精品解析：江苏省无锡市侨谊实验中学2025-2026学年上学期九年级数学期末试题

2025~2026年度无锡市侨谊实验中学九年级上数学试卷七 一、选择题 1. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解题思路为利用一元二次方程根的判别式，分别计算四个选项方程的值，根据与的大小关系判断根的情况 ．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式及根据判断根的情况是解题的关键． 【详解】解：选项A： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项B： ，，， ，有两个相等的实数根，不符合题意； 选项C： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项D： ，，， ，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 2. 抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是（ ） x … 0 1 … y … … A. 对称轴是直线 B. 抛物线开口向下 C. 当时， D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，观察表格根据抛物线的对称性可得对称轴，进而得出开口方向，再根据增减性解答D，最后根据对称性说明C即可． 【详解】解：当时，；当时，， ∴抛物线的对称轴为，故A正确； ∴顶点为， ∴抛物线的开口向下，故B正确； ∴当时，y随着x的增大而减小，故D正确； ∵抛物线对称轴为直线 ∴时，与时的函数值相等，即，故C错误； 故选：C． 3. 在学校举办的“导师育人故事”演讲比赛中，参赛的名学生的成绩如表所示： 成绩／分 人数／名 这名学生成绩的中位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数，将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数的平均数）叫做这组数据的中位数，根据中位数的定义进行求解即可． 【详解】解：这15名学生的成绩从小到大排列，中位数是第个： 故选：C． 4. 一只不透明的袋子中装有3个黄球和个红球，这些球除颜色外都相同．课外兴趣小组做摸球试验：每次摸出一个球，记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在附近摆动，则的值最可能是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率及用概率求数量，解题的关键是熟练掌握概率公式．根据题意可得蓝球出现的频率稳定在附近，再根据概率公式列出方程，最后解方程即可求出n． 【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在， ， 解得：，经检验是方程的解， 即n的值最可能是． 故选：D． 5. 如图，8个面积为1的小正方形组成了L型，则矩形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 可设，，由题意可得，并且，从而得出关于x、y的两个方程，求解后即可得出矩形的周长 【详解】解：∵小正方形的面积为1， ∴小正方形的边长为1， 设，， 依题意，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 依题意，， ∴， ∴，， ∴由勾股定理可得， 而同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ 解得（负值已舍去）， ∴， 而矩形的周长； 故选：C． 6. 在中，，当的内切圆的半径确定时，随着的度数增大，的外接圆的半径（ ） A. 一直增大 B. 一直减小 C. 先增大再减小 D. 先减小再增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆、外接圆，等腰三角形等知识，利用图形去观察分析是解题的关键．画一个固定的圆作为的内切圆，再分别画出几个等腰三角形，度数依次增大，观察图形即可得解． 【详解】解：如图 根据图形我们可以发现，当的内切圆的半径确定时，在增大的过程中，的外接圆的半径先减小，后增大； 故选D． 7. 如图，在中，D、E分别是、边上的点，连接并延长，与的延长线交于点F，且，，若，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 过点作交于点，先证明，得到，求出，再证明，得到，求出，最后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8. 如图，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为（ ）． A. 4 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及勾股定理：解决本题的关键是确定点在以为直径的上，从而利用两点之间线段最短解决问题．利用得，则，根据圆周角定理的推论可判定点在以为直径的上，连接交于，此时的长最小，然后利用勾股定理计算出即可得到长的最小值． 【详解】解：， 而， ， ， 点在以为直径的上， 连接交于，此时的长最小， ， 长的最小值为． 故选：A． 9. 如图，扇形中，，点C是上一点，，将扇形绕点C逆时针旋转，得到扇形，若点O刚好落在上的点E处，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质和相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．连接，根据旋转的性质得出，再根据勾股定理求出，再证出，即可求出的值． 【详解】连接， 则为旋转角， ， 点的对应点为点，点的对应点为点， 的对应线段为，的对应线段为， ， ， ， 扇形的半径为8， ， ， 在中，， 在和中，，， ， ， ， 故选：A． 10. 如图，四边形是边长为4的菱形，，将沿着对角线平移到，在移动过程中，与交于点E，连接、、则下列结论：①；②连接，则的最小值为8；③当时，的长为；④的面积最大值为．其中正确的为（ ） A. ②③ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①如图，连接交于，根据菱形的性质得到菱形的有关条件，再由平移得到，，，，，最后根据，得到，即，即可判断①正确；②过作，取，连接，，，，则四边形是平行四边形，得到，再结合，得到，当在上时，最小，中勾股定理计算即可，判断②正确；③证明，得到，设，则，代入计算求出，最后根据，判断③正确；④连接交于，过作于，由，求出，得到，最后根据计算最大面积即可． 【详解】解：①如图，连接交于， ∵四边形是边长为4的菱形，， ∴，，，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵将沿着对角线平移到， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②过作，取，连接，，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当在上时，最小， ∵，，， ∴， ∴的最小值为8，故②正确； ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴，故③正确； ④连接交于，过作于，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴ ， ∴的面积最大值为，故④错误， 综上所述，正确的有①②③， 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，二次函数的最值，相似三角形的判定与性质，平移的性质等知识点． 二、填空题 11. 将二次函数的图象向左平移3个单位，得到的抛物线的表达式为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的平移，掌握二次函数的图象的平移规律是解题的关键．按照“左加右减，上加下减”的规律进行解题即可． 【详解】二次函数的图象向左平移3个单位， 得到的抛物线的表达式为． 故答案为：． 12. 若锐角满足，则______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答； 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，连接格点，，点，是线段与网格线的交点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查平行线分线段成比例定理．取格点C、E、F，连接、、、，则经过点E、F，且，，，由，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：取格点C、E、F，连接、、、，则经过点E、F， ∵网格中每个小正方形的边长均为1， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，点E在弧AD上，则∠E＝125°，则∠C＝_____°． 【答案】110 【解析】 【分析】连接BD，先根据圆内接四边形的性质求出∠ABD的度数，再由等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，由圆内接四边形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠E＝125°， ∴∠ABD＝180°﹣125°＝55°． ∵AB＝AD， ∴∠ADB＝∠ABD＝55°． ∴∠BAD＝180°﹣2×55°＝70° ∵四边形ABDE是圆内接四边形， ∴∠C＝180°﹣70°＝110°． 故答案为：110． 【点睛】本题主要考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 15. 已知抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，则的最大值为____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与坐标轴的交点、待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的最值问题，将线段的最值问题转化为二次函数的最值问题是解决此题的关键．根据二次函数的解析式求出点B、C的坐标，设点D的坐标是，则点E的坐标是，用含x的式子表示出的长． 【详解】解：当时，可得：， 解得：，， ∵点A在点B左侧， ∴点B坐标是， 当时，可得：， ∴点C的坐标是， 设直线的解析式是， 把点B的坐标，点C的坐标代入， 可得：， 解得：， ∴直线的解析式是， 设点D的坐标是，则点E的坐标是， ∴， ∵二次项系数为， ∴有最大值，最大值是． 故答案为：． 16. 用一个半径为10cm半圆纸片围成一个圆锥侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据半圆的弧长等于圆锥的底圆周长可以求出圆锥底圆的半径，又由半圆的半径等于圆锥的母线，然后利用勾股定理求出圆锥的高． 【详解】解：如图所示： 圆锥的侧面展开图的弧长为（cm）， ∴圆锥的底面半径为（cm）， ∴圆锥的高为：（cm）． 故答案是：cm． 【点睛】本题考查了圆锥的展开图，正确理解圆锥与圆锥展开图后的图形为扇形之间的不变量是解决本题的关键． 17. 如图，将抛物线绕原点顺时针旋转得到新曲线，新曲线与直线交于点，则点的坐标为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与几何变换，旋转的选择、勾股定理的应用，利用逆向思维，确定对应点、的关系，是本题的突破点．直线绕原点逆时针旋转得到，求得抛物线与轴的交点，绕原点顺时针旋转得到，由，即可求解． 【详解】解：直线绕原点逆时针旋转得到， 设抛物线与轴的交点为， 抛物线， 时，， ， 设点， 由题意得：， ， ， 点的坐标为 故答案为： 18. 当x≤3时，函数y＝x2﹣2x﹣3的图象记为G，将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象G的其余部分保持不变，得到一个新图象M，若直线y＝x+b与图象M有且只有两个公共点，则b的取值范围是_____． 【答案】﹣3＜b＜1或b＝﹣． 【解析】 【分析】根据题意画出图形，进而利用直线y＝x+b过（﹣1，0）以及（3，0）得出b的值，再利用直线y＝x+b与抛物线y＝x2﹣2x﹣3有一个交点，求出答案． 【详解】如图所示：∵y＝x2﹣2x﹣3，当y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， 当直线y＝x+b过（﹣1，0）时，b＝1， 当直线y＝x+b过（3，0）时，b＝﹣3， 故当﹣3＜b＜1时，直线y＝x+b与图象M有且只有两个公共点， 当直线y＝x+b与抛物线y＝x2﹣2x﹣3有一个交点， 则x2﹣3x﹣3﹣b＝0有两个相等的实数根， 故△＝b2﹣4ac＝9+4（3+b）＝0， 解得：b＝﹣， 综上所述：直线y＝x+b与图象M有且只有两个公共点，则b的取值范围是：﹣3＜b＜1或b＝﹣． 故答案为：﹣3＜b＜1或b＝﹣． 【点睛】此题考查二次函数的性质、一次函数与二次函数交点坐标的确定、方程组与二次函数的关系，解题中注意：原二次函数的图像只有x≤3的部分，翻折后只在对称轴左侧变化. 三、解答题（本大题共10题，共96分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值的计算； （2）根据零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，化简计算即可求解． 【小问1详解】 解：       【小问2详解】 解： 20. 周五放学，甲，乙，丙三人想去学校附近肯德基，麦当劳吃晚饭，且每人去每家店的可能性相同，求三人恰巧走进同一家快餐店的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率．画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名同学去同一个餐厅的结果为2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：假设肯德基记为，麦当劳记为， 画树状图如下： 共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名同学去同一个餐厅用餐的结果为2种， ∴ 甲、乙、丙三名学生去同一个餐厅的概率为． 21. 为了解某校九年级学生每天的睡眠时间，随机对20名学生进行问卷调查，问卷选项如下：A．7小时；B．8小时；C．9小时；D．10小时．将调查结果绘制成如下图的扇形统计图和条形统计图．已知扇形统计图是正确的，条形统计图有一个选项的人数是错误的． （1）条形统计图中错误的是__________选项的人数，正确的应该是__________人； （2）这20名同学每天睡眠时间的众数是__________小时； （3）请计算这20名同学每天的平均睡眠时间． 【答案】（1）D，2 （2）8 （3）这20名同学每人每天的睡眠时间约是8.3小时 【解析】 【分析】本题考查了扇形与条形统计图，众数和平均数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据扇形统计图和总人数求出各选项人数，即可求解； （2）根据众数的概念求解即可； （3）根据平均数的计算方法求解即可． 【小问1详解】 A选项人数为（人），B选项人数为（人），C选项人数为（人），D选项人数为（人）， ∴条形统计图中错误的是D选项的人数，正确的应该是2人； 【小问2详解】 由条形统计图可得，B选项的人数最多 ∴这20名同学每天睡眠时间的众数是8小时； 【小问3详解】 （小时） ∴这20名同学每人每天的睡眠时间约是8.3小时． 22. 如图，已知，在直线的下方求作点N，使（要求尺规作图） 【答案】图见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，熟练掌握垂直平分线，以及画已知角相等的角是解题的关键．作的垂直平分线，作，与关于对称，作的外接圆即可． 【详解】解：尺规作图如下： 依据圆周角定理（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）， 可得：， 又因为， 所以， 所以， 即为所求． 23. 某商家销售一种糕点，每盒进价为40元．在销售过程中发现，周销量y（盒）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示： 销售单价x（元） … 60 65 70 … 周销量y（盒） … 240 210 180 … （1）求y关于x的函数表达式． （2）当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？ （3）若规定销售单价需满足，则每周至少可获得多少利润？ 【答案】（1） （2）当销售单价为70元时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元 （3）该商店每周至少可获得3000元利润 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用． （1）用待定系数法求解即可； （2）根据利润=每盒利润×数量求出函数解析式，再利用二次函数的性质求解； （3）结合（2）所求函数解析式，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设，把，和，代入，得 ， 解得， 所以y关于x的函数关系式为． 【小问2详解】 解：设每周出售糕点所获利润为w元 ， 当时w的最大值为5400． 所以，当销售单价为70元时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元． 【小问3详解】 解：由（2）可知，销售利润w与售价x之间关系为， 该二次函数图象开口向下，且对称轴为， 所以当时，， 因此该商店每周至少可获得3000元利润． 24. 如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆．D为BC的延长线上一点，AD交⊙O于点E，连接BE． （1）求证：∠D=∠ABE； （2）若AB=5，BC=6， ①求⊙O的半径r； ②的最大值为______． 【答案】（1）见解析 （2）①r=；② 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理得到∠CAE=∠CBE，再利用等腰三角形的性质以及三角形的外角性质即可证明∠D=∠ABE； （2）①利用垂径定理构造直角三角形，根据勾股定理列方程计算即可求解； ②证明△DAC∽△DBE，推出，当BE最大为⊙O的直径，取得最大值，据此即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴∠CAE=∠CBE， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵∠ABC=∠ABE+∠CBE，∠ACB=∠D+∠CAE， ∴∠D=∠ABE； 【小问2详解】 解：①延长AO交BC于点H，连接OC， ∵AB=AC，AB=5，BC=6， ∴AH⊥BC，BH=CH=3， ∴AH=4， ∵OA=OC=r， ∴OH=4- r， 在Rt△OCH中，(4- r)2+32=r2， 解得：r=； ②∵∠CAE=∠CBE， ∴△DAC∽△DBE， ∴， ∵AB=AC=5，BE是⊙O的弦， ∴当BE最大时，取得最大值， 即BE最大为⊙O的直径，即BE=2r=， ∴的最大值为， 即的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 25. 如图，小明从点出发，沿着坡度（即）为的坡道向上走了到达点，再沿着水平平台向前走了到达点，最后沿着坡角为的坡道向上走了到达点． （1）当小明到达点时，求他沿垂直方向上升的高度； （2）求点，间的水平距离的长．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题， （1）过点作于，过点作于，延长交于，设，根据坡度的概念用表示出，根据勾股定理求出； （2）根据余弦的定义求出，进而求出； 掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，过点作于，过点作于，延长交于， 设， ∵坡道的坡度为，， ∴， 在中，， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴， 答：他沿垂直方向上升的高度为； 【小问2详解】 如图，过点作于，过点作于，延长交于， 由（1）可知：， 由题意知：，， ∵，， ∴，， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，，， 在中，，， ∴， ∴． 答：点，间的水平距离长约为． 26. “关联”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多． （1）如图（a），是的角平分线，求证：； （2）如图（b），平行四边形中，平分交于点E，则的长度为______； （3）如图（c），矩形中，点E是对角线上一点，连接，将沿所在直线折叠，点A恰好落在边上的点F处．若，求的长； （4）如图（d），正方形中，G为上一点，连接，将沿过G的直线折叠，使点D的对应点落在上，折痕与交于点H，与的延长线交于点E．若，，则的长度为______． 【答案】（1）见解析 （2）4 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）过点C作交的延长线于点E，利用平行线分线段成比例定理即可得出结论； （2）由（1）中结论直接得解即可； （3）由题意易得，再求出即可得解； （4）连接，先求得，再证，得到，进而利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【小问1详解】 证明：过点C作，交的延长线于点E， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）结论可知， ∴， 故答案为：4； 【小问3详解】 解：∵将沿所在直线折叠， ∴，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：连接， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴． ∴， ∵将沿过点G的直线折叠， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、正方形的性质、角平分线的性质、平行线分线段成比例定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 27. 如图1，已知点，，平行四边形的边与y轴交于点E，且E为中点，双曲线上经过C、D． （1）求k的值； （2）点P在双曲线上，点Q为平面里一点，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标； （3）以线段为对角线作正方形（如图3），点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当T在上运动时，的度数是否发生改变？若改变，写出其变化范围；若不改变，请求出其值． 【答案】（1） （2）或或或 （3）不变， 【解析】 【分析】（1）根据中点坐标公式可得，，设，由平行四边形对角线中点坐标相同可知，再根据反比例函数的性质求出的值即可； （2）若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形，则若以点A、B、P为顶点的三角形是直角三角形，然后分，，，根据勾股定理，一元二次方程根的判别式以及反比例函数的性质等求解即可； （3）连接，，过N作于Q，交于P，证明四边形是矩形，得出，，根据三角形内角和定理求出，根据等角对等边得出，根据线段垂直平分线的性质得出，根据证明，得出，结合，可得，最后根据等边对等角和三角形内角和定理即可求出． 【小问1详解】 解：∵，为中点且点E在y轴上， ∴， 设，， ∵四边形是平行四边形， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴ ∴， ∵C、D都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴； 小问2详解】 解：若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形，则若以点A、B、P为顶点的三角形是直角三角形， 设， 则，，， ①当时，， ∴， 解得， 当时，；当时， ∴或， 设， 当时， 则， 解得， ∴； 当时， 则， 解得， ∴； 当时，， ∴， 解得， 当时，；当时， ∴或， 设， 当时， 则， 解得， ∴； 当时， 则， 解得， ∴； 当时， 设直线解析式为， 则，解得， ∴， 设平行于且与有唯一交点Q的直线为， 联立方程组， 整理得， ∴， 解得， ∴直线为或， 当时， 联立方程组， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴不存在点P，使， 同理当时，不存在点P，使， ∴不存在， 综上，点Q的坐标为或或或； 【小问3详解】 解：不变， 理由：连接，，过N作于Q，交于P， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵M是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 28. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如都是“纵三倍点”． （1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是______；（填序号） ①；②；③． （2）已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式； （3）若抛物线（是常数，）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①③ （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“纵三倍点”的定义逐项判断即可； （2）根据定义可得“纵三倍点”为，代入得出①，联立根据题意得出②，联立①②，即可求解； （3）联立 ，依题意得出得出 ．分三种情况：当，当时， 当时，求解即可 【小问1详解】 解：①联立，解得：， ∴一次函数的图象上的“纵三倍点”为，故①符合题意； ③联立，即， 解得： 故②不合题意； ④联立，解得：， ∴二次函数的图象上只有一个“纵三倍点”，故③正确； 综上分析可知，正确是①③． 故答案为：①③． 【小问2详解】 解： 解得： 依题意经过，则① 联立 ∴ ∵抛物线（均为常数）与直线只有一个交点， ∴② 联立①②得 解得： ∴抛物线解析式为； 【小问3详解】 解：联立 即 依题意，， ∴ ∴， 当，即时，在处，w有最小值， ∴，解得：（舍去），（舍去）， 当时，即时，w有最小值1， ∴存在常数，使得时，w的最小值恰好等于t，符合题意； 当时，在处，w有最小值t， ∴，解得：（舍去），， 综上所述：或 【点睛】本题主要考查了先定义运算，一次函数、二次函数和反比例函数的综合应用，一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解“纵三倍点”的定义，任意的一个“纵三倍点”一定在正比例函数的图象上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026年度无锡市侨谊实验中学九年级上数学试卷七 一、选择题 1. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是（ ） x … 0 1 … y … … A. 对称轴是直线 B. 抛物线开口向下 C. 当时， D. 当时，y随x的增大而减小 3. 在学校举办的“导师育人故事”演讲比赛中，参赛的名学生的成绩如表所示： 成绩／分 人数／名 这名学生成绩的中位数是（ ） A. B. C. D. 4. 一只不透明的袋子中装有3个黄球和个红球，这些球除颜色外都相同．课外兴趣小组做摸球试验：每次摸出一个球，记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在附近摆动，则的值最可能是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 如图，8个面积为1的小正方形组成了L型，则矩形的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，当的内切圆的半径确定时，随着的度数增大，的外接圆的半径（ ） A. 一直增大 B. 一直减小 C. 先增大再减小 D. 先减小再增大 7. 如图，在中，D、E分别是、边上的点，连接并延长，与的延长线交于点F，且，，若，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 如图，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为（ ）． A. 4 B. C. 3 D. 9. 如图，扇形中，，点C是上一点，，将扇形绕点C逆时针旋转，得到扇形，若点O刚好落在上的点E处，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形是边长为4菱形，，将沿着对角线平移到，在移动过程中，与交于点E，连接、、则下列结论：①；②连接，则的最小值为8；③当时，的长为；④的面积最大值为．其中正确的为（ ） A. ②③ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题 11. 将二次函数的图象向左平移3个单位，得到的抛物线的表达式为__________________． 12 若锐角满足，则______． 13. 如图，在每个小正方形边长均为1的网格中，连接格点，，点，是线段与网格线的交点，则______． 14. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，点E在弧AD上，则∠E＝125°，则∠C＝_____°． 15. 已知抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，则的最大值为____ ． 16. 用一个半径为10cm半圆纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为______． 17. 如图，将抛物线绕原点顺时针旋转得到新曲线，新曲线与直线交于点，则点的坐标为______ ． 18. 当x≤3时，函数y＝x2﹣2x﹣3的图象记为G，将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象G的其余部分保持不变，得到一个新图象M，若直线y＝x+b与图象M有且只有两个公共点，则b的取值范围是_____． 三、解答题（本大题共10题，共96分） 19. 计算： （1） （2） 20. 周五放学，甲，乙，丙三人想去学校附近的肯德基，麦当劳吃晚饭，且每人去每家店的可能性相同，求三人恰巧走进同一家快餐店的概率． 21. 为了解某校九年级学生每天的睡眠时间，随机对20名学生进行问卷调查，问卷选项如下：A．7小时；B．8小时；C．9小时；D．10小时．将调查结果绘制成如下图的扇形统计图和条形统计图．已知扇形统计图是正确的，条形统计图有一个选项的人数是错误的． （1）条形统计图中错误的是__________选项的人数，正确的应该是__________人； （2）这20名同学每天睡眠时间的众数是__________小时； （3）请计算这20名同学每天的平均睡眠时间． 22. 如图，已知，在直线的下方求作点N，使（要求尺规作图） 23. 某商家销售一种糕点，每盒进价为40元．在销售过程中发现，周销量y（盒）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示： 销售单价x（元） … 60 65 70 … 周销量y（盒） … 240 210 180 … （1）求y关于x的函数表达式． （2）当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？ （3）若规定销售单价需满足，则每周至少可获得多少利润？ 24. 如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆．D为BC的延长线上一点，AD交⊙O于点E，连接BE． （1）求证：∠D=∠ABE； （2）若AB=5，BC=6， ①求⊙O的半径r； ②的最大值为______． 25. 如图，小明从点出发，沿着坡度（即）为坡道向上走了到达点，再沿着水平平台向前走了到达点，最后沿着坡角为的坡道向上走了到达点． （1）当小明到达点时，求他沿垂直方向上升的高度； （2）求点，间的水平距离的长．（参考数据：，，） 26. “关联”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多． （1）如图（a），是的角平分线，求证：； （2）如图（b），平行四边形中，平分交于点E，则的长度为______； （3）如图（c），矩形中，点E是对角线上一点，连接，将沿所在直线折叠，点A恰好落在边上的点F处．若，求的长； （4）如图（d），正方形中，G为上一点，连接，将沿过G的直线折叠，使点D的对应点落在上，折痕与交于点H，与的延长线交于点E．若，，则的长度为______． 27. 如图1，已知点，，平行四边形的边与y轴交于点E，且E为中点，双曲线上经过C、D． （1）求k的值； （2）点P在双曲线上，点Q为平面里一点，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标； （3）以线段为对角线作正方形（如图3），点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当T在上运动时，的度数是否发生改变？若改变，写出其变化范围；若不改变，请求出其值． 28. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如都是“纵三倍点”． （1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”是______；（填序号） ①；②；③． （2）已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式； （3）若抛物线（是常数，）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $