专题03 平行线中的拐点模型之牛角模型（几何模型讲义）数学新教材人教版七年级下册

专题03.平行线中的拐点模型之牛角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（牛角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 3 模型1.牛角模型 3 9 牛角模型是初中几何中“平行线拐点模型”的一种，它的名字来源于其形状类似牛角，这个形象化的命名让这个几何模型更容易被记住和理解。它的核心是一组平行线和一个拐点，通过连接拐点与两条平行线形成夹角（拐角）。 （2025·陕西·模拟预测）如图，，，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，延长交于点， ∵，，∴， ∵，∴，故选：B． （2025·山东淄博·二模）如图，，点在上，连接、，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴， ∵，∴， 已知，，，， ∵，∴．故答案为：C． 牛角模型：如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 ；如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 图1 图2 证明：在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意：牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。 模型1.牛角模型 例1（24-25江苏·七年级期中）如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为 【答案】180° 【详解】解：延长EA交CD于点F，如图所示： ，∠1=∠EFD，∠2+∠EFC=∠3，， ，；故答案为180°． 例2（24-25下·北京海淀·七年级校考阶段练习）如图，，，平分，，则 ．    【答案】/147度 【详解】解：，，，． 平分，．，， ．故答案为：． 例3（24-25下·江苏泰州·七年级统考期末）“抖空竹”是我国独有的一项民族传统健身项目，历史悠久，源远流长，在我国有着悠久的历史和深厚的文化底蕴．图1是某同学“抖空竹”的一个瞬间，若将图1抽象成图2的数学问题：在平面内，已知，，，则 度．    【答案】85 【详解】解：如图，延长，交于点F，    ∵，，∴． ∵，∴．故答案为：85． 例4（24-25上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，，点在上方，连接，若，则 度．    【答案】 【详解】解：延长交于点，如下图：    ∵,∴， ∵，∴，∴， ∴．故答案为：． 例5（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，，点在直线的上方，的平分线与的平分线的反向延长线交于点，的延长线交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：延长交于M，设，， ∵，∴，∴，∴， ∵的平分线与的平分线的反向延长线交于点G，∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 例6（24-25下·广东深圳·七年级校考期中）如图，，，，则（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点作，，， ，， ，．．故选：A．      例7（24-25七年级下·北京·期中）已知：为平面内点． (1)如图1，连接，已知 ；(2)如图2，求证：； (3)如图3，当点在直线之间时，于平分，连接，使，设，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)150(2)见解析(3)或 【详解】（1）解：过点P作，如图所示： ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴．故答案为：150； （2）证明：过点作， ∵，∴，， ，， ，即； （3）解：当点P在点A的左侧时，过点P作，，如图所示： ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴， ∵，，∴，∴，， ∵，∴， ∴， ∴，∴，整理得：； 当点P在点A的右侧时，过点P作，，如图所示： ∵，∴，∴，， ∴， ∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，即，∴． 综上分析可知：或． 1．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，在水平桌面上放置着一把直尺和一个圆规，且圆规的两脚恰好接触直尺的两边，此时圆规的张角（）为，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，，，， ，．故选：C． 2．（2025·山东济南·一模）为增强学生体质，感受中国的传统文化，某学校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间．下面图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示：延长交于点， ∵，，∴， ∵，∴， ∵，∴．故选：A． 3．（2025·陕西西安·一模）如图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，延长交于， ∵，∴，∴， ∴，故选：． 4．（2025·重庆九龙坡·三模）如图，，含的直角三角板的直角顶点在直线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，过点作，    ，， ，，，由的直角三角板得， ，故选：C． 5．（24-25下·浙江·七年级校考期中）如图所示，直线，，，，那么下列代数式值为的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图：∵，∴，    又∵，， ∴，整理得：，故选：B． 6.（24-25七年级上·湖北荆门·期中）如图，直线，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点A作直线， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，故选：A． 7．（24-25七年级上·重庆·期中）如图，已知，则三者之间的数量关系是 ． 【答案】 【详解】解：，，， ，，，． 8.（24-25七年级下·广东·期中）如图，已知，，，则的度数为 °． 【答案】40 【详解】解：过点C作，∴， ∵，，∴，∴， ∴．故答案为： 9．（2025·上海浦东新·校考三模）如图，已知，点A在上，点B和D在上，点C在的延长线上，，，则的度数是 ．    【答案】/40度 【详解】解：∵，∴， ∵，∴，故答案为：． 10．（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，求的度数． 【答案】 【详解】解：如图，过作， ， ， 的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点， 可设， ， 在四边形中，， 即，① 又，，② 由①②可得，，解得． 11．（24-25·山东·七年级月考）如图所示，，，，求的度数. 【答案】. 【详解】因为，结合题意，由靴子图ABEFC知，，，由靴子图知，， ，即， ， 12．（24-25下·河南濮阳·七年级统考阶段练习）如图，已知，，．    (1)求的度数；(2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【详解】（1）解：如图，的延长线交于点，，      ，，， ，，； （2）证明：，理由如下：如图，延长交于点， 由（1）知，，， ，． 13．（24-25上·黑龙江大庆·七年级校考开学考试）如图，某煤气公司安装煤气管道，他们从点A处铺设到点B处时，由于有一个人工湖挡住了去路，需要改变方向经过点C，再拐到点D，然后沿与平行的方向继续铺设．如果，，那么的度数应为多少？    【答案】 【详解】解：如图，延长至点G，交于点F，    ∵，∴，∴， ∵，∴． 14．（24-25下·浙江宁波·七年级校考期中）已知，    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若平分平分，则与有怎样的数量关系，并说明理由 【答案】(1) (2)，理由见解析 【详解】（1）解：如图所示，过点E作， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴       （2）解：，理由如下：如图所示，过点F作，过点E作， ∵，∴， ∴，， ∵平分平分，∴， ∵， ∴， ∴，∴． 15．（24-25下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，．    (1)如图，求证；(2)如图，点在上，平分，交于点，探究的数量关系，并证明你的结论；(3)在（2）的条件下，如图交延长线于点，求的度数． 【答案】(1)见解析(2)，见解析(3) 【详解】（1）证明：延长交于点，，    ，，∥． （2）解：，的数量关系是：，理由如下： 设，，平分，， ，，， 由（1）可知：∥，，， ，，， 由四边形的内角和等于得：， 即：，，． （3）解：设，， ，由（1）可知：∥， ，， ，， ，，解得：， ，，根据周角的定义得：， ． 16．（24-25下·湖北荆门·七年级统考期中）AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点． （1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明； （2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明； （3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数． 【答案】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明详见解析；（2）∠APC＝∠A−∠C，证明详见解析；（3）55°． 【详解】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明如下： 如图1所示，过点P作PQ∥AB，∴∠A+∠APQ＝180°， 又∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C+∠CPQ＝180°， ∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ＝360°，即∠A+∠C+∠APC＝360°； （2）∠APC＝∠A−∠C，证明如下：如图2所示，过点P作PQ∥AB，∴∠A＝∠APQ， ∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C＝∠CPQ，∵∠APC＝∠APQ−∠CPQ，∴∠APC＝∠A−∠C； （3）由（2）知，∠APC＝∠PAB−∠PCD，∵∠APC＝30°，∠PAB＝140°，∴∠PCD＝110°， ∵AB∥CD，∴∠PQB＝∠PCD＝110°，∵EF∥PC，∴∠BEF＝∠PQB＝110°， ∵∠PEG＝∠PEF，∴∠PEG＝∠FEG，∵EH平分∠BEG，∴∠GEH＝∠BEG， ∴∠PEH＝∠PEG−∠GEH＝∠FEG−∠BEG＝∠BEF＝55°． 17．（24-25下·上海浦东新·七年级校考期中）（1）如图a所示，，且点E在射线与之间，请说明的理由．（2）现在如图b所示，仍有，但点E在与的上方．请尝试探索，，三者的数量关系．并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【详解】解：（1）过点E作，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴； （2）；过点E作，∴， ∵，∴，∴，即， ∴，∴，即． 18．（24-25七年级下·山东泰安·期中）【知识储备】构造平行线是初中数学常见的一种作辅助线的方法，两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们把这个图形形象地称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图，，E为，之间一点，连接，，得到．写出与，之间的数量关系，并说明理由． 【类比应用】已知直线，P为平面内一点，连接，． （2）如图，已知，，求的度数． （3）如图，根据图形直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3） 【详解】解：（1）如图，过作， ∵，∴，∴，， ∴； （2）如图，过点作，，，， ，，， ∴； （3）如图，过点作，，，， ，，， . 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03.平行线中的拐点模型之牛角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（牛角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 3 模型1.牛角模型 3 9 牛角模型是初中几何中“平行线拐点模型”的一种，它的名字来源于其形状类似牛角，这个形象化的命名让这个几何模型更容易被记住和理解。它的核心是一组平行线和一个拐点，通过连接拐点与两条平行线形成夹角（拐角）。 （2025·陕西·模拟预测）如图，，，，则的度数为（      ） A． B． C． D． （2025·山东淄博·二模）如图，，点在上，连接、，若，，则（    ） A． B． C． D． 牛角模型：如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 ；如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 图1 图2 证明：在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意：牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。 模型1.牛角模型 例1（24-25江苏·七年级期中）如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为 例2（24-25下·北京海淀·七年级校考阶段练习）如图，，，平分，，则 ．    例3（24-25下·江苏泰州·七年级统考期末）“抖空竹”是我国独有的一项民族传统健身项目，历史悠久，源远流长，在我国有着悠久的历史和深厚的文化底蕴．图1是某同学“抖空竹”的一个瞬间，若将图1抽象成图2的数学问题：在平面内，已知，，，则 度．    例4（24-25上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，，点在上方，连接，若，则 度．    例5（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，，点在直线的上方，的平分线与的平分线的反向延长线交于点，的延长线交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 例6（24-25下·广东深圳·七年级校考期中）如图，，，，则（    ）      A． B． C． D． 例7（24-25七年级下·北京·期中）已知：为平面内点． (1)如图1，连接，已知 ；(2)如图2，求证：； (3)如图3，当点在直线之间时，于平分，连接，使，设，直接写出与之间的数量关系． 1．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，在水平桌面上放置着一把直尺和一个圆规，且圆规的两脚恰好接触直尺的两边，此时圆规的张角（）为，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东济南·一模）为增强学生体质，感受中国的传统文化，某学校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间．下面图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西西安·一模）如图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·重庆九龙坡·三模）如图，，含的直角三角板的直角顶点在直线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25下·浙江·七年级校考期中）如图所示，直线，，，，那么下列代数式值为的是（    ）    A． B． C． D． 6.（24-25七年级上·湖北荆门·期中）如图，直线，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·重庆·期中）如图，已知，则三者之间的数量关系是 ． 8.（24-25七年级下·广东·期中）如图，已知，，，则的度数为 °． 9．（2025·上海浦东新·校考三模）如图，已知，点A在上，点B和D在上，点C在的延长线上，，，则的度数是 ．    10．（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，求的度数． 11．（24-25·山东·七年级月考）如图所示，，，，求的度数. 12．（24-25下·河南濮阳·七年级统考阶段练习）如图，已知，，． (1)求的度数；(2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 13．（24-25上·黑龙江大庆·七年级校考开学考试）如图，某煤气公司安装煤气管道，他们从点A处铺设到点B处时，由于有一个人工湖挡住了去路，需要改变方向经过点C，再拐到点D，然后沿与平行的方向继续铺设．如果，，那么的度数应为多少？    14．（24-25下·浙江宁波·七年级校考期中）已知，    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若平分平分，则与有怎样的数量关系，并说明理由 15．（24-25下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，．    (1)如图，求证；(2)如图，点在上，平分，交于点，探究的数量关系，并证明你的结论；(3)在（2）的条件下，如图交延长线于点，求的度数． 16．（24-25下·湖北荆门·七年级统考期中）AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点． （1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明； （2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明； （3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数． 17．（24-25下·上海浦东新·七年级校考期中）（1）如图a所示，，且点E在射线与之间，请说明的理由．（2）现在如图b所示，仍有，但点E在与的上方．请尝试探索，，三者的数量关系．并说明理由． 18．（24-25七年级下·山东泰安·期中）【知识储备】构造平行线是初中数学常见的一种作辅助线的方法，两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们把这个图形形象地称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图，，E为，之间一点，连接，，得到．写出与，之间的数量关系，并说明理由． 【类比应用】已知直线，P为平面内一点，连接，． （2）如图，已知，，求的度数． （3）如图，根据图形直接写出，，之间的数量关系． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $