专题15 全等模型之倍长中线与截长补短模型（几何模型讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦“全等模型之倍长中线与截长补短”专题，针对中考几何核心考点，构建“模型来源-真题解析-提炼拓展-分层运用”的知识体系，通过考点梳理明确倍长中线（中线型、中点型、中点+平行线型）和截长补短模型的应用条件，结合真题讲解突破辅助线添加难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于“模型化教学”与“真题驱动”策略，如通过2024通辽中考“伞形图”问题，引导学生用数学眼光抽象几何模型，借助倍长中线法构造全等三角形培养推理能力。设置“模型运用-拓展延伸”分层练习，配合即时反馈机制，帮助学生高效掌握辅助线技巧，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生几何综合解题能力。

专题15.全等模型之倍长中线与截长补短 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 5 模型1.倍长中线模型 5 模型2.截长补短模型 10 15 倍长中线与截长补短在数学几何解题领域有着漫长且重要的发展历程。 倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究。古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础。数学文献中，“倍长中线”作为标准术语被确立于20世纪，成为初等几何常见技巧。 截长补短概念起初源于对图形简单拼接与分割的实践探索，后来在计算机图形学早期发展也有辅助线贡献。截长补短也被纳入中学数学教材成为常见解题手段，截长补短能巧妙处理线段数量关系难题，效果显著。 （2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） （2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围． 【构建模型】她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”． 请回答：（1）小红证明的判定定理是： ．（2）的取值范围是 【模型应用】（3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ． 1.截长补短模型 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 2-1.倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2-2.倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 2-3.倍长类中线模型拓展（中点+平行线型） 条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。 证明：延长FE，交DC的延长线于点G。 ∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS） 若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。 模型1.倍长中线模型 例1（2025·广东广州·二模）如图，在中，，是边上的中线，若，，则的值为 ． 例2（2025·重庆·模拟预测）[问题情境]（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，E是的中点，，D、A、E三点共线．求证：． 小玉在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点F，使得，连结．请根据小玉的方法思考：由已知和作图能得到，依据是 ．由全等三角形、等腰三角形的性质可得． 初步运用（2）如图2，在中，平分，E为的中点，过点E作，分别交的延长线和于点D、点A．求证：． 拓展运用（3）如图3，在（1）的基础上（即E是的中点，，D、A、E三点共线），连结，若，当，时，求的长． 例3（2025·山东聊城·二模）【发现问题】数学活动课上，刘老师提出了如下问题：如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】“智慧”小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】（1）如图1，直接写出边上的中线的取值范围． （2）如图2，在等腰三角形和等腰三角形中，，连接和，E是的中点，求证：． 【问题拓展】（3）如图3，在中，于点D，是边上的中线，过点E作，交于点M，连接，判断之间的关系并证明． 例4（2025·北京·模拟预测）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在复习三角形中线的相关知识时，李老师提出了以下问题： 如图①，在中，为中线，已知，求中线长的取值范围．小颖和小组交流后，通过倍长中线，将分散的条件迁移到同一个三角形中，利用三角形的边角关系顺利的解决了问题，下面是小颖的解题思路：延长至点，使，连接，则易证，得到，则可得，从而可得中线长的取值范围是． 任务：(1)如图②，在四边形中，，点为边的中点，且平分，则、、的数量关系是________； (2)如图③，在四边形中，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图④，是的中点，点在线段上，，若，直接写出的面积． 模型2.截长补短模型 例1（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在凸四边形中，，，平分，，则 ． 例2（2025·辽宁大连·模拟预测）【方法探究】如图1，在中，平分，，探究，，之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题． 方法2：如图3，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题． （1）根据探究，直接写出，，之间的数量关系； 【迁移应用】（2）如图4，在中，D是上一点，，，于，探究，，之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】（3）如图5，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：． 例3（2025·江苏宿迁·二模）综合与实践： 【回归教材】在八年级我们探究了三角形中边与角之间的不等关系，发现：在三角形中，大边对大角，大角对大边． 小明的探究方法如下：如图1，在中，如果，作的角平分线交于点，在边上截取，连接，进而证明，则．这说明“在三角形中，大边对大角”． 如图2，在中，如果，作垂直平分交于点，则，．这说明“在三角形中，大角对大边”． 【尝试探究】（1）如图3，在中，为的角平分线交于点，试证明：； 【进阶思考】（2）如图4，在中，分别为的角平分线，求证：； 【拓展运用】（3）如图5，在中，为上一点，且，比较和的大小关系，并说明理由． 1．（2025·浙江·一模）如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（    ）． A．2 B． C． D．3 2．（2025·广东汕头·三模）如图，在中，是的平分线，，，，则的长为 ． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则______________． 4．（2025·广西·一模）【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想，如图①，在中，是边上的中线，若延长至，使，连接，可根据证明，则． (1)【类比探究】如图②，在中，，，点是的中点，求中线的取值范围； (2)【拓展应用】如图③，在四边形中，，点是的中点．若是的平分线．试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 5．（2025·山西·一模）阅读材料，解答下列问题． 如图1，已知△ABC中，AD 为中线．延长AD至点E，使 DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，进一步可得到AC=BE，AC//BE等结论． 在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题． 解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，点F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF． 6．（2025·贵州·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： (1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程． (2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由． 7．（24-25安徽·九年级校联考阶段练习）安安利用两张正三角形纸片，进行了如下探究：    【探究证明】（1）如图1，和均为等边三角形，连接交延长线于点，求证：； 【拓展延伸】（2）如图2，在正三角形纸片的边上取一点，作交外角平分线于点，探究，和的数量关系，并证明； 【思维提升】（3）如图3，和均为正三角形，当，，三点共线时，连接，若，直接写出下列两式分别是否为定值，并任选其中一个进行证明：①；②． 8．（2025·山东菏泽·三模）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：    如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是______； A．        B．       C．        D． (2)由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是______． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． (3)【初步运用】如图2，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． (4)【灵活运用】如图3，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接，试猜想线段、、三者之间的等量关系，直接写出你的结论． 9．（2025·河南南阳·模拟预测）【综合与实践】综合实践课上，老师带领同学们研究“菱形背景下的旋转问题”． 问题情境：在菱形中，，为边上一点（与、不重合），连接，并将射线绕点在平面内顺时针旋转，记旋转角为． 【操作感知】（1）小华取，如图1，射线与射线交于点，请你帮小华同学补全下面两个问题的答案：①线段与的数量关系是 　　；②线段、、的数量关系是 　　． 【猜想论证】（2）小强取，如图2，射线与射线交于点，小强在笔记本上记录了自己的思考过程：线段与的数量关系与（1）①相同但线段、、的数量关系好像不再成立 我发现线段、、之间好像具有与（1）②类似的数量关系 请你帮小强同学完成线段、、之间数量关系的猜想并给出证明． 【拓展探究】（3）小毅测量得到，，如图3，在旋转过程中，设点的对应点为，当点落在边所在的直线上时，记点到直线的距离为，请直接写出的值． 10．（2025·吉林长春·一模）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题： 如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____． 【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法： （1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______． 【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法． 【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得． 下面是小明的部分证明过程：证明：延长至点，使，连接， ∵点是的中点，∴． ∵，，∴， ∴，，∴，． 请你补全余下的证明过程． 【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ． 11．（2025·重庆·模拟预测）[问题情境] （1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，E是的中点，，D、A、E三点共线．求证：． 小玉在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点F，使得，连结．请根据小玉的方法思考：由已知和作图能得到，依据是 ．由全等三角形、等腰三角形的性质可得． 初步运用 （2）如图2，在中，平分，E为的中点，过点E作，分别交的延长线和于点D、点A．求证：． 拓展运用 （3）如图3，在（1）的基础上（即E是的中点，，D、A、E三点共线），连结，若，当，时，求的长． 12．（2025·广东东莞·模拟预测）综合与实践 【问题提出】小明在数学课上遇到这样一个问题：如图1，在中，已知，的长，求边上中线的取值范围．他用“倍长中线”的方法构造全等三角形，即延长至点，使，再连接，得到一对全等三角形，最终解决了问题． 下课后小明继续思考，已知三角形中两边的长，是否能求夹角的角平分线？如果不能，那满足什么样的条件能求？ 【探究发现】（1）小明设计了这样的问题：如图2，在中，已知，，平分．若，求的长．他的方法是过点作的平行线，交的延长线于点． ①求的长．②若，，，则__________．(用含，，的代数式表示) 【拓展延伸】（2）老师看到小明的研究后告诉他，求三角形角平分线还可以借助圆的知识来解决．如图3，作的外接圆，的平分线交于点，交于点． ①已知，，求的值． ②求证：． 13．（2025·宁夏固原·三模）综合与实践．在中，． 【发现结论】结论1：如图1，当是的角平分线时，则_______ ；（数量关系）． 结论2：如图1，当点D，E分别是边的中点，连接，则______，并证明此结论． 【拓展应用】探究发现：在中，，D为边上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边上的任意位置，在另一边上总能找到一个与其对应的点E，使得． （1）如图2，在中，，点D，E分别在边，的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得，并证明． （2）如图3，在中，，，点E为边上任意一点（不与点A，B重合），点F为边延长线上一点．判断与能否相等．若能，请直接写出的取值范围，若不能，请说明理由． 14．（2025·江苏南通·一模）综合与实践： 【回归教材】八年级上册教材中探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分内容如下： 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，折边落在上，点C落在上的为D点，折线交于点E，则，， 这说明在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等．大边所对的角越大． 从上面的过程可以看出，通过轴对称的性质或“截长补短”构建全等三角形的方法将陌生问题转化为已学习的问题，这是研究几何问题时常用的方法．类比探究“在三角形中，大角对大边”． （1）如图2，在中，，判断： ______（填“>”、“=”或“<”）． 【进阶思考】（2）如图3，在中，，、分别为、的角平分线，求证：． 【拓展运用】（3）如图4，在中，D为上一点，且，比较和的大小关系，并说明理由． 15．（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）【知识回顾】（1）如图1，在中，是边上的中线，，，求的取值范围． 小明和小刚两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路． ①小明同学的思考过程：在中，已知两边和的长度，根据条件只能直接求出边的取值范围．而要想求中线的取值范围，只有将中线转化到一个三角形的两边长度是已知量的第三条边上．如图2，可以延长到点，使，连接，这样就构造了，将求的取值范围，转化为求的边的取值范围； ②小刚同学的解题思路与小明基本一致，也是构造三角形，只是构造方法不同．如图3，过点作交延长线于点，于是得到．进而将求的取值范围，转化为求的取值范围． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【迁移应用】（2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题． 如图4，在中，是边的中点，点在边上，，，，求的取值范围． 【能力提升】（3）如图5，在正方形中，为对角线的中点，，点在边上，为平面内一点且，以为斜边，在的右侧作等腰直角三角形，连接，求的取值范围． 16．（2025·青海西宁·三模）综合与实践 【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”，，，求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点D，已知，求证：． 【拓展提升】（3）如图3，为的直径，，的平分线交于点E，交于点D，连接直接写出与的数量关系． 17．（2025·甘肃·三模）【模型建立】（1）如图1，是的中线，求的取值范围； 【模型应用】（2）如图2，是的中线，点E在边上，连接交于点F，且．求证：； 【模型迁移】（3）如图3，在四边形中，，点E是的中点，连接，，且，用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 18．（2025·山东·模拟预测）（1）如图1，四边形是边长为的正方形，，分别在，边上，．为了求出的周长．小南同学的探究方法是： 如图2，延长到，使，连接，先证，再证，得，从而得到的周长 ； （2）如图3，在四边形中，，，．，分别是线段，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系； （3）如图4，若在四边形中，，，，分别是线段，上的点，且，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由； （4）若在四边形中，，，点、分别在、的延长线上，且，请画出图形，并直接写出线段、、之间的数量关系． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15.全等模型之倍长中线与截长补短 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 5 模型1.倍长中线模型 5 模型2.截长补短模型 10 15 倍长中线与截长补短在数学几何解题领域有着漫长且重要的发展历程。 倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究。古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础。数学文献中，“倍长中线”作为标准术语被确立于20世纪，成为初等几何常见技巧。 截长补短概念起初源于对图形简单拼接与分割的实践探索，后来在计算机图形学早期发展也有辅助线贡献。截长补短也被纳入中学数学教材成为常见解题手段，截长补短能巧妙处理线段数量关系难题，效果显著。 （2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）见解析 【详解】解：（1）在和中，∵，，， ∴，∴； （2）解：选择②为条件，①为结论：如图，在取点N，使，连接， ∵平分，∴， 在和中，∵，，， ∴，∴，， ∵，，∴，∴， ∴，∴； 选择①为条件，②为结论：如图，在取点N，使，连接， ∵平分，∴，在和中， ∵，，，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，∵，∴； （2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围． 【构建模型】她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”． 请回答：（1）小红证明的判定定理是： ．（2）的取值范围是 【模型应用】（3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ． 【答案】（1） ；（2），（3） 8 【详解】解：（1）延长到E，使，连接BE，∵是中线，∴， 又，∴，故答案为：； （2）∵，，∴，， 又，∴，即，∴，∴，故答案为：； （3）延长至点F，使，同（1）可证， ∴，，， 又，∴，∴，∴，∴， ∴“燕尾”四边形的面积为，故答案为：8． 1.截长补短模型 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 2-1.倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2-2.倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 2-3.倍长类中线模型拓展（中点+平行线型） 条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。 证明：延长FE，交DC的延长线于点G。 ∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS） 若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。 模型1.倍长中线模型 例1（2025·广东广州·二模）如图，在中，，是边上的中线，若，，则的值为 ． 【答案】9 【详解】解：作，交的延长线于点，则：， ∵，∴，∴，∴， ∵是边上的中线，∴， ∵，∴，∴；故答案为：9． 例2（2025·重庆·模拟预测）[问题情境]（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，E是的中点，，D、A、E三点共线．求证：． 小玉在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点F，使得，连结．请根据小玉的方法思考：由已知和作图能得到，依据是 ．由全等三角形、等腰三角形的性质可得． 初步运用（2）如图2，在中，平分，E为的中点，过点E作，分别交的延长线和于点D、点A．求证：． 拓展运用（3）如图3，在（1）的基础上（即E是的中点，，D、A、E三点共线），连结，若，当，时，求的长． 【答案】（1），（2）见解析，（3） 【详解】（1）证明：如图1，延长至点F，使得，连结， ∵点E是的中点，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，∴，∴；故答案为：； （2）证明：如图2，延长至H，使，连结， 同理可得：，∴，， ∵，∴，， ∵平分，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （3）解：如图3，延长至点F，使得，连结，过点C作于G， 设，同理可得：，∴，， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴，∵，E是的中点，∴， 由勾股定理得：，∵，， ∴，∴，∴， 由勾股定理得： ，∴． 例3（2025·山东聊城·二模）【发现问题】数学活动课上，刘老师提出了如下问题：如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】“智慧”小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】（1）如图1，直接写出边上的中线的取值范围． （2）如图2，在等腰三角形和等腰三角形中，，连接和，E是的中点，求证：． 【问题拓展】（3）如图3，在中，于点D，是边上的中线，过点E作，交于点M，连接，判断之间的关系并证明． 【答案】（1）（2）详见解析（3），证明见解析 【详解】解：（1）延长到E，使得；连接，∵点为的中点，∴， 又，∴，∴，∴， ∵，∴，即，故答案为：； （2）证明：延长至点H，使得，连接，如图2：则， 由题意得：，∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴∵，∴，∴，∴； （3）结论：．理由：延长到G使，连接． 在和中，，∴， ∴，∴，∴，又∵，∴， ∵，∴垂直平分，∴， 在中，，∴． 例4（2025·北京·模拟预测）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在复习三角形中线的相关知识时，李老师提出了以下问题： 如图①，在中，为中线，已知，求中线长的取值范围．小颖和小组交流后，通过倍长中线，将分散的条件迁移到同一个三角形中，利用三角形的边角关系顺利的解决了问题，下面是小颖的解题思路：延长至点，使，连接，则易证，得到，则可得，从而可得中线长的取值范围是． 任务：(1)如图②，在四边形中，，点为边的中点，且平分，则、、的数量关系是________； (2)如图③，在四边形中，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图④，是的中点，点在线段上，，若，直接写出的面积． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：延长与的延长线交于点P， ，，为的中点，， 在和中，，，， 平分，，，， ；故答案为：； （2）解：延长交的延长线于点P， ，，为的中点，， 在和中，，，， 平分，，，， ，即； （3）解：延长交的延长线于点， ∵是的中点，，，， 在和中，，，， ，，，， ，，过点作于点，在中，， ，． 模型2.截长补短模型 例1（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在凸四边形中，，，平分，，则 ． 【答案】/度 【详解】解：如图，在上截取，平分，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，∴， ∵，四边形内角和为， ∴．故答案为： 例2（2025·辽宁大连·模拟预测）【方法探究】如图1，在中，平分，，探究，，之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题． 方法2：如图3，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题． （1）根据探究，直接写出，，之间的数量关系； 【迁移应用】（2）如图4，在中，D是上一点，，，于，探究，，之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】（3）如图5，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）证明见解析． 【详解】（1）证明：方法一：∵平分，∴， 在和中，，，， ∴∴，， ∵，∴，∴，∴，∴； 方法二：延长到点E，使得，连接， ∴，则， ∵，∴，∵平分，∴， 在和中，，，， ∴，∴，∵，∴； （2）在上取，连接，∵于，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴； （3）如图所示，∵，为等边三角形，∴，， ∴∴， ∴，∴，∴， 过作，交于点，∴， ∵是的中点，∴，又，∴， ∴ ，，，而， ，∴， 又∵，∴，∴ ， 即． 例3（2025·江苏宿迁·二模）综合与实践： 【回归教材】在八年级我们探究了三角形中边与角之间的不等关系，发现：在三角形中，大边对大角，大角对大边． 小明的探究方法如下：如图1，在中，如果，作的角平分线交于点，在边上截取，连接，进而证明，则．这说明“在三角形中，大边对大角”． 如图2，在中，如果，作垂直平分交于点，则，．这说明“在三角形中，大角对大边”． 【尝试探究】（1）如图3，在中，为的角平分线交于点，试证明：； 【进阶思考】（2）如图4，在中，分别为的角平分线，求证：； 【拓展运用】（3）如图5，在中，为上一点，且，比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），见解析 【详解】（1）解：在三角形中，在边上截取，连接， 平分， 在和中，，， ，，； （2）证明：延长至，使得，连接，如图所示， 分别为的角平分线， ，． 在和中，， ，，故， ．，即． （3）证明：，理由如下：，， ，设， 则，． ， ． ，，， ，即，故． 1．（2025·浙江·一模）如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（    ）． A．2 B． C． D．3 【答案】C 【详解】解：延长BE交CD延长线于P，∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠ECP， 在△AEB和△CEP中，∴△AEB≌△CEP（ASA）∴BE＝PE，CP＝AB＝5 又∵CD＝3，∴PD=2，∵∴∴BE＝BP＝．故选：C． 2．（2025·广东汕头·三模）如图，在中，是的平分线，，，，则的长为 ． 【答案】8 【详解】解：在截取一点，使得，如图所示： ∵，∴，∴， ∵∴，∵是的平分线，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，故答案为：8． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则______________． 【答案】/ 【详解】解：如图，延长至F，使得，交于点G， ∵点E是的中点，∴，在与中，， ∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴，  设，∵， ∴，解得，即．故答案为： 4．（2025·广西·一模）【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想，如图①，在中，是边上的中线，若延长至，使，连接，可根据证明，则． (1)【类比探究】如图②，在中，，，点是的中点，求中线的取值范围； (2)【拓展应用】如图③，在四边形中，，点是的中点．若是的平分线．试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)2＜DG＜5 (2)AD=DC+AB 【详解】（1）解：延长DG至M，使GM=DG，连接MF， 又EG=FG，∠EGD=∠FGM，∴△DEG≌△MFG，∴DE=MF， 又DE=3，∴MF=3，又DF=7，∵DF-MF＜DM＜DF+MF， ∴7-3＜DM＜7+3，即4＜DM＜10，∴4＜2DG＜10，∴2＜DG＜5； （2）延长AE，DC相交于点F， ∵ABCD，∴∠BAE=∠F， 又BE=CE，∠AEB=∠FEC，∴△ABE≌△FCE，∴AB=CF， ∵∠BAE=∠F，∠DAF=∠BAE，∴∠F=∠DAF，∴AD=FD， 又FD=CD+DF，CF=AB，∴AD=CD+AB． 5．（2025·山西·一模）阅读材料，解答下列问题． 如图1，已知△ABC中，AD 为中线．延长AD至点E，使 DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，进一步可得到AC=BE，AC//BE等结论． 在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题． 解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，点F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF． 【答案】详见解析 【详解】如图，延长至点，使得，并连结， ∵是三角形的中线，∴， 在和中，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∵，，∴，即． 6．（2025·贵州·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： (1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程． (2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)AC=BF，理由见解析 【解析】（1）解：如图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE， 在△ADC和△EDB中∵，∴△ADC≌△EDB（SAS）．∴BE=AC=3． ∵AB-BE<AE<AB+BE∵2<AE<8．∵AE=2AD∴1<AD<4． （2）AC=BF，理由如下：延长AD至点G，使GD=AD，连接BG， 在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（SAS）．∴BG=AC，∠G=∠DAC．． ∵AE=EF∴∠AFE=∠FAE． ∴∠DAC=∠AFE=∠BFG∴∠G=∠BFG∴BG=BF∴AC=BF． 7．（24-25安徽·九年级校联考阶段练习）安安利用两张正三角形纸片，进行了如下探究：    【探究证明】（1）如图1，和均为等边三角形，连接交延长线于点，求证：； 【拓展延伸】（2）如图2，在正三角形纸片的边上取一点，作交外角平分线于点，探究，和的数量关系，并证明； 【思维提升】（3）如图3，和均为正三角形，当，，三点共线时，连接，若，直接写出下列两式分别是否为定值，并任选其中一个进行证明：①；②． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3）是定值，①；②． 【详解】（1）证明：如图1，设与交于点，       ，都是等边三角形，，，，， 在和中，，，， ，； （2）解：，理由如下：如图2，在上取一点，使得， 是等边三角形，，，是等边三角形， ，，， 是外角平分线，，，， ，，， ，，， ，，； （3）解：①，②都是定值，证明如下： 如图3，在上取一点，使得， 和均为正三角形，，，三点共线，，， 由（1）知：，， ，，， ，是等边三角形，， 过点作，，垂足分别为，， ，的面积的面积，，， ，， ，， ①； ②， ，， ．综上所述：①，②都是定值． 8．（2025·山东菏泽·三模）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：    如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是______； A．        B．       C．        D． (2)由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是______． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． (3)【初步运用】如图2，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． (4)【灵活运用】如图3，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接，试猜想线段、、三者之间的等量关系，直接写出你的结论． 【答案】(1)C(2)(3)5(4) 【详解】（1）∵边上的中线， ∴，    ∵，∴，故选C． （2）根据（1）得，∴， ∵，∴， ∵，，∴，解得，故答案为：． （3）延长到M，使，连接． ∵，，，∴， ∵是的中线，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴． （4）延长到N，使，连接．∵是的中点，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，    ∵，，∴直线是线段的垂直平分线， ∴，∴． 9．（2025·河南南阳·模拟预测）【综合与实践】综合实践课上，老师带领同学们研究“菱形背景下的旋转问题”． 问题情境：在菱形中，，为边上一点（与、不重合），连接，并将射线绕点在平面内顺时针旋转，记旋转角为． 【操作感知】（1）小华取，如图1，射线与射线交于点，请你帮小华同学补全下面两个问题的答案：①线段与的数量关系是 　　；②线段、、的数量关系是 　　． 【猜想论证】（2）小强取，如图2，射线与射线交于点，小强在笔记本上记录了自己的思考过程：线段与的数量关系与（1）①相同但线段、、的数量关系好像不再成立 我发现线段、、之间好像具有与（1）②类似的数量关系 请你帮小强同学完成线段、、之间数量关系的猜想并给出证明． 【拓展探究】（3）小毅测量得到，，如图3，在旋转过程中，设点的对应点为，当点落在边所在的直线上时，记点到直线的距离为，请直接写出的值． 【答案】（1）①；②；（2）,理由见解析 ；（3）或 【详解】解：（1）①四边形是菱形，， ，，是等边三角形， ，，， 由旋转可得：，， ，，故答案为：； ②，，，故答案为：； （2）．理由如下：证明：在上截取，连接， 四边形是菱形，，，， ，，又，为等边三角形， ，，，， ，由旋转的性质可得：， ，，， ，； （3）如图3，当点在线段的延长线上时，过点作直线于， ，，，，， ，，，； 当点在的延长线上时，过点作于， ，，，，， ，，，；的值为或． 10．（2025·吉林长春·一模）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题： 如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____． 【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法： （1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______． 【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法． 【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得． 下面是小明的部分证明过程：证明：延长至点，使，连接， ∵点是的中点，∴． ∵，，∴， ∴，，∴，． 请你补全余下的证明过程． 【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ． 【答案】（1），；（2），∴ ，又∵，∴．∵，∴，∴（3） 【详解】（1）解：如图②，为的中线，， 又，，，， 在中，，，， ，，故答案为：，； （2）证明：如图④，延长至点，使，连接， 点是的中点，．，，， ，，，， ，∴ ，又∵，∴． ∵，∴，∴； （3）如图⑤，连接，， 由（2）可知：，，，，，， ，，故答案为：． 11．（2025·重庆·模拟预测）[问题情境] （1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，E是的中点，，D、A、E三点共线．求证：． 小玉在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点F，使得，连结．请根据小玉的方法思考：由已知和作图能得到，依据是 ．由全等三角形、等腰三角形的性质可得． 初步运用 （2）如图2，在中，平分，E为的中点，过点E作，分别交的延长线和于点D、点A．求证：． 拓展运用 （3）如图3，在（1）的基础上（即E是的中点，，D、A、E三点共线），连结，若，当，时，求的长． 【答案】（1），（2）见解析，（3） 【详解】（1）证明：如图1，延长至点F，使得，连结， ∵点E是的中点，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，∴，∴；故答案为：； （2）证明：如图2，延长至H，使，连结， 同理可得：，∴，， ∵，∴，， ∵平分，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （3）解：如图3，延长至点F，使得，连结，过点C作于G， 设，同理可得：，∴，， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴， ∵，E是的中点，∴，由勾股定理得：， ∵，，∴， ∴，∴，由勾股定理得： ， ∴． 12．（2025·广东东莞·模拟预测）综合与实践 【问题提出】小明在数学课上遇到这样一个问题：如图1，在中，已知，的长，求边上中线的取值范围．他用“倍长中线”的方法构造全等三角形，即延长至点，使，再连接，得到一对全等三角形，最终解决了问题． 下课后小明继续思考，已知三角形中两边的长，是否能求夹角的角平分线？如果不能，那满足什么样的条件能求？ 【探究发现】（1）小明设计了这样的问题：如图2，在中，已知，，平分．若，求的长．他的方法是过点作的平行线，交的延长线于点． ①求的长．②若，，，则__________．(用含，，的代数式表示) 【拓展延伸】（2）老师看到小明的研究后告诉他，求三角形角平分线还可以借助圆的知识来解决．如图3，作的外接圆，的平分线交于点，交于点． ①已知，，求的值． ②求证：． 【答案】（1）①；②；（2）①15；②见解析 【详解】解：（1）如图2，过作，交延长线于，过作于，     ①平分，，， ，，，，             又于，，， ，， ，，             ，，， ，，； ②由①知：，，平分，， ，，， ，，， ，，，故答案为：；         （2）如图3，连接，①平分，， ，，         ，；         ②证明：，，， ，，        由①知：， ，． 13．（2025·宁夏固原·三模）综合与实践．在中，． 【发现结论】结论1：如图1，当是的角平分线时，则_______ ；（数量关系）． 结论2：如图1，当点D，E分别是边的中点，连接，则______，并证明此结论． 【拓展应用】探究发现：在中，，D为边上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边上的任意位置，在另一边上总能找到一个与其对应的点E，使得． （1）如图2，在中，，点D，E分别在边，的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得，并证明． （2）如图3，在中，，，点E为边上任意一点（不与点A，B重合），点F为边延长线上一点．判断与能否相等．若能，请直接写出的取值范围，若不能，请说明理由． 【答案】[发现结论]结论1：=；结论2：=[拓展应用]（1）添加条件：，证明见解析（2）能． 【详解】[发现结论]结论1：解：∵，∴． 又∵是角平分线，∴，．∴， 在和中，，∴．∴．故答案为：=． 结论2：解：∵点D，E分别是边的中点，， ∴，．∴． 在和中，，∴．∴．故答案为：=． [拓展应用]解：（1）添加条件：． 证明：在和中，，∴．∴． 解：（2）能．．如图，在上取一点D，使得． ∵，∴．∵，∴．不妨设． ∵，∴．∴． 又∵，，∴．∴．∴． 在和中，∵，， ∴．∴．设． ∵，∴，．∴．解得，（舍）． 经检验是分式方程的解．∴． ∵点E为边上任意一点（不与点A，B重合），∴． 14．（2025·江苏南通·一模）综合与实践： 【回归教材】八年级上册教材中探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分内容如下： 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，折边落在上，点C落在上的为D点，折线交于点E，则，， 这说明在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等．大边所对的角越大． 从上面的过程可以看出，通过轴对称的性质或“截长补短”构建全等三角形的方法将陌生问题转化为已学习的问题，这是研究几何问题时常用的方法．类比探究“在三角形中，大角对大边”． （1）如图2，在中，，判断： ______（填“>”、“=”或“<”）． 【进阶思考】（2）如图3，在中，，、分别为、的角平分线，求证：． 【拓展运用】（3）如图4，在中，D为上一点，且，比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）>；（2）见解析；（3）． 【详解】解：（1）如图2，在内作，交于点， ∴，∴；∵，∴； （2）如图3，延长到点，使，连接， ∴，，又∵，∴， ∵，，∴，， ∴，∴， 在和中， ∴∴，∴． （3）∵，，∴，∴， 设与相似比为，∴，，， ∴ ∴ ∴ ∵，∴，；∴， ∴，，即，∴， ∴，即 15．（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）【知识回顾】（1）如图1，在中，是边上的中线，，，求的取值范围． 小明和小刚两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路． ①小明同学的思考过程：在中，已知两边和的长度，根据条件只能直接求出边的取值范围．而要想求中线的取值范围，只有将中线转化到一个三角形的两边长度是已知量的第三条边上．如图2，可以延长到点，使，连接，这样就构造了，将求的取值范围，转化为求的边的取值范围； ②小刚同学的解题思路与小明基本一致，也是构造三角形，只是构造方法不同．如图3，过点作交延长线于点，于是得到．进而将求的取值范围，转化为求的取值范围． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【迁移应用】（2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题． 如图4，在中，是边的中点，点在边上，，，，求的取值范围． 【能力提升】（3）如图5，在正方形中，为对角线的中点，，点在边上，为平面内一点且，以为斜边，在的右侧作等腰直角三角形，连接，求的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】解：（1）小明同学的解法：延长到点，使，连接， 是边中线，． ，，．． 在中，，，，即． ．． 小刚同学的解法：过点作交延长线于点，． 是边的中线，．．是的中位线．． 在中，，，．即． ．． （2）方法1：如下图，过点作交延长线于点，． 是边中点，．． 是的中位线． ，，，． ．．在中，，， ，即．．． 方法2：如下图，取中点，连接， ，分别为，中点，，是的中位线，． ，．，，， ．． 在中，，． 方法3：如下图，延长到点，使，取中点，连接，， 为中点，． 又，，．． ，，，． 又为中点，．． ，是的中位线． 在中，．． （3）如下图，过点作于点，连接，， 四边形是正方形，，． ，．． 在中，，， ，．． ，． ．．．． 在中，，，， 根据勾股定理可，得．在中，． 而当点，，共线时，仍存在，此时或，． 16．（2025·青海西宁·三模）综合与实践 【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”，，，求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点D，已知，求证：． 【拓展提升】（3）如图3，为的直径，，的平分线交于点E，交于点D，连接直接写出与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）证明：在和中，， ，． （2）证明：在上截取，如图2所示，平分，∴， 在和中，，， ，，， ，又，，， ，，即； （3）解：，理由如下：连接、作交于点F，如图3所示， 为的直径，，，，， 平分，，，， 又，，， ，， ，，， ，故； 17．（2025·甘肃·三模）【模型建立】（1）如图1，是的中线，求的取值范围； 【模型应用】（2）如图2，是的中线，点E在边上，连接交于点F，且．求证：； 【模型迁移】（3）如图3，在四边形中，，点E是的中点，连接，，且，用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），解析 【详解】（1）延长到点，使，连接， ∵是的中线，∴， 在和中，，，， ∴，∴，在中，， ∴，即，∴； （2）证明：延长到点使，连接，由（1）知， ∴，，， ，，，，， （3），延长到，使，连接， ，， ，，，点在一条直线上， ，∴，∴在和中， ，，，∴， ∵，． 18．（2025·山东·模拟预测）（1）如图1，四边形是边长为的正方形，，分别在，边上，．为了求出的周长．小南同学的探究方法是： 如图2，延长到，使，连接，先证，再证，得，从而得到的周长 ； （2）如图3，在四边形中，，，．，分别是线段，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系； （3）如图4，若在四边形中，，，，分别是线段，上的点，且，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由； （4）若在四边形中，，，点、分别在、的延长线上，且，请画出图形，并直接写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）10；（2）；（3）成立，证明见解析；（4） 【详解】解：（1）如图1，延长到，使，连接， 四边形是正方形，，，， 又，，，，， ，，， 又，，，，， 的周长，故答案为：10； （2）．证明：如图2所示，延长到点．使．连接， 在和中，，，，， ，，，， 在和中，，， ，； （3）成立．证明：如图3，延长到，使，连接， ，，， 在与中，，，， ，，， 又，，，，； （4），理由如下：在上截取，使， ，， ，且，，， ，，∴， ，，且，， ，，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $