精品解析：2024年上海闵行区九年级数学中考一模试卷

2023-2024学年上海市闵行区九年级（上）期末数学试卷（一模） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列命题中，真命题是（ ） A. 两个直角三角形一定相似 B. 两个等腰三角形一定相似 C. 两个钝角三角形一定相似 D. 两个等边三角形一定相似 2. 在中，，，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法错误的是（　　） A. 如果与都是单位向量，那么 B. 如果，那么或 C. 如果（为非零向量），那么 D. 如果，（为非零向量），那么与平行 4. 如图，已知，直线，，分别交直线于点、、，交直线于点、、，那么下列比例式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数的解析式为，下列关于函数图象的说法正确的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 图象经过原点 C. 开口向上 D. 图象有最低点 6. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图像经过，如果实数表示的值，实数表示的值，那么的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 计算：____． 8. 已知，求________． 9. 计算：___________． 10. 在中，，如果，，那么______． 11. 如图，在中，点在边上，点在边上，，，那么的值为___________． 12. 将抛物线向上平移2个单位，平移后的抛物线的顶点坐标是 ______． 13. 抛物线 的对称轴是直线， 如果点、 在此抛物线上，那么 _____（填“”、“”或“”）． 14. 小明沿斜坡坡面向上前进了5米，垂直高度上升了1米，那么这个斜坡的坡比是___________． 15. 已知反比例函数 如果 那么k______0．（填“”或“” ） 16. “二鸟饮泉”问题中记载：“两塔高分别为30步和20步．两塔之间有喷泉，两鸟从两塔顶同时出发，以相同速度沿直线飞往喷泉中心，同时抵达．喷泉与两塔在同一平面内，求两塔之间的距离．”如图，已知，，是上一点，，在处测得点的俯角为，，，那么___________． 17. 新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数，那么称这个等腰三角形为“精准三角形”，如图，是“精准三角形”，，，垂足为点，那么的长度为______． 18. 如图，在中，，，点为边上的点，连接，将沿翻折，点落在平面内点处，边交边于点，连接，如果，那么的值为 __． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 如图，在平行四边形中，点，分别是边、的中点，设，． （1）　　，　　；（用含有向量、的式子表示） （2）在图中画出在向量和方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 21. 如图，在坐标平面中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）过点A作轴，垂足为点C，将一次函数图象向右平移，且经过点C，求平移后的一次函数的解析式． 22. 诱发高速公路夜间行车安全事故的一个重要原因是眩光现象．夜间会车时，对向车辆车灯的强光射向驾驶员，存在安全隐患．目前主要措施是设置防眩装置遮挡车辆灯光，避免强光射向对向车道的驾驶员． 如图所示，一条东西方向的双向笔直道路，中央隔离带中轴线l垂直平分每块遮光板，遮光板宽度是米，即米．一辆摩托车自西向东行驶，车灯位于点A时，车灯发出的光线AC经过相邻2个遮光板外侧的点Q和点M，光线经过遮光板外侧的点P，点D和点C在对向车道驾驶员行驶路线上．于点B，两侧驾驶员行驶路线之间的距离米，光线和行驶路线的夹角，点A，B，C，D，P，Q，M，N在同一平面内．（参考数据： ） （1）的长度是多少米？ （2）相邻遮光板的距离是多少米？ 23. 如图，在中，点、在边上，，，过点作交边于点． （1）求证：； （2）求证：． 24. 已知，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．抛物线上有一点P，以点P为顶点的抛物线经过点B（点P与点B不重合），抛物线和形状相同，开口方向相反． 如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相同，那么它们的二次项系数相等； 如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相反，那么它们的二次项系数是互为相反数． （1）当抛物线经过点A时，求抛物线的表达式； （2）求抛物线的对称轴； （3）当时，设抛物线C1的顶点为Q，抛物线的对称轴与x轴的交点为F，连接，求证：平分． 25. 如图，在中，，以，为边在外部作等边三角形和等边三角形，且连接． （1）如图1，连接，，求证：； （2）如图2，延长交线段于点． ①当点为线段中点时，求的值； ②请用直尺和圆规在直线上方作等边三角形（不要求写作法，保留作图痕迹，并写明结论），当点在的内部时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年上海市闵行区九年级（上）期末数学试卷（一模） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列命题中，真命题是（ ） A. 两个直角三角形一定相似 B. 两个等腰三角形一定相似 C. 两个钝角三角形一定相似 D. 两个等边三角形一定相似 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．根据等边三角形的性质、等腰三角形的定义、相似三角形的判定逐项判断即可得． 【详解】解：A、两个直角三角形不一定相似，理由是锐角可能不对应相等（如锐角与），则此项是假命题，不符合题意； B、两个等腰三角形不一定相似，理由是顶角或底角可能都不对应相等（如顶角与），则此项是假命题，不符合题意； C、两个钝角三角形不一定相似，理由是钝角或其他内角可能不相等（如钝角与），则此项是假命题，不符合题意； D、两个等边三角形一定相似，理由是等边三角形的每个内角均为，则此项是真命题，符合题意； 故选：D． 2. 在中，，，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，结合题意再根据直角三角形中余弦的定义得，代值计算即可． 【详解】解：根据题意，得． 故选：B． 3. 下列说法错误的是（　　） A. 如果与都是单位向量，那么 B. 如果，那么或 C. 如果（为非零向量），那么 D. 如果，（为非零向量），那么与平行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面向量，根据平面向量的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、如果与都是单位向量，那么，A选项正确，不符合题意； B、如果，那么或，B选项正确，不符合题意； C、如果（为非零向量），那么，故C选项不正确，符合题意； D、∵，（为非零向量）， ∴， 即， ∴， ∴与平行． 故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 4. 如图，已知，直线，，分别交直线于点、、，交直线于点、、，那么下列比例式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题是一道关于平行线分线段成比例的题目，掌握平行线分线段成比例的相关知识是解答本题的关键．根据平行线分线段成比例定理，即可进行判断． 【详解】解：A．∵， ∴，故A正确； B．根据无法判断，故B错误； C．∵， ∴， ∵， ∴，故C错误； D．∵， ∴， ∵， ∴，故D错误． 故选：A． 5. 已知二次函数的解析式为，下列关于函数图象的说法正确的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 图象经过原点 C. 开口向上 D. 图象有最低点 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，依据题意，将二次函数解析式化为顶点式求解． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，函数图象有最高点，当时，，即图象过原点． 故选：B． 6. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图像经过，如果实数表示的值，实数表示的值，那么的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与坐标轴交点问题，熟练掌握相关知识是解题关键．根据该函数图像与轴交于正半轴，可得；根据该函数图像经过，可得，，进而可得，即可获得答案． 【详解】解：由图像可知，该函数图像与轴交于正半轴， ∴， ∵该函数图像经过， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 计算：____． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查了零指数和负整数指数幂．掌握（），（，p为正整数）是解本题的关键． 根据零指数和负整数指数幂公式可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 8. 已知，求________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握及运用其性质是做题的关键．将所求分式拆分为两个分式之和，并代入已知条件计算即可． 【详解】解： ， ． 故答案为 ：． 9. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查向量的加减法计算法则，熟记法则是解题的关键．根据向量的计算法则解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 10. 在中，，如果，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，利用正切的定义计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 11. 如图，在中，点在边上，点在边上，，，那么的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据已知证明，得出，进而得出，由，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 将抛物线向上平移2个单位，平移后的抛物线的顶点坐标是 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移变换，解题时要熟练掌握并正确理解平移规律是关键． 依据题意，直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式，即可得出顶点坐标． 【详解】解：∵将抛物线向上平移2个单位， ∴平移后的抛物线的解析式为：． ∴平移后的抛物线的顶点坐标为：． 故答案为：． 13. 抛物线 的对称轴是直线， 如果点、 在此抛物线上，那么 _____（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，因为抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质即可判断． 【详解】解：抛物线的图象的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 小明沿斜坡坡面向上前进了5米，垂直高度上升了1米，那么这个斜坡的坡比是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求正切值，勾股定理，解题的关键是掌握坡比等于坡角的正切值，先根据勾股定理求出前进的水平距离，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图， 根据题意可得：， 根据勾股定理可得：， ∴这个斜坡的坡比， 故答案为：． 15. 已知反比例函数 如果 那么k______0．（填“”或“” ） 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可确定的符号．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和图象与的关系，先根据题意判断出函数的图象所在的象限是解题的关键． 【详解】解：，， 点，和点，在第二象限， ． 故答案为：． 16. “二鸟饮泉”问题中记载：“两塔高分别为30步和20步．两塔之间有喷泉，两鸟从两塔顶同时出发，以相同速度沿直线飞往喷泉中心，同时抵达．喷泉与两塔在同一平面内，求两塔之间的距离．”如图，已知，，是上一点，，在处测得点的俯角为，，，那么___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形仰角俯角问题及勾股定理，根据题意可得，解直角三角形求出，进而得到，再利用勾股定理求出，由即可求解． 【详解】解：根据题意可得， 在中，， ， ， 在中，，则， ， ． 故答案为：． 17. 新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数，那么称这个等腰三角形为“精准三角形”，如图，是“精准三角形”，，，垂足为点，那么的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是用勾股定理解三角形，解题关键是熟练掌握勾股定理．取中点，连接，根据题目中“精准三角形”的定义可得，根据勾股定理得到即可求解． 【详解】解：取中点，连接， 此时为中线，， 是“精准三角形”， ， ， ， 设， 则，， ， 中，， ，， ， 即， 解得， ． 故答案为：． 18. 如图，在中，，，点为边上的点，连接，将沿翻折，点落在平面内点处，边交边于点，连接，如果，那么的值为 __． 【答案】或1 【解析】 【分析】本题考查了翻折的性质，掌握等腰三角形的性质和解直角三角形是解题的关键．分当点在左侧时和当点在右侧时，两种情况讨论，先过作于，过作于，再根据相似三角形的性质及解直角三角形求解． 【详解】解：当点在左侧时，如图所示，过作于，过作于， ， ， ， 设，则， ， ， ， 将沿翻折，点落在平面内点处， ， ， ， ， ， ， ； 当点在右侧时，如图所示，过作于，过作于， ， ， ， 设，则， ， ， ， 将沿翻折，点落在平面内点处， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：或． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分数指数幂、实数的运算和特殊角的三角函数值. 根据特殊角的三角函数值、分数指数幂和二次根式的分母有理化计算即可． 【详解】解：原式 ． 20. 如图，在平行四边形中，点，分别是边、的中点，设，． （1）　　，　　；（用含有向量、的式子表示） （2）在图中画出在向量和方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 【答案】（1）， （2） 解：如图，，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，三角形中位线定理，平行四边形的性质，三角形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则． （1）利用三角形法则求解； （2）利用平行四边形法则求解． 【小问1详解】 解：， ，， ，， ． 故答案为：，； 【小问2详解】 略 21. 如图，在坐标平面中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）过点A作轴，垂足为点C，将一次函数图象向右平移，且经过点C，求平移后的一次函数的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，待定系数法求函数的解析式，一次函数图象的平移问题，正确的理解题意是解题的关键． （1）把点代入得到，把代入，求得，于是得到结论； （2）根据平移前后的一次函数的解析式k相等，设平移后的一次函数的解析式为：，将点C的坐标代入可得结论． 【小问1详解】 解：∵点在上， ∴， ∴， ∴， ∵在上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：； 【小问2详解】 设平移后的一次函数的解析式为：， ∵轴，且， ∴， 把点代入中，得：， ∴， ∴平移后的一次函数的解析式为：． 22. 诱发高速公路夜间行车安全事故的一个重要原因是眩光现象．夜间会车时，对向车辆车灯的强光射向驾驶员，存在安全隐患．目前主要措施是设置防眩装置遮挡车辆灯光，避免强光射向对向车道的驾驶员． 如图所示，一条东西方向的双向笔直道路，中央隔离带中轴线l垂直平分每块遮光板，遮光板宽度是米，即米．一辆摩托车自西向东行驶，车灯位于点A时，车灯发出的光线AC经过相邻2个遮光板外侧的点Q和点M，光线经过遮光板外侧的点P，点D和点C在对向车道驾驶员行驶路线上．于点B，两侧驾驶员行驶路线之间的距离米，光线和行驶路线的夹角，点A，B，C，D，P，Q，M，N在同一平面内．（参考数据： ） （1）的长度是多少米？ （2）相邻遮光板的距离是多少米？ 【答案】（1）20米 （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形： （1）根据锐角三角函数的定义求解即可； （2）过P作于E，过Q作于F，中轴线l与交于点O，然后根据平行线的性质求出的长，再根据矩形的判定与性质求出以及的长，最后根据平行线的性质，求出，从而可以求出． 【小问1详解】 解： ∴（米）； 【小问2详解】 解：过P作于E，过Q作于F，中轴线l与交于点O，如图： ∵， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵O是中点，也是的中点， ∴米，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 答：相邻遮光板的距离是米． 23. 如图，在中，点、在边上，，，过点作交边于点． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明： ， ， 又， ∴； （2） 解：， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据“两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可得解； （2）根据平行线分线段成比例定理求出，再由比例性质及等量代换求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 已知，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．抛物线上有一点P，以点P为顶点的抛物线经过点B（点P与点B不重合），抛物线和形状相同，开口方向相反． 如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相同，那么它们的二次项系数相等； 如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相反，那么它们的二次项系数是互为相反数． （1）当抛物线经过点A时，求抛物线的表达式； （2）求抛物线的对称轴； （3）当时，设抛物线C1的顶点为Q，抛物线的对称轴与x轴的交点为F，连接，求证：平分． 【答案】（1） （2） （3） 证明：由点Q是抛物线的顶点，得， 过点Q作轴，轴，垂足分别为点N，M，交y轴于点E，如下图所示， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即 设直线表达式为， 代入，，得， ∴直线表达式为， 把代入，得， 得点E的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数顶点的坐标，全等三角形的性质与判定等知识点． （1）将点A的坐标代入抛物线的解析式，求出a的值； （2）通过题意求出抛物线的解析式，假设点P的坐标，代入抛物线求出m的值，从而得到抛物线的对称轴； （3）过点Q作轴，轴，垂足分别为点N，M，交y轴于点E，利用a表示点P、点Q的坐标，得到各边的数量关系，通过证明，得到平分． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：由抛物线和形状相同，开口方向相反，设抛物线的表达式为， 把代入抛物线：，得， 则抛物线的表达式为， 由点P在抛物线上，设点P的坐标为， 由点P是抛物线的顶点，得， 解得， 得点P的坐标为， 即抛物线的对称轴为直线； 【小问3详解】 略 25. 如图，在中，，以，为边在外部作等边三角形和等边三角形，且连接． （1）如图1，连接，，求证：； （2）如图2，延长交线段于点． ①当点为线段中点时，求的值； ②请用直尺和圆规在直线上方作等边三角形（不要求写作法，保留作图痕迹，并写明结论），当点在的内部时，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：等边三角形和等边三角形， ，，， ， ； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质得出相等的边和相等的角，再利用角的和得出，从而得出全等． （2）①根据已知条件得出，再根据得出的结论证明，从而得出是等边三角形，求出即可． ②作等边三角形，由作法可以证明是等边三角形，分类讨论当在边上时，当在边上时，分别求出的值，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图2，延长到点，使，连接、， 是的中点， ， ， ， ，， ，都是等边三角形， ，，， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， 垂直平分， ， 是等边三角形， ， ， ． ②如图3，分别以、为圆心，长为半径在上方画弧，两弧交于点，连接、， 则为所求作的等边三角形， 由作图可知，所以为等边三角形， 当在边上且为中点时，由①知： 可得， 当在边上时，如图4，延长交于点，过点作的平行线，交延长线于点，交延长线于点，延长、交于点， ，， ， ，， ， ， ， 和是等边三角形， 设，， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 在中，，，， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， ，化简得， ， ， 的取值范围是． 【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，尺规作图，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $