专题03 平行线中的拐点模型之牛角模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版七年级下册

专题03.平行线中的拐点模型之牛角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（牛角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 3 模型1.牛角模型 3 9 牛角模型是初中几何中“平行线拐点模型”的一种，它的名字来源于其形状类似牛角，这个形象化的命名让这个几何模型更容易被记住和理解。它的核心是一组平行线和一个拐点，通过连接拐点与两条平行线形成夹角（拐角）。 （2025·陕西·模拟预测）如图，，，，则的度数为（      ） A． B． C． D． （2025·山东淄博·二模）如图，，点在上，连接、，若，，则（    ） A． B． C． D． 牛角模型：如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 ；如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 图1 图2 证明：在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意：牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。 模型1.牛角模型 例1（2025·江苏·校联考二模）如图，若，则（   ） A． B． C． D． 例2（24-25下·北京海淀·七年级校考阶段练习）如图，，，平分，，则 ．    例3（24-25下·辽宁大连·七年级统考阶段练习）小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，则的度数是(　　)    A． B． C． D． 例4（24-25上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，，点在上方，连接，若，则 度．    例5（24-25七年级下·北京西城·期中）如图，AB∥CD，∠EBF＝∠FBA，∠EDG＝∠GDC，∠E＝45°，则∠H为（　　） A．22° B．22.5° C．30° D．45° 例6（24-25下·陕西西安·七年级校考期末）如图是自来水公司安装的一条自来水管道，已知，，，则等于（    ） A． B． C． D． 例7（24-25七年级下·河南许昌·期中）两条平行线间的拐点问题经常可以通过做一条直线的平行线进行转化．已知直线为平面内一点，连接． 【问题情境】（1）如图1，已知，求的度数． 小明的思路是：过点作，通过平行线的性质来求． 按照小明的思路，易求得的度数为___________； 【类比探究】（2）如图2，设，猜想之间的数量关系，并给出证明； 【应用拓展】（3）如图3，平分交于点，请直接写出的度数． 1．（2025·陕西·模拟预测）如图，，，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 2．（2025·河南漯河·三模）将一个直尺和一个三角尺如图叠放，三角尺的直角顶点落在直尺下边缘上，直尺上边缘经过三角尺的顶点和边上一点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山西·模拟预测）将直尺和圆规按如图方式摆放在水平桌面上，圆规的两脚恰好接触直尺的一组对边．已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川德阳·二模）“抖空竹”是国家级非物质文化遗产，体现了中国人民的智慧和创造力，它是中华传统文化的重要组成部分，承载着丰富的历史文化内涵．在市区某公园里，小明看到小女孩在抖空竹（如图1），抽象得到图2，在同一平面内，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·江西九江·一模）如图，，交的延长线于点，连接．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·湖北黄石·一模）如图，已知，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 7．（2025广东·模拟预测）如图，已知，，，则 ． 8．（2025·广东广州·一模）如图，直线，线段分别与，交于点D，C，过点B作，交直线于点A．若，则的度数是 ． 9．（2025·河南信阳·校考三模）如图，，，，则的度数为 ．    10．（24-25下·福建莆田·七年级统考期中）如图，，则等于 ． 11．（24-25下·浙江温州·七年级期中）如图，，作如图所示的折线，，，反向延长CG交BF于点F，已知，，则 ． 12．（24-25下·绵阳市·七年级统考期末）如图，，则，，的关系是 .    13.（24-25·广东七年级课时练习）已知，点为之外任意一点．       （1）如图1，探究与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，探究与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展变式】如图，“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．在“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成一个数学问题：如图2，若，则_______________． 14．（24-25七年级下·河北保定·期中）如图，已知． (1)，求的度数；(2)猜想三者之间的关系并加以说明． 15．（24-25下·安徽安庆·七年级统考期末）已知，E是平面内一点，连接，．    (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，当点E在上方时，猜想，与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分，连接，，若，，的度数． 16．（24-25下·北京海淀·七年级校考期中）已知，，点C在上方，连接、．    (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点C作交的延长线于点F，直接写出和之间的数量关系______ (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值． 17．（24-25七年级下·广东·期末）直线，P 为直线上方一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）； (3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值． 18．（24-25七年级下·北京·期末）阅读下列材料： 如图，点P是线段所在直线之间的一点，且，连接．小马同学通过观察，度量，提出猜想：． 接着他时猜想进行了证明，证明思路是：如图1，过点P作，由．可得． 根据平行线的性质，可得，从而得证． 请你参考小马同学的证明思路，完成下列问题： (1)如图2，点P是线段AB，CD所在直线上方的一点，且，连接．用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； (2)在（1）的条件下，和的角平分线所在直线交于点M．在图3中补全图形，用等式表示与之间的数量关系． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03.平行线中的拐点模型之牛角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（牛角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 3 模型1.牛角模型 3 9 牛角模型是初中几何中“平行线拐点模型”的一种，它的名字来源于其形状类似牛角，这个形象化的命名让这个几何模型更容易被记住和理解。它的核心是一组平行线和一个拐点，通过连接拐点与两条平行线形成夹角（拐角）。 （2025·陕西·模拟预测）如图，，，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，延长交于点， ∵，，∴， ∵，∴，故选：B． （2025·山东淄博·二模）如图，，点在上，连接、，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴， ∵，∴， 已知，，，， ∵，∴．故答案为：C． 牛角模型：如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 ；如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 图1 图2 证明：在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意：牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。 模型1.牛角模型 例1（2025·江苏·校联考二模）如图，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，过点E作， ∵，∴，∴， ∴， ∴，∴，故选A． 例2（24-25下·北京海淀·七年级校考阶段练习）如图，，，平分，，则 ．    【答案】/147度 【详解】解：，，，． 平分，．，， ．故答案为：． 例3（24-25下·辽宁大连·七年级统考阶段练习）小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，则的度数是(　　)    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：延长，交于点．，， ．故选：D．    例4（24-25上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，，点在上方，连接，若，则 度．    【答案】 【详解】解：延长交于点，如下图：    ∵,∴， ∵，∴，∴， ∴．故答案为：． 例5（24-25七年级下·北京西城·期中）如图，AB∥CD，∠EBF＝∠FBA，∠EDG＝∠GDC，∠E＝45°，则∠H为（　　） A．22° B．22.5° C．30° D．45° 【答案】B 【详解】解：过作，过作，，， ，，，， ，，，， ．故选：B． 例6（24-25下·陕西西安·七年级校考期末）如图是自来水公司安装的一条自来水管道，已知，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过C作， ∵，，∴，∴，， ∵，，∴，， ∴，故选：B． 例7（24-25七年级下·河南许昌·期中）两条平行线间的拐点问题经常可以通过做一条直线的平行线进行转化．已知直线为平面内一点，连接． 【问题情境】（1）如图1，已知，求的度数． 小明的思路是：过点作，通过平行线的性质来求． 按照小明的思路，易求得的度数为___________； 【类比探究】（2）如图2，设，猜想之间的数量关系，并给出证明； 【应用拓展】（3）如图3，平分交于点，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2），见解析；（3） 【详解】解：（1）过点作， ∵，，∴， ∵，∴， ∴；故答案为： （2），证明如下：过点P作， ，，，， ，， ，； （3）∵，∴，由（2）可知， ∵，，∴， ∵平分，∴， ∵，∴． 1．（2025·陕西·模拟预测）如图，，，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，延长交于点， ∵，，∴， ∵，∴，故选：B． 2．（2025·河南漯河·三模）将一个直尺和一个三角尺如图叠放，三角尺的直角顶点落在直尺下边缘上，直尺上边缘经过三角尺的顶点和边上一点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，故选：B． 3．（2025·山西·模拟预测）将直尺和圆规按如图方式摆放在水平桌面上，圆规的两脚恰好接触直尺的一组对边．已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，∴， ∵，∴，故选：D ． 4．（2025·四川德阳·二模）“抖空竹”是国家级非物质文化遗产，体现了中国人民的智慧和创造力，它是中华传统文化的重要组成部分，承载着丰富的历史文化内涵．在市区某公园里，小明看到小女孩在抖空竹（如图1），抽象得到图2，在同一平面内，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，延长交于， ∵，，∴， ∵，∴，故选：A 5．（2025·江西九江·一模）如图，，交的延长线于点，连接．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，∴， ∴．故选A． 6．（2025·湖北黄石·一模）如图，已知，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：延长交于M，如图所示： ∵，∴， ∵，∴， 由三角形外角定理得：，故选：B． 7．（2025广东·模拟预测）如图，已知，，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴，∴， ∵，∴，故答案为：． 8．（2025·广东广州·一模）如图，直线，线段分别与，交于点D，C，过点B作，交直线于点A．若，则的度数是 ． 【答案】 【详解】解：∵，，∴； ∵，∴，故答案为：． 9．（2025·河南信阳·校考三模）如图，，，，则的度数为 ．    【答案】/100度 【详解】解：过点做平行于，如图所示：    ∵∴∵，∴ ∵∴故答案为： 10．（24-25下·福建莆田·七年级统考期中）如图，，则等于 ． 【答案】 【详解】解：如图所示：过点作， ∵，∴ 则， ∵，∴ ∴故答案为：． 11．（24-25下·浙江温州·七年级期中）如图，，作如图所示的折线，，，反向延长CG交BF于点F，已知，，则 ． 【答案】 【详解】解：分别过点M、E、N、F作线段，使得， ，，，， ，， ， ，， ，，， ，，，， ， ，，，即，故答案为：． 12．（24-25下·绵阳市·七年级统考期末）如图，，则，，的关系是 .    【答案】 【详解】解：过作，    ，，，， ，，， ．故答案为：． 13.（24-25·广东七年级课时练习）已知，点为之外任意一点．       （1）如图1，探究与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，探究与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展变式】如图，“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．在“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成一个数学问题：如图2，若，则_______________． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；[拓展变式]． 【详解】解：（1）．理由如下： 过点作，则．． ，．          （2）． 理由如下：过点作，则．，． ，． 【拓展变式】过点作，则． ，， ， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·河北保定·期中）如图，已知． (1)，求的度数；(2)猜想三者之间的关系并加以说明． 【答案】(1)30度(2)，见解析 【详解】（1）解： ，． ，． ，，． （2）解：．理由如下： 由（1）可知，， 即，，整理，得． 15．（24-25下·安徽安庆·七年级统考期末）已知，E是平面内一点，连接，．    (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，当点E在上方时，猜想，与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分，连接，，若，，的度数． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：过点E作，如图，          ，，， ，，，， ； （2）解：，理由如下：延长交于点F，如图， ，，，； （3）解：如图，是的外角，， ，， 平分，， 由（2）可得：，，， ，即： ，，． 16．（24-25下·北京海淀·七年级校考期中）已知，，点C在上方，连接、．    (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点C作交的延长线于点F，直接写出和之间的数量关系______ (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：过点C作，如图1，∴，       ∵，∴∴， ∵，∴； （2）解：，理由：过点C作，如图，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，即； （3）解：延长交于点Q，过点G作，如图3，∴， ∵，∴，∵，∴，， ∴，∴， ∵，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴，由（2）可得：， ∴，即． 17．（24-25七年级下·广东·期末）直线，P 为直线上方一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）； (3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：过点P向右， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴； （2）过点P向右， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴； （3）过点P向左作，过N向左作，∵，∴， 与（2）同理，得， 依题意，设，则 ． ∴，∴． 18．（24-25七年级下·北京·期末）阅读下列材料： 如图，点P是线段所在直线之间的一点，且，连接．小马同学通过观察，度量，提出猜想：． 接着他时猜想进行了证明，证明思路是：如图1，过点P作，由．可得． 根据平行线的性质，可得，从而得证． 请你参考小马同学的证明思路，完成下列问题： (1)如图2，点P是线段AB，CD所在直线上方的一点，且，连接．用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； (2)在（1）的条件下，和的角平分线所在直线交于点M．在图3中补全图形，用等式表示与之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析(2)（或） 【详解】（1）解：数量关系：． 证明：过点P作，∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知），∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）．∵ （如图）， ∴ （等量代换）．即； （2）解：补全图形： ∵和的角平分线所在直线交于点M，∴将图按如下命名： ∴，，又∵，过点作， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 数量关系：（或）． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $