精品解析：浙江嘉兴市2025-2026学年九年级上学期期末数学试题

九年级（上）学科期末检测 数学试题卷 【考生须知】 1．本卷为试题卷，请将答案做在答题卷上． 2．本次检测不使用计算器． 一、选择题（每小题有4个选项，其中有且只有一个正确，请把正确选项的代码填入答题卷的相应空格，每小题3分，共30分） 1. 若，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 下列三角形的外心一定在该三角形外部的是（ ） A. B. C. D. 4. 为了解一种豆苗的成活率，调查小组将调查数据绘制成统计图，则可估计这种豆苗成活的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，乐器板面上的一根弦，支撑点是的一个黄金分割点，则、之间的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在半径为的上，点在外，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形的顶点分别在正方形的四条边上，且，则正方形面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 小明用一把含角的三角板测量圆的半径长，有如下两种方法：①如图1，角的顶点在圆上，弦的长即为圆的半径长，②如图2，直角顶点在圆上，弦长的一半即为圆的半径长，则下列判断正确的是（ ） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①②都正确 D. ①②都错误 9. 如图，在中，点，在上，，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象与一次函数的图象只有一个交点，则的最大值与最小值的差为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，在中，，若，则__________． 12. 钟表的指针在不停地转动，从3时到5时，时针转动了_________度． 13. 如图，关于的中点作位似图形，若点恰为的重心，则与的周长比为__________． 14. 将二次函数的图象向左平移个单位后经过原点，则的值为__________． 15. 彤彤和嘉嘉正在玩一个游戏：两人轮流掷骰子，骰子朝上的数字是几，就按箭头方向将同一颗棋子前进几格并获得格子中的物品，现在棋子在标有数字“0”的格子中，彤彤先掷一次，然后嘉嘉掷，则嘉嘉掷一次就获得小汽车的概率是_________． 16. 如图，在Rt中，，，，点在上，作，交边于点，过点，，的交于点，连接，，．若，则的长为__________． 三、解答题（本题有8小题，第17∽22题每题6分，第23、24题每题8分，共52分） 17. 已知二次函数． （1）求该二次函数图像与轴的交点坐标； （2）当随的增大而增大时，求的取值范围． 18. 将四张分别写着数字，，，（除了数字其它都相同）的卡片背面朝上，放置在桌面上．小杨首先从这四张卡片中抽取一张并记录数字，不放回． （1）求小杨抽中的卡片数字是正数的概率； （2）小陈再从剩余的卡片中抽取一张并记录数字．求两人抽到卡片上的数字互为相反数的概率． 19. 如图，的直径垂直弦于点，连接，，． （1）若，求的长； （2）若，求弦的长． 20. 如图，与均为等边三角形，，分别在，上，，分别交于点，．请写出图中与相似的所有三角形，并从中任选一个三角形说明理由． 21. 如图为小张的一次投篮示意图，其路线为抛物线．已知出手时篮球距地面的高度，当篮球运行的水平距离为时，达到距地面的最大高度为． （1）建立适当的直角坐标系，并求出该抛物线所在的函数表达式； （2）若篮圈中心距地面的高度，若，则此次投篮是否能投进？请说明理由． 22. 如图，已知正五边形内接于，连接，，． （1）求的度数； （2）若的半径为，求扇形（阴影部分）的面积． 23. 已知二次函数的函数值和自变量的部分对应值如下表所示： … … … … （1）当时， 求该二次函数图象的顶点坐标； 若，求的取值范围； （2）求证：． 24. 规定：如果三角形的两个内角，满足，那么称这个三角形为“倍准直角三角形”． （1）若的两个内角，，判断是否为“倍准直角三角形”，并说明理由； （2）如图，在中，，点在上，连接．当时，求证：是“倍准直角三角形”； （3）如图，以的边为直径作，点，均在直线的左侧，点在上，，且，，，当是“倍准直角三角形”时，求的直径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）学科期末检测 数学试题卷 【考生须知】 1．本卷为试题卷，请将答案做在答题卷上． 2．本次检测不使用计算器． 一、选择题（每小题有4个选项，其中有且只有一个正确，请把正确选项的代码填入答题卷的相应空格，每小题3分，共30分） 1. 若，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．由已知比例式，利用等式的基本性质，将等式变形后验证各选项即可． 【详解】解：， 设，（）， A、，，，故A选项等式成立，符合题意； B、，，，故B选项等式不成立，不符合题意； C、，，，故C选项等式不成立，不符合题意； D、，故D选项等式不成立，不符合题意； 故选：A． 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式可直接进行求解． 【详解】解：由抛物线可知对称轴是直线； 故选A． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3. 下列三角形的外心一定在该三角形外部的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外心，掌握相关知识是解题的关键．根据锐角三角形的外心在三角形内部，如果一个三角形的外心在它的一边的中点上，则该三角形是直角三角形，如果一个三角形的外心在它的外部，则该三角形是钝角三角形，即可判断． 【详解】解：因为钝角三角形的外心在它的外部， 由题意得知，只有D选项为钝角， 故选：D． 4. 为了解一种豆苗的成活率，调查小组将调查数据绘制成统计图，则可估计这种豆苗成活的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率-折线统计图，掌握相关知识是解题的关键．大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此根据统计图找到频率的稳定值即可得到答案． 【详解】解：由统计图可知，随着种植数量的增加，成活的频率逐步稳定在附近， 所以可估计这种豆苗移植成活的概率约是， 故选：B． 5. 如图，乐器板面上的一根弦，支撑点是的一个黄金分割点，则、之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比，掌握相关知识是解题的关键．根据黄金分割的概念和黄金比值直接求即可． 【详解】解：点是的一个黄金分割点，， ， 故选：A． 6. 已知点在半径为的上，点在外，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，三角形三边关系，掌握相关性质定理是解题的关键．根据点与圆的位置关系可得，，分两种情况讨论：当、、三点不共线时，根据三边关系确定的取值范围；当、、三点共线，根据线段和差关系确定的值，即可得解． 【详解】解：点在半径为的上， ， 点在外， ， 当、、三点不共线时，在中，，， 由三角形三边关系可得：， 即， ， ， 当、、三点共线，且点在点与点之间时，． 的取值范围为． 故选：C． 7. 如图，正方形的顶点分别在正方形的四条边上，且，则正方形面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，，，再证明，求得，，再设，则，再利用勾股定理列式求出，即为正方形的面积，再利用二次函数的最值问题解答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ，， 设， 正方形的边长， ， ， 由勾股定理得， 即正方形的面积， 所以当时，正方形的面积最小，最小面积， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理、二次函数的最值问题，掌握相关知识是解题的关键． 8. 小明用一把含角的三角板测量圆的半径长，有如下两种方法：①如图1，角的顶点在圆上，弦的长即为圆的半径长，②如图2，直角顶点在圆上，弦长的一半即为圆的半径长，则下列判断正确的是（ ） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①②都正确 D. ①②都错误 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形、圆周角定理，掌握相关知识是解题的关键．设圆的圆心为点，连接，，求得，即为等边三角形，从而求出的长即为圆的半径长，故①正确；通过直角顶点在圆上，求出为圆的直径，则长的一半即为圆的半径长，故②正确． 【详解】解：设圆的圆心为点，连接，， ， 角的顶点在圆上， ，即为等边三角形， ， 的长即为圆的半径长，故①正确； 直角顶点在圆上， 为圆的直径， 长的一半即为圆的半径长，故②正确； 故选：C． 9. 如图，在中，点，在上，，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． 先通过，公共角证明，从而求得，解得，再通过求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ， 故选：B． 10. 已知二次函数的图象与一次函数的图象只有一个交点，则的最大值与最小值的差为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，掌握根与系数的关系和解不等式组是解题的关键．联立二次函数与一次函数方程，得到关于的二次方程，根据判别式及根在内的条件，分情况讨论确定的取值范围，从而求出的最大值与最小值的差． 【详解】解：令， 整理得：， ， 二次函数的图象与一次函数的图象只有一个交点， 当时，即时，方程的解为，满足，且两函数图象只有一个交点， 当时，即时，方程的解为，只需满足一个解在内， 若，即， ，即， 解得； 若，即， 故此情况不存在， 当时和当时，两函数图象只有一个交点， 的最大值与最小值的差为． 故选：D． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，在中，，若，则__________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证得是解题的关键． 先说明，再证明，然后根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 钟表的指针在不停地转动，从3时到5时，时针转动了_________度． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查的是图形的旋转问题中钟表时针与分针的夹角，在钟表问题中，应明确钟表分12个大格，每个大格之间的夹角为进而计算即可． 【详解】钟表时针转动一周的角度为，平均分成12个刻度，每两个刻度的角度为，所以从3时到5时，转动两个刻度，角度为． 故答案为：60． 13. 如图，关于的中点作位似图形，若点恰为的重心，则与的周长比为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心的性质和位似比的概念，关键是掌握三角形重心的性质． 根据三角形重心的性质可以求出，从而进一步求出，，，这样便可求出，从而根据相似三角形的周长比计算即可． 【详解】解：点恰为的重心， 点是的三等分点， ， 是关于点的位似图形， ，，， ， ， 故答案为：． 14. 将二次函数的图象向左平移个单位后经过原点，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律“左加右减”是解题的关键．根据二次函数图象平移规律“左加右减”，得到平移后的函数解析式，再代入原点坐标求解即可． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移个单位后，新函数解析式为． 由于图象经过原点，代入点得：， 即， 整理得， 或， 或， ， ． 故答案为：． 15. 彤彤和嘉嘉正在玩一个游戏：两人轮流掷骰子，骰子朝上的数字是几，就按箭头方向将同一颗棋子前进几格并获得格子中的物品，现在棋子在标有数字“0”的格子中，彤彤先掷一次，然后嘉嘉掷，则嘉嘉掷一次就获得小汽车的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式的应用，列表法求概率，解题的关键是掌握概率所求情况数与总情况数之比．首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与能获得“汽车”的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：列表得： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 当彤彤和嘉嘉投掷的点数和为时，嘉嘉掷一次就能获得小汽车， 共有36种等可能的结果，能获得奖品的有6种情况， 嘉嘉掷一次就获得小汽车的概率． 故答案为：． 16. 如图，在Rt中，，，，点在上，作，交边于点，过点，，的交于点，连接，，．若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理得，又，则是直径，所以，证得，设，所以，因为，所以，，，即，得，，又，，所以，，得，如图，连接，设与交于点，过作于点，则，证明，所以，设，则，即，所以，，从而可得，再证明，通过等面积法得，所以，解得，则，所以，从而求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 如图，连接，设与交于点，过作于点，则， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， 经检验是方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，等面积法，解分式方程，掌握知识点的应用是解题的关键． 三、解答题（本题有8小题，第17∽22题每题6分，第23、24题每题8分，共52分） 17. 已知二次函数． （1）求该二次函数图像与轴的交点坐标； （2）当随的增大而增大时，求的取值范围． 【答案】（1）和 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点、二次函数的性质等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）令可得：，解得，即可确定二次函数图像与轴的交点坐标； （2）由二次函数的性质可得抛物线的对称轴为，开口向上，进而完成解答． 【小问1详解】 解：∵二次函数， ∴令可得：，解得 函数图像与轴的交点坐标为和． 【小问2详解】 解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为，开口向上， ∴当时，随的增大而增大，即当随的增大而增大时，的取值范围为． 18. 将四张分别写着数字，，，（除了数字其它都相同）的卡片背面朝上，放置在桌面上．小杨首先从这四张卡片中抽取一张并记录数字，不放回． （1）求小杨抽中的卡片数字是正数的概率； （2）小陈再从剩余的卡片中抽取一张并记录数字．求两人抽到卡片上的数字互为相反数的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法求概率，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）用列表法得出所有可能结果，找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：总共有种结果，其中正数有个， 所以小杨抽中的卡片数字是正数的概率； 【小问2详解】 列表如下： 由列表法知共有种可能结果，其中两人抽到卡片上的数字互为相反数的有种结果， 所以两人抽到卡片上的数字互为相反数的概率为． 19. 如图，的直径垂直弦于点，连接，，． （1）若，求的长； （2）若，求弦的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、弧长公式、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． （1）由三线合一得，求出，再根据弧长公式求出即可； （2）根据可求出，由垂径定理得，由勾股定理得，从而即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 在直角中，， ． 20. 如图，与均为等边三角形，，分别在，上，，分别交于点，．请写出图中与相似的所有三角形，并从中任选一个三角形说明理由． 【答案】、、均与相似；选，证明见详解． 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质和三角形相似的判定，掌握相关知识是解题的关键．首先根据已知及相似三角形的判定方法即可找到存在的相似三角形；如选，首先根据等边三角形的性质可得，根据可得，再根据两角分别相等的两个三角形相似即可得出结论． 【详解】解：、、均与相似； 选，证明如下： 等边三角形与等边三角形， ， ， ， ． 21. 如图为小张的一次投篮示意图，其路线为抛物线．已知出手时篮球距地面的高度，当篮球运行的水平距离为时，达到距地面的最大高度为． （1）建立适当的直角坐标系，并求出该抛物线所在的函数表达式； （2）若篮圈中心距地面的高度，若，则此次投篮是否能投进？请说明理由． 【答案】（1）作图见解析， （2）不能投进，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法确定函数解析式，求得函数解析式是解答本题的关键． （1）以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系，设抛物线表达式为，再将点代入求得的值即可； （2）令，求得对应的值，然后与的值比较大小即可． 【小问1详解】 解：如图，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系，则：，顶点， 设抛物线表达式为， 将代入得：， 解得， 该函数表达式为． 【小问2详解】 解：当时，， 不能投进． 22. 如图，已知正五边形内接于，连接，，． （1）求的度数； （2）若的半径为，求扇形（阴影部分）的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，扇形面积的计算，解题关键是掌握正多边形的性质与扇形面积公式． （1）由正五边形的性质，可得，即可解答； （2）根据扇形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：正五边形内接于， ； 【小问2详解】 由（1）得， 的半径为， 扇形（阴影部分）的面积为：． 23. 已知二次函数的函数值和自变量的部分对应值如下表所示： … … … … （1）当时， 求该二次函数图象的顶点坐标； 若，求的取值范围； （2）求证：． 【答案】（1）顶点坐标为； （2） 证明：当时，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）令，求得对应的值，然后根据二次函数的对称性即可确定顶点坐标；根据函数图象的对称性可得：离对称轴越远，函数值越大，得到对应的点比对应的点距离对称轴远，列不等式，解不等式即可得解； （2）令，得到，进而表示出，结合即可得证． 【小问1详解】 解：当时， 当时，， 当时，， 由二次函数的对称性可知顶点坐标为． 二次函数图象的对称轴为直线，且，开口向上， 离对称轴越远，函数值越大， ， 对应的点比对应的点距离对称轴远， ，即， 或， 解得或， 观察表格可知，， ． 【小问2详解】 略 24. 规定：如果三角形的两个内角，满足，那么称这个三角形为“倍准直角三角形”． （1）若的两个内角，，判断是否为“倍准直角三角形”，并说明理由； （2）如图，在中，，点在上，连接．当时，求证：是“倍准直角三角形”； （3）如图，以的边为直径作，点，均在直线的左侧，点在上，，且，，，当是“倍准直角三角形”时，求的直径． 【答案】（1）是“倍准直角三角形”；理由见详解； （2）见详解； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据“倍准直角三角形”定义计算，即可解答； （2）通过，求出，再计算出，即可解答； （3）延长交圆于点，连接，求出，可得，，从而求得，或，分类讨论解答即可． 【小问1详解】 解：是“倍准直角三角形”；理由如下： ， ， 是“倍准直角三角形”； 【小问2详解】 ， ， ， ， 为“倍准直角三角形”； 【小问3详解】 如图，延长交圆于点，连接， ，， ， 是直径， ，且， ， ，， ， ， 是“倍准直角三角形”，， ，或， ①当时，如图， ，， ， ， ， ， ； ②当时，如图， ，， ， 、、三点共线， ，且， ， ， ， ， ， ； 综上所述，或． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质、圆周角定理、三角形内角和定理、勾股定理解三角形等相关知识点，做出相关的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $