精品解析：上海市闵行区2025-2026学年上学期九年级学业质量（一模）调研数学试题

2025学年第一学期初三年级学业质量调研 数学试卷 考生注意： 1．本场考试时间100分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 2．作答前，在答题纸指定位置填写姓名、报名号、座位号．将核对后的条形码贴在答题纸指定位置． 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分． 4．填涂选择题和作图用2B铅笔，作答其余题型用黑色字迹钢笔、签字笔或圆珠笔． 一、选择题（共24分，每小题4分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列各组图形中不一定是相似图形的是（ ） A. 两个等腰直角三角形 B. 两个等边三角形 C. 两个正方形 D. 两个直角三角形 2. 下列函数中，二次函数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中，一定正确的是（） A. 如果、是非零向量，且，那么 B. 如果是单位向量，那么 C. 向量与是相等向量 D. 如果是非零向量，那么 4. 如图，已知，直线与边分别相交于点，直线与边分别相交于点，，那么下列比例式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线（其中是常数，且）的对称轴是直线，且与轴有两个交点，下列结论一定正确的是（） A. B. C. D. 6. 如图，已知抛物线与轴交于两点．将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点；再将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点．若直线与这条抛物线交于点，则这个点的横坐标之和是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共48分，每小题4分） 7. 如果，那么代数式的值是_____． 8. 计算：___________． 9. 如果两个相似三角形的面积之比为，那么它们的周长之比是___________． 10. 已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 11. 在中，的余弦值是，那么的长是___________． 12. 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面送到离地面4米高的地方，那么物体所经过的路程是___________米（结果保留根号）． 13. 在中，点分别是的黄金分割点，且，，那么的长是______（结果保留根号）． 14. 在中，，结合尺规作图痕迹所提供的信息可求出的长是___________． 15. 如图①中小狗手影是一种常见的游戏，它利用的原理是：光是沿直线传播的．如图②我们把光源看成一个点，手面看成平行于墙面的一条线段．在一次游戏中，手距离墙壁3米，光源与手的距离为1米．在手的位置不变的情况下，如果光源与手的距离增加1米，那么小狗手影的高度变为原来的___________（填“几分之几”）． 16. 如图，在中，点分别是的中点，连接交于点，交于点，那么___________． 17. 如图，在中，，点是边上的一点，连接，如果，那么___________． 18. 如图，矩形中，连接，点是的中点，过点作交于点，将沿直线翻折，点落在平面内点处，如果点恰在上，那么的值是___________． 三、解答题（本大题共7题，共78分）如无特别说明，本大题作答须写出证明或计算的主要步骤． 19. 计算：． 20. 如图，已知平行四边形中，点是边的中点，与对角线交于点，设． （1）填空：向量___________，向量___________． （注：本题结果用含向量的式子表示） （2）作出向量分别在方向上的分向量． （注：画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 21. 人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示． 表一：地面所受压强与接触面积之间的关系 地面所受压强 …… …… 接触面积 …… …… 表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系 地面材质 玻璃 木地板 大理石 能承受的最大压强（） （1）求地面所受压强关于接触面积的函数表达式（不写定义域）； （2）求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？ 22. 如图，线段相交于点，点是线段的中点，连接，分别延长交于点．已知，且． （1）求证：； （2）如果平分，求证：． 23. 探究活动：巧拼地砖外边． 装修工人有一大一小两根条形边角料（大条形边角料中，小条形边角料中），如图1拼接到直角地砖的外边上，发现点与点不能重合．为了尽可能节约用料，又能使两根条形边角料能拼成一个直角，工人师傅使用一把直尺、一支笔和一台切割机，经过图2—图9的操作解决了问题，完成了拼接． 图1 图2 图3 图4 图5 【操作说明】 将一大一小两根条形边角料拼在直角地砖的外边． 【操作说明】 画出的延长线，交于点． 【操作说明】 连接OC． 【操作说明】 沿着射线方向，平移小条形边角料，使点与点重合，得到四边形． 【操作说明】 画出的延长线，交小条形边角料的边于D． 图6 图7 图8 图9 【操作说明】 连接BD． 【操作说明】 沿着切割． 【操作说明】 拼接切割后的两根条形边角料． （1）请根据图2-图6的操作说明，在图①中画出操作过程相应的图形，并按操作过程标注相应的字母； （2）如果大条形边角料为的宽度为，小条形边角料为的宽度为，大条形边角料裁剪后的锐角是，那么___________； （3）请根据上述探究，设计一个新裁剪方案，在图②中画出剪裁方法，并简单说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点，对称轴为直线，顶点为． （1）求抛物线的函数表达式及点的坐标． （2）点为抛物线上的动点，过点作直线． ①当点在对称轴右侧时，抛物线在直线右侧部分（包含交点）的最高点的纵坐标为，求的值； ②当点不在坐标轴上时，直线交抛物线于点，过点作轴垂线，垂足为点，在线段的延长线上截取，连接，当抛物线的顶点在内部时，直接写出的取值范围． 25. 如图，已知在中，点是边上的一点． （1）当时． ①如图1，是边上的高，求证：； ②如图2，，点在边上，且，顺次连接．如果，求的值． （2）如图3，如果点是边的中点，，点在线段延长线上，且，连接，取中点，分别延长交于点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期初三年级学业质量调研 数学试卷 考生注意： 1．本场考试时间100分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 2．作答前，在答题纸指定位置填写姓名、报名号、座位号．将核对后的条形码贴在答题纸指定位置． 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分． 4．填涂选择题和作图用2B铅笔，作答其余题型用黑色字迹钢笔、签字笔或圆珠笔． 一、选择题（共24分，每小题4分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列各组图形中不一定是相似图形的是（ ） A. 两个等腰直角三角形 B. 两个等边三角形 C. 两个正方形 D. 两个直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形，相似图形需对应角相等且对应边成比例．A、B、C中的图形因角度固定且边长比例确定，故一定相似；D中的直角三角形角度和边长比例可能不同，故不一定相似，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、两个等腰直角三角形，两个锐角都是度，故两个等腰直角三角形是相似图形，故该选项不符合题意； B、两个等边三角形，每个内角都是，故两个等边三角形是相似图形，故该选项不符合题意； C、两个正方形，每个正方形的四条边都相等，每个内角都是度，故两个正方形是相似图形，故该选项不符合题意； D、两个直角三角形的一个内角是，但其他两个内角不一定相等且三边不一定成比例，故两个直角三角形不一定是相似图形，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 下列函数中，二次函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义．形如的函数是二次函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、不是二次函数，故该选项不符合题意； C、是二次函数，故该选项符合题意； D、不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列说法中，一定正确的是（） A. 如果、是非零向量，且，那么 B. 如果是单位向量，那么 C. 向量与是相等向量 D. 如果是非零向量，那么 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查向量，根据向量的基本概念和平行向量的定义判断各选项的正确性． 【详解】解：∵选项A中, 且非零， ∴是的标量倍数，方向相反， ∴，故A正确； ∵选项B中，单位向量的模为1，但向量不等于标量1，故B错误； ∵选项C中，向量与方向相反，不是相等向量，故C错误； ∵选项D中，当时,是零向量，但等式中“0”可能表示标量，向量不等于标量，故D错误； 故选： A． 4. 如图，已知，直线与边分别相交于点，直线与边分别相交于点，，那么下列比例式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，先结合，得出，，，，再进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，则，故该选项不符合题意； B、∵，由平行线分线段成比例定理，设，， 则，，， ，， ，， ∴， ∴， ∴，故该选项符合题意； C、∵，由平行线分线段成比例定理，设，， 则，，， ，， ，， ，， 则不一定相等， 则不一定相等，故该选项不符合题意； D、∵，则，故该选项不符合题意； 故选：B． 5. 已知抛物线（其中是常数，且）的对称轴是直线，且与轴有两个交点，下列结论一定正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由对称轴为，根据二次函数对称轴公式可得，从而推导出，其他选项不一定成立． 【详解】解：A、由题意无法得到抛物线与y轴的交点位置，故无法确定c的符号，故本选项的结论不一定成立； B、由，，得，故本选项的结论错误； C、∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴， ∴，故本选项的结论正确； D、由于抛物线与x轴有两个交点，则抛物线顶点不在x轴上，即当时，，故本选项的结论错误． 故选：C． 6. 如图，已知抛物线与轴交于两点．将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点；再将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点．若直线与这条抛物线交于点，则这个点的横坐标之和是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，二次函数自变量函数值的计算，根据抛物线，得对称轴为直线，设和的横坐标分别为，，所以，则，即与的横坐标和为，同理与的横坐标和为，与的横坐标和为，由此即可求解，掌握二次函数平移的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线与轴交于两点， ∴对称轴为直线， 令，则， 解得：， ， ， 设和的横坐标分别为，， ∴， ∴， ∴与的横坐标和为， ∵将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点； ， ∴将抛物线向右平移6个单位得到抛物线， ∴， ∴对称轴为直线， 设和的横坐标分别为，， ∴， ∴， ∴与的横坐标和为， 同理，将抛物线向右平移6个单位得到抛物线，交轴于点， ∴， ∴对称轴为直线， 设和的横坐标分别为，， ∴， ∴， ∴与的横坐标和为， ∴这个点的横坐标之和， 故选： ． 二、填空题（共48分，每小题4分） 7. 如果，那么代数式的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的性质可得，则代入原代数式计算即可． 【详解】由题意：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练根据比例的性质变形求解是解题关键． 8. 计算：___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了向量的运算，先根据向量的数乘分配律去括号，再合并同类向量． 【详解】解：． 故答案为：． 9. 如果两个相似三角形的面积之比为，那么它们的周长之比是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设两个相似三角形的相似比为， 则面积比为， 由题意，， 解得， 周长比等于相似比，即它们的周长之比是， 故答案为：． 10. 已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列二次函数的解析式，根据长方形面积公式，将宽表示为长的一半，代入公式求解． 【详解】解：∵长方形的长是 ，宽是长的一半， 因此宽为．长方形的面积等于长乘以宽， 即． 故答案为． 11. 在中，的余弦值是，那么的长是___________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了已知角的余弦值求边长．根据余弦定义，在直角三角形中，锐角的余弦值等于邻边与斜边的比，即 ，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：∵的余弦值是，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：16． 12. 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面送到离地面4米高的地方，那么物体所经过的路程是___________米（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坡度问题，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据坡度为，得，可求得，进而用勾股定理求出． 【详解】解：作， ∵坡度为， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 在中，点分别是的黄金分割点，且，，那么的长是______（结果保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，相似三角形的判定和性质，由黄金分割的定义可得，进而可得，再根据相似三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵ 点是 的黄金分割点，且， ∴ ， 同理可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 14. 在中，，结合尺规作图痕迹所提供的信息可求出的长是___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查角平分线和垂线的尺规作图，含的直角三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据作图痕迹可知，平分，，因为，则，利用含的直角三角形的性质即可求． 【详解】解：根据作图痕迹可知，平分，， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6． 15. 如图①中小狗手影是一种常见的游戏，它利用的原理是：光是沿直线传播的．如图②我们把光源看成一个点，手面看成平行于墙面的一条线段．在一次游戏中，手距离墙壁3米，光源与手的距离为1米．在手的位置不变的情况下，如果光源与手的距离增加1米，那么小狗手影的高度变为原来的___________（填“几分之几”）． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的应用举例，如图，证明．得，设，当光源与手的距离增加1米时，即（米），米，同理求出．进而即可求出答案． 【详解】解：如图， 由题意可知，米，米，且， ∴， ∴， 设， ∴光源与手的距离增加1米，即（米），米， 如图， 同理，得， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，点分别是的中点，连接交于点，交于点，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据中位线的性质，可知,进而可知,根据线段关系可知相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知，，进而可转化出答案． 本题考查了相似三角形的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：在中， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， 则,, ,, , , , ∵， , , , , 在中，和等高， , , 故答案为：． 17. 如图，在中，，点是边上的一点，连接，如果，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点作于点，过点作于点．解直角三角形求出，，再利用勾股定理求出后，进一步利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点． ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 的面积， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 18. 如图，矩形中，连接，点是的中点，过点作交于点，将沿直线翻折，点落在平面内点处，如果点恰在上，那么的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点M，设，根据平行线性质得，得，根据矩形性质，得，由折叠性质，得垂直平分,证明点G在上，得，得，可得，得，解得，得,又得，得，得，即得． 【详解】解：连接交于点M， 设， ∵点是的中点， ∴， ∵过点作交于点， ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴， 由折叠知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， 设的边上的高为h， 则， ∴， ∴， ∴点G在上， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形折叠．熟练掌握矩形性质，折叠性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，面积法求三角形的高，是解题的关键． 三、解答题（本大题共7题，共78分）如无特别说明，本大题作答须写出证明或计算的主要步骤． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算．把特殊角的三角函数值代入，利用二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 20. 如图，已知平行四边形中，点是边的中点，与对角线交于点，设． （1）填空：向量___________，向量___________． （注：本题结果用含向量的式子表示） （2）作出向量分别在方向上的分向量． （注：画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 【答案】（1）， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查平面向量、三角形中位线定理、平行四边形的性质、作图—复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由题意得．由平行四边形的性质得，，可得，则,．由题意得，则可得,． （2）结合平面向量的分向量的定义作图即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴ 【小问2详解】 解：在上的分向量为，在上的分向量为 21. 人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示． 表一：地面所受压强与接触面积之间的关系 地面所受压强 …… …… 接触面积 …… …… 表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系 地面材质 玻璃 木地板 大理石 能承受的最大压强（） （1）求地面所受压强关于接触面积的函数表达式（不写定义域）； （2）求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了以物理知识为情境的反比例函数的应用相关知识，知道物理学中压力、压强与接触面积三者之间的关系是解题的关键．计算时需要仔细． （1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系，设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为，将一对数据代入即可求出的值． （2）为确保机器人在所有地面材质上都能安全行驶，其压强不能超过三种材质能承受的最大压强的最小值，即木地板的Pa。当压强最大时，接触面积最小。把代入（1）中所求函数表达式中，即可求出这种机器人与地面的最小接触面积． 【小问1详解】 解：由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系． 设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． 将代入，得， 地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． 【小问2详解】 解：为确保机器人在所有地面材质上都能安全行驶，其压强不能超过三种材质能承受的最大压强的最小值，即木地板的Pa。当压强最大时，接触面积最小。把代入得，， 答：该机器人与地面的接触面积至少为平方米． 22. 如图，线段相交于点，点是线段的中点，连接，分别延长交于点．已知，且． （1）求证：； （2）如果平分，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据已知易证，，由直角三角形的性质可得，进而得到，即可证明结论； （2）由题意得，易证，由直角三角形的性质可得，推出，，易证，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：， ， ， 又在中，点为中点， ， ， ； 【小问2详解】 证明：平分， ， ， ， 又点是中点，， ， ， ∵ ， ， ． 23. 探究活动：巧拼地砖外边． 装修工人有一大一小两根条形边角料（大条形边角料中，小条形边角料中），如图1拼接到直角地砖的外边上，发现点与点不能重合．为了尽可能节约用料，又能使两根条形边角料能拼成一个直角，工人师傅使用一把直尺、一支笔和一台切割机，经过图2—图9的操作解决了问题，完成了拼接． 图1 图2 图3 图4 图5 【操作说明】 将一大一小两根条形边角料拼在直角地砖的外边． 【操作说明】 画出的延长线，交于点． 【操作说明】 连接OC． 【操作说明】 沿着射线方向，平移小条形边角料，使点与点重合，得到四边形． 【操作说明】 画出的延长线，交小条形边角料的边于D． 图6 图7 图8 图9 【操作说明】 连接BD． 【操作说明】 沿着切割． 【操作说明】 拼接切割后的两根条形边角料． （1）请根据图2-图6的操作说明，在图①中画出操作过程相应的图形，并按操作过程标注相应的字母； （2）如果大条形边角料为的宽度为，小条形边角料为的宽度为，大条形边角料裁剪后的锐角是，那么___________； （3）请根据上述探究，设计一个新裁剪方案，在图②中画出剪裁方法，并简单说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据提示的基本操作，按照顺序依次作图，标注好字母即可； （2）延长，交于点T，根据题意，得到，结合，得到，且，同理可证，再证明四边形是矩形，得到，根据，解答即可． （3）延长，交于点E，连接，过点A作，交于点F，利用平行四边形的判定和性质，三角形外角性质证明即可． 本题考查了基本作图，平移，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正切函数的应用，三角形外角性质的应用，熟练掌握判定和性质，三角函数的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据提示的基本操作，按照顺序依次作图，标注字母画图如下： 则画图即为所求． 【小问2详解】 解：延长，交于点T， 根据题意，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵大条形边角料为的宽度为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵小条形边角料为的宽度为， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问3详解】 解：延长，交于点E，连接， 过点A作，交于点F， 故沿着切割，然后拼接到位置上即可符合要求，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 故沿着切割，然后拼接到位置上，此时，符合要求． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点，对称轴为直线，顶点为． （1）求抛物线的函数表达式及点的坐标． （2）点为抛物线上的动点，过点作直线． ①当点在对称轴右侧时，抛物线在直线右侧部分（包含交点）的最高点的纵坐标为，求的值； ②当点不在坐标轴上时，直线交抛物线于点，过点作轴垂线，垂足为点，在线段的延长线上截取，连接，当抛物线的顶点在内部时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，求二次函数的解析式，二次函数与几何综合，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由对称轴可得，进而再将代入求出值即可求出抛物线解析式，进而求出顶点坐标； （2）①当点在对称轴右侧时，抛物线在直线右侧部分是随增大而减小，点即为最高点，据此求解即可； ②分两种情况或分类讨论，每种情况下当点在线段和上时为临界点，据此求解即可． 【小问1详解】 解：对称轴为直线， ， ， 抛物线经过点， ， 解得， 抛物线的函数表达式为， 当时，， ； 【小问2详解】 解：①由题可知， 当点在对称轴右侧时，抛物线在直线右侧部分是随增大而减小， 点即为最高点， 此时， 解得， 在对称轴右侧，即， ； ②当，如图， 找出临界值，点在上时， 由题可知， ， 解得或（舍去）， ； 点B在线段上时， 由题意， 设直线解析式为，代入坐标得： ， 解得 ∴解析式为， 点B在线段上时，代入坐标得： （舍去），， 综上 当点在点左侧时，即，如图， 同理可得； 点B在线段上时， 由题意， 设直线解析式为，代入坐标得： ， 解得 ∴解析式为， 点B在线段上时，代入坐标得： （舍去）， ∴ 综上，或． 25. 如图，已知在中，点是边上的一点． （1）当时． ①如图1，是边上的高，求证：； ②如图2，，点在边上，且，顺次连接．如果，求的值． （2）如图3，如果点是边的中点，，点在线段延长线上，且，连接，取中点，分别延长交于点，求的值． 【答案】（1）①见解析；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意易证，，易证，推出，即可得出结论；②如图，分别过点作，由题意得都是等腰三角形，设，证明，推出，由，设，则，求出，再证明，求出，即可求解； （2）如图，过点作，设，，证明，推出，，利用三角形内角和定理结合等腰三角形的性质证明，得到，求出，即，证明，推出，设，则，再求出，即可解答． 【小问1详解】 ①证明：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，分别过点作， ∵，，， ∴，都是等腰三角形， ∴， 设， 则，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作， 设，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，二次根式的运算，全等三角形的判定与性质，构造三角形相似是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $