专题08 相似模型之（双）A字型、（双）8字型、母子型模型（几何模型讲义）（北京专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦相似三角形四大核心模型，涵盖A字（含正A、反A、双A、内接矩形）、8字（含正8、反8、双8）、AX字及母子型模型，通过“模型梳理-例题精析-真题训练”流程，帮助学生构建知识网络，突破相似证明与计算难点。 亮点在于以核心素养为导向，如通过内接矩形模型培养几何直观（数学眼光），结合中考真题（如北京期末内接矩形面积题）训练推理能力（数学思维），设计分层练习（基础证明到综合计算）。教师可依托此资料精准把控复习节奏，学生能高效掌握模型应用，提升应考能力。

专题08 相似模型之（双）A字型、（双）8字型、母子型模型 目录 1 模型1.相似模型之“A”字模型 1 模型2.相似模型之“X”字模型（“8”字模型） 9 模型3.相似模型之“AX”字模型（“A8”字模型） 22 模型4.相似模型之“母子型”模型（共边共角模型） 29 35 模型1.相似模型之“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 例1．（24-25九年级上·北京·期末）如图，在中，，，的面积为． (1)证明 (2)求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由直接判定即可； （2）利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴； （2）解∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 例2．（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及平行线所截线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定及平行线所截线段成比例是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 例3．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，，，，为边上一点，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点． (1)求证：； (2)若，求与的面积比． 【答案】(1)证明见解析； (2)与的面积比为． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键． （1）根据平行相似证明、，即可得出； （2）先证明四边形为平行四边形，得出边的关系，再运用相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵在和中， ， ∴． 同理： ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴． ∴． （2）∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴设，， ∴． ∵由（1）得， ∴． ∴与的面积比为． 例4．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，高，内接矩形的顶点，在上，，分别在，上，交于点，设，矩形的面积为． (1)求关于的函数关系式 (2)当 时，矩形的面积有最大值，最大值为 ． 【答案】(1) (2)10；80 【分析】本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，矩形的性质等知识点，解题的关键是正确求解函数关系式． （1）先证明，然后由相似比等于高之比得到，表示出，再由矩形面积公式建立函数关系式； （2）由二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴矩形的面积为， ∴ （2）解：， ∵， ∴当时，取得最大值为， 故答案为：10，80． 例5．（25-26九年级上·全国·期末）如图，点，分别是的边，上的点，连接，，的角平分线交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质，平行线的性质； （1）由得，，即可得结论； （2）由得，求得，再根据计算即可． 【详解】（1）证明：， ，， （2）解：，的角平分线交于点， ， ，， ， ， ． 例6．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，，分别是，上的点，，，，的角平分线交于点，交于点． (1)求证：； (2)求的值； (3)若点为的中点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识点，掌握相似三角形的判定方法是本题的关键． （1）由即可证明结论； （2）由可得，由角平分线的性质可得，可证，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可； （3）由求得，作于点，作于点，由角平分线的定义求得，求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴； （3）解：∵，点为的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 作于点，作于点， ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 模型2.相似模型之“X”字模型（“8”字模型） “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 例1．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，交于点F，． (1)求证：； (2)如果． ①若，求的长； ②若四边形的面积为24，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①5；②1 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先由平行四边形的性质可得，，可得，，再证明，最后可得出； （2）①先证明，可得，从而可得，求出，再证明，可得，再求解即可； ②设与之间的距离为，由四边形的面积为24，可得，再求出 ，再由求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ； （2）解：①， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②设与之间的距离为， 四边形的面积为24， ， ， ， ． 例2．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）如图，已知点D，E分别在的边，的延长线上，且． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，，过点D作，垂足为点F，求的长． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例和锐角三角函数，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据可得，再根据相似三角形的性质计算即可求解； （2）根据“平行线分线段成比例”可得，求出，再根据正弦即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ，即， ， 则的长为8； （2）， ， 设，则， ，解得，经检验：是此方程的解， ， ， ，即， ， 则的长为． 例3．（25-26九年级上·江苏·假期作业）【问题背景】（1）如图1，，与交于点O，过点O的直线分别与，交于E，F两点，求证：． 【问题探究】（2）如图2，点E，F分别是平行四边形边，上的点，连接，交于点M，连接并延长交于点N． ①如图3，若平行四边形为正方形，E，F分别是边，的中点．求证：； ②如图2，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质，正方形和平行四边形的性质，解题关键是根据相似三角形的判定证明三角形相似，列出比例式即可证明． （1）根据，证明，，列出比例式即可； （2）①延长交延长线于点，接连证明和并结合（1）中的结论即可证明；②类似①的方法利用平行证明三角形相似，再列比例式即可． 【详解】证明：（1）， ，， ， ， 同理，． ； （2）①延长，交于点，如图， 是正方形边上的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ②延长，交于点， ， ， ， ， 同理， ， ， ， ， ∴， ， ， ． 例4．（2026·上海松江·一模）在中，是边上一点，将沿直线翻折，点落在上的点处，的延长线交射线于点． (1)如图1，当四边形是矩形时，如果，，求四边形的面积； (2)如图2， 如果， ，四边形的面积是，求的正弦值； (3)如果且 ，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，，根据折叠的性质得到，，，根据勾股定理得到，证明、，得到、，根据可知，设，则，求出，进而求出，，根据矩形的面积公式计算即可； （2）根据折叠的性质得到，，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，，根据等角对等边得到，则，证明，得到，求出，则，连接，设的面积是，根据“三角形高相等，面积比等于底的比”得到的面积是，的面积是，根据四边形的面积是得到的面积是，列方程求出，则的面积是，作交延长线于G，根据三角形面积公式求出，根据正弦的定义得到，即； （3）根据折叠的性质得到，，，，，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，，根据等角对等边得到，根据等边对等角得到，即，则、，得到、，即，设，，则，可得，，，则，根据，得到，当点F在线段上时，根据得到，证明，得到，整理得到，解关于的方程得到，根据完全平方公式得到，开平方即可；当点F在线段的延长线上时，根据得到，证明，得到，整理得到，解关于的方程得到，开平方即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将沿直线翻折，点落在上的点处， ∴，，， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 即， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴四边形的面积； （2）解：∵将沿直线翻折，点落在上的点处， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 如图，连接， 设的面积是，则的面积是， ∴的面积是， ∵，， ∴的面积是， ∵四边形的面积是， ∴的面积是， 即， 解得：， ∴的面积是，的面积是， ∴的面积是， 作交延长线于G， 则， 解得：， ∵ ∴， ∵， ∴； （3）解：∵将沿直线翻折，点落在上的点处， ∴，，，，， ∵， ∴，， ∴，， 即， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ 即， 设，，则， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵，， ∴， 如图，当点F在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 即， ∴， 整理得， 解关于的方程得， ∵， ∴ ， ∴ ， 即； 如图，当点F在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 整理得， 解关于的方程得， ∵， ∴， ∴， 即． 模型3.相似模型之“AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 例1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平行四边形中，连接对角线，延长至点E，使，连接，分别交、交于点F、G． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据平行四边形的性质，证明，即可得出结论； （2）证明出，得到，由（1）可知，，得到，即可求出的长． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ． 例2．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图，为的对角线，延长至点，使，连接，分别交，于点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的性质和判定是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质，得到平行线，再利用平行线去判定三角形的相似，解答即可． （2）根据平行四边形的性质，得到平行线，再利用平行线去判定三角形的相似，解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ， ∵， ， ， ． （2）解：在中，， ， ． ， ， ， ． 例3．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，在菱形中，是上一点，联结并延长交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若是的中点，且，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三线合一定理，熟知菱形的性质和相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）证明得到，证明，得到，则可得到，据此可证明结论； （2）连接，证明，得到，由相似三角形的性质得到，则，则可证明，即，再由三线合一定理可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 又∵是的中点， ∴，即． 例4．（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由，可证，则，同理可得：，则，两边同时除以，可得． （2）由，，，，可得，，证明，则，同理，，则，两边同时除以得，，进而可得；（3）由（1）可知，，，则，解得，，则，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵，∴，∴．同理可得：， ∴，两边同时除以，得． （2）证明：∵，，，，∴，， ∵，∴，∴，同理，， ∴，∴， 两边同时除以得，，∴； （3）解：由（1）可知，，， ∴，解得，，∴，解得，，∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的判定．解题的关键在于明确相似三角形的判定条件． 模型4.相似模型之“母子型”模型（共边共角模型） “母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 例1．（25-26九年级上·山东·期末）如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余得到，再由两个三角形相似的判定定理求解即可得证； （2）由（1）中得到，再将，代入求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，于点， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ∵，， ， ． 例2．（25-26九年级上·北京顺义·期末）如图，在中，，，是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． （1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可； （2）利用相似三角形的性质求解． 【详解】（1）证明：，，， ， ， ， ， （2）解：△△， ， ， ． 例3．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，点是边上的点（不与顶点重合），且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解答 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据两组角相等的两个三角形是相似三角形，得， （2）先整理得，因为，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）得， ∴， 即， ∴． 例4．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，中，，边上有两点，满足是等边三角形． (1)求证：； (2)如果，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明是解题的关键． （1）根据两角相等的两个三角形相似进行证明即可； （2）根据相似三角形和等边三角形的性质进行解答即可． 【详解】（1）是等边三角形， ． ． ， ． ， ． ． （2）， ． 是等边三角形， ． ． ∴ 例5．（2025·山东滨州·模拟预测）如图，在中，，三条边及边上的高分别记为． (1)求证：； (2)求证：； (3)若将变为锐角，其他不变，如图，设其外接圆的直径为，试探索并写出这4个量的一个等量关系，然后给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、同弧或等弧所对的圆周角相等、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等，能够根据所求内容找到相关的量是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式即可求解； （2）根据勾股定理得，式子变形可得，又有，即可证明； （3）过点作直径交圆于点，连接，即可证明，推出，即． 【详解】（1）证明：，，，，， ， ． （2）证明：在中，，根据勾股定理得，， ， ， 又（已证）， ， ． （3）解：，证明如下： 过点作直径交圆于点，连接， 为圆的直径， ， ， ， ，即：． 一、单选题 1．（2025·陕西西安·二模）如图，在 中，点分别在的边上，且，的中线交于点G．若四边形的面积与的面积相等，，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质；证明，得，然后证明，得根据相似三角形的性质求出，结合进而计算的值即可． 【详解】解：∵与四边形的面积相等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵， ， ∴， ∵ ∴ ∴， 故选：B． 2．（2024·安徽亳州·模拟预测）如图，是的中线，点F在上，延长交于点D，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线、构造相似三角形是解题的关键． 过点E作交于G，先利用三角形的中线的定义得到，再根据相似三角形的性质得到，由得到，最后由相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图：过点E作交于G， ∵是的中线， ∴， 如图：过点E作交于G， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，，，是对角线的中点，是边上一点，连接并延长交于点，延长交的延长线于点．若，则的长为（   ） A． B．3 C．3．5 D．4 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】先证明，，可得，，再利用相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】解：在中，，，是对角线的中点， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故选：B 4．（2024·辽宁沈阳·一模）如图，在正方形中，G为边中点，连接并延长交边的延长线于点E，对角线交于点F．已知，则线段的长度为（   ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；本题先判定，再根据“相似三角形的对应边成比例”求得，从而得到，再判定，根据“全等三角形的对应边相等”得到，最后求出结果即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， ，， ， ， 为边中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 二、填空题 5．（2025·陕西·一模）如图，在中，，于点D，若，，则的长为 ． 【答案】5 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、直角三角形的两个锐角互余 【分析】根据题意，得，结合，证明，列比例式解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：5． 6．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点．若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长 【分析】此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质．根据矩形可得，从而有，再根据性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，点D在边上，，过点A作于点F，交于点E，连接，若，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质与判定证明、全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定 【分析】过作交于，交于，过作交于，交于，连接，设，通过等腰三角形的性质推导角度可得，再证明四边形是正方形，得到，再证明得到，最后根据证明求解即可． 【详解】过作交于，交于，过作交于，交于，连接，设， ∵， ∴，垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2025·上海普陀·一模）如图，D、E分别是的边、上的点，，，垂足为点F．如果，，的面积为9，那么的面积为 ． 【答案】4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点A作于点H，根据的面积及的长求出的长，证明，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方即可求出的面积． 【详解】解：过点A作于点H， ∵的面积为9， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 三、解答题 9．（2025·上海金山·一模）已知：如图，点是平行四边形的对角线上的一点，射线与交于点，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、等边对等角、证明四边形是菱形 【分析】（1）可得，，则，，即可证明； （2）先证明，再证明，再根据相似三角形的性质以及平行四边形的性质求证． 【详解】（1）证明：平行四边形 ，  ， ∴，，                                   ，                                                                                     ； （2）证明：如图，连接， ， ，又， ， ，                                            ，， ，，   ，                                             平行四边形， ， ， ， ， ，                                               ，又，    ，                                             即，   ，                                                     平行四边形， 四边形是菱形． 10．（2025·上海松江·一模）如图，在中，，，，垂足分别为点，点．，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、三线合一 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意证明，即可求解； （2）设与交于点，可证，得到，再证，得到，则有，由，代入计算即可求解． 【详解】（1）证明： 如图所示， ，， ， ， ， ， ， ； （2）证明：设与交于点， ， ，， ， ，， ∴，， ， 又， ， ， ，， ， ， 即， ， ． 11．（2025·上海奉贤·一模）已知，如图，在中，点D在边上，点M、N在边上，是线段与的比例中项，分别交于点E、F． (1)求证：； (2)若点O为边的中点，连接，且，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、与三角形中位线有关的证明 【分析】（1）根据，证明，得到，，结合可以证明，继而得到，证明，结合证明，等量代换即可证明． （2）在上截取，连接，证明，再三角形相似，平行线的判定证明，解答即可． 【详解】（1）证明：∵是线段与的比例中项， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：在上截取，连接， ∵点O为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 12．（25-26九年级下·湖南常德·期中）在中，，点为的中点，点是线段上一动点，过点作分别交边于点． (1)如图1，求证； (2)如图1，若，求证：； (3)如图2，若点为的中点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)2 【知识点】全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）根据题意可得，由直角三角形斜边中线的性质得出，则，推出，即可求证； （2）由（1）可知，，，根据，得出，结合相似三角形的性质，即可求证； （3）过点A作于点P，过点B作交延长线于点Q，易证，则，通过证明，得出，根据，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：由（1）可知，，， ∵， ∴， ∴， 即； （3）解：过点A作于点P，过点B作交延长线于点Q， ∵，，， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴． 13．（24-25九年级上·上海长宁·期末）已知中，，平分，，．点、分别是边、上的点（点不与点、重合），且，、相交于点． (1)求的长； (2)如图，如果，求的值； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求长． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】全等三角形综合问题、三角形的外角的定义及性质、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据角平分线的定义以及和的关系，可以得出，，据此求出的长即可； （2）根据和相似，可以求出和的长，过作交于，根据和可求出的值； （3）分情况讨论：当时；当时，即可解答． 【详解】（1）解：，平分， ， ， 又， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，， ， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， 过作交于，如图： ， ， ， 又， ， ， ； （3）解：当时， ， ， ， ，， ， ， ， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当时，在上截取点，使，如图所示： 则， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 解得：， 综上，的长为或． 14．（25-26九年级上·广东深圳·期中）【基础巩固】（1）如图1，在中，是边上一点，是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，点是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中，，以为直角顶点作等腰直角三角形（其中），点在上，点在上．若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）5；（3）10 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等边对等角 【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解题的关键． （1）利用一线三等角模型，可说明，得； （2）如图2中，延长交的延长线于点．证明，推出，求出，，再利用勾股定理求解； （3）过点作与交于点，使，由（1）同理得，可知，再利用，可得答案． 【详解】（1）证明：，， ， ， ∴， ， ， ， ； （2）解：如图2中，延长交的延长线于点． ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； （3）解：如图，过点作与交于点，使， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，（舍去） ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08相似模型之（双)A字型、（双)8字型、母子型模型 目录导航 目录 例题讲模型 .1 模型1.相似模型之“A”字模型… .1 模型2相似模型之“N字模型（“8”字模型)9 模型3相似模型之“AX字模型(“A8字模型) .22 模型4相似模型之“母子型”模型（共边共角模型) 29 习题练模型 35 例题讲模型 模型1.相似模型之“A”字棋型 模型解读 “A字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相 等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“4A字模型 ④内接矩形模型 B 图1 图2 图3 图4 ①“A字模型条件：如图1，DE∥BC:结论：△ADE∽△ABC台.==。 1/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：DE∥BC,∴.∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,∴.△ADE∽△ABC,∴.==。 ②反“A”字模型条件：如图2，∠AED=∠B;结论：△ADE∽△ACB白==。 证明：∠AED=∠B,∠A=∠A,(公共角)∴.△ADE∽△ACB,==。 ③同向双“A字模型条件：如图3，EF∥BC: EG FG AG 结论：△AEF∽△ABC,△AEG∽△ABD,△AGFn△ADC台BD CD AD。 证明：.EF∥BC,∴.∠AEF=∠ABC,∠AFE-∠ACB,∴.△AEF∽△ABC, 同理可证：△AEG∽△ABD,△AGF∽△ADC,∴.==。 ④内接矩形模型条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边 DG ANAN 上，且AM⊥BC;结论：△ADG∽△ABC,△ADN∽△ABM,△AGN∽△ACM台BC AB AM。 证明：，DEFG是矩形.DG∥EF,.∠ADG=∠ABC,∠AGD=∠ACB,.△ADG∽△ABC, DG ANAN 同理可证：△ADN∽△ABM,△AGN∽△ACM,∴.BC AB AM。 模型运用 AD 1 例1.(24-25九年级上·北京期末)如图，在△ABC中，DE∥BC,BD2,△ABC的面积为18 (I)证明△ADE一△ABC (2)求四边形BCED的面积. 例2.(25-26九年级上：广东佛山期末)如图，在△ABC中，点D,E,F分别在AB,BC,AC边上， DE∥AC,EF∥AB D B 2/16 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：△BDE∽△EFC. AF 1 2)若FC=2,BC=6,求BE的长. 例3.(25-26九年级上·浙江杭州·月考)如图，在△ABC中，AC=2,BC=3,∠C=60°，D为AB边上 一点，过点D作BC的平行线交AC于点E,过点E作AB的平行线交BC于点F. (I)求证：△ADE∽△EFC: 2)若DE:CF=2:3,求△ADE与△ABC的面积比. 例4.(25-26九年级上江苏南通期末)如图，在△ABC中，BC=20,高AD=16,内接矩形EFGH的 顶点E,F在BC上，G,H分别在AC,AB上，AD交HG于点K,设HG=x,矩形EFGH的面积为y. H B E D (I)求y关于x的函数关系式： (2)当x=时，矩形EFGH的面积有最大值，最大值为_. 例5.(25-26九年级上·全国期末)如图，点D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，连接DE, DE∥BC,△BAC的角平分线AF交DE于点G. A D B (I)求证：△ADE一△ABC: DE 4 (②)若BC=7,4G=2:求FG的长 例6.(25-26九年级上·浙江杭州·月考)如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点， 3/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠AED=∠B,AD=2,AC=3,△ABC的角平分线AF交DE于点G,交BC于点F. B (I)求证：△ADE∽△ACB: AG (2)求GF的值： (3)若点D为AB的中点，求DG:GE的值. 模型2相似模型之“X”字棋型（“8”字棋型) 模型解读 8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两 个三角形相似. ①8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①8”字模型 条件：如图1，AB∥CD:结论：△AOB∽△COD曰==。 证明：：AB∥CD,.∠A=∠C,∠B=∠D,.△AOB∽△COD,∴.==。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A=∠D:结论：△AOB∽△DOC⊙==。 证明：，∠A=∠D,∴.∠AOB=∠DOC,(对顶角)∴.△AOB∽△DOC,.==。 ③平行双“8”字模型 AEBEAB 条件：如图3，AB∥CD;结论：DF CF CD。 4/16 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：AB∥CD,∴.∠A=∠D,∠AEO=∠DFO,∴.△AEO∽△DFO, AE BE AB 同理可证：△BEO∽△CFO,△ABO∽△DCO,.DF CF CD。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1=∠2；结论：△AOD∽△BOC,△AOB∽△DOC台L3=∠4。 证明：，∠1=∠2，∠AOD=∠BOC(对顶角)，∴.△AOD∽△BOC,.AO:BO=DO:CO,即 AO:DO=BO:CO: ∠AOB=∠DOC(对顶角)，∴.△AOB∽△DOC,∴.∠3=∠4。 模型运用 例1. (25-26九年级上河北唐山期末)如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，CE交BD于点 F,∠DCE=∠ADB D (I)求证：△DCE∽aFBC: (2)如果AD=3DE ①若BD=I0,求CD的长： ②若四边形ABCD的面积为24，求△DEF的面积. 例2.(25-26九年级上·安徽淮准南·月考)如图，已知点D,E分别在△ABC的边BA，CA的延长线上，且 DE∥BC B (I)如果AD=3,BD=9,DE=4,求BC的长： CA 3 (2)如果CE5,AD=4, sinB=o 4,过点D作DF⊥BC,垂足为点F,求DF的长. 例3.(25-26九年级上江苏·假期作业)【问题背景】(1)如图1，AB∥CD,BC与AD交于点O,过 5/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE BE 点O的直线分别与AB'CD交于E,F两点，求证：DFCF· 【问题探究】(2)如图2，点E,F分别是平行四边形ABCD边AD,CD上的点，连接AF，BE交于点 M,连接CM并延长交AD于点N. ①如图3，若平行四边形ABCD为正方形，E,F分别是边AD,CD的中点.求证：CF=2AN; AN AE ②如图2，求证： CF AB A E B AN E D 图1 图2 图3 例4.(2026：上海松江一模)在口ABCD中，P是边BC上一点，将△APB沿直线AP翻折，点B落在PD 上的点E处，AE的延长线交射线BC于点F D D E 图1 图2 ()如图1，当四边形ABCD是矩形时，如果BP=4,PF=5,求四边形ABCD的面积； 3 (2)如图2，如果BP=1'CP=2,四边形CDEF的面积是2，求∠ADP的正弦值： AB ③)如果B=P且CF=PF,求D的值！ 模型3.相似模型之“AX字模型(“A8”字模型) 模型解读 ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型) ③四“A”+“8”模型 6/16 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC: AD AE DE DF FE 结论：△ADE∽△ABC,△DEF∽△CBF,÷AB AC BC FC BF 证明：，DE∥BC,∴.∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,.△ADE∽△ABC,∴.==。 DE DF FE IDE∥BC,∴∠FDE=∠FCB,∠DEF=∠CBF,∴.△DEF∽△CBF,.BC FC BF。 AD AE DE DF FE AB AC BC FC BF ②两“A”+“8”模型条件：如图2，DE∥AF∥BC; 111 结论：△DAF∽△DBC,△CAF∽△CED,台AFBC'DE。 DF AF 证明：：AF∥BC,∴∠DAF=∠B,∠DFA=∠DCB,∴.△DAF∽△DBC,.DCBC。 CF AF ,DE∥AF,∴.∠CAF=∠E,∠CFA=∠CDE,∴.△CAF∽△CED,∴.CDDE。 DF CF AFAF 1=AF 4F 111 两式相加得到：DCDC BC DE,即BC'DE,故AF BC DE。 1.1112 @四“A+“8模型3条件：如图3，DE∥GF∥BC:结论：AF=AG,BC DE AF AG GF 1,111,11 证明：同②中的证法，易证：BC+DEAF,BC+DEAG, 1,112 11 BC DEGF-GF .AF AG, 即AF=AG,故 2 模型运用 例1. (24-25九年级上陕西西安阶段练习)如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC,延长AB至 点E,使BE=AB,连接DE,分别交BC、AC交于点F、G. 7/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D G B (1)求证：BF=CF; (2)若DG=6,求FG的长. 例2，(2526九年级上浙江温州期末)如图，BD为，1BCD的对角线，延长D1至点E,使4E= 连接EC,分别交AB,BD于点F,G. D (I)求证：CD=3AF (2)若FG=4,求GC的长， 例3.(25-26九年级上·上海宝山期末)如图，在菱形ABCD中，E是CD上一点，联结BE并延长交AD 的延长线于点G,交AC于点F. D (I)求证：BE·BF=BG·EF; (2若F是C 的中点，且4FCF=2BrF2 BE⊥CD 求证： 例4.(2024湖北模拟预测)(1)【问题背景】如图1，AB∥EF∥CD,AD与BC相交于点E,点F在 1,11 BD上.求证：AB+CDEF; 8/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H 图1 图2 图3 EF EF 小雅同学的想法是将结论转化为8+C01来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程 (2)【类比探究】如图2，AE⊥AB,BD LAB,GH⊥AB,DE与BC相交于点G,点H在AB上， 112 AE=AC:求证：GHAC=BD: (3)【拓展运用】如图3，在AC四边形ABCD中，AB∥CD,连接，BD交于点M,过点M作EF∥AB, 交AD于点E,交BC于点F,连接EC,FD交于点N,过点N作GH∥AB,交AD于点G,交BC于点 H,若AB=3,CD=5,直接写出GH的长， 模型4相似模型之“母子型”模型（共边共角模型） 模型解读 “母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中， 恰似子依母怀)，也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定 这两个三角形相似。 D 图1 图2 图3 图4 1)“母子”模型（斜射影模型) 条件：如图1，∠C=∠ABD:结论：△ABD△ACB,AB=ADAC. AD AB 证明：：∠C=∠ABD,∠DAB=∠BAC,.△ADB∽△BAC,ABBC，AB=ADAC 2)双垂直模型（射影模型) 9/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 条件：如图2，∠ACB=90°，CD⊥AB; 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD;CA2=AD·AB,BC=BDBA,CD2=DADB. 证明：，∠ACB=90°，CD⊥AB,.∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，.∠B=∠ACD, AC AD :∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC,∴ABAC,AC=ADAB.同理可证：BC=BDBA,CD=DADB. 3)“母子”棋型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE,AB=AC;结论：△ABDn△ECA: 证明：，AB=AC,.∠ABC=∠ACB,∠DBA=∠ACE,,∠D=∠CAE,.△ABD∽△ECA 4)共边模型 ABCD P中，对角线BD平分 ABC∠ADB=∠DCB BD2=BA.BC 条件：如图1，在四边形 结论： 证明：对角线BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBC, AB DB ∠ADB=∠DCB,.△ADB∽△DCB,.DBBC,.BD2=BA:BC 模型运用 例1.(25-26九年级上山东期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D D (I)求证：△ACD∽△CBD: 2若cD=25,BD =2,求D 例2.(25-26九年级上北京顺义期末)如图，在△ABC中，AB=2,BC=4,D是BC上一点，且 BD=1 (I)求证：△ABCADBA: (2)若AC=3,求AD的长. 10/16