2026年中考数学第一轮复习专题讲练第7讲分式方程及其应用讲义

2026年中考数学第一轮复习专题讲练 第二单元 方程(组)与不等式(组) 《第7讲 分式方程及其应用》讲义 【知识梳理】 1.分式方程的有关概念 (1)分式方程:像这样分母中含有　未知数　的方程叫作分式方程.  (2)增根:使分式方程的分母为　零　的根叫作增根。  2.分式方程的解法 (1)解分式方程的基本思想:把分式方程转化为整式方程，即分式方程整式方程. (2)解法:方程两边同乘各分式的　最简公分母　，约去分母，化为整式方程，再求根验根.  3.分式方程的应用 (1)用分式方程解决实际问题，和用整式方程解决实际问题一样，先要弄清题意，再设未知数、列方程并解答. (2)要特别注意解完分式方程后需　验根　.  【2025近三年中考真题探究】 一、单选题 1．（2025·海南·中考真题）分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·海南·中考真题）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南·中考真题）将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2023·山东淄博·中考真题）已知是方程的解，那么实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 6．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 7．（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程的解为正数，则的取值范围（    ） A． B．且 C． D．且 8．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 9．（2025·四川绵阳·中考真题）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别装载货物吨，普通机器人比智能机器人多用分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（    ） A．0.1吨 B．0.15吨 C．6吨 D．9吨 10．（2025·山东德州·中考真题）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（   ） A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 11．（2025·广东深圳·中考真题）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？（    ） A．60，30 B．90，120 C．60，90 D．90，60 13．（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 14．（2024·四川达州·中考真题）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工个零件．可列方程为（    ） A． B． C． D． 15．（2023·湖南张家界·中考真题）《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作，其中记载了一个“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文钱．如果每株椽的运费是3文钱，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．试问：用6210文能买多少株椽？设用6210文能买x株椽，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 16．（2023·山东淄博·中考真题）为贯彻落实习近平总书记关于黄河流域生态保护和高质量发展的重要讲话精神，某学校组织初一、初二两个年级学生到黄河岸边开展植树造林活动．已知初一植树棵与初二植树棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树棵．求初一年级平均每小时植树多少棵？设初一年级平均每小时植树棵，则下面所列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（2023·四川达州·中考真题）某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 18．（2025·四川·中考真题）方程的解为 ． 19．（2025·湖北武汉·中考真题）方程的解是 ． 20．（2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是 ． 21．（2025·四川凉山·中考真题）若关于x的分式方程无解，则 ． 22．（2023·四川绵阳·中考真题）随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘刚购买的新能源车，去相距的古镇旅行，原计划以速度匀速前行，因急事以计划速度的倍匀速行驶，结果就比原计划提前了到达，则原计划的速度v为 ． 23．（2025·江西·中考真题）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 24．（2023·山东青岛·中考真题）某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为 ． 25．（2024·山东东营·中考真题）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为 ． 三、解答题 26．（2025·江苏镇江·中考真题）解方程：． 27．（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 28．（2025·陕西·中考真题）解方程：． 29．（2024·青海西宁·中考真题）解方程：． 30．（2025·黑龙江大庆·中考真题）某公司开发了两款模型，分别为模型A和模型B．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据．已知模型B比模型A每小时多处理数据，模型B处理数据的时间与模型A处理数据的时间相同，求模型A每小时能处理多少数据？（备注：为数据的存储单位） 31．（2025·江苏常州·中考真题）某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少1吨，20吨水可以使用的天数是原来的2倍．问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？ 32．（2025·江苏扬州·中考真题）某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，求这两款书签的单价． 33．（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 34．（2025·云南·中考真题）某化工厂采用机器人，机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运20千克，机器人搬运800千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等．求机器人，机器人每小时分别搬运多少千克化工原料． 35．（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘． (1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示） (2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 36．（2025·重庆·中考真题）列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． (1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 37．（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代． (1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ (2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 38．（2024·重庆·中考真题）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用、两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要、两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元． (1)求、两种外墙漆每千克的价格各是多少元？ (2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？ 39．（2023·贵州·中考真题）为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题： (1)更新设备后每天生产_______件产品（用含x的式子表示）； (2)更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品． 40．（2024·广西·中考真题）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学第一轮复习专题讲练 第二单元 方程(组)与不等式(组) 《第7讲 分式方程及其应用》讲义答案解析 一、单选题 1．（2025·海南·中考真题）分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解分式方程．先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：． 检验：当时，， ∴原方程的解为． 故选：C 2．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】解： 去分母，得：， 解得：； 经检验，是原方程的解， 故选C． 3．（2024·海南·中考真题）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把分式方程去分母化为整式方程，再解方程，最后检验即可． 【详解】解： 去分得：， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解， 故选：A． 4．（2025·湖南·中考真题）将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． 将分式方程两边同时乘以最简公分母，消去分母，转化为整式方程． 【详解】解：． 方程两边同时乘以，得：． 故选：A． 5．（2023·山东淄博·中考真题）已知是方程的解，那么实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】将代入方程，即可求解． 【详解】解：将代入方程，得 解得： 故选：B． 【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将代入原方程中得到关于的方程． 6．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定的范围． 【详解】解：， 得， 得， 解得：， 根据题意，解， 即， 解得：， 分母， 即， 即， 解得：， ， 故选：A． 7．（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程的解为正数，则的取值范围（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， ∴的取值范围为且， 故选：． 8．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程无解，分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：； ∵原方程无解， ∴①整式方程无解，则：，解得：； ②分式方程有增根，则：，解得：； 把代入，得：，解得：； 综上：或 故选C． 9．（2025·四川绵阳·中考真题）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别装载货物吨，普通机器人比智能机器人多用分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（    ） A．0.1吨 B．0.15吨 C．6吨 D．9吨 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是根据工作时间差建立方程并求解． 设普通机器人的工作效率为未知数，根据智能机器人效率是其倍表示出智能机器人效率；再根据“装载吨货物的时间差为分钟”建立分式方程，求解后得到智能机器人的效率． 【详解】解：设普通机器人每小时装载货物吨，则智能机器人每小时装载货物吨． ， 解得， ∴智能机器人每小时装载货物吨． 故选：D． 10．（2025·山东德州·中考真题）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（   ） A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据所列方程，找出被墨水污染部分的文字是解题的关键． 由表示第一次购买魔方的数量，可得出表示第二次购买魔方的数量，进而可得出第二次比第一次少买 10 个，利用单价总价数量，结合所列方程，可得出第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元，进而可找出被墨水污染部分的文字． 【详解】解：∵设第一次购买了个魔方， ∴方程中表示第二次购买魔方的数量， ∴第二次比第一次少买了 10 个； ∵单价总价数量， ∴表示第一次购买魔方的单价，表示第二次购买魔方的单价， 又 ∵所列方程为， ∴第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元， ∴被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方优惠 5 元，结果比上次少买了 10 个． 故选：D． 11．（2025·广东深圳·中考真题）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设原计划人数为x人，则实际人数为人，原计划平均每人种树棵，实际平均每人种树棵，根据题意，实际平均每人种树比原计划少3棵，由此建立方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A． 12．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？（    ） A．60，30 B．90，120 C．60，90 D．90，60 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克，根据“A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等”列分式方程求解即可． 【详解】解：设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：A型机器人每小时搬运90千克， B型机器人每小时搬运60千克． 故选：D． 13．（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列出方程即可． 【详解】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为， 根据题意，可得． 故选：A． 14．（2024·四川达州·中考真题）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工个零件．可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设乙每小时加工个零件，则甲每小时加工个零件，再根据时间工作总量工作效率结合甲的工作时间比乙的工作时间少30分钟列出方程即可． 【详解】解：设乙每小时加工个零件，则甲每小时加工个零件， 由题意得， 故选：D． 15．（2023·湖南张家界·中考真题）《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作，其中记载了一个“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文钱．如果每株椽的运费是3文钱，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．试问：用6210文能买多少株椽？设用6210文能买x株椽，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，根据单价总价数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程． 【详解】解：设用6210文能买x株椽， 由题意得：， 故选：C． 16．（2023·山东淄博·中考真题）为贯彻落实习近平总书记关于黄河流域生态保护和高质量发展的重要讲话精神，某学校组织初一、初二两个年级学生到黄河岸边开展植树造林活动．已知初一植树棵与初二植树棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树棵．求初一年级平均每小时植树多少棵？设初一年级平均每小时植树棵，则下面所列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】分式方程的其他实际问题 【分析】根据初一植树棵与初二植树棵所用的时间相同列式求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：D； 【点睛】本题考查分式方程解决应用问题，解题的关键是找到等量关系式． 17．（2023·四川达州·中考真题）某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】列分式方程 【分析】设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，则购进第二批“脆红李”的单价为元/件，根据购进的第二批这种“脆红李”比第一批多购进了40件，列出方程即可． 【详解】解：设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，则购进第二批“脆红李”的单价为元/件，根据题意得： ，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式． 二、填空题 18．（2025·四川·中考真题）方程的解为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式的解法步骤是解答的关键，注意结果要检验． 先去分母化为整式方程，进而解整式方程，再进行检验即可． 【详解】解：， ， 解得， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为， 故答案为：． 19．（2025·湖北武汉·中考真题）方程的解是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键．先将分式方程化为整式方程，解整式方程，再检验即可． 【详解】解： 方程两边同乘，得， 解得， 经检验，是分式方程的解， 所以原方程的解为， 故答案为：． 20．（2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将原方程去分母后把代入解得的值即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 是该方程的解， ， 解得：， 当时，原分式方程有意义， 故答案为：． 21．（2025·四川凉山·中考真题）若关于x的分式方程无解，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程无解时，方程有增根的情况是解答本题的关键． 根据题意，解分式方程，得到，由题意得到原方程无解，故是原方程的增根，由，得到，由此得到答案． 【详解】解：， 去分母：方程两边同时乘以，得： ， ， ， ， 原方程无解， 是原方程的增根， 由，， ， ， 故答案为：． 22．（2023·四川绵阳·中考真题）随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘刚购买的新能源车，去相距的古镇旅行，原计划以速度匀速前行，因急事以计划速度的倍匀速行驶，结果就比原计划提前了到达，则原计划的速度v为 ． 【答案】60 【难度】0.85 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题． 根据比原计划提前了到达列方程，即可解得答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，并符合题意， ∴原计划的速度为； 故答案为：60． 23．（2025·江西·中考真题）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 【答案】 【难度】0.85 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查分式方程的应用．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为元，根据“燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同”列出分式方程即可． 【详解】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为元， 根据题意得，， 故答案为：． 24．（2023·山东青岛·中考真题）某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】列分式方程 【分析】根据两种劳动工具单价间的关系，可得出乙种劳动工具单价为元，利用数量=总价÷单价，结合乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，即可列出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：∵乙种劳动工具的单价比甲种劳动工具的单价贵了4元，且甲种劳动工具单价为x元， ∴乙种劳动工具单价为元． 根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 25．（2024·山东东营·中考真题）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少，列出方程即可． 【详解】解：设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据题意得： ． 故答案为：． 三、解答题 26．（2025·江苏镇江·中考真题）解方程：． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．方程两边同乘以化成整式方程，再解一元一次方程，然后进行检验即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是分式方程的解， 所以方程的解为． 27．（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时要注意不要漏乘，解完后要检验． 先去分母，化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后进行检验即可． 【详解】解：第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘以一个不为0的数（或式子），等式仍然成立； 小李的解答过程不正确，正确解答如下： ， ， 解得：， 经检验，是增根， ∴原方程无解． 28．（2025·陕西·中考真题）解方程：． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． 利用解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】解： ， ． 经检验，是原方程的解． 29．（2024·青海西宁·中考真题）解方程：． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】此题考查解分式方程，先去分母解整式方程，再验根即可，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：去分母得， 解得， 检验：当时，， ∴分式方程的解是． 30．（2025·黑龙江大庆·中考真题）某公司开发了两款模型，分别为模型A和模型B．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据．已知模型B比模型A每小时多处理数据，模型B处理数据的时间与模型A处理数据的时间相同，求模型A每小时能处理多少数据？（备注：为数据的存储单位） 【答案】模型A每小时能处理数据 【难度】0.65 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、分式方程的工程问题 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．设模型A每小时能处理数据，则模型B每小时能处理数据，根据“模型B处理数据的时间与模型A处理数据的时间相同”建立分式方程求解即可． 【详解】解：设模型A每小时能处理数据，则模型B每小时能处理数据， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：模型A每小时能处理数据． 31．（2025·江苏常州·中考真题）某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少1吨，20吨水可以使用的天数是原来的2倍．问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？ 【答案】浇水方式改进后平均每天用水1吨 【难度】0.85 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查分式方程的应用．理解题意，找准等量关系，列出方程是解题的关键． 设浇水方式改进后平均每天用水x吨，则浇水方式改进前平均每天用水吨，根据“20吨水可以使用的天数是原来的2倍”列出方程求解即可． 【详解】设浇水方式改进后平均每天用水x吨，则浇水方式改进前平均每天用水吨， 根据题意，得 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：浇水方式改进后平均每天用水1吨． 32．（2025·江苏扬州·中考真题）某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，求这两款书签的单价． 【答案】乙款书签价格为16元，甲款书签价格为20元 【难度】0.85 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设乙款书签价格为（元），则甲款书签价格为（元），根据“用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个”建立分式方程求解即可． 【详解】解：设乙款书签价格为（元），则甲款书签价格为（元）， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴则甲款书签价格为（元） 答：乙款书签价格为16元，甲款书签价格为20元． 33．（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 【答案】(1)80 (2)190 【难度】0.65 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、分式方程的行程问题 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系列方程． （1）设大巴车的速度为千米/小时，根据路程、速度和时间的关系，结合两车行驶时间的关系列出方程求解； （2）设参加本次活动的学生人数是y人，根据门票费用的等量关系列出方程求解． 【详解】（1）设大巴车的速度为千米/小时，则中巴车速度为千米/小时． 根据题意，可列方程：， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：大巴车的速度是80千米/小时． （2）设参加本次活动的学生人数是人，则成人人数为人， 根据题意，可列方程：， 解得． 答：参加本次活动的学生人数是190人． 34．（2025·云南·中考真题）某化工厂采用机器人，机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运20千克，机器人搬运800千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等．求机器人，机器人每小时分别搬运多少千克化工原料． 【答案】机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料 【难度】0.85 【知识点】分式方程的其他实际问题 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料，根据机器人搬运800千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等建立方程求解即可． 【详解】解；设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答；机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料． 35．（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘． (1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示） (2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 【答案】(1)元 (2)这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克． 【难度】0.65 【知识点】列代数式、分式方程的工程问题 【分析】本题考查的是列代数式，分式方程的应用； （1）根据人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低，再列代数式即可； （2）设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克；根据要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，再建立分式方程求解即可． 【详解】（1）解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低． ∴用智能机器人采摘的成本是（元）； （2）解：设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克； ∴， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意； ∴（千克）， 答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克． 36．（2025·重庆·中考真题）列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． (1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 【答案】(1)该厂每天生产的甲文创产品数量为个，乙文创产品数量是个 (2)每天乙文创产品增加的数量是个 【难度】0.65 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、分式方程的工程问题 【分析】本题考查一元一次方程和分式方程的应用，正确理解题意，根据等量关系列方程是解题的关键． （1）设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，根据题意列一元一次方程解答即可； （2）设该厂每天乙文创产品增加的数量是个，根据“生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天”列分式方程解答即可． 【详解】（1）解：设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为个． ， 解得：， 则甲文创产品数量为个， 答：该厂每天生产的乙文创产品数量是个，则甲文创产品数量为个． （2）解：设每天乙文创产品增加的数量是个，则甲文创产品增加的数量是个． ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 答：每天乙文创产品增加的数量是个． 37．（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代． (1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ (2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 【答案】(1)该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条； (2)需要更新设备费用为万元 【难度】0.65 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、分式方程的其他实际问题 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． （1）设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，再利用更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴，再建立方程求解即可； （2）设购买更新1条甲类生产线的设备为万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，利用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，再建立分式方程，进一步求解． 【详解】（1）解：设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，则 ， 解得：， 则； 答：该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条； （2）解：设购买更新1条甲类生产线的设备为万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，则 ， 解得：， 经检验：是原方程的根，且符合题意； 则， 则还需要更新设备费用为（万元）； 38．（2024·重庆·中考真题）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用、两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要、两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元． (1)求、两种外墙漆每千克的价格各是多少元？ (2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？ 【答案】(1)种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元． (2)甲每小时粉刷外墙的面积是平方米． 【难度】0.65 【知识点】分式方程的经济问题、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次方程的应用，理解题意建立方程是解本题的关键； （1）设种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元，再根据总费用为15000元列方程求解即可； （2）设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米；利用乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．从而建立分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元， ∴， 解得：， ∴， 答：种外墙漆每千克的价格为元，种外墙漆每千克的价格为元． （2）设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米； ∴， 解得：， 经检验：是原方程的根且符合题意， 答：甲每小时粉刷外墙的面积是平方米． 39．（2023·贵州·中考真题）为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题： (1)更新设备后每天生产_______件产品（用含x的式子表示）； (2)更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品． 【答案】(1) (2)125件 【难度】0.85 【知识点】分式方程的工程问题、列代数式 【分析】（1）根据“更新设备后生产效率比更新前提高了”列代数式即可； （2）根据题意列分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：更新设备前每天生产x件产品，更新设备后生产效率比更新前提高了， 更新设备后每天生产产品数量为：（件）， 故答案为：； （2）解：由题意知：， 去分母，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， （件）， 因此更新设备后每天生产125件产品． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是根据所给数量关系正确列出方程． 40．（2024·广西·中考真题）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法． 【答案】(1)只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水． (2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标； (3)两次漂洗的方法值得推广学习 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，求解代数式的值，理解题意是关键； （1）把，代入， 再解方程即可； （2）分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案； （3）根据（1）（2）的结果得出结论即可． 【详解】（1）解：把，代入 得， 解得．经检验符合题意； ∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水． （2）解：第一次漂洗： 把，代入， ∴， 第二次漂洗： 把，代入， ∴， 而， ∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标； （3）解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水， ∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $