所以有，即 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，得 当其中一条直线的斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，此时 当两条直线斜率均存在且不为0时，设直线AB的斜率为k，倾斜角为，由对称性不妨设， ，则直线AB的方程为，其中，直线的方程为， 联立 化简得到， 所以 则， 故， ， 同理，所以， 令， 令， 因为， 所以，即， 所以在上单调递增，当，即时，， 此时， 综上所述四边形面积的最小值为 【点睛】方法点睛：解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌二中2025-2026学年度上学期高二数学期末试卷 一．单选题： 1. 复数的共轭复数的虚部是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 2. 空间四边形中，，，，点，分别为，中点，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知某市高三一次模拟考试数学成绩，且，则从该市任取名高三学生，恰有名学生成绩不低于分的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 圆A：x2+y2＝1与圆B：x2﹣4x+y2﹣5＝0的公共点个数为（　　） A. 0 B. 3 C. 2 D. 1 5. 阅读不仅可以开阔视野，还可以提升语言表达和写作能力.某校全体学生参加的期末过程性评价中大约有的学生写作能力被评为优秀等级.经调查知，该校大约有的学生每天阅读时间超过小时，这些学生中写作能力被评为优秀等级的占.现从每天阅读时间不超过小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 为了迎接学校即将到来的某项活动，某班组织学生进行卫生大扫除，班主任将班级中的9名同学平均分配到三个包干区（编号1、2、3）进行卫生打扫，其中甲同学必须打扫1号包干区，则不同的分配方法有（ ） A. 560种 B. 280种 C. 840种 D. 1120种 7. 双曲线的左、右顶点分别为,点在双曲线上（异于），设直线的斜率为，直线的斜率为，且，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.如：与相关的代数问题可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，若实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．多选题： 9. 下列关于的二项展开式，说法正确的是（ ） A. 展开式共有10项 B. 展开式的二项式系数之和为1024 C. 展开式的常数项为8064 D. 展开式的第6项的二项式系数最大 10. 下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若随机变量，则 C. 若随机变量服从两点分布，且，则 D. 若随机变量满足，，，，则 11. 如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则的最小值为2 D. 三．填空题： 12. 利用变量的5组实验数据，求得关于的经验回归方程为，若这5组数据对应的点都在该回归直线上，则相关系数为__________. 13. 在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为_____. 14. 如图，正方体 棱长为2， 为 的中点， 为空间中的点，且满足 ，则多面体 体积的最大值为_____. 四．解答题： 15. 随着手机的日益普及，学生使用手机对学校管理和学生发展带来诸多不利影响.为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，对我校80名学生调查得到部分统计数据如下表，记为事件：“学习成绩优秀且不使用手机”；为事件：“学习成绩不优秀且不使用手机”，且已知事件的频率是事件的频率的2倍. 不使用手机 使用手机 合计 学习成绩优秀人数 12 学习成绩不优秀人数 26 合计 （1）求表中，的值，并补全表中所缺数据； （2）运用独立性检验思想，判断是否有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响？ 参考数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的余弦值. 17. 已知椭圆的右顶点，且离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设为原点，过点的直线与椭圆交于两点、，直线和分别与直线交于点、，求与面积之和的最小值. 18. 21世纪某次机器人展览会上，已知某公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰 外观 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 10 10 米色内饰 2 3 （1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求和，并判断事件A和事件B是否独立. （2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设： 假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰都异色，以及仅外观或内饰同色. 假设2：按抽奖的可能性大小，概率越小奖项越高 假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖800元，二等奖500元，三等奖300元 请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望. 19. 造型可以看作图中曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为 （1）求a的值; （2）当点在C上时，求证： （3）如图，过点F作两条互相垂直的弦，分别交曲线C于，，，，其中，求四边形面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $