专题10 相似三角形模型之半角模型与对角互补模型（几何模型讲义）（北京专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦相似三角形的半角模型与对角互补模型，覆盖中考几何核心考点，按“模型分类-条件结论-证明推导”架构知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题演练三环节帮助学生突破难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于模型化教学与核心素养融合，如半角模型中通过旋转构造相似培养推理能力，对角互补模型中作辅助线发展几何直观。结合中考真题例题解析与分层练习设计，确保学生高效掌握解题策略，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

专题10 相似三角形模型之半角模型与对角互补模型 目录 1 模型1.相似三角形模型之半角模型 1 模型2.相似三角形模型之对角互补模型 9 18 模型1.相似三角形模型之半角模型 1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN； 图1 图2 证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF， ∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN； 结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN. 证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF， ∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°， ∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。 同理：△AND∽△AEC，；即。 结论：如图4，△AMN∽△AFE且． 证明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN； 又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知：，∴。 2）半角模型（含120-60°半角模型） 图5 条件：如图5，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。 证明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC， ∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：， 同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；， ∴，∵AD=AE=DE，∴ 例1．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，已知为等边三角形，．求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （）利用等边三角形的性质可得，即得，进而即可求证； （）利用相似三角形的性质即可求证； （）证明即可求证． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， 即； （3）证明：∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 例2．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）在某次数学兴趣小组活动中，小星同学遇到了如下问题：如图①，在正方形中，，分别是，上的点，且，求的度数． (1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，如图①所示，即可求出的度数．请同学们根据此想法解决小星同学的问题． (2)【理解应用】如图②，在边长为的正方形中，，分别是，上的点，且，，求的长． (3)【延展应用】如图③，在矩形中，，分别是，上的点，，，且则的长为_______ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质． （1）证明，推出； （2）利用（1）中结论，利用勾股定理构建方程求解； （3）如图③中，在线段上截取线段，使得，过点作于点交于点．设．利用（2）中结论，再利用相似三角形的性质构建方程求解． 【详解】（1）解：如图①中，四边形都是正方形， ， 是由顺时针方向旋转得到， ，，， ， ，， ， ； （2）如图2中，设，则，， ，， ， 在中，， ， ， ； （3）如图③中，在线段上截取线段，使得，过点作于点交于点．设． 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， 由（2）可知， ，， ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：． 例3．（24-25九年级下·江苏宿迁·期末）数学兴趣小组探究了以下几何图形、如图①，把一个含有角的三角尺在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点M，N，连接可得． 【探究一】如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点H在直线上，求证：； 【探究二】在图②中，连接，分别交，于点E，F，求证：； 【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点E，F，连接交于点O，求E的值． 【答案】【探究一】见解析 【探究二】见解析 【探究三】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】【探究一】根据旋转的性质证明，即可得证； 【探究二】根据正方形的性质和全等的性质证明，在结合公共角，可证； 【探究三】先根据正方形对角线性质及可证得，得出，，将绕点C顺时针旋转得到，则点G在直线上，得出，根据全等的性质得出，进而可得，由此可证，最后根据相似三角形的性质得出，即可得出结论． 【探究一】证明：∵把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点H在直线上， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； 【探究二】证明：如图所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【探究三】∵、是正方形的对角线， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，， 如图所示，将绕点C顺时针旋转得到，则点G在直线上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 模型2.相似三角形模型之对角互补模型 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴，∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 例1．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，在中，，点为上一点，过，，的圆交于点，已知点为的中点，连接． (1)求证：． (2)，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【分析】（1）利用两角相等的两个三角形相似来论证； （2）通过得到，再通过得到，接着利用求得，最后利用勾股定理求出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴是直径， ∵点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴.， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 例2．（25-26九年级上·山东德州·期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． (1)理解：如图1，点A，B，C在上，的平分线交于点D，连接，． 求证：四边形是等补四边形； (2)探究：如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． (3)运用：如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点F，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)平分，理由见解析 (3) 【分析】（1）先证明四边形对角互补，再证一组邻边相等即可； （2）过点A分别作于点E，垂直的延长线于点F，证明，得出，即可得证； （3）连接，结合角平分线的定义，证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形为圆内接四边形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴弧弧， ∴， ∴四边形是等补四边形； （2）解：平分，理由如下： 如图2，过点A分别作于点E，垂直的延长线于点F， 则， ∵四边形是等补四边形， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线，即平分； （3）解：如图3，连接， ∵四边形是等补四边形， ∴， 又， ∴， ∵平分， ∴， 由（2）知，平分， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 即， ∴． 例3．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，四边形是“直等补”四边形吗？请说明理由； (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，．点到直线的距离为． ①求的长； ②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)是，见解析 (2)①4；② 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）由旋转知，，从而得，则由“直等补”四边形定义即可求解； （2）①过C作于点F，由四边形是“直等补”四边形，得四边形是矩形，；再证明，得；设，则，在中由勾股定理建立方程求得x的值，从而求得； ②延长到F，使得，延长到G，使得，连接，分别与交于点M、N，过G作，与的延长线交于点H．则的周长的值最小；再证明，由对应边成比例求得，从而由勾股定理求得，最后由勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：是；理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转性质得：， ∴， ∴， ∴四边形BEDF为“直等补”四边形； （2）解：①过C作于点F，如图1， 则； ∵四边形是“直等补”四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，设，则， ∵， ∴， 解得，或（舍）， ∴； ②如图2，延长到F，使得，延长到G，使得，连接，分别与交于点M、N，过G作，与的延长线交于点H． 则， ∵， ∴， ∴的周长的值最小， ∵四边形是“直等补”四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 一、解答题 1．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，中，，边上有两点，满足是等边三角形． (1)求证：； (2)如果，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明是解题的关键． （1）根据两角相等的两个三角形相似进行证明即可； （2）根据相似三角形和等边三角形的性质进行解答即可． 【详解】（1）是等边三角形， ． ． ， ． ， ． ． （2）， ． 是等边三角形， ． ． ∴ 2．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，四边形内接于，满足，连接 ，，延长，交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，，，的长为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）首先由得到，然后根据三角形外角的性质求解即可； （2）首先根据圆内接四边形的性质结合平角得到，然后由即可证明； （3）过点作于点，首先根据圆周角定理结合三角形外角的性质得到，，进而得到，，求得，，由（2）得，结合，可求得的长，再根据勾股定理得到，，最后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）证明：四边形内接于， ， ， ， 又， ； （3）解：如图所示，过点作于点， ， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， 由（2）得， ， ，即， ， ， ， 由（2）得，， ，即， ． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·上海·月考）四边形是菱形，，，是边上的一个动点，连接并作，交边于点． (1)如图1，当时，求的长． (2)设，，请写出与之间的函数关系式． (3)是否存在点，使得为直角三角形，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当或时，是直角三角形 【分析】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形的性质找边、角之间的关系． (1)过点作，交的延长线于点，根据菱形的性质可证，根据全等三角形的性质可知，可得，根据等腰直角三角形的性质可以求出，再根据线段之间的关系可得的长度； (2)过点作于点，连接，把绕点逆时针旋转到，可得：，，，根据角之间的关系可证，根据相似三角形的性质可得与之间的关系； (3)根据勾股定理可得：，，根据是直角三角形，分两种情况求解． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作，交的延长线于点， 四边形是菱形，，， ，，， ， ，，， ， ， 又， 在和中，， ， ， ， 又， ， ； （2）解：如下图所示，过点作于点，连接， 四边形是菱形， 平分，， ， 则有， ， 把绕点逆时针旋转到， ， ， ， ，， ， ，， 则，， ，， ， ， ， ， 又， ， 又， ， ， ， 整理得：； （3）解：当或时，是直角三角形． 理由如下： 如下图所示，连接， 则，，，， ，， 为直角三角形， 当时，， ， 整理得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， ； 当时，， ， 解得：，(不符合题意，舍去)， ； 综上所述，当或时，是直角三角形． 4．（24-25九年级上·江苏南京·月考）【模型回顾】在八年级，我们学习了全等三角形的经典模型—“半角模型”：如图1，在正方形中，E、F在边上，，连接．请你写出线段、、的数量关系：_______； 【探索发现】如图2，小明连接对角线，与、交于点M、N，图中与相似的三角形共有___________个，请你选择其中一组证明； 【深入研究】正方形边长为1，设的长为x，的长为，求与的函数关系式． 【答案】（1）；（2）5，见解析；（3） 【分析】（1）延长到点G，使，连接，证明，得出，，证明，得出，则可得出结论； （2）根据正方形的性质和相似三角形的判定方法即可得到结论； （3）由（1）知，，根据相似三角形的性质得到，作于O，过A作于P，得到，根据全等三角形的性质得到，求得，由（1）知，，得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）； 理由：延长到点G，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）与相似的三角形有． 理由：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 将绕点A顺时针旋转得到， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相似的三角形有， 故答案为：5； （3）由（1）知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于O，过A作于P， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25九年级下·江苏苏州·月考）主题式学习：苏外九年级某学习小组围绕“半角”问题开展主题学习活动． 如图，、分别为正方形的边、上的动点，连接、、，且满足 【常规探究】在图（1）中，求线段、、之间的数量关系． 【变式思考】如图（2），正方形的边长为，点为边上的点，连接，取的中点，为边上的点，且，若，求的长． 【拓展应用】如图（3），点为正方形的边上的点，点在直线上，求的最大值，请直接写出结果． 【答案】【常规探究】； 【变式思考】； 【拓展应用】． 【分析】（1）延长至，使，连接，可证得，从而，证得，从而，进一步得出结果； （2）延长，交的延长线于，作于，可得出，从而得出的值及，可证得，从而得出，根据勾股定理等知识求得，可证得，根据得出的值，进而得出的值，进一步得出结果； （3） 可判断当点在的延长线上，点在上时，存在最大值，作，交于，作于，则，，可证得，从而，从而得出，作的外接圆，作于，交于，当点在处时，最大，进一步得出结果． 【详解】解：（1）如图， ，理由如下： 延长至，使，连接， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． ， ，即； （2）如图， 延长，交的延长线于，作于， 四边形是正方形， ，，， 在和， ， ，，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图， 当点在的延长线上，点在上时，存在最大值， ， 作，交于，作于，则，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ． ， ， 作的外接圆，作于，交于， 当点在处时，最大， 由得， ，，， ， ， ． 6．（25-26九年级上·江西抚州·期末）【证明体验】（1）如图1，在正方形中，E，F分别是对角线和边上的点， ①连接，求证：；②________． 【思考探究】（2）如图2，在矩形中，，，E，F分别是对角线和边上的点，已知，，求的长． 【拓展延伸】（3）如图3，在菱形中，，，交延长线于点H，点E在对角线上，点F为的中点，，求的长． 【答案】（1）①见解析；②；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了正弦的定义、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）①由正方形的性质可得，再结合可得即可证明结论；②由正方形的性质和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质列比例式即可解答； （2）如图：连接，由矩形的性质以及勾股定理可得，则，再结合可得，即，易证，再根据相似三角形的性质列比例式即可解答； （3）如图：连接交于点O，由菱形的性质以及勾股定理可得，则、，再结合可得，易证，再运用等面积法以及相似三角形的性质列比例式即可解答． 【详解】解：（1）①证明：四边形为正方形， ， ， ， ． ②∵正方形中， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）如图：连接， 四边形为矩形， ， ， ， ，即，解得：． （3）如图：连接交于点O， ∵四边形为菱形，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，解得：， ， ，解得：． 7．（2024·广西·一模）【活动探究】在数学课上，老师出示了一个问题：如图1，在菱形中，，，点E，F分别是，边上一点，若，试猜想的形状，不用证明． 【尝试实践】小美受此启发，她尝试将“”改为“”，通过测量验证发现猜想仍然成立，并进一步思考证法：如图2，过点F作，求证…… 请你按照小美的思路进一步思考，并解答这个问题． 【拓展应用】小玲在老师问题上进一步改编：如图3，过C作于点G，当的中点M经过时，请直接写出的长度． 【答案】【活动探究】是等边三角形  【尝试实践】见解析  【拓展应用】 【分析】活动探究：根据菱形的性质得到，即可判断的形状； 尝试实践：过点F作，利用证明，即可得到结论； 拓展应用：过点作于点，则有，即可得到，设，根据，求出，然后点A作于点N，然后根据勾股定理和等边三角形的性质解题即可． 【详解】解：【活动探究】是等边三角形，理由为： ∵菱形中，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； 【尝试实践】过点F作， ∵是菱形的对角线， ∴ ∵， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， 又∵ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； 【拓展应用】过点作于点， ∵， ∴， 又∵是菱形， ∴， ∴， 又∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， 由（1）可得， ∴， 又∵， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：，即， 过点A作于点N， 则，， ∴， ∴， 又∵是等边三角形， ∴． 8．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）探究与证明 【问题背景】在四边形中，（分别为边上的动点），的延长线交延长线于点的延长线交延长线于点，连接． 【构建联系】 （1）如图1，若四边形是正方形，求证：； （2）如图2所示平面直角坐标系，在中，，点坐标为，分别在轴和轴上，且反比例函数图象经过上的点，且，求的值． 【深入探究】 （3）如图3，若四边形是菱形，连接，当且时，求的值． 【答案】（1）见详解；（2）4；（3）1 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，得到，即，根据相似三角形的判定定理得到结论； （2）过点A作轴于E，作轴于F，过点 D作轴于G，作轴于H，则，得到，根据相似三角形的性质得到，根据平行线分线段成比例定理得到，同理得得到，求得 计算即可； （3）连接交于G，根据等腰三角形的性质得到，根据菱形的性质得到， ，，，根据相似三角形的性质得到，设，结合三角函数的定义和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， （2）过点A作轴于E，作轴于F，过点 D作轴于G，作轴于H，则， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 即， ∴， ∴ ∵， ∵， ∵轴，轴， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3）如图，连接交于G， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设 ， 在 中， ， ∴， ∴，， ∴， 由 (1) 知 ， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 9．（25-26九年级上·海南海口·期末）【问题探究】旋转是平面几何中图形变化中最重要的两种方式，运用旋转的方法可以十分便利的解决一些较困难的几何问题，小智利用旋转的方法解决了一道几何题，题目如下：如图①，是等腰直角三角形，，、，求证：； 小智这样作辅助线，如图②，把绕点A旋转至，连接， （1）请你利用小智的方法，求证：． 【问题迁移】 （2）的直角顶点E在菱形的对角线上运动，斜边交于G点，且 ①如图1，当，，，则的值为________； ②如图2，当，，，求的值． 【问题拓展】 （3）如图3，在矩形中，，，，请直接写出线段、、的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）①5；②；（3） 【分析】（1）根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质，可推出，，，进而得到，，即可证得结论； （2）①由（1）中结论可得，根据勾股定理求得，设，则，代入结论，解方程即可； ②把绕点A逆时针旋转至，作，连接，，根据旋转的性质和菱形的性质，易证，得到，然后求得、，设，则，再求得、，最后在中，利用勾股定理建立方程，即可解答； （3）延长至点P，并使得，连接，作于点R，作于点Q，易证，得到，进而证明和，得到，结合，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵把绕点A旋转至， ∴，，，， ∵，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：①∵菱形，，， ∴，， 则由（1）可得，， ∵，， ∴， 设，则， ∴， 解得， 故答案为：5； ②如图所示，把绕点A逆时针旋转至，作，连接，， 则，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵菱形，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，，， ∴，， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴的值； （3）解：如图所示，延长至点P，并使得，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，，即， ∴， ∴， 作于点R，作于点Q， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， 即． 10．（2025·吉林长春·模拟预测）【感知】定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 如图，四边形内接于，连接交于点，点是的中点．求证：四边形是邻等对补四边形． 【探究】如图，四边形是邻等对补四边形，，，求证：平分． 下面是部分证明过程， 证明：延长至点，使，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴，证明过程缺失 ∴平分， 请补全缺失的证明过程； 【应用】如图，在中，，，，点在边上，点在边上，连接，当四边形是邻等对补四边形时，直接写出的长． 【答案】[感知] 证明见解析；[探究] 证明见解析；[应用] 的长为或或． 【分析】[感知] 根据圆内接四边形的性质得到，根据垂径定理得到，于是得到四边形是邻等对补四边形； [探究] 延长至点，使，连接，由，，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，得到，根据角平分线的定义得到平分； [应用] 根据题意分、、、四种情况画出图形, 证明，根据相似三角形的性质逐一求解判断即可． 【详解】[感知] 证明：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是邻等对补四边形； [探究] 证明：延长至点，使，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； [应用] 解：在中，，，， ∴， 当时，如图， ∴， ∴， 由“邻等对补四边形”的定义可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 当时，如图， ∵， ∴，即， ∴； 当时，如图， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 当时，如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 综上所述，的长为或或． 11．（25-26九年级上·山东日照·月考）定义：两个相似（但不全等）三角形共边且位于一个锐角的角平分线两边，则称这样的两个相似三角形为叠似三角形．由这两个叠似三角形组成的四边形称之为叠四边形，例如：如图1，对角线平分，，则称和为叠似三角形，四边形为叠四边形． (1)[初步理解]：如图1，四边形中，对角线平分，，求证：和为叠似三角形； (2)[尝试应用]：如图2，和为叠似三角形，若，，，求叠四边形的周长； (3)[拓展提高]：如图3，在中，，，，若以A、B、C、D为顶点的四边形是叠四边形，请求出这个叠四边形两条对角线的长（求出两对即可）． 【答案】(1)证明见详解 (2)叠四边形的周长为23 (3)“叠似四边形”的对角线，或“叠似四边形”的对角线， 【分析】（1）首先根据已知条件推出，再根据三角形的内角和、角平分线的性质得出和，即可证明，因此和为叠似三角形； （2）首先证明，进而得到对应线段的比例，将已知线段代入，求出，，，即可求解叠四边形的周长； （3）首先根据叠四边形的定义，画出两种情况的叠四边形，再构造合适的辅助线，利用相似三角形和勾股定理，分别求得对角线的长度即可． 【详解】（1）证明：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴和为叠似三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴叠四边形的周长为：， 故：叠四边形的周长为23； （3）解：①：如图，作，，此时，四边形为“叠四边形”，对角线为，，作于点E，作于点G，交于点H，作于点F， 设， ∵， ∴， 在中，，即，解得：， ∴， 在中，，即，解得：， ∴， ∵， ∴，即， 解得：，，， ∵， ∴， 在中，，解得：， ∵，， ∴， ∴， 在中，，解得：， ∴， 在中，， ∴， ∵，即，解得：， ∴，， ∴， ∴此时“叠四边形”的对角线，； ②如图，作，，此时，四边形为“叠四边形”，对角线为，，作于点E，作于点G，交于点H，作于点F， ∵，， ∴， 此时同①的方法即可求得：， ∴此时“叠四边形”的对角线，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10相似三角形模型之半角模型与对角互补模型 目录导航 目录 例题讲模型 .1 模型1.相似三角形模型之半角模型 模型2.相似三角形模型之对角互补模型 .9 习题练模型 …18 例题讲模型 模型1.相似三角形模型之半角模型 模型解读 1)半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型) 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF=45 结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN; 45 459 图1 图2 证明：∵ABCD是正方形，.∠ADM=45°，，∠EAF=45°，.∠ADM=∠EAF, 1/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠AMD=∠MA,∴.△MDA∽△MAN,同理：△MAN∽△ABN,.△MDA∽△MAN∽△ABN; 结论：如图2，△BME∽△AMW∽△DFN. 证明：，ABCD是正方形，∴.∠NDF=45°，，∠EAF=45°，∴.∠NDF=∠EAF, .'∠DNF=∠ANM,∴.△AMN∽△DFN,同理：△BME∽△AMN,∴.△BME∽△AMN∽△DFN; 结论：如图3，连接AC,则△4MBn△4FC,△4ND∽△4BC.且4E=4E-4C=V2; AM AN AB M 图3 图4 证明：：ABCD是正方形，·∠B4C-∠ABC=∠ACF-45,4C-V2,·∠BAMH∠M4C-45, AB :∠EAF=45,∠FAC+∠MAC-45,∴∠BMM∠PFAC,△4MBn△4FC,六F=4C-2. AM AB 同理：△4ND∽△4BC,4E-4C-2:即4E-45=4C=2. AN AB AM AN AB 结论：如图4，△4N∽△4FE且E=4E=EE=N2. AM AN MN 证明：，ABCD是正方形，∴AB∥CD,∴.∠DFA=∠BAN;∠AFE=∠AFD,∠BAN=∠AMD,.∠AFE= ∠AMN; 又∠AN=∠FAE,÷△4N∽△4FE,由图3证明知：45=4E=4C=V5,·4E=4E=EE=V2. AM AN AB AM AN MN 2)半角模型（含120-60°半角模型) 60° 600 E 图5 条件：如图5，已知∠BAC=120°，∠ADE=∠DAE=60°； 结论：①△4BD∽△CAE∽△CBA;②4D_CE=4C;③AD·AE=BD.CE(DE'=BD-CE）。 BD AE AB 证明：，∠ADE=∠DAE=60°，.∠ADE=60°，.∠ADB=120°，∠BAC=120°，.∠ADB=∠BAC, 2/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ABD=∠CBA,∴△ABD∽△CBA;.AD-BD,即：AD=AC AC AB BD AB 同理：△CAE∽△CBA,.CE=AE,即：CE=AC,即：△4BD∽△CAE∽△CBA4AD_CE_AC AC AB AE AB BD AE AB .AD·AE=BDCE,AD=AE=DE,∴.DE2=BDCE 模型运用 例1.(24-25九年级上·北京海淀期中)如图，已知ABC为等边三角形，∠DAE=120°.求证： (I)△DBA∽△DAE; (2)AD2=BD·DE; (3)BC2 BD.CE. 例2.(25-26九年级上·贵州遵义·期中)在某次数学兴趣小组活动中，小星同学遇到了如下问题：如图①， 在正方形ABCD中，E,F分别是BC,CD上的点，且EF=BE+DF,求∠EAF的度数. A D A D D B E E B E 图① 图② 图③ (I)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将△ADF绕点A按 顺时针方向旋转90°，得到△ABG,如图①所示，即可求出∠EAF的度数.请同学们根据此想法解决小星同 学的问题， (2)【理解应用】如图②，在边长为3的正方形ABCD中，E,F分别是BC,CD上的点，且∠EAF=45°， BE=2,求DF的长. (3)【延展应用】如图③，在矩形ABCD中，E,F分别是BC,CD上的点，AB=3,BE=2,且 ∠EAF=∠CEF=45°则DF的长为 例3.(24-25九年级下江苏宿迁期末)数学兴趣小组探究了以下几何图形、如图①，把一个含有45°角的 三角尺在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两 边CM,CN始终与正方形的边AD,AB所在直线分别相交于点M,N,连接MN可得△CMW· 3/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【探究一】如图②，把CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH,同时得到点H在直线AB上，求证： ∠CNM=LCNH; 【探究二】在图②中，连接BD,分别交CM,CN于点E,F,求证：aCEF∽aCNM; 【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD与三角尺45°角两边CM,CN分别交于点E,F,连 EF 接AC交BD于点O,求E的值 MN M B B 图① 图② 图③ 模型2.相似三角形模型之对角互补模型 模型解读 1)对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C=∠EOF=90°，点O是AB的中点， C D H E 0 0 OE BC 结论：如图，过点O作OD⊥AC,OH⊥BC,垂足分别为D,H,则：①△ODE~△OHF;② OF AC 证明：，OD⊥AC,OH⊥BC,垂足分别为D,H,∴.∠EDO=∠FHO=90°， ,∠C=90°，.四边形OHCD为矩形，.∠DOH=90°，DO=CH∴.∠DOF+∠HOF=90°， OE OD ,∠EOF=90°，∴.∠DOF+∠DOE=90°，.∠HOF=∠DOE,.△ODE~△OHF,∴. OF OH :∠C=∠OHD=90,点O是AB的中点，H为BC中点，BH=CH,BH=DO,. OD BH OHOH :∠C=∠OHD=90P,∠B=∠B,△OHB△4CB,:BH=BC,:0E=0D-BH=BC ·OHAC …0 FOH OH AC 2)对角互补相似2 条件：如图，己知∠AOB=∠DCE=90°，∠BOC=a. 4/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA,CG⊥OB,垂足分别为F,G;则①△ECG~△DCF;②CE=CD tana 证明：法1：，CF⊥OA,CG⊥OB,垂足分别为F,G;∴.∠EGC=∠DFC=90°， :∠AOB=90°，.四边形OGCF为矩形，∴.∠GCF=90°，CF=OG,∴.∠FCD+∠DCG=90°， :∠DCE=90,·∠GCE+∠DCG=90°，∴∠GCE=∠FCD,∴BCG△DCF,:.Cg-CG ·CDCF CF-OG, CE CG CG CD OG ,,在Rt△COG中，tana= OG CE=CD.tana 条件：如图，已知∠AOB=∠DCE=90°，∠BOC=a. 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC,交OB于F;则：①△CFE~△COD;②CE=CD·taa -B E 图 图2 证明：法1：，CF⊥OC,.∠OCF=90°，.∠OCE+∠ECF=90°， ,∠DCE=90°，∴.∠OCE+∠DCO=90°，∴.∠ECF=∠DCO, ,∠AOB=90°，∠OCF=90°，∴.∠COE+∠DOC=90°，∴.∠COE+∠CFO=90°， ∠DoC=∠C0,cE~△coD,六器-5：fm△o0r中，am ,∴.CE=CD.tana CD CO OC 3)对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA,DF⊥BC,垂足分别为E、F;则：①△DAE~△DCF;②A、B、C、D四 点共圆。 5/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：，∠B+∠D=180°，∠A+∠C-=180°，.A、B、C、D四点共圆。 ,DE⊥BA,DF⊥BC,∴.∠AED=∠CFD=90°， .'∠BAD+∠C=180°，∠BADH∠DAE=180°，.∠C-∠DAE,∴.△DAE~△DCF; 模型运用 例1.(25-26九年级上浙江温州月考)如图，在ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点，过B,C, D的圆交AC于点E,已知点C为BCD的中点，连接DE· E 0 B D (I)求证：△ABC∽△AED (②)AD=2DE=2,求O0的半径. 例2.（25-26九年级上山东德州·期末)定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形. B 图1 图2 图3 (I)理解：如图1，点A,B,C在O0上，∠ABC的平分线交⊙0于点D,连接AD,CD.求证：四边形 ABCD是等补四边形； (②)探究：如图2，在等补四边形ABCD中，AB=AD,连接AC,AC是否平分∠BCD?请说明理由. (3)运用：如图3，在等补四边形ABCD中，AB=AD,其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F, 6/13 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD=10,AF=5,求DF的长， 例3.(2425九年级上·贵州贵阳，期中)定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹 角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题： 图1 图2 备用图 (I)如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点 F在DA的延长线上，四边形BEDF是“直等补"”四边形吗？请说明理由； (2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补"四边形，AB=BC=5,CD=1,AD>AB,点B到直线AD的距 离为BE. ①求BE的长； ②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求△MNC周长的最小值. 习题练模型 一、解答题 1.(25-26九年级上·浙江台州期末)如图，ABC中，∠ACB=120,边AB上有两点D,E,满足△CDE是 等边三角形 D (I)求证：△ACD∽△CBE; (②)如果AD=3,BE=4,求DE的长 2.(25-26九年级上江苏南京·月考)如图，四边形ABCD内接于00，满足B=2CD,连接AC，BD, 延长BC,AD交于点E. 7/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Q (I)若∠CAD=35°，求∠E的度数； (2)求证：△ABE∽△CDE; (3)若coS∠ABC=0.6,AD=3,BD=9,AB的长为 3.(25-26九年级上·上海·月考)四边形ABCD是菱形，AB=6,∠B=60°，E是AB边上的一个动点，连 接DE并作∠EDF=∠B,DF交BC边于点F, A D E F B B 图1 备用图 备用图 (I)如图1，当AE=CF时，求AE的长 (②)设AE=x,CF=y,请写出y与x之间的函数关系式. (3)是否存在点E,使得△DEF为直角三角形，如果存在，请求出AE的值，如果不存在，请说明理由. 4.(24-25九年级上江苏南京·月考)【模型回顾】在八年级，我们学习了全等三角形的经典模型一“半角 模型”：如图1，在正方形ABCD中，E、F在边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF.请你写出线段BE、 EF、DF的数量关系：一； 【探索发现】如图2，小明连接对角线BD,与AE、AF交于点M、N,图中与△AMN相似的三角形共有 个，请你选择其中一组证明： 【深入研究】正方形ABCD边长为1，设BE的长为x,MN的长为y,求y与x的函数关系式： A D A D M B E B E 图1 图2 5.(24-25九年级下·江苏苏州月考)主题式学习：苏外九年级某学习小组围绕半角”问题开展主题学习活 8/13 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 动. 如图1，E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的动点，连接AE、AF、EF,且满足∠EAF=45. 【常规探究】在图(I)中，求线段BE、DF、EF之间的数量关系. 【变式思考】如图(2)，正方形ABCD的边长为6，点E为边BC上的点，连接AE,取AE的中点G,F 为CD边上的点，且∠EGF=45°，若BE=2,求CF的长 【拓展应用】如图(3)，点E为正方形ABCD的BC边上的点，点F在直线BC上，求BE的最大值，请直 EF 接写出结果 G 图1 图2 图3 6. (25-26九年级上江西抚州期末)【证明体验】(1)如图1，在正方形ABCD中，E,F分别是对角线 BD和边CD上的点，∠EAF=45 ①连接AC,求证6 ABEACF,②BE CF 【思考探究】(2)如图2，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,E,F分别是对角线BD和边CD上的点， 已知sin∠EAF元，cF=2,求E的长 【拓展延伸】(3)如图3，在菱形ABCD中，AB=10,BD=12,CH⊥AD交AD延长线于点H,点E在 9D上，点F为CH的中点，sm∠EAF=,求 A D D H B B 图1 图2 图3 7.(2024广西一模)【活动探究】在数学课上，老师出示了一个问题：如图1，在菱形ABCD中， ∠B=60°，AB=6,点E,F分别是BC,CD边上一点，若LEAF=60°，试猜想△AEF的形状，不用证明. 【尝试实践】小美受此启发，她尝试将“LEAF=60°”改为“∠AFE=60°”，通过测量验证发现猜想仍然成立， 并进一步思考证法：如图2，过点F作FH∥AC,求证△AHF≌△FCE… 请你按照小美的思路进一步思考，并解答这个问题， 9/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【拓展应用】小玲在老师问题上进一步改编：如图3，过C作CG⊥AB于点G,当EF的中点M经过CG时， 请直接写出EF的长度， 图1 图2 图3 8.(25-26九年级上广东揭阳·期末)探究与证明 【问题背景】在四边形ABCD中，∠EAF=∠BD(E,F分别为边BC、CD上的动点)，AF的延长线交 BC延长线于点M,AE的延长线交DC延长线于点N,连接AC, 【构建联系】 (1)如图1，若四边形ABCD是正方形，求证：△ACN∽△MCA; (2)如图2所示平面直角坐标系，在ABC中，∠BAC=45°，点A坐标为-3，-3)，B、C分别在y轴和x 轴上，且反比例函数y=(x>0)图象经过BC上的点D,且BD:DC=1:2,求的值， 【深入探究】 (3)如图3，若四边形ABCD是菱形，连接MN,当MV=MA且∠E4F=60°时，求CE的值 BE D D 图1 图2 图3 9.(25-26九年级上·海南海口·期末)【问题探究】旋转是平面几何中图形变化中最重要的两种方式，运用 旋转的方法可以十分便利的解决一些较困难的几何问题，小智利用旋转的方法解决了一道几何题，题目如下： 如图①，ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC、∠DAE=45°，求证：BD2+CE2=DE2: 10/13