专题02 直角三角形中的分类讨论模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版八年级下册

专题02.直角三角形中的分类讨论模型 特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的分类讨论模型，是初中各类考试中几何压轴题的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的应用意识和思维能力。在历年中考当中，很多考生因为在处理等腰三角形和直角三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解丢分。在学习等腰或直角三角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，希望大家要认真对待。本专题将把直角三角形分类讨论情形作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 12 模型2.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型 14 17 特殊三角形中的分类讨论模型源于动态特殊三角形（等腰、直角三角形等）的不确定性，强调分类讨论的逻辑性，后由教育工作者将其系统归纳形成了特殊三角形中的分类讨论模型。 （2025·黑龙江绥化·中考真题）在边长为7的等边三角形中，点在上，．点是直线上的一个动点，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接，当为直角三角形时，则的长是 ． 1）斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。 2）直角三角形存在性模型 直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。 直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论，如下面模型构建。 “两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。 问题：已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形． 分三种情况，如图： ①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求； ②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求； ③以P为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3，P4即为所求． 代数法计算：分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB，AP和BP的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在。 几何法计算：特殊地，若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理或锐角三角函数求解． 模型1.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 例1（2025·浙江嘉兴·校考三模）已知直角三角形两边长为3，4，则该直角三角形斜边上的中线长为（    ） A．2或2.5 B．5或 C．2.5或 D．2.5或 例2（2023春·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，分别是高和角平分线，点E为边上一个点，当为直角三角形时，则 度． 例3（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（    ）    A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60° 例4（24-25九年级上·重庆长寿·阶段练习）如图，中，，，，点、分别为、的中点，点为边上一动点，将沿着折叠，点的对应点为点，且点始终在直线的下方，连接，当为直角三角形时，线段的长为 ． 模型2.直角三角形存在性模型 例1（24-25八年级上·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，，．若在该坐标平面内有一点P（不与点A、B、O重合）为一个顶点的直角三角形与全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 例2（24-25·江苏·八年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，已知，以为一边在外部作等腰直角．则点的坐标为 ．    例3（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，点为轴上的一个动点，点的坐标为，点的坐标为，轴于点，当点的坐标为 时，为直角三角形． 例4（24-25八年级上·重庆·期中）如图正方形边长为2，为边中点，为射线上一点不与重合），若为直角三角形，则 ． 例5（24-25八年级下·山东·开学考试）如图．在中．．若点P是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点C以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为t，若为直角三角形，则t的值为 例6（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点，与直线交于点E．已知点D的坐标为，点C在A的左侧且． (1)分别求出直线和直线的表达式； (2)在直线上，是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在坐标轴上，是否存在一点Q，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 例7（24-25·重庆南岸·八年级校考期末）如图，直线交轴、轴分别于点、，直线与直线交于点，与轴交于点．已知，点的横坐标为．    (1)求直线的解析表达式．(2)若在线段上，四边形的面积为14，求点坐标． (3)若点、分别为直线、上的动点，连结、、，当是以为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出所有点的坐标，并把求其中一个点的坐标过程写出来． 1．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）在 中，，，点 在 边上，连接，若为直角三角形，则的度数为（  ）(多选题) A． B． C． D． 2．（24-25八年级·江苏·课后作业）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如已知中，，，所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（　　） A． B． C．或 D．或 3．（24-25八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江西南昌·期末）如图，为直角三角形，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26·广西河池·八年级统考期末）在中，，，当 时，是直角三角形． 6．（24-25·四川成都·八年级统考期中）如图，长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上任一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当CE的长为 时，△CEB′恰好为直角三角形． 7．（24-25八年级下·江西上饶·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，直线l经过原点O，且与x轴正半轴的夹角是，过点A作轴，交直线l于点N，若点P在射线上（点P与点N不重合），则当是直角三角形时，点P的坐标为 ．    8．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标是(2，2)，若点P在x轴上，且△APO是直角三角形，则点P的坐标是 ． 9．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在中，，，是射线上一点，且是“准直角三角形”，则的所有可能的度数为 ． 10．（24-25·江西吉安·八年级校联考阶段练习）已知Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，以AC为一边在Rt△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为 ． 11．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）在三角形中，，，点在边上，平分，在上取一点，若三角形为直角三角形，则的度数为 ． 12．（24-25·四川成都·八年级校考期末）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，以AC为腰作等腰直角三角形ACD ，则线段BD的长为 ． 13.（24-25河南南阳·八年级统考期末）如图，矩形中，，点E为边上的一个动点，与关于直线对称．当为直角三角形时，的长为 ．    14．（2025·江西萍乡·二模）如图，在△ABC 中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P 是射线 CO 上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP 的长为____． 15．（24-25·河北张家口·八年级统考期末）如图，在中，，，，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在边上匀速运动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为．    （1）当 时，为等腰三角形；（2）当 时，为直角三角形． 16．（24-25·湖北襄阳·八年级统考开学考试）如图，在中，，，，，点是边上一动点．连接，将沿折叠，得到，其中点落在处，交于点，当为直角三角形时，长度是 ．    17．（24-25·江苏镇江·八年级期中）点P，Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB，BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s，设运动时间为t秒． （1）连接AQ，CP交于点M，则在P，Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；（2）连接PQ．①当△BPQ为等边三角形时，t＝　 　秒； ②当△BPQ为直角三角形时，t＝　 　秒．（直接写出结果） 18．（24-25八年级上·福建三明·期中）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与轴交于点，直线与轴交于点． (1)填空： ___________， ___________， ___________； (2)如图2，点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点． ①当点落在轴上时，求点的坐标；②若为直角三角形，求点的坐标． 19.（24-25·四川成都·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为，，在x轴的负半轴上有一点A，且满足，连接，． (1)求直线的函数表达式．(2)将线段沿y轴方向平移至，连接，'． ①当线段向下平移2个单位长度时（如图所示），求的面积； ②当为直角三角形时，求点的坐标． 20．（24-25·浙江金华·八年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-1，0)，点B是直线上的动点，连接AB，设点B的横坐标为． (1)如图1，当时，以AB为直角边在AB下方作等腰直角三角形ABC，使，求点C的坐标． (2)如图2，把线段AB绕点A顺时针旋转得到线段AD，当点B在直线上运动时，点D也随之运动，连接OD，求AOD的面积（用含的代数式表示）． (3)在图3中以AB为直角边作等腰直角三角形ABE，当点E落在直线上时，求的值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02.直角三角形中的分类讨论模型 特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的分类讨论模型，是初中各类考试中几何压轴题的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的应用意识和思维能力。在历年中考当中，很多考生因为在处理等腰三角形和直角三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解丢分。在学习等腰或直角三角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，希望大家要认真对待。本专题将把直角三角形分类讨论情形作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 12 模型2.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型 14 17 特殊三角形中的分类讨论模型源于动态特殊三角形（等腰、直角三角形等）的不确定性，强调分类讨论的逻辑性，后由教育工作者将其系统归纳形成了特殊三角形中的分类讨论模型。 （2025·黑龙江绥化·中考真题）在边长为7的等边三角形中，点在上，．点是直线上的一个动点，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接，当为直角三角形时，则的长是 ． 【答案】6或8或9 【详解】解：过点D作交于点E， ①当时，如图（1），∵是等边三角形，， ∴，，即是等边三角形， ∴， ∴，∴，∴，， ∴，∴， ∴，即，∴． ②当时，如图（2）同理可得，， ∴，即， ∴，∴． ③当时，如图（3）同理可证， ∴∴．∴． ④当时，如图（4） 同理可证， ∴，∴，∴． 综上所述，的长是6或8或9．故答案为：6或8或9． 1）斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。 2）直角三角形存在性模型 直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。 直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论，如下面模型构建。 “两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。 问题：已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形． 分三种情况，如图： ①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求； ②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求； ③以P为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3，P4即为所求． 代数法计算：分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB，AP和BP的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在。 几何法计算：特殊地，若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理或锐角三角函数求解． 模型1.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 例1（2025·浙江嘉兴·校考三模）已知直角三角形两边长为3，4，则该直角三角形斜边上的中线长为（    ） A．2或2.5 B．5或 C．2.5或 D．2.5或 【答案】A 【详解】解：当和为直角边时，则斜边，中线， 当斜边为时，中线，∴斜边的长为或，故选：A． 例2（2023春·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，分别是高和角平分线，点E为边上一个点，当为直角三角形时，则 度． 【答案】42或21 【详解】解：，，， 平分，当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1， ，； ②当时，如图2， ，，， 综上，的度数为或．故答案为：42或21． 例3（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（    ）    A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60° 【答案】A 【详解】解：为等边三角形，，当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1所示：      则，由折叠的性质得：， ②当为直角时，如图2所示： 则，，由折叠的性质得：， 综上所述：的度数为或．故选：A． 例4（24-25九年级上·重庆长寿·阶段练习）如图，中，，，，点、分别为、的中点，点为边上一动点，将沿着折叠，点的对应点为点，且点始终在直线的下方，连接，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】或 【详解】解：∵中，，，， ∴，∴， ∵点、分别为、的中点，∴，，∴， ∵沿着折叠，点的对应点为点，∴，， 当时，为直角三角形，如图； ∴，∴，∴，∴是等腰三角形， 过点作交于点，∴， 设，∴，∵， ∴，解得：，∴，∴； 当时，为直角三角形，如图， ∵，是公共边，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴不可能为直角．综上所述，的长为或． 模型2.直角三角形存在性模型 例1（24-25八年级上·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，，．若在该坐标平面内有一点P（不与点A、B、O重合）为一个顶点的直角三角形与全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】D 【详解】解：如图：分别以为边作与全等的三角形各有4个，其中有5个是重合的， 则所有符合条件的三角形个数为7．故选：D． 例2（24-25·江苏·八年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，已知，以为一边在外部作等腰直角．则点的坐标为 ．    【答案】或或 【详解】解：如图，当时，作轴于，    ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 同法可得，当， 当是等腰直角三角形的斜边时，是的中点，， 综上所述，满足条件的点的坐标为或或．故答案为：或或． 例3（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，点为轴上的一个动点，点的坐标为，点的坐标为，轴于点，当点的坐标为 时，为直角三角形． 【答案】，， 【详解】设点B的坐标为（x，0），分三种情况： 第一种AB为斜边 勾股定理得 解得： 第二种AC为斜边 勾股定理得 解得： 第三种BC为斜边 勾股定理得解得： 点B得坐标是（）、（2，0）、（-3，0）故答案为：（）、（2，0）、（-3，0） 例4（24-25八年级上·重庆·期中）如图正方形边长为2，为边中点，为射线上一点不与重合），若为直角三角形，则 ． 【答案】或或 【详解】解：分三种情况：①如图1，当时，在正方形的内部， 是的中点，且，， 四边形是正方形，，，，； ②如图2，当时，在正方形的外部，同理可得； ③如图3，当时，，，， ，，， 综上，的长是或或；故答案为：或或． 例5（24-25八年级下·山东·开学考试）如图．在中．．若点P是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点C以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为t，若为直角三角形，则t的值为 【答案】，或4.8 【详解】解：①如图（1），当时，则，， ∵∴解得：； ②如图（2），当时， ∵，∴，∴若则，解得，， ③当时，∵∴，∴， 若时，则；故答案为 ，或4.8 例6（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点，与直线交于点E．已知点D的坐标为，点C在A的左侧且． (1)分别求出直线和直线的表达式； (2)在直线上，是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在坐标轴上，是否存在一点Q，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，(2)存在，若点P在右侧，；若点P在左侧， (3)存在，或 【详解】（1）解：将，代入直线：，得： ，解得：，∴直线：， ∵，，∴，设直线：() 将，代入直线：，得： ，解得：，∴直线：． （2）解：联立，解得：，∴，∴， ①若点P在右侧，∵，∴， ∴，解得，∴ ②若点P在左侧，∵S△BEP=8，∴， ∴，解得，当时，，∴． （3）解：分两种情况：①当时，交x轴于Q， ∵，，∴，∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴； ②当时，交x轴于Q，同理，∴， ∵，，∴，由勾股定理，得， ∴，∴，综上，存在，或． 例7（24-25·重庆南岸·八年级校考期末）如图，直线交轴、轴分别于点、，直线与直线交于点，与轴交于点．已知，点的横坐标为．    (1)求直线的解析表达式．(2)若在线段上，四边形的面积为14，求点坐标． (3)若点、分别为直线、上的动点，连结、、，当是以为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出所有点的坐标，并把求其中一个点的坐标过程写出来． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）在中，令得，∴， 把，代入得：，解得，∴直线的解析表达式为． （2）如图，在中，令得，令得， ∴，，设，∴，，           ∵，四边形的面积为14，∴，解得，∴． （3）设，， ∴，，， 当为斜边时，如图： ，解得，∴， 当为直角边时，如图： ，解得，∴， ∴M的坐标为或． 1．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）在 中，，，点 在 边上，连接，若为直角三角形，则的度数为（  ）(多选题) A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】分两种情况： 如图，当时，    ∵， ∴； 如图，当时， ∵，， ∴， ∴，综上可知，的度数为或，故选：． 2．（24-25八年级·江苏·课后作业）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如已知中，，，所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：如图，，作于H，∴， ∵，∴， 在中，由勾股定理得，， ∴，即第三边长为或，故选：C． 3．（24-25八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，点的坐标不可能是， A.点时，，此项不符合题意； B.点时，，此项不符合题意； C.点时，如图，不是直角三角，符合题意； D.点时，由勾股定理求得,故，即,此项不符合题意； 故选：C．    4．（24-25八年级下·江西南昌·期末）如图，为直角三角形，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在Rt△OAB中，OA＝5，AB＝4， 由勾股定理得：OB＝，∴A（3，4），故选：C． 5．（25-26·广西河池·八年级统考期末）在中，，，当 时，是直角三角形． 【答案】5或/或5 【详解】解：①为的最长边时：当满足时，是直角三角形，即：， ∴（负值已舍去）； ②为三角形的最长边时：当满足时，是直角三角形，即：， ∴（负值已舍去）； 综上：或；故答案为：5或． 6．（24-25·四川成都·八年级统考期中）如图，长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上任一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当CE的长为 时，△CEB′恰好为直角三角形． 【答案】1或 【详解】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示． 连结AC，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝ ＝5， ∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E＝∠B＝90°， 当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°， ∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处， ∴EB＝EB′，AB＝AB′＝3，∴CB′＝5﹣3＝2，设BE＝x，则EB′＝x，CE＝4﹣x， 在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2＝CE2， ∴x2+22＝（4﹣x）2，解得x＝，∴BE＝，CE＝4﹣＝ ②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形， ∴BE＝AB＝3，∴CE＝BC﹣BE＝4﹣3＝1 综上所述：CE＝1或 故答案为：1或 7．（24-25八年级下·江西上饶·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，直线l经过原点O，且与x轴正半轴的夹角是，过点A作轴，交直线l于点N，若点P在射线上（点P与点N不重合），则当是直角三角形时，点P的坐标为 ．    【答案】或或或 【详解】解：（1）当A为直角顶点时，，是直角三角形，N与P重合，如图： ∵，，∴，，∴， ∴，∴，    （2）当B为直角顶点时，，是直角三角形，如图： ∵，，∴，∴，∴，∴， （3）当P为直角顶点时，分两种情况：， 是直角三角形，如图： ∵，，，∴， ∵，∴是等边三角形，过作， ∴，∴，∴， 当P为直角顶点时，分两种情况：， 是直角三角形，如图： ∵，，，∴， ∵，∴是等边三角形，同理可得， 综上所述，点P的坐标为或或或． 故答案为：或或或． 8．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标是(2，2)，若点P在x轴上，且△APO是直角三角形，则点P的坐标是 ． 【答案】（2，0）或（4，0） 【详解】①当∠A是直角时，∵点A的坐标是(2，2)，若点P在x轴上， ∴∠AOP=45°，即△APO是等腰直角三角形，∴ ∴，∴点P的坐标是（4，0） ②∠P是直角时，∵点A的坐标是(2，2)，若点P在x轴上， ∴∠AOP=45°，即△APO是等腰直角三角形，∴OP=AP=2，∴点P的坐标是（2，0）， 综上所述：点P的坐标是（2，0）或（4，0）故答案为：（2，0）或（4，0）. 9．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在中，，，是射线上一点，且是“准直角三角形”，则的所有可能的度数为 ． 【答案】或 【详解】解：∵在中，，， ∴， 分两种情况讨论，如下图，当时，则， 此时，即，∴①， ∵②，由②①，可得，∴； 如下图，当时，则， 此时，即，∴③， ∵④，由，可得，∴． 综上所述，的所有可能的度数为或．故答案为：或． 10．（24-25·江西吉安·八年级校联考阶段练习）已知Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，以AC为一边在Rt△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为 ． 【答案】7或或 【详解】（1）如图1中，以点C所在顶点为直角时．∵AC=CD=4，BC=3，∴BD=CD+BC=7； （2）如图2中，以点D所在顶点为直角时，作DE⊥BC与E，连接BD． 在Rt△BDE中DE=2，BE=5，∴BD； （3）如图3中，以点A所在顶点为直角时，作DE⊥BC于E， 在Rt△BDE中，DE=4．BE=7，∴BD．故答案为7或或． 11．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）在三角形中，，，点在边上，平分，在上取一点，若三角形为直角三角形，则的度数为 ． 【答案】40°或20° 【详解】解：∵，，∴ ∵平分，∴， 若为直角三角形，当时，如图，∴， ∵，∴， 当时，如图，∴，故答案为：或． 12．（24-25·四川成都·八年级校考期末）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，以AC为腰作等腰直角三角形ACD ，则线段BD的长为 ． 【答案】2或. 【详解】①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC， 图①∵∠DAC=90°，且AD=AC，∴BD=BA+AD=1+1=2； ②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD， 图② 连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E． ∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，∴∠DCE=45°， 又∵DE⊥CE，∴∠DEC=90°，∴∠CDE=45°，∴ 在中， ∴ 13.（24-25河南南阳·八年级统考期末）如图，矩形中，，点E为边上的一个动点，与关于直线对称．当为直角三角形时，的长为 ．    【答案】9或18 【详解】解：（1）当时，如图（1），       ∵，根据轴对称的性质得， ∵，∴是等腰直角三角形，∴； （2）当时，如图（2）， 根据轴对称的性质得，为直角三角形， 即，∴，∴A、、C在同一直线上， 根据勾股定理得，∴， 设，则，在中，， 即，解得，即； 综上所述：的长为9或18；故答案为：9或18． 14．（2025·江西萍乡·二模）如图，在△ABC 中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P 是射线 CO 上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP 的长为____． 【答案】或或1 【详解】当∠ABP=90°时（如图2）， ∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴OP=2OB=2，∴BP=， 在直角三角形ABP中，AP=； 当∠APB=90°时，分两种情况，情况一，（如图1），∵AO=BO，∴PO=BO， ∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP为等边三角形，∴BP=OB=1， ∵AB=BC=2，∴AP=； 情况二，如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO， ∵∠AOC=60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP=AO=1，故答案为：或或1． ． 15．（24-25·河北张家口·八年级统考期末）如图，在中，，，，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在边上匀速运动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为．    （1）当 时，为等腰三角形；（2）当 时，为直角三角形． 【答案】 2或 【详解】解：（1）∵在中，，，， ∴，， ∵，，∴，∴， 当为等腰三角形时，由于，则为等边三角形， ∴，∴，解得，故答案为：； （2）当时，则， ∴，∴，解得； 当时，则，∴， 则，解得；故答案为：2或． 16．（24-25·湖北襄阳·八年级统考开学考试）如图，在中，，，，，点是边上一动点．连接，将沿折叠，得到，其中点落在处，交于点，当为直角三角形时，长度是 ．    【答案】或 【详解】解：，，，，， 由折叠得：，， 当时，， ，是等边三角形，，； 当时，， 在中，，，； 综上所述，的长度为或．故答案为：或． 17．（24-25·江苏镇江·八年级期中）点P，Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB，BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s，设运动时间为t秒． （1）连接AQ，CP交于点M，则在P，Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；（2）连接PQ．①当△BPQ为等边三角形时，t＝　 　秒； ②当△BPQ为直角三角形时，t＝　 　秒．（直接写出结果） 【答案】（1）∠CMQ 理由见解析；（2）①2；②或 【详解】解：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC，∠B=∠PAC=60°， ∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s， ∴AP=BQ， 在△APC和△BQA中， ∴△APC≌△BQA（SAS）， ∴∠BAQ=∠ACP， ∴∠CMQ=∠CAQ+∠ACP=∠BAQ+∠CAQ=∠BAC=60°， ∴在P、Q运动的过程中，∠CMQ不变，∠CMQ=60°； （2）① △BPQ为等边三角形， 由题意得： 解得： 所以当△BPQ为等边三角形时，则s ②当△BPQ为直角三角形时， 当 而 则 解得： 当时，则 解得： 综上：当s或s时，△BPQ为直角三角形. 18．（24-25八年级上·福建三明·期中）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与轴交于点，直线与轴交于点． (1)填空： ___________， ___________， ___________； (2)如图2，点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点． ①当点落在轴上时，求点的坐标；②若为直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)，，(2)①，②或 【详解】（1）解：把点，代入， 得：，解得：，直线：， 把点代入，得：，解得：， 把代入，，，故答案为：，，； （2）①直线：，点的坐标为， 如图，过点作轴于点，作轴于点，则，，， ， ，点的坐标为； ②如图，当时，由翻折得：， ， ，，，点的坐标为；如图， 当时，，，，， 设，则， 在中，由勾股定理得：，解得：， ，点的坐标为， 综上，点的坐标为或． 19.（24-25·四川成都·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为，，在x轴的负半轴上有一点A，且满足，连接，． (1)求直线的函数表达式．(2)将线段沿y轴方向平移至，连接，'． ①当线段向下平移2个单位长度时（如图所示），求的面积； ②当为直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)(2)①28，②或 【详解】（1）解：∵，∴．∵，∴． 又∵点A在x轴的负半轴上，∴．设直线的函数表达式为． 将，代入上式，得解得∴直线的函数表达式为． （2）解：①∵将线段向下平移2个单位长度，∴，． 设直线的函数表达式为，把、代入，得 ，解得，∴直线的函数表达式为． 设直线与y轴相交于点C，令，则，∴．∴． ②设将线段沿y轴方向平移m个单位长度至，则，． ∴，，． 当时，，解得，此时，； 当时，，解得，此时，； 当时，不成立． 综上所述，点的坐标为或． 20．（24-25·浙江金华·八年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-1，0)，点B是直线上的动点，连接AB，设点B的横坐标为． (1)如图1，当时，以AB为直角边在AB下方作等腰直角三角形ABC，使，求点C的坐标． (2)如图2，把线段AB绕点A顺时针旋转得到线段AD，当点B在直线上运动时，点D也随之运动，连接OD，求AOD的面积（用含的代数式表示）． (3)在图3中以AB为直角边作等腰直角三角形ABE，当点E落在直线上时，求的值． 【答案】(1)(2)(3)的值为 或 或−3或8 或9 【详解】（1）解 ：∵∴ 如图1，过作一条平行与轴的直线，作于，于， ∴∴， ∵,,∴ 在和中∵∴ ∴，∴． （2）解：如图2，过作一条平行与轴的直线，作于，于，连接， ∴，∴， 同（1）可知∴， ∴∴ 当时，；当时，； ∴． （3）解：①当时，，如图①， 由（2）可知， 将点、分别代入得和解得和； ②当时，，如图②， 由（2）可知， 将点、分别代入得和解得和； ③当时，，如图③， 由（2）可知， 将点、分别代入得和解得和 综上所述，的值为 或 或或 或． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $