专题16 全等模型之奔驰模型（几何模型讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

专题16.全等模型之奔驰模型 对于奔驰模型我们主要是可以通过一些几何变化，把其中的线段进行转移，以达到聚合条件，推出我们想要的结论的目的。对于几何变化，目前学过的主要有：轴对称，平移，旋转，位似等。对于“奔驰模型”我们主要采用旋转的方法进行变换。对于旋转处理，我们主要分为：旋转全等，旋转相似。 今天的这主要讲“奔驰模型”之旋转全等类型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内） 5 模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内） 9 模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型） 12 16 奔驰模型因图形构造类似奔驰车标志而得名，尤其在等边三角形中通过特定线段连接形成的结构‌。在等边三角形中，通过从一个顶点向对边引线段，再向另两个顶点连线，形成的“三叉”对称结构酷似奔驰车标的三叉星图案。这一形象化的关联使其在初中几何教学中更易被学生记忆，成为几何模型中的经典案例。在等腰直角三角形或正方形中应用奔驰模型时，意外发现旋转角度可调整为45°或90°，进一步验证了模型的普适性。‌ （2024·四川广元·二模） 【问题提出】小明、小强、小东三人兴趣小组在研究等边三角形时，小明提出了一个猜想：等边三角形内一点到三角形三个顶点的长度确定时，这点与三顶点连线构成的角的度数也就随之确定． 【问题解决】（1）如图1，点 P 是等边 内的一点， 小强将绕点B逆时针旋转，得到，连接，从而求出的度数．请你写出小强的求解过程． 【问题延伸】（2）在研究中，小东又提出一个猜想：当点在等边三角形外与三顶点距离确定时，这点与三顶点连线构成的角的度数也会随之确定．如图2， 求 的度数． 【拓展应用】（3）如图 3，在正方形 内有一点P， 求 的度数． 【答案】（1）（2）（3） 【详解】解：（1）绕点B逆时针旋转得到， ∴，，，， ∴为等边三角形，∴，， 又∵，，，∴，， ∵，∴为直角三角形，， ∴． （2）将绕点B逆时针旋转得到，如图， 则，，，， ∴为等边三角形，∴，， 又∵，，，∴，， ∵，∴为直角三角形，， ∴． （3）将绕点B逆时针旋转得到，如图， 则，，，， ∴为等腰直角三角形，∴，， ∵∴又∵∴，， ∵，∴为直角三角形，， ∴． 1）奔驰模型1（动点在等边三角形内） 条件：如图，已知正三角形内有一点P，满足（常考数据：BP=3，AP=4，CP=5）， 结论：∠APB=150°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明） 常用结论 等边三角形的面积公式：（选填题非常适用） 证明：以AP为边向左侧作等边三角形APP’，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AP’=PP’，∠BAC=∠PAP’=∠PP’A=60°； ∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠BAP=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C； ∵，∴，∴∠PP’C=90°， ∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=150°；∴∠APB=150°。 2）奔驰模型2（动点在等腰直角三角形内） 条件：如图，已知等腰直角三角形ABC内有一点P，满足， 结论：∠CPB=135°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明） 证明：以AP为边向左侧作等腰直角三角形APP’，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都为等腰直角三角形； ∴AB=AC，AP=AP’，∠BAC=∠PAP’=90°，，∠AP’P=45°； ∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠PAB=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C； ∵，∴，∴∠PP’C=90°， ∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=135°；∴∠APB=135°。 3）奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型） 模型1）条件：如图1，点P在等边三角形ABC外，若，结论：∠CPA=30°。 模型2）条件：如图2，点P在等腰直角三角形ABC外，若 ，结论：∠APC=45°。 （注意：上述两个模型结论和条件互换也成立） 图1 图2 模型1）证明：以AP为边向右侧作等边三角形ADP，连接DC。 ∵三角形ABC和三角形ADP都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AD=DP，∠BAC=∠PAD=∠APD=60°； ∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠BAP=∠CAD，∴（SAS），∴BP=CD； ∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠CPA=∠DPC-∠APD=30°。 模型2）证明：以AP为边向上方作等腰直角三角形APP’，且∠PAD=90°，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APD都为等腰直角三角形； ∴AB=AC，AP=AD，∠BAC=∠PAD=90°，，∠APD=45°； ∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠PAB=∠DAC，∴（SAS），∴BP=CD； ∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠APC=∠DPC-∠APD=45°。 模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内） 例1（2025·贵州遵义·三模）如图，已知为等边三角形．P为内一点，，将绕点B逆时针旋转后得到．(1)求点P与点之间的距离；(2)求的度数． 【答案】(1)9 (2) 【详解】（1）解：如图，连接． 由题意可知， 为等边三角形，，∴ ．为等边三角形，． （2）解：∵，∴ ∴，为直角三角形，且， ∵为等边三角形，∴，． 例2（2025山东滨州·模拟预测）如图，点是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接.若，，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接．∵为等边三角形，∴，． ∵线段绕点顺时针旋转60°得到线段，∴，， ∴为等边三角形，∴． ∵，，∴． 在和中，∴，∴． 在中，∵，，，∴， ∴为直角三角形，， 过作于， ∴．故选A. 例3（2025·北京门头沟·一模）如图，在等边三角形中，有一点P，连接、、，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【详解】解：①∵是等边三角形，∴，， ∵绕点B逆时针旋转得到，∴， ∴，即， ∵，∴，故①正确，符合题意； ②∵绕点B逆时针旋转得到，∴， ∴是等边三角形，故②正确，符合题意； ③∵是等边三角形，∴ ∵，，∴，∴， ∴，故③正确，符合题意；综上：正确的有①②③，故选：D． 例4（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图，是正内一点，，，，将线段BO以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论，①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为5；③；④四边形面积；⑤，其中正确的结论是（    ） A．①④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．①③⑤ 【答案】C 【详解】解：连接，如下图：∵正 ∴， ∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴， ∴为等边三角形∴，即②错误； ∵， ∴ 和中 ∴ ∴，可以由绕点B逆时针旋转得到，即①正确； ∵，∴ ∴ ∵为等边三角形∴ ∴，即③正确； ∵∴ 过点B做，交于点N ∵为等边三角形∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形面积，即④正确； ∵正∴绕点A逆时针旋转得到，如下图： ∵，，， ∴为等边三角形∴ 过点A做，交于点G，如下图： ∵为等边三角形∴ ∴ ∴ ∴ ∵，，∴ ∴ ∴ ∴ ∴，即⑤正确；故选：C． 模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内） 例1（24-25九年级上·黑龙江·期中）如图，点是正方形内一点，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将绕着点A顺时针旋转90°得到，连接，则是等腰直角三角形 ∴∴，∴ ∵∴∴故选C． 例2（2025·贵州黔东南·二模）如图，P是正方形内一点，，，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，下列结论：①可以由绕点A逆时针旋转得到；②点P与的距离为4；③；④；其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①③ 【详解】由旋转可知，，， 四边形是正方形，，， ，，，， 可以由绕点A逆时针旋转得到，故结论①正确； 由勾股定理得，故结论②错误； ，，，由得， ，，， 为直角三角形，且，，故结论③正确； 如图，过点D作交延长线于点E，则， ，，，， 由勾股定理得，，即，解得， ，，由勾股定理得， 正方形的面积等于，故结论④错误；综上可知，正确的结论是①③．故答案为：①③． 例3（2025·河北·校考一模）如图1，在正方形内有一点P，，，，求的度数． 【分析问题】根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是将绕点B逆时针旋转，得到了（如图2），然后连结． 【解决问题】请你通过计算求出图2中的度数； 【比类问题】如图3，若在正六边形内有一点P，且，，． （1）的度数为 ；（2）直接写出正六边形的边长为 ． 【答案】（1）；（2）；． 【详解】解决问题：由旋转的性质可得，，，， ∴，，∵，，， ∴，∴，∴； （1）仿照【分析】中的思路，将绕点B逆时针旋转，得到了，连接．如图5， ∴，∴，∴为等腰三角形， ∵，∴，作于G，∴． ∵，∴，∴∴， 在中，∵，，，∴，，， ∴ ∴是直角三角形，∴． ∴．故答案为： （2）延长，作于点G，如图6， 在中，，∴， ∴，，∴， 在中，根据勾股定理得．故答案为： 模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型） 例1（24-25九年级上·湖北荆门·期中）如图，为等边三角形外一点，，，．则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：是等边三角形，，， 如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ， 由旋转的性质可得：，，，， 为等边三角形，， 在中，，，，，， ，，， ，． 例2（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在四边形中，，，，若，，则的长是 ．    【答案】 【详解】解：如图．记，则，把绕点C顺时针旋转得到，连接，    则，，， ∵，∴，∴，∴；∴， ∵,∴．故答案为：． 例3（2025·广西贺州·二模）如图，点P为等边三角形外一点，连接，，若，，，则的长是 ．    【答案】 【详解】解：把绕点B顺时针旋转，连接，，如图所示：    则，，∴是等边三角形，∴，， ∵是等边三角形，∴，，∴， ∴，∴，∵，∴， 又，，∴．故答案为：． 例4（2025·湖北随州·二模）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题，如图1，是等边三角形，是外部一点，连接、、，且，求证： ①如图2，小亮同学从线段出发，给出如下解题思路：将线段绕点顺时针旋转60°到，连接、，将线段、、转化到中证明结论． ②如图3，小明同学从线段出发，给出如下解题思路，将线段逆时针旋转到，连接、，构造全等三角形和直角三角形，从而证明结论． 请你选择一名同学的思路，写出证明过程． 【类比分析】（2）李老师发现前面的两名同学都利用“旋转”这一图形变换，将三条分散的线段转化到同一个三角形中，为帮助学生更好地体会“旋转”变换的妙用，李老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图4，△ABC是等腰直角三角形，，，点、是斜边所在的直线上的两点，连接、，满足，求证： 【学以致用】（3）如图5，在中，，将线段绕点顺时针旋转到，连接、，若， ，求线段的长． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）证明：①根据题意，，， ∴是等边三角形，∴，， ∵是等边三角形，∴，， ∴，即，∴∴． ∵，，∴， ∴ ， ∴                                                                ②根据题意，，，  ∴是等边三角形，∴．   ∵是等边三角形，∴，∴， ∴，∴，    ∴，． ∵且  ∴ ， ∵ ，∴ ∴，∴，∴．                                                                              （2）证明：如图1，将线段绕点A逆时针旋转到，连接，． ∵是等腰直角三角形， ，，∴ ∴，∴．∵，∴， ∴，，∴ ，                                            ∵，且，，∴ ∴．   ∵，，  ∴，∴， ∴在中，，∴ （3）解：如图2，过点作，截取，连接，，∴是等腰直角三角形． ∵， ∴，． 由（2）同理可证．，过点E作，交的延长线于点，∴ ∵，  ∴，  ∴． 在中，根据勾股定理得 ， ∵ ，  ∴．        在中，根据勾股定理得，∴． 1.（2025·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在正方形外取一点E，连接，，，过点作的垂线交于点P，若，则下列结论：①；②；③点C到直线的距离为；④其中结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：四边形为正方形，，， ，，， ，，故①正确； ，，， ， ，，故②正确； 过点作的延长线于点，如图所示， ，，， ，，， ，， ，，，故③错误； ，，，， ，故④正确；综上所述，正确的有个，故选：C． 2．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，点是正方形内一点，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将绕着点A顺时针旋转90°得到，连接，则是等腰直角三角形 ∴∴，∴ ∵∴∴ 故选C． 3．（25-26九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，O是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接， 由旋转可得，．为等边三角形． 过点作于点．． 为正三角形，．． ．． 为直角三角形．． 故选：． 4．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，已知等边三角形，点为外一点，连接，；且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，且，若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接，过点作交延长线于F， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，∴，； ∵三角形是等边三角形，∴，，∴， ∴，∴，∴，，∴； ∵，∴，，又∵， ∴，；∵，∴， 在中，；故答案为：． 5．（2025·重庆南岸·模拟预测）如图，都是等边三角形，将绕点旋转，使得点在同一直线上，连接．若，则的长是 ． 【答案】3 【详解】解：∵是等边三角形，∴，， ，，∴， 在和中，∵，∴， ∴，∴，∴．答案为：3． 6．（2025·广东广州·校考一模）如图，为等边三角形，点D为外的一点，，，，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，∵为等边三角形， 将绕点顺时针旋转得到，则 ∴，∴是等边三角形， ∵∴∴， 过点作于点∵∴∵，∴ 在中，∴解得：（负值舍去） ∴故答案为：． 7．（2025·贵州遵义·校考一模）如图，为等边三角形内一点，，，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【详解】解∶连接，过点D作于点F， ， 由题意，知，，，， ∴是等边三角形，∴， 又，∴，∴， ∵，，，∴，∴， ∴．故答案为：． 8．（25-26九年级上·福建宁德·月考）如图1，在中，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接． (1)若，求的长；(2)如图2，在中，，为外一点，且，线段，，之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；(3)如图3，已知是的直径，点，是上的点，且，求线段，，之间满足的等量关系为___________． 【答案】(1)(2)，证明见解析(3) 【详解】（1）解：由旋转知，，，∴， ∵，∴，∴，， 在中，，∴， ∴，∴， 根据勾股定理得，， ∵，，∴，∴； （2）解：，证明如下： 如图2，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接， 同（1）的方法得，，∴， 在中，，∴，∴， ∵，∴， 根据勾股定理得，，即； （3）解：如图3，过点作交的延长线于，∴， ∵，∴，∴， 根据勾股定理得，，连接， ∵是的直径，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，，∴ 则，∴．故答案为：． 9．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）已知是等边三角形． (1)如图1，点D在内，且，，，把绕着点C顺时针旋转，使点B旋转到点A，得到，求线段的长为； (2)如图2，点D在外，且，，，求的度数．    【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：把绕着点C顺时针旋转，使点B旋转到点A，得到，连接，       ∵是等边三角形，∴，∵， ∴，，易得∴是等边三角形，则， ∵，∴，则， ∵，，∴，， 在中，由勾股定理得：，所以； （2）解：如图，将绕点A顺时针旋转使点C与点B重合，得到，连接， ∴，依题意，得（旋转角相等），且， 同理：为等边三角形，∴，， ∵，∴，∴为直角三角形，， ∴，∵，∴． 10．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）（1）【操作发现】如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是______三角形． （2）【类比探究】如图2，在等边三角形内任取一点，连接，，，若，，，求的长． （3）【解决问题】如图3，在边长为的等边三角内有一点，，，求的面积． （4）【拓展应用】如图4是，，三个村子位置的平面图，经测量，为内的一个动点，连接，，．求当的最小时的度数． 【答案】（1）等边（2）（3）（4） 【详解】（1）解：等边，理由如下：将绕点顺时针旋转，得到 ，是等边三角形 （2）解：如图，将绕点逆时针方向旋转，得，连接，那么有， 是等边三角形， 在中， （3）解：如图，将绕点按逆时针方向旋转，得到， 是等边三角形，，， ；，即 即 （4）解：将绕点顺时针旋转，得到，连接、，如图所示： ，，，是等边三角形 ， 当、、、在一条直线上时，最小；当最小时， 11．（2025·辽宁鞍山·一模）(1)如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． (2)如图2，在四边形中，，，若，，求的长． (3)如图3，在四边形中，，，，若，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)；(3)5 【详解】（1）证明：∵和为等边三角形，∴，，， ∵，∴，∴，∴； （2）解：在延长线上取点，连接，使得， ∵，，∴， ∵，，∴，， ∵，，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵，，∴，∵，， ∴，∴，∵，∴，∴； （3）解：作，在边上截得，连接， ∵，，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∵，， ∴，∴， 在中，，∵， ∴，∴， ∵，，∴，∴，∴； 12．（2025·江苏徐州·一模）如图，在中，以为边向外作等边，以为边向外作等边，连接、．求证：． 【知识应用】如图，四边形中，、是对角线，是等腰直角三角形，，，，求的长． 【拓展提升】如图，四边形中，，，，则________． 【答案】证明见解析；； 【详解】（1）证明：，是等边三角形，，，， ， ． （2）解：过点C作且，连接，，则，. 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在中，． ． 为直角三角形，在中 , ， ， （3）解：作，且，连接，如图所示， ， ， ， ， ，， ，且，, ， ， ， 在，又， 为等腰直角三角形，， 设，由于，则， ，， 又， ， ． 13．（2025·山东济南·模拟预测）（问题提出）如图1，在等边内部有一点P，，，，求的度数． （数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题． 【尝试解决】将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形．，又，，，为 三角形，的度数为 ． 【类比探究】如图2，在中，，，其内部有一点P，若，，，求的度数． 【联想拓展】如图3，在中，，，其内部有一点P，若，，，求的度数．    【答案】【尝试解决】直角，；【类比探究】；【联想拓展】 【详解】尝试解决：解：将绕点A逆时针旋转，得到，连接， ，，，为等边三角形，，， ，，，， 为直角三角形，，， 的度数为，故答案为：直角，； 类比探究：解：如图，将绕点A逆时针旋转，得到，连接， 由旋转的性质可知，，，， 是等腰直角三角形，，， ，，， ，为直角三角形，， ；    联想拓展：解：如图，以为直角边构造直角三角形，使得，， ，，，，， ，，，， ，，，，， ，，，，， 在中，，，，，， ，是直角三角形，，． 14．（24-25九年级上·河南周口·期中）在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动．    (1)探究发现:如图，在等边内部有一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数是 ． (2)类比延伸:如图，在中，，．在内部有一点，连接，若，试判断之间的数量关系，并说明理由． (3)迁移应用:如图，在中，，．在直线的上方有一点，连接，若∠，则存在实数使得成立，请直接写出的值． 【答案】(1)；(2)，理由见解析；(3)． 【详解】（1）解：由旋转性质可知：，，， ∴是等边三角形，∴，， ∵，∴，∴， ∴，故答案为：； （2）解：，理由如下：如图中，将绕点逆时针旋转得到，连接，    由旋转性质可知：，，，∴，， ∵，∴， ，∴，∴； （3）解：如图中，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，垂足为， 由旋转性质可知：，，，， ∴，∴，∴， ∵，，∴，在中，，∴， ∴，∴，∴，∴． 15．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）问题呈现：如图1，在中，，，，以为边向外作等边，求的长． 操作探索：小明同学为了寻找与已知线段、之间的数量关系，他将问题特殊化，将线段绕点顺时针旋转到上，如图2，进而联想到自己非常熟悉的图3模型，以为边作等边，连． （1）如图3，直接写出与间的数量关系 　　；（2）如图1，求的长． 理解运用：根据以上探索，如图4，在四边形中，，，．若，，求的长． 延伸拓展：已知，如图5，P为正内一点，，．直接写出以、、为边构成的三角形各个内角的度数． ​ 【答案】（1）（2）7 理解运用：5 延伸拓展：以，，为边的三角形的三内角的度数分别为，， 【详解】解：（1），理由如下：与是等边三角形，，， ，，即． 在和中，，，，故答案为：； （2）如图1，以为边作等边三角形，连接，过点作垂直于延长线于点， 与是等边三角形，，， ，，即． 在和中，，，， ，，，，，， ，，，； 理解运用：如图4，连接、，在四边形的外部以为一边作等边，连接， 在中，，，是等边三角形，，， 又是等边三角形，，，， 即，，， 是等边三角形，，， ，，在中，， ，； 延伸拓展：如图5，将绕点顺时针旋转得，则， ，，，是等边三角形， ，，就是以，，三边为边的三角形， ，， ，，， 以，，为边的三角形的三内角的度数分别为，，． 16．（2025·广东湛江·二模）综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，探究旋转变换的几何问题． 【建立模型】（1）如图1，点为等边内部一点，小颜发现：将绕点逆时针旋转得到，则．请思考并证明小颜的结论； 【类比探究】（2）小梁进一步探究；如图2，点为正方形内部一点，将绕点逆时针旋转得到，连接并延长，交于点．求证：； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，点为内部一点，．点，是，上的动点，且，若，，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）证明：∵绕点B逆时针旋转得到，∴． ∵为等边三角形，∴， ∵， ∴，∴， 在和中，，∴． ∴； （2）证明：如图， 过点B分别作于点 F，于点 G，则 ∵绕点B逆时针旋转得到， ∴． ∵四边形为正方形， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中，，∴∴． ∵， ∴． ∴．∵， ∴．∴． ∵， ∴四边形为矩形． ∵， ∴矩形为正方形．∴． ∴． ∵四边形为正方形，∴，∴，      ，； （3）解：连接， 将绕点A 逆时针旋转一定的度数得到， 使得， 连接． ∴同上可得：． ∴．连接交于点， ∴ (两点之间线段最短)． ∴当M， Q， N三点共线时，有最小值是的长度． 由（2）易得：．∴，． ∵．∴． ∴． 过N作于H． ∵， ∴． ∴， ，． 17．（2025·河南平顶山·二模）阅读下面材料：嘉淇遇到这样一个问题：如图1，是等边三角形，P是三角形内部一点，且，求的度数． 嘉淇是这样思考的：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接，可以根据边角边证明，进而通过判定得到两个特殊的三角形解决问题． （1）嘉淇遇到的问题中，的度数是 ．（请直接写出答案） 参考嘉淇同学的思路，解决下列问题：（2）如图3，在正方形内有一点P，且，，求正方形的边长．（3）如图4，在中，，点在边上，．若是等腰三角形的腰长，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【详解】（1）解：如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接， ，，是等边三角形，，， 是等边三角形，，， ，即， 在和中，，，，， ，，，， ，，故答案为： （2）解：如图，把绕点逆时针旋转得到． 由旋转的性质，得，，，是等腰直角三角形， ，，， 又，，， ，． 、、三点共线． 过点作于点，则，． 在中，，正方形的边长为； （3）解：的值为或． 当时，如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作于点．在中，，，， ，，， ， ， 由旋转的性质得，，，，， ．又，， ，，． ，，． ，，，． 在中，，，； 当时，如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作于点．同理可知，，， ， 综上所述，的值为或． 18.（24-25·九年级上·辽宁抚顺·期末）在数学活动课上，黄老师给出如下问题：在中，，，点D和点B位于直线异侧，且． 【问题初探】（1）当时，求证：． 数学活动小组同学经过讨论得出下面的解题思路并解决了这个问题． 解题思路：如图2，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接．易证是等边三角形，易证，将线段之间的数量关系转化为线段之间的数量关系． 数学活动小组同学解决完上述问题后，感悟了此题的数学思想方法，发现此题还有不同位置的情况，请你解答 ②如图3，点D不在的延长线上时，连接，求证：． 【类比探究】数学活动小组还有同学提出将其角度变化进行变式，请你解答． （2）当时，①发现点D在的延长线上时，点D与点C重合（不需要证明）． ②如图4，点D不在的延长线上时，连接，判断（1）②中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，请写出正确的结论并说明理由． 【拓展提升】黄老师在此基础上提出了下面的问题，请你解答． （3）当，点D不在的延长线上时，连接，若，，求的长． 【答案】（1）②，证明见解析；（2）②不成立，；（3）的长为6或 【详解】（1）② 证明：如图1，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． 由旋转可得，，∴是等边三角形∴， ∵，∴是等边三角形∴ ∴即∴∴， ∵，∴ ∵∴ 在中，∴ （2）② 中的结论不成立， 如图2，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． 由旋转可得，，∴是等腰直角三角形∴， ∵，∴是等腰直角三角形∴ ∴即∴∴， ∵，∴∵∴ 在中，∴． （3）如图3，过点C作，交的延长线于点E， ∵，，∴是等边三角形∴， ∵∴∵在中，， ∴，在中，∴ ∴由（1）②得，∴ 如答图4，过点C作，垂足为点F， ∵，，∴是等边三角形∴， ∵∴∵在中，， ∴，在中，∴ ∴由（1）②得，∴ 答：的长为6或． 19.（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）阅读下面材料： 小岩遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝1，，PC＝2，求∠APB的度数；小岩是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．(1)请你回答：图1中∠APB的度数等于____；（直接写答案） 参考小岩同学思考问题的方法，解决下列问题： (2)如图3，在正方形ABCD内有一点P，且，，．求∠APB的度数； (3)如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，若∠APB＝，直接写出PA，PB和PF的数量关系． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：如图2，把△APB绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质， ∴是等边三角形， ∴ ∵∴   ∴ 故； 故答案为：． （2）如图3，把△APB绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴， ∴， 故． （3）如图4，∵正六边形的内角为， ∴把△APB绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质，，∴， 过点A作于M，设与AF相交于N， 设 则 ∴ ∴ 由旋转的性质可得：   ∴ ∴ ∴ 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16.全等模型之奔驰模型 对于奔驰模型我们主要是可以通过一些几何变化，把其中的线段进行转移，以达到聚合条件，推出我们想要的结论的目的。对于几何变化，目前学过的主要有：轴对称，平移，旋转，位似等。对于“奔驰模型”我们主要采用旋转的方法进行变换。对于旋转处理，我们主要分为：旋转全等，旋转相似。 今天的这主要讲“奔驰模型”之旋转全等类型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内） 5 模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内） 9 模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型） 12 16 奔驰模型因图形构造类似奔驰车标志而得名，尤其在等边三角形中通过特定线段连接形成的结构‌。在等边三角形中，通过从一个顶点向对边引线段，再向另两个顶点连线，形成的“三叉”对称结构酷似奔驰车标的三叉星图案。这一形象化的关联使其在初中几何教学中更易被学生记忆，成为几何模型中的经典案例。在等腰直角三角形或正方形中应用奔驰模型时，意外发现旋转角度可调整为45°或90°，进一步验证了模型的普适性。‌ （2024·四川广元·二模） 【问题提出】小明、小强、小东三人兴趣小组在研究等边三角形时，小明提出了一个猜想：等边三角形内一点到三角形三个顶点的长度确定时，这点与三顶点连线构成的角的度数也就随之确定． 【问题解决】（1）如图1，点 P 是等边 内的一点， 小强将绕点B逆时针旋转，得到，连接，从而求出的度数．请你写出小强的求解过程． 【问题延伸】（2）在研究中，小东又提出一个猜想：当点在等边三角形外与三顶点距离确定时，这点与三顶点连线构成的角的度数也会随之确定．如图2， 求 的度数． 【拓展应用】（3）如图 3，在正方形 内有一点P， 求 的度数． 1）奔驰模型1（动点在等边三角形内） 条件：如图，已知正三角形内有一点P，满足（常考数据：BP=3，AP=4，CP=5）， 结论：∠APB=150°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明） 常用结论 等边三角形的面积公式：（选填题非常适用） 证明：以AP为边向左侧作等边三角形APP’，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AP’=PP’，∠BAC=∠PAP’=∠PP’A=60°； ∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠BAP=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C； ∵，∴，∴∠PP’C=90°， ∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=150°；∴∠APB=150°。 2）奔驰模型2（动点在等腰直角三角形内） 条件：如图，已知等腰直角三角形ABC内有一点P，满足， 结论：∠CPB=135°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明） 证明：以AP为边向左侧作等腰直角三角形APP’，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都为等腰直角三角形； ∴AB=AC，AP=AP’，∠BAC=∠PAP’=90°，，∠AP’P=45°； ∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠PAB=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C； ∵，∴，∴∠PP’C=90°， ∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=135°；∴∠APB=135°。 3）奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型） 模型1）条件：如图1，点P在等边三角形ABC外，若，结论：∠CPA=30°。 模型2）条件：如图2，点P在等腰直角三角形ABC外，若 ，结论：∠APC=45°。 （注意：上述两个模型结论和条件互换也成立） 图1 图2 模型1）证明：以AP为边向右侧作等边三角形ADP，连接DC。 ∵三角形ABC和三角形ADP都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AD=DP，∠BAC=∠PAD=∠APD=60°； ∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠BAP=∠CAD，∴（SAS），∴BP=CD； ∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠CPA=∠DPC-∠APD=30°。 模型2）证明：以AP为边向上方作等腰直角三角形APP’，且∠PAD=90°，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APD都为等腰直角三角形； ∴AB=AC，AP=AD，∠BAC=∠PAD=90°，，∠APD=45°； ∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠PAB=∠DAC，∴（SAS），∴BP=CD； ∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠APC=∠DPC-∠APD=45°。 模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内） 例1（2025·贵州遵义·三模）如图，已知为等边三角形．P为内一点，，将绕点B逆时针旋转后得到．(1)求点P与点之间的距离；(2)求的度数． 例2（2025山东滨州·模拟预测）如图，点是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接.若，，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 例3（2025·北京门头沟·一模）如图，在等边三角形中，有一点P，连接、、，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 例4（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图，是正内一点，，，，将线段BO以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论，①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为5；③；④四边形面积；⑤，其中正确的结论是（    ） A．①④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．①③⑤ 模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内） 例1（24-25九年级上·黑龙江·期中）如图，点是正方形内一点，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 例2（2025·贵州黔东南·二模）如图，P是正方形内一点，，，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，下列结论：①可以由绕点A逆时针旋转得到；②点P与的距离为4；③；④；其中正确的结论是 ．（填序号） 例3（2025·河北·校考一模）如图1，在正方形内有一点P，，，，求的度数． 【分析问题】根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是将绕点B逆时针旋转，得到了（如图2），然后连结． 【解决问题】请你通过计算求出图2中的度数； 【比类问题】如图3，若在正六边形内有一点P，且，，． （1）的度数为 ；（2）直接写出正六边形的边长为 ． 模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型） 例1（24-25九年级上·湖北荆门·期中）如图，为等边三角形外一点，，，．则的度数为 ． 例2（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在四边形中，，，，若，，则的长是 ．    例3（2025·广西贺州·二模）如图，点P为等边三角形外一点，连接，，若，，，则的长是 ．    例4（2025·湖北随州·二模）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题，如图1，是等边三角形，是外部一点，连接、、，且，求证： ①如图2，小亮同学从线段出发，给出如下解题思路：将线段绕点顺时针旋转60°到，连接、，将线段、、转化到中证明结论． ②如图3，小明同学从线段出发，给出如下解题思路，将线段逆时针旋转到，连接、，构造全等三角形和直角三角形，从而证明结论． 请你选择一名同学的思路，写出证明过程． 【类比分析】（2）李老师发现前面的两名同学都利用“旋转”这一图形变换，将三条分散的线段转化到同一个三角形中，为帮助学生更好地体会“旋转”变换的妙用，李老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图4，△ABC是等腰直角三角形，，，点、是斜边所在的直线上的两点，连接、，满足，求证： 【学以致用】（3）如图5，在中，，将线段绕点顺时针旋转到，连接、，若， ，求线段的长． 1.（2025·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在正方形外取一点E，连接，，，过点作的垂线交于点P，若，则下列结论：①；②；③点C到直线的距离为；④其中结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，点是正方形内一点，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，O是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，则是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，已知等边三角形，点为外一点，连接，；且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，且，若，则的长为 ． 5．（2025·重庆南岸·模拟预测）如图，都是等边三角形，将绕点旋转，使得点在同一直线上，连接．若，则的长是 ． 6．（2025·广东广州·校考一模）如图，为等边三角形，点D为外的一点，，，，则的面积为 ． 7．（2025·贵州遵义·校考一模）如图，为等边三角形内一点，，，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分的面积为 ． 8．（25-26九年级上·福建宁德·月考）如图1，在中，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接． (1)若，求的长；(2)如图2，在中，，为外一点，且，线段，，之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；(3)如图3，已知是的直径，点，是上的点，且，求线段，，之间满足的等量关系为___________． 9．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）已知是等边三角形． (1)如图1，点D在内，且，，，把绕着点C顺时针旋转，使点B旋转到点A，得到，求线段的长为； (2)如图2，点D在外，且，，，求的度数．    10．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）（1）【操作发现】如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是______三角形． （2）【类比探究】如图2，在等边三角形内任取一点，连接，，，若，，，求的长． （3）【解决问题】如图3，在边长为的等边三角内有一点，，，求的面积． （4）【拓展应用】如图4是，，三个村子位置的平面图，经测量，为内的一个动点，连接，，．求当的最小时的度数． 11．（2025·辽宁鞍山·一模）(1)如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． (2)如图2，在四边形中，，，若，，求的长． (3)如图3，在四边形中，，，，若，，求的长． 12．（2025·江苏徐州·一模）如图，在中，以为边向外作等边，以为边向外作等边，连接、．求证：． 【知识应用】如图，四边形中，、是对角线，是等腰直角三角形，，，，求的长． 【拓展提升】如图，四边形中，，，，则________． 13．（2025·山东济南·模拟预测）（问题提出）如图1，在等边内部有一点P，，，，求的度数． （数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题． 【尝试解决】将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形．，又，，，为 三角形，的度数为 ． 【类比探究】如图2，在中，，，其内部有一点P，若，，，求的度数． 【联想拓展】如图3，在中，，，其内部有一点P，若，，，求的度数．    14．（24-25九年级上·河南周口·期中）在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动． (1)探究发现:如图，在等边内部有一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数是 ． (2)类比延伸:如图，在中，，．在内部有一点，连接，若，试判断之间的数量关系，并说明理由． (3)迁移应用:如图，在中，，．在直线的上方有一点，连接，若∠，则存在实数使得成立，请直接写出的值． 15．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）问题呈现：如图1，在中，，，，以为边向外作等边，求的长． 操作探索：小明同学为了寻找与已知线段、之间的数量关系，他将问题特殊化，将线段绕点顺时针旋转到上，如图2，进而联想到自己非常熟悉的图3模型，以为边作等边，连． （1）如图3，直接写出与间的数量关系 　　；（2）如图1，求的长． 理解运用：根据以上探索，如图4，在四边形中，，，．若，，求的长． 延伸拓展：已知，如图5，P为正内一点，，．直接写出以、、为边构成的三角形各个内角的度数． ​ 16．（2025·广东湛江·二模）综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，探究旋转变换的几何问题． 【建立模型】（1）如图1，点为等边内部一点，小颜发现：将绕点逆时针旋转得到，则．请思考并证明小颜的结论； 【类比探究】（2）小梁进一步探究；如图2，点为正方形内部一点，将绕点逆时针旋转得到，连接并延长，交于点．求证：； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，点为内部一点，．点，是，上的动点，且，若，，，请直接写出的最小值． 17．（2025·河南平顶山·二模）阅读下面材料：嘉淇遇到这样一个问题：如图1，是等边三角形，P是三角形内部一点，且，求的度数． 嘉淇是这样思考的：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接，可以根据边角边证明，进而通过判定得到两个特殊的三角形解决问题． （1）嘉淇遇到的问题中，的度数是 ．（请直接写出答案） 参考嘉淇同学的思路，解决下列问题：（2）如图3，在正方形内有一点P，且，，求正方形的边长．（3）如图4，在中，，点在边上，．若是等腰三角形的腰长，请直接写出的值． 18.（24-25·九年级上·辽宁抚顺·期末）在数学活动课上，黄老师给出如下问题：在中，，，点D和点B位于直线异侧，且． 【问题初探】（1）当时，求证：． 数学活动小组同学经过讨论得出下面的解题思路并解决了这个问题． 解题思路：如图2，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接．易证是等边三角形，易证，将线段之间的数量关系转化为线段之间的数量关系． 数学活动小组同学解决完上述问题后，感悟了此题的数学思想方法，发现此题还有不同位置的情况，请你解答 ②如图3，点D不在的延长线上时，连接，求证：． 【类比探究】数学活动小组还有同学提出将其角度变化进行变式，请你解答． （2）当时，①发现点D在的延长线上时，点D与点C重合（不需要证明）． ②如图4，点D不在的延长线上时，连接，判断（1）②中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，请写出正确的结论并说明理由． 【拓展提升】黄老师在此基础上提出了下面的问题，请你解答． （3）当，点D不在的延长线上时，连接，若，，求的长． 19.（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）阅读下面材料： 小岩遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝1，，PC＝2，求∠APB的度数；小岩是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．(1)请你回答：图1中∠APB的度数等于____；（直接写答案） 参考小岩同学思考问题的方法，解决下列问题： (2)如图3，在正方形ABCD内有一点P，且，，．求∠APB的度数； (3)如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，若∠APB＝，直接写出PA，PB和PF的数量关系． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $