精品解析：浙江省舟山市2025-2026学年高二第一学期期末检测数学试题

舟山市2025学年第一学期期末检测高二数学试题卷 命题人：舟山绿城育华学校戴崇益、沈家门中学沃丰雷、白泉高中张晶 审稿人：舟山教育学院张军朝 注：请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．考试时间：120分钟． I卷 选择题部分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 甲在一次考试中六门课程得分分别为：87，60，76，89，90，100．则此数据的极差为（　　） A. 13 B. 40 C. 24 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据极差的定义即可求解. 【详解】由题意，甲在一次考试中六门课程得分的最大值为100，最小值为60，所以极差为. 故选：B 2. 已知直线，若，则的值为（　　） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线垂直的一般式的结论即可求解. 【详解】 由可知，解得. 故选：A 3. 一个袋中有大小和质地都相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，现从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则“摸出的2个球颜色相同”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用列举法结合古典概率公式即可求解. 【详解】对2个红色球，2个绿色球依次编号为， 从袋中不放回地依次随机摸两个球， 共有共12种， 两个球颜色相同的情况共有4种， 则两个球颜色相同的概率. 故选：D 4. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法1：利用复合函数的求导法则求导. 方法2：转化为多项式函数的求导问题求解. 【详解】方法1：. 方法2：因为， 所以. 故选：A 5. 已知椭圆的左，右焦点分别为，且与抛物线的焦点重合，椭圆与抛物线准线的一个交点为，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】首先得出和的关系，然后求出点坐标，最后结合椭圆的定义列出关于的方程即可求解. 【详解】对于抛物线，其焦点坐标为，准线方程为， 由抛物线焦点与椭圆的右焦点重合可得，即， 因为椭圆与抛物线准线的一个交点为，所以点的横坐标为， 又，则点的横坐标为，所以， 在中，，由可得，， 由椭圆的定义可知，即，所以椭圆的离心率. 故选：C 6. 已知数列为等差数列，且满足，数列满足，且数列的前项和，则数列的通项公式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据数列的前项和，求数列的通项公式，再根据条件求，，结合数列为等差数列求数列的通项公式，即可得数列的通项公式. 【详解】对数列， 当时，， 当时，， 当时，上式也成立， 所以. 由，，所以， 因为，令，可得. 又因为数列为等差数列，所以， 所以， 所以. 故选：D 7. 已知为抛物线上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则当最小时，四边形PACB的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析出，当最小时，最小.再求的最小值及对应四边形的面积即可. 【详解】如图： 因为，，当最大时，最大. 即当最小，也就是最小时，最大，最小. 设，因为. 所以. 所以当时，取得最小值，为. 此时，四边形的面积为. 故选：A 8. 双曲线的离心率，直线为该双曲线斜率为正的一条渐近线，已知为该双曲线右支上一动点，点为点关于直线的对称点，则到双曲线另一条渐近线距离的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定双曲线的相关参数.设，利用轴对称表示出，写出点到另一条渐近线的距离，再利用三角代换的方法求最小值. 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以. 所以斜率为正的渐近线：，另一条渐近线为. 设，，因为为该双曲线右支上一动点，所以， 由. 所以到渐近线即的距离为：. 又，可设，. 所以， 设， 所以，所以. 所以. 即到双曲线另一条渐近线距离的最小值为. 故选：C 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知等差数列的公差为，前项和为，则下列说法正确的有（　　） A. 若，则数列一定是递增数列 B. 若，则 C. 一定是关于的二次函数 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等差数列的定义可判断A的真假，根据等差数列的通项公式求的值，可判断B的真假；根据时，数列的前项和的形式可判断C的真假；根据等差中项的求法求的值，可判断D的真假. 【详解】对A：根据等差数列的概念，当时，等差数列一定是递增数列，故A正确； 对B：若，则，故B正确； 对C：当时，不是关于的二次函数，故C错误； 对D：当时，，故D正确. 故选：ABD 10. 已知圆与圆相交于A，B两个不同的点，则下列说法正确的是（　　） A. 实数的取值范围为 B. 当时，两圆的公共弦长 C. 当时， D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系可判断A；根据公共弦方程以及弦长公式可判断B；根据公共弦方程，弦长公式以及面积公式可判断C；根据公共弦方程以及两三角形有公共底边得出可判断D. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，配方得， 圆心，半径， 两圆相交，圆心距离，满足， 即， 解不等式，故A错误； 当时，圆，两圆方程相减得公共弦方程为， 圆心到直线的距离， 所以公共弦长，故B正确； 当时，圆圆心，半径， 两圆方程相减得公共弦方程为, 圆心到直线的距离， 所以公共弦长， ，故C正确； 两圆方程相减得公共弦方程为， 圆心到直线的距离， 圆心到直线的距离， 因为且两三角形有公共底， 所以，即，解得或，故D错误. 故选：BC 11. 已知动点到两定点，的距离乘积为定值2，的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 动点的轨迹方程为： B. 曲线C上存在点，使得 C. 曲线C上点的纵坐标的最大值为 D. 若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，根据两点间距离公式直接列式可判断A；令，将方程变形为，然后利用解不等式可判断B；将方程变形为，利用可判断C；首先证明原点是与曲线的一个公共点，然后由方程正数解可判断D； 【详解】设，由题意可知，即， 整理得：，故A正确； 令，则代入 得，即，所以， 因为，则， 又因为，所以，即， 所以曲线上不存在点，使得，故B错误； 由，令，则，解得， 将变形为， 因为是实数，所以，解得. 所以曲线上点的纵坐标的最大值为，故C正确； 将代入得，即， 当时，是方程的一个解；当时，，即，解得， 若直线与曲线恰有一个公共点，所以除原点外无其他公共点， 即，解得或， 的取值范围为，故D正确. 故选：ACD II卷 非择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若事件A与事件B相互独立，且，则___________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据独立事件的概率乘法公式求解. 【详解】因为事件A与事件B相互独立， 所以. 故答案为： 13. 已知数列的通项公式，则此数列前项和的最大值和最小值之和为___________ 【答案】 【解析】 【分析】首先利用等比数列前项和公式求出 ，然后分析的符号和单调性即可求解. 【详解】因为，所以， 显然当为奇数时的必然大于为偶数时的， 当为奇数时，，函数单调递增， 所以当为奇数时，单调递减，故最大，且，， 当为偶数时，，函数单调递减， 所以当为偶数时，单调递增，故最小，且，， 故的最大值和最小值之和为. 故答案为： 14. 已知椭圆的离心率，左，右焦点分别为，点在椭圆上，且轴，为的内心，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据离心率得出的关系，再用表示各点的坐标，利用列式，可求的值. 【详解】如图： 因为椭圆的离心率为，所以. 又点在椭圆上，且轴，不妨设点在第一象限，则，即. 所以. 设的内切圆半径为， 则. 又. 所以，所以， 又， 所以. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知圆，直线． （1）求证：不论为何值时直线恒过定点，并求出定点坐标； （2）（i）求证：直线与圆相交； （ii）求出截得弦长最短时直线的方程． 【答案】（1）证明见解析，定点坐标为 （2）（i）证明见解析 （ii） 【解析】 【分析】（1）首先把直线变形为，然后解方程组即可得出定点坐标； （2）（i）只需利用点与圆的位置关系证明点在圆内即可； （ii）当直线时，弦长最短，根据垂直关系即可求出. 【小问1详解】 直线整理得， 由解得，所以直线恒过. 【小问2详解】 （i）因为，所以点在圆内，所以直线与圆相交； （ii）由题意可知圆心当直线时，弦长最短，此时， 即，解得， 所以直线的方程为，即. 16. 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分分分及以上为认知程度高，结果认知程度高的有人，按年龄分成组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有人． （1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取人，担任本市的“中国梦”宣传使者． (ⅰ)若有甲年龄，乙年龄两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的宣传使者中，再随机抽取名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； (ⅱ)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差． 【答案】（1）32.25， （2）(ⅰ)；(ⅱ) 【解析】 【分析】（1）利用百分位数的定义以及平均数的计算公式求解即可； （2）（ⅰ）根据频率分布直方图求出第一组频率，由此能求出第四组和第五组被抽到的使者，再利用古典概型公式求解即可．（ii）利用方差公式求解即可得到． 【小问1详解】 设这人的平均年龄为， 则岁． 因为，， 所以第百分位数在第四组，设第百分位数为， 则，解得． 【小问2详解】 由题意得，第四组应抽取人，记为，，，甲， 第五组抽取人，记为，乙， 对应的样本空间为： ，，，甲，，乙，，，，甲， ，乙，，，甲，，乙，，甲，乙，甲，，乙，，共个样本点， 设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”， 则，甲，，乙，，甲，，乙，，甲， ，乙，甲，乙，甲，，乙，，共有个样本点， 所以． (ⅱ)设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为． 则，， 因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为． 据此，可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为. 17. 已知函数． （1）若，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性： （3）若在区间上存在极值，且此极值小于，求的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求函数在点处的切线. （2）求导，分，讨论导函数的单调性. （3）结合（2）的结论，确定函数的极小值，在根据极小值的取值范围求的取值范围. 【小问1详解】 当时，，， 所以，. 所以在处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 因为，. 所以. 若，则在上恒成立，所以在上为减函数； 若，由，由. 所以在上为减函数，在上为增函数. 综上，时，在上为减函数； 时，在上为减函数，在上为增函数. 【小问3详解】 由（2）知：，即，此时函数在处取得极小值. 由， 由， 结合，得. 故的取值范围为. 18. 已知数列中，． （1）证明数列是等比数列，并求的通项公式； （2）数列满足，设为数列的前项和，求使恒成立的最大的整数． 【答案】（1）证明见解析；. （2）0 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的概念证明数列是等比数列，并求数列的通项公式. （2）先利用错位相减法求数列的前项和，分析的单调性，求的最小值，进而求最大的整数. 【小问1详解】 因为，且， 所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列. 所以 【小问2详解】 由题意. 所以， . 两式相减得：. 所以. 由. 所以，所以， 由恒成立得，所以整数的最大值为0. 19. 已知抛物线，点在上，为常数，，按照如下方式依次得到不同的点及：过点作斜率为的直线与交于点，过点作斜率为的直线与交于点．设直线交轴于点，直线交轴于点，记点的横坐标为． （1）若，求； （2）求证：数列为等差数列； （3）记的面积为，令求证：当时，． 【答案】（1），； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）代入求出，再求出相关直线，并将其与抛物线方程联立，求出交点坐标即可得到答案； （2）设坐标，求出，，再构造新数列即可证明； （3）首先求出的表达式，再利用三角形面积公式得，再证明数列为等差数列，最后再利用裂项求和法即可证明. 【小问1详解】 将点代入曲线，得到，即曲线． 直线，令，则，则其与轴交于点，得到， 联立，解得或， 则其交于于另一点， 则直线，令，则，轴于点，得到. 【小问2详解】 设坐标为，且坐标为． ，得到， ，得到， 构造一个新数列，令； 则，且， 故数列为首项为2，公差为的等差数列．即． 分析图形可知， 即且为常数），，数列为等差数列． 【小问3详解】 直线斜率为斜率为，则， ， ， 则， ， 则 ， 故， . 故数列为等差数列． 则 而当时，． 则. 故: ，得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 舟山市2025学年第一学期期末检测高二数学试题卷 命题人：舟山绿城育华学校戴崇益、沈家门中学沃丰雷、白泉高中张晶 审稿人：舟山教育学院张军朝 注：请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．考试时间：120分钟． I卷 选择题部分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 甲在一次考试中六门课程得分分别为：87，60，76，89，90，100．则此数据的极差为（　　） A. 13 B. 40 C. 24 D. 10 2. 已知直线，若，则的值为（　　） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. 一个袋中有大小和质地都相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，现从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则“摸出的2个球颜色相同”的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的左，右焦点分别为，且与抛物线的焦点重合，椭圆与抛物线准线的一个交点为，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 6. 已知数列为等差数列，且满足，数列满足，且数列的前项和，则数列的通项公式为（　　） A. B. C. D. 7. 已知为抛物线上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则当最小时，四边形PACB的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 8. 双曲线的离心率，直线为该双曲线斜率为正的一条渐近线，已知为该双曲线右支上一动点，点为点关于直线的对称点，则到双曲线另一条渐近线距离的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知等差数列的公差为，前项和为，则下列说法正确的有（　　） A. 若，则数列一定是递增数列 B. 若，则 C. 一定是关于的二次函数 D. 若，则 10. 已知圆与圆相交于A，B两个不同的点，则下列说法正确的是（　　） A. 实数的取值范围为 B. 当时，两圆的公共弦长 C. 当时， D. 若，则 11. 已知动点到两定点，的距离乘积为定值2，的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 动点的轨迹方程为： B. 曲线C上存在点，使得 C. 曲线C上点的纵坐标的最大值为 D. 若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围为 II卷 非择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若事件A与事件B相互独立，且，则___________ 13. 已知数列的通项公式，则此数列前项和的最大值和最小值之和为___________ 14. 已知椭圆的离心率，左，右焦点分别为，点在椭圆上，且轴，为的内心，若，则___________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知圆，直线． （1）求证：不论为何值时直线恒过定点，并求出定点坐标； （2）（i）求证：直线与圆相交； （ii）求出截得弦长最短时直线的方程． 16. 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分分分及以上为认知程度高，结果认知程度高的有人，按年龄分成组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有人． （1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取人，担任本市的“中国梦”宣传使者． (ⅰ)若有甲年龄，乙年龄两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的宣传使者中，再随机抽取名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； (ⅱ)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差． 17. 已知函数． （1）若，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性： （3）若在区间上存在极值，且此极值小于，求的取值范围． 18. 已知数列中，． （1）证明数列是等比数列，并求的通项公式； （2）数列满足，设为数列的前项和，求使恒成立的最大的整数． 19. 已知抛物线，点在上，为常数，，按照如下方式依次得到不同的点及：过点作斜率为的直线与交于点，过点作斜率为的直线与交于点．设直线交轴于点，直线交轴于点，记点的横坐标为． （1）若，求； （2）求证：数列为等差数列； （3）记的面积为，令求证：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $