专题09 相似三角形模型之一线三等角模型、手拉手模型、十字架模型（几何模型讲义）（北京专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

专题09 相似三角形模型之一线三等角模型、手拉手模型、十字架模型 目录 1 模型1.相似三角形模型之一线三等角模型 1 模型2.相似三角形模型之手拉手模型 9 模型3.相似三角形模型之十字架模型 22 34 模型1.相似三角形模型之一线三等角模型 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 例1．（25-26九年级上·安徽池州·期中）如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键点在于利用“同角的余角相等”证明，以及利用正方形用比例关系表示，本题的易错点在于找不到角的关系，比例式列错． （1）在正方形ABCD中，找到得两个余角，利用同角的余角相等，得出一对角相等，再利用已知直角相等，即可证明； （2）设正方形边长为，利用第（1）问的相似和中点，用比例关系表示，从而表示出，再证明，即可得到的值． 【详解】（1）∵边形是正方形， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴， ∴． （2）设正方形的边长为， ∵是边上的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故． 例2．（2025·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可； （2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可； （3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵将边绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 故答案为： （2）． 证明：同（1）可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， 则，，， 由（1）同理可证，， ∴，， ∴，， ∴． 例3．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）九年级2201班数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研究： 已知：等腰中，，的顶点在三边上的不同位置都满足． 【一线模型】如图1：当的顶点在底边上，与两腰，分别交于点，，求证：； 【变化模型】如图2：当的顶点与点重合，与底边及其延长线分别交于点，，求的值； 【拓展延伸】如图3：当的顶点在边上，与底边分别交于点，，且，求的值．（用的代数式表示） 【答案】[一线模型]见解析；[变化模型]；[拓展延伸] 【分析】一线模型：利用三角形外角性质，找到角的等量关系，结合已知的角相等，依据相似三角形判定定理（两角分别相等）证明 ． 变化模型：通过角的关系推导，得出与相似，再利用相似三角形对应边成比例，结合已知（即 ），求出的值 ． 拓展延伸：作辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的性质和线段的等量代换，将转化为与已知相关的表达式，进而求解 ． 本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等判定相似）和性质（对应边成比例），以及通过作辅助线构造相似三角形、利用角的关系和线段等量代换解题是关键． 【详解】解：（1）∵， 且 ∴， ∴， ∴； （2）∵，， 而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）过点作， 则：，， ∴， ∵， ∴， 则， 同理可证：， ∴，即， ∴． 例4．（25-26九年级上·北京通州·月考）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点．求证：≌ (2)如图3，，，点D在上，．求证：∽； (3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，，小明想到在的延长线上取点M，使，连接，请你延续小明的想法求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题是几何图形的综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据，，可得，再由，可得，从而利用角角边证得≌即可； 根据，，可得，再由，可得，从而证得结论； 在的延长线上取点M，使，连接，可得，再根据平行四边形的性质以及，可得，，可证得∽，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌； （2）证明：，， ， ， ， ， ， ∽； （3）解：如图，在的延长线上取点M，使，连接， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ∽， ． 模型2.相似三角形模型之手拉手模型 “手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 手拉手模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个三角形可以重合；3）图形是任意三角形（只要这两个三角形是相似的）。 1）手拉手相似模型（任意三角形） 条件:如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC. 证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC， ∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE， ∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=， 2）手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图，，； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD， ∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD， ∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴. 例1．（25-26九年级上·山东济南·期末）在中，，，点P是平面内不与A，C重合的任意一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，，． (1)观察猜想 如图1，当时，的值是______，直线与直线相交所成的较小角的度数是______； (2)类比探究 如图2，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由； (3)解决问题 如图3，当时，点E，F分别是，的中点，点P在线段上，当点C，P，D在同一直线上，且时，求出的长． 【答案】(1)1； (2)，直线与直线相交所成的较小角的度数为；理由见解析 (3)BD的值为 【分析】本题主要考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题． （1）延长交的延长线于E，设交于点O，证明即可得结论； （2）设交于点O，交于点E，证明即可得结论； （3）首先证明，由可得，可得，同理（2）证明，得即可求解出的长． 【详解】（1）解：如图1中，延长交的延长线于E，设交于点O， ∵，，线段绕点P逆时针旋转得到线段， ∴，都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，直线与直线相交所成的较小角的度数是． 故答案为1，． （2）解：，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为，理由如下： 如图2中，设交于点O，交于点E， ∵，，线段绕点P逆时针旋转得到线段， ∴，都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，即，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即直线与直线相交所成的较小角的度数为， ∴，直线与直线相交所成的较小角的度数为． （3）解：如图，当点P在线段上时， ∵线段绕点P逆时针旋转得到线段，， ∴，，， ∴， ∵点E，F是、的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，∴， ∴，， ∴， 同理（2）可证， ∴，即， ∵， ∴． 例2．（25-26九年级上·福建宁德·期中）在矩形中，点为射线上一点，连接，以为一边，在的右侧作正方形． (1)若，如图1，连接，当射线与射线的交点在线段上时． 求证：①； ②点一定在射线上； (2)如图2，若，，连接，求的最小值． 【答案】(1)①证明见解析，②证明见解析 (2) 【分析】（1）①根据正方形的性质得到，结合相似三角形的判定即可求解；②连接，可知和都是等腰直角三角形，利用手拉手的相似模型，证得，求得，最后根据，得到三点共线即可求解． （2）先将一条边设元，通过相似和全等找到线段之间的关系，用含有未知数的式子将其余线段长度表示出来，通过勾股定理将表示出来，利用函数求出最值即可求解． 【详解】（1）解：①证明：四边形是矩形，， 四边形是正方形， 是对角线， ， 同理， 又， ． ②如图，连接， 四边形是正方形，是对角线， ， 同理， ， 又， ， ， ， ， 点一定在射线上． （2）如图，过点E作直线，再过点F分别作，则， 设的长度为，则， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 结合图形可知四边形和四边形都是矩形， ， ， 由勾股定理可知， 当时，有最小值，最小值为32， 最小值为． 例3．（2025·青海西宁·一模）综合与实践 【问题呈现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． 【类比探究】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则 【拓展提升】 （3）如图3，，，连接，，若． ①求的值； ②延长交于点，则 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①，②． 【分析】（1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （2）利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可； （3）①利用勾股定理求得，利用相似三角形的性质和相似三角形的判定解答即可； ②利用相似三角形的性质，对顶角相等的性质和三角形的内角和定理得到，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）①∵，， ∴设，则， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． ②设，交于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 例4．（24-25九年级上·辽宁沈阳·月考）1.问题发现 图（1），在和中，，，，连接，交于点M. ①的值为______；②的度数为_______． （2）类比探究 图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数； （3）拓展延伸 在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周． ①当直线经过点B且点C在线段上时，求的长； ②请直接写出运动过程中M点到直线距离的最大值． 【答案】（1）①1；②；（2），；（3）①的长为；②M点到直线距离的最大值为 【分析】（1）直接根据两个共顶点的等腰三角形证明，可以证明，最后在和中导角直接可以求解． （2）改变三角形结构，直接通过判定和相似，同样可以用第一问的方式证明，根据相似比，求线段比例，最后在和中导角直接可以求解的度数． （3）深度理解题意，本质上问的就是当B，C，D，三点共线时，求的长，在利用，对应边成比例求的长，最值的求解，先找到点和点的轨迹，可以发现是在两个圆弧上运动，再利用最大时，则M点到直线距离的最大，直接求解即可． 【详解】（1）①∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②设与交于点F， 由①知，， ∴， ∵， ， ∴， 故答案为：； （2）如下图，在和中，设与交于点； ∵∠，， ∴； ∵， 即， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，． （3）①如下图所示，当直线经过点B且点C在线段上时； 在中，，； 过点O作的垂线，垂足为； ∴； ∵； ∴； ∴，； 在中，由勾股定理得； ； ∴； ∵； ∴； 即； ②如下图所示，∵，； ∴点M的轨迹是圆弧，即点M在圆P上运动，且； 要想求出点到直线的最大值，动点距离直线越远越好， 从下图可以看出，点的轨迹也是圆，点运动极限位置取决于的最大值； ∵，； ∴的最大值取得当且仅当时； 即在中； ； ∴； 过点作的垂线，垂足为； ∴； 即线段即为所求； 在中； ； ∵； ∴； ∵； ∴； ； ∴； ∴M点到直线距离的最大值为． 模型3.相似三角形模型之十字架模型 1）条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：. 证明：四边形为矩形，，； DE⊥AC，，，，，. 2）条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：. 证明：如图，过点F作于点G，则； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ；EF⊥AC，，； ，，，易证：DC=AB，FG=BC，. 3）条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，EF⊥MN，结论：. 证明：如图：过点N、F作、垂直，； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ∵EF⊥MN，，∴； 又∵（对顶角相等），∴； ∴，，易证：NH=AB，FG=BC，. 例1．（25-26九年级上·全国·期末）【基本模型】 （1）如图1，在矩形中，，连接，过点作交于点，求的值； 【类比探究】 （2）如图2，某地有一个三角形街心花园，其中，，，户外休闲格、分别在、上，沿、修建两条人行步道，已知步道，且，为便于居民生活，现将段划分为共享单车停放点，求共享单车停放点的长度．（户外休闲格的大小、步道的宽度均忽略不计） 【答案】（1）（2） 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形对应边成比例即可得到答案； （2）利用相似三角形的判定和性质，勾股定理知识求出的值，根据即可求出答案． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ，， ， ， ∴． ， ， ， ． （2）如图2，过点作于点，过点作于点， 在中，， 由勾股定理得：， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 即共享单车停放点的长度为． 例2．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）（1）问题发现 如图1，在正方形中，点P在边上，点Q在边上，且于点M．求证：； （2）类比探究 如图2，在矩形中，点P在边上，点Q在边上，且于点M．求证：； （3）拓展延伸 如图3，在中，，点P在边上，点Q在边上，，，连接交于点M，且．求的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据正方形的性质以及已知条件证明，然后由全等三角形的性质即可证明结论； （2）根据矩形的性质以及已知条件证明，然后由相似三角形的性质即可证明结论； （3）以点为圆心，以为半径画弧交于E，则，证明，即可得到． 【详解】证明：（1）∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ 以点为圆心，以为半径画弧交于E， 则， ∴， ∴ ∴， ∴ 例3．（湖南省怀化市2025-2026学年上学期期末九年级试卷数学）某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【初探猜想】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，若，试判断线段与的大小关系，并说明理由； 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，，点E，F分别是边上一点，点G，H分别是边上一点，连接，若，求的值； 【知识迁移】 （3）如图3，在四边形中，，点E，F分别在线段上，且，求的值． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）作，垂足分别为点P、Q，交于点O．证明，则，证明四边形都是矩形，则，即可得到答案； （3）作，交的延长线于点Q，作于点P，证明四边形是矩形，由（2）知：，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：（1），理由如下： 如图1，设CF，DE交于点O， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ∴ （2）解：如图2，作，垂足分别为点P、Q，交于点O． ∵， ∴， ∴ ， 又 ， 又 ∵ ∴四边形都是矩形， ∴ ； （3）作，交的延长线于点Q，作于点P，如图3， ， 又， 四边形是矩形， 又， 由（2）知： 又 ∴ ，四边形是矩形， ， 在中， ， 例4．（25-26九年级上·广东深圳·期末）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究．    【问题探究】 (1)如图，在正方形中，是边上一点，连接，于点，交于点．求证：． (2)如图，数学兴趣小组经过进一步探究发现，在正方形内部作两条互相垂直的直线，这两条互相垂直的直线分别被正方形的两组对边所截得的线段，则的数量关系是______． (3)如图，在菱形中，，与相交于点，且与的夹角，则与的数量关系是什么？并说明理由． (4)如图，在矩形中，，，点为中点，将沿翻折至处，的延长线分别与相交于点．请根据题意画出图形，并完成下列问题： ①______； ② 请根据上述结论，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，理由见解析 (4)①；② 【分析】（）证明即可求证； （）把平移到位置，把平移到位置，则，，，再同理（）即可求解； （）过点作于点，过点作，交延长线于点，再证明即可求证； （）①利用矩形和折叠的性质可得，，，即得，，即可证，得到，进而由勾股定理得，，再根据可得，得到，最后代入计算即可求解；②根据①即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ，， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，把平移到位置，把平移到位置，则，，，    同理（）可得，， ∴， 故答案为：； （3）解：，理由如下： 如图，过点作于点，过点作，交延长线于点，则，    ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）解：①如图，    ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点为中点， ∴， 由折叠可得，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，∵， ∴， 解得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②由①可得，． 一、单选题 1．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，,,，交于点F，交于点E，则线段的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理可知长度，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：在矩形中， ,, , , , ， , , , , 故选：A． 2．（25-26九年级上·贵州铜仁·期末）如图，在中，，，点P在上，，，若的面积为5，则的面积是（    ） A． B．10 C．9 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，熟练掌握等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解本题的关键． 设，则，可得，再证明，可求得，，得出，最后用三角形面积法求解即可． 【详解】解：设，则， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 二、填空题 3．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，在矩形中，，是边的中点，连接，，如果，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质、勾股定理等，证明，可得，据此即可求得答案． 【详解】解：根据题意可知，，， 设，则． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江西萍乡·期末）定义：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，则称此三角形为“完美三角形”．如图，在矩形中，，，，点是边上一动点，若是“完美三角形”，则的长为 ． 【答案】或1或3 【分析】本题考查了矩形的性质、直角三角形斜边中线的性质以及相似三角形的判定与性质．关键是先证明“一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形”，再分三种直角顶点的情况，利用相似三角形求解． 【详解】解：如图，在中，为边上的中线，且， 是中线， ， 在中，；在中，． ， ，即， ，故是直角三角形， 即“完美三角形”实际上是直角三角形． ，，， ，，，． 设，分三种情况讨论： ①当时，． ， ， ∴， ∴，即，解得或， 即或，均满足题意； ①如图，当时： ， ． ， ， ∴， ∴，即，解得， 即，满足题意； ③当时，∵是锐角， ∴点在的延长线上，不满足题意． 综上，的长为，或． 故答案为：，或． 三、解答题 5．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，E为上一点，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)6 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定等知识． （1）先证明，再证明，即可证明； （2）证明，得到，即可求出． 【详解】（1）证明：∵为外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 6．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且． (1)求证：； (2)若的面积为8，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质． （1）由，，即可得出； （2）证明，得，从而可得结论． 【详解】（1）证明：， ， 即， 又， ． （2）解：由（1）得， ， 又， ， 又， ． 7．（25-26九年级上·河南南阳·期末）综合与探究 如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是___________； (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，求的面积； (3)【拓展延伸】在（2）的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)的面积为30； (3)线段的长为或20． 【分析】（1）利用“一线三直角“证明即可得出结论； （2）证明可求的长度，即可求出的面积； （3）由已知条件过作的垂线段，可得两个直角三角形，然后解这两个直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：∵线段绕点顺时针旋转得到线段，， ∴，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴． 故答案为：． （2）解：∵线段绕点顺时针旋转得到线段，， ∴，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴，． ∵，， ∴，． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∴． ∴． ∴的面积为30； （3）解：①当点在点左侧时，如图1，过作于， ∵，，， ∴，， ∴，． 设，则，， ∴， ∴， ∴． ∴； ②当点在点右侧时，如图2，过作交的延长线于， ∵，，， ∴，， ∴，． 设，则，， ∴． ∴． ∴． ∴． 综上，线段的长为或20． 【点睛】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质和判定、解直角三角形、勾股定理等知识，通过添加合适的辅助线构造直角三角形及“分类讨论”思想的运用是解题的关键． 8．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图1，在中，，点分别是边的中点，连接，将绕点按顺时针方向旋转，记旋转角为． (1)问题发现 ①当时，___________；②当时，___________． (2)拓展探究 试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． (3)问题解决 当旋转至三点共线时，直接写出线段的长． 【答案】(1)①；② (2)无变化，见解析 (3)或 【分析】（1）①根据题意，得，根据勾股定理，得，，，，解答即可；②当时，仿照①解答即可． （2）根据三角形相似的判定和性质，证明即可． （3）根据题意，分类计算线段的长即可． 本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）①解：根据题意，得， 根据勾股定理，得， ，，， 故当时，， 故答案为：； ②解：当时，根据题意，得，， 故， 故答案为：． （2）解：的大小无变化，证明如下： 根据旋转的性质，得， 故， 又， ∴， ∴， ∴． ∴的大小无变化． （3）解：当三点共线时，如图， 根据勾股定理，得， 故， 根据题意，得， 故， 又， ∴， ∴， ∴， ∴； 当三点共线时，如图， 根据勾股定理，得， 故， 根据题意，得， 故， 又， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 9．（25-26九年级上·海南海口·期末）如图1，在等腰中，，点D是边上一点，点E是边上一点，且，易证明．以上是同学们熟悉的“一线三等角”．某数学研究小组在此基础又有了新发现，请完成以下环节： (1)【合作探究】如图1，求证：； (2)【内化迁移】如图2，在中，点E为边上一点，点F为延长线上一点，．若，，求的长； (3)【学以致用】如图3，在中，，，点D为边上一点，．若，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质，解直角三角形； （1）根据相似三角形的判定，寻找两组对应角相等即可得证； （2）寻找两组对应边相等，证明，即可得到，结合已知条件可求出，再利用平行四边形的性质即可求出； （3）过点A作，先证明，可得，设，，可求出，再利用，可求出，最后求出即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：过点A作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴设，，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 10．（25-26九年级上·四川巴中·期末）在一次小组合作探究课上，小明将两个相似平行四边形按如图所示的位置摆放，发现了一些有趣的结论．小组讨论后，提出下列问题，请你帮助解答： (1)如图，与相似，且，直接写出结果：________，________； (2)如图，把（1）的平行四边形分别改为矩形和矩形如图放置，．求的值并判断直线与的位置关系，说明理由； (3)小组在探究中发现，在（2）中，若，，连接，（如图），将矩形绕点旋转任意角度，此时的值可能是一个定值．如果的值是定值，请你求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，，理由见解析 (3)的值是定值，这个定值为 【分析】（1）证明，再结合三角形内角和定理即可得证； （2）延长交于点，交于点，证明，结合三角形内角和定理即可得证； （3）将矩形绕点旋转任意角度，连接，，设与、分别相交于点、，证明，进而结合三角形内角和定理证明，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：与相似， ， ， ， ，即， ， ，， ， ， 如图所示，设与相交于点， ，， ，即， ； 故答案为：，； （2）解：，，理由如下： 四边形和四边形是矩形， ，，， ，即， ， ， ， ，，即， 如图所示，延长交于点，交于点， ，， ， ， 即； （3）解：的值是定值，这个定值为； 如图所示，将矩形绕点旋转任意角度，连接，，设与、分别相交于点、， 四边形和四边形为矩形， ，，， ，即， ，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 的值是定值，这个定值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 11．（25-26九年级上·山东德州·月考）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点、处，如图②，可证，可得． （1）在图①中添加辅助线，证明一般性的规律． 【模型应用】 （2）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则______．（直接写出结果）． 【拓广延伸】 （3）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，求的长度． 【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3） 【分析】（1）过点作，交于点，过点作，交于点，先证出，根据相似三角形的性质可得，再证出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，，由此即可得证； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，再利用勾股定理可得，由此即可得； （3）先利用勾股定理可得，再过点作于点，证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】（1）证明：如图①，过点作，交于点，过点作，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，；，， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴，， ∴． （2）解：∵在正方形中，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：1． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 如图④，过点作于点， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 12．（25-26九年级上·四川资阳·期末）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【初步感知】 （1）如图1，在正方形中，点分别是上的两点，连接，且．则的值为___________． （2）如图2，在矩形中，，点是边上的一点，连接．当时，则的值为___________． 【类比探究】 （3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，若，求的长度； 【拓展延伸】 （4）如图4，在四边形中，，中，，点分别在边上，连接，且．求的值． 【答案】（1）1；（2；（3）；（4） 【分析】（1）根据“”，易证，得，计算即可求解； （2）根据“”，易证，得，计算即可求解． （3）过点作，交的延长线于点，根据“”，易证，得，从而得，再根据“三个角是直角的四边形是矩形”判定四边形为矩形，求得和，最后利用三角函数，计算即可求解； （4）连接交于点，过点C作于点，根据“”，易证，得，从而垂直平分，进而，根据正切函数和面积相等，求出，，，，最后根据“”，易证，得，计算即可求解． 【详解】解：（1）1； 正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：1； （2）； 矩形，， ，，， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （3）（方法不唯一，正确即可得分） 过点作，交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， 在中，， ， ， （4）连接交于点，过点C作于点， ， 和是直角三角形， ， ， ， 垂直平分， ， 在中，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ， ，， ，，， ， ， ， ， ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09相似三角形模型之一线三等角模型、手拉手模型、十 字架模型 目录导航 月录 例题讲模型 .1 模型1.相似三角形模型之一线三等角模型 1 模型2.相似三角形模型之手拉手模型 .9 模型3.相似三角形模型之十字架模型 ..22 习题练模型 34 例题讲模型 模型1.相似三角形模型之一线三等角模型 模型解读 1)一线三等角模型（同侧型) D (锐角型) (直角型) (钝角型) 条件：如图，∠1=∠2=∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：，∠1+∠C=∠2+∠DEB(外角定理)，∠1=∠2 .∠C=∠DEB,,∠1=∠3，∴.△ACE∽△BED。 2)一线三等角模型（异侧型) 1/16 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2d 0 条件：如图，∠1=∠2=∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：：∠1=∠2，∴.∠CBE=∠EAD(等角的补角相等)，.∠C=∠DEB,∠1=∠3，.△ACE∽△BED。 ,∠2=∠C+∠CEB(外角定理)，∠3=∠DEA+∠CEB,∠2=∠3.∴.∠C=∠DEA,.△ADE∽△BEC 3)一线三等角模型（变异型) 图1 D图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2=∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD 证明：，∠1+∠C=∠2+∠DEB(外角定理)，∠1=∠2，.∠C=∠DEB,∠1=∠3，∴△ACE∽△BED 4E_CE,:C为AB的中点，AE=EB,.BE_CE,BE-BD,:∠2=∠3，△BED∽△ECD BD ED BD ED CE ED ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：，∠ABD=∠AFE=90°，∴.∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A, ,∠ABD=∠BDE=90°，.△ABC∽△BDE,,∠ABD=∠AFE-90°，∴.∠ABC=∠BFC=90°， ∴.△ABC∽△BFC,同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM 证明：，∠ABD=∠ACE-90°，∴.∠ABM=∠MCN=90°， ,'∠AMB=∠MC(对顶角相等)∴.△ABM∽△NCM.同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 模型运用 例1.(25-26九年级上·安徽池州期中)如图，在正方形ABCD中，P是CD边上的中点，过点P作 PF⊥AP,交AB的延长线于点F,交BC于点E. 2/16 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E y B (I)求证：△APD∽aPEC; R综的数 例2.(2025河南周口·三模)(1)问题发现：如图1，在ABC中，∠ABC=,将边AC绕点C顺时针 旋转au得到线段CE,在射线BC上取点D,使得∠CDE=&,线段BC与DE的数量关系是； (2)类比探究：如图2，若a=90°，作LACE=90°，且CE=】AC,其他条件不变，写出变化后线段BC 2 与DE的数量关系，并给出证明； (3)拓展延伸：如图3，正方形ABCD的边长为6，点E是边AD上一点，且AE=2,把线段CE逆时针旋 转90°得到线段EF,连接BF,直接写出线段BF的长. F 图1 图2 图3 例3.(24-25九年级上·湖南益阳·期中)九年级2201班数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研 究： 己知：等腰ABC中，AB=AC=1,∠PDQ的顶点D在ABC三边上的不同位置都满足 ∠PDQ=∠ABC=∠ACB 【一线模型】如图I:当∠PDQ的顶点D在底边BC上，与两腰AB,AC分别交于点E,F,求证： △BDE∽△CFD; 【变化模型】如图2：当∠PDQ的顶点D与点A重合，与底边BC及其延长线分别交于点E,F,求 BE,CF的值； 【拓展延伸】如图3：当∠PDQ的顶点D在AB边上，与底边BC分别交于点E,F,且BD=kAB,求 BE(kBC-BF)的值.（用k的代数式表示） 3/16 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A(D) D F B E D P O 图1 图2 图3 例4.(25-26九年级上北京通州月考)感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线DE 上，且LBDA=LBAC=LAEC=90°，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为 “一线三等角“模型. 应用： 图3 图4 (I)如图2，RtAABC中，∠ACB=90°，CB=CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于点D,过B作 BE⊥ED于点E,求证：△BEC≌△CDA (2)如图3，AB⊥BC,EC⊥BC,点D在BC上，∠ADE=90°.求证：△ABD~△DCE; (3)如图4，在口ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点.若∠DEF=∠B,AB=10,BE=6, 小明想到在BC的延长线上取点M,使DW=DC,强接DM，你延小明的想法求的值 模型2.相似三角形模型之手拉手模型 模型解读 “手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小（这个顶点不变），我们称这样的图 形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 手拉手模型有以下特点：1)两个三角形相似：2)这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个 4/16 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三角形可以重合；3)图形是任意三角形（只要这两个三角形是相似的）。 模型证明 1)手拉手相似模型（任意三角形） 条件：如图，∠BAC-∠DAE=Q,AD=AB =k; AE AC 结论：△ADE∽△ABC,△ABD∽△4CE;BD EC=k:∠BFC-∠B4C 证明：：4D=4E=k,4D=4E，:∠BAC=∠DAE=a,∴△4DE∽△4BC, AB AC AB AC ,∠BAC=∠DAE=I,∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,∴.∠BAD=∠CAE, 4 2-48=k△MBDn△4CE,&C=A6=k,∠ABD=ZACE,∠BC=BAC-∠DE AE AC 2)手拉手相似模型（直角三角形） D 条件：如图，LA0B=∠C0D=90°，0C=04 =k; OD OB 结论：△AOC∽△BOD:AC=k,ACLBD,S,aD=7 ABxCD 1 BD 证明：∠AOB=∠C0D=90°，.∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC,.∠AOC=∠BOD, :0C=OA=k,△4OCn△BOD,AC=OA=k,∠OAB=∠OBD, OD OB BD OB ·∠AEB=∠AOB=90,小4CLBD,SD=2 ABxCD 1 模型运用 例1.(25-26九年级上山东济南期末)在ABC中，CA=CB,∠ACB=a,点P是平面内不与A,C重 合的任意一点，连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转得到线段DP,连接AD,BD,CP. 5/16 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (1)观察猜想 如图1，当a=60°时， BD的值是一， 直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 C (2)类比探究 如图2，当Q=90时，请写出BD 的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明 CP 理由； (3)解决问题 如图3，当a=90°时，点E,F分别是CA,CB的中点，点P在线段EF上，当点C,P,D在同一直线上， 且AP=√反时，求出BD的长。 例2.(25-26九年级上福建宁德·期中)在矩形ABCD中，点E为射线BD上一点，连接AE,以AE为一 边，在AE的右侧作正方形AEFG, H 图1 图2 (1)若AB=AD,如图1，连接AF,当射线AF与射线BD的交点H在线段BD上时. 求证：①△ADH∽△EFH; ②点F一定在射线CD上； (2)如图2，若AB=30,AD=40,连接DF,求DF的最小值. 例3.（2025青海西宁.一模)综合与实践 【问题呈现】 (I)如图1，ABC和ADE都是等边三角形，连接BD,CE.求证：BD=CE. 6/16 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【类比探究】 (2)如图2， ABC和ADE都是等腰直角三角形，LABC=LADE=90,连接BD,CE,则BP CE 【拓展提升】 (3)如图3，△ABCn△ADE,LABC=∠4DE=90,连接BD,CE,若4B-5 BC 4 ①求D的值， CE ②延长CE交BD于点F,则sin/BFC=- 图1 图2 图3 例4.（24-25九年级上·辽宁沈阳·月考)1.问题发现 图(1)，在△0AB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,∠A0B=∠C0D=35°，连接AC,BD交于点M. ①4C的值为；②LAMB的度数为 BD (2)类比探究 图(2)，在△0AB和aOCD中，∠AOB=LCOD=90°，LOAB=L0CD=30°，连接AC,交BD的延长线于 点M,请计算AC的值及∠AMB的度数： BD (3)拓展延伸 在(2)的条件下，若OD=2,AB=8,将△OCD绕点O在平面内旋转一周. ①当直线DC经过点B且点C在线段BD上时，求AC的长； ②请直接写出运动过程中M点到直线OB距离的最大值. M 图1 图2 备用图 7/16 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 模型3.相似三角形模型之十字架模型 模型解读 D条件：如图1，在知形8cD中，若E是B上的点，且DEL4C,结论：瓷号 E 证明：：四边形ABCD为矩形，.∠DAE=∠CDA=90°，∠ADE+∠EDC=90°； :DE⊥AC,∠EDC+∠DCA=90°，.∠ADE=∠DCA,,△DEA~△CAD, DE AD DE BC ACCD’ AC AB 2)条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC,结论：EF=BC AC AB D F D B A G B 证明：如图，过点F作FG⊥AB于点G,则∠EGF=90°； :四边形ABCD为矩形，·∠D=∠DAB=∠B=90°，：四边形AGFD为矩形，·FG=AD,LDFG=90°； ∠GFE+∠EFC=90°；：EF⊥AC,∠EFC+∠ACD=90°，.∠GFE=∠ACD: ☑BGD=90,AGF-D4C,C,易证：DCB,G8C,:F AC AB 3)条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，EF⊥MW,结论： EF BC MN AB D D M y E B B 证明：如图：过点N、F作NH、FG垂直AD,AB,:∠NHM=∠FGE=90°； :四边形ABCD为矩形，：.∠A=∠AGO=90°，·四边形AGOH为矩形，：FG⊥NH: ,EF⊥MN,FG⊥NH,∴.∠GFE+∠FOH=∠HNM+∠NOE=90°； 8/16 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：∠FOH=∠NOE(对顶角相等)，∴.∠GFE=∠HNM: ∴.Rt△HNM∽RtAGFE, EF FG EF BC MN NH ，易证：N7H=AB,FG-BC, MN AB 模型运用 例1.（25-26九年级上·全国期末)【基本模型】 (1)如图1，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,连接BD,过点A作AE1BD交BC于点E,求二的值： BD 【类比探究】 (2)如图2，某地有一个三角形街心花园ABC,其中∠BAC=90°，AB=120m,AC=160m,户外休闲格 D、E分别在4C、BC上，沿AE、BD修建两条人行步道，已知步道4E⊥BD,且E=2 ,为便于居民 BD 4 生活，现将BE段划分为共享单车停放点，求共享单车停放点的长度BE.(户外休闲格的大小、步道的宽 度均忽略不计) D B B E 图1 图2 例2.(24-25八年级下江苏苏州·期末)(1)问题发现 如图1，在正方形ABCD中，点P在边AD上，点Q在边CD上，且BP⊥AQ于点M.求证：BP=AQ; (2)类比探究 如图2，在矩形4BCD中，点P在边AD上，点Q在边CD上，且8P140于点M.求证：A0AD BP AB (3)拓展延伸 如图3，在ABCD中，LBAD=110°，点P在边AD上，点Q在边CD上，AP=2,DQ=3,连接 4A0BP交于点M、且∠BM0=10,求需的值。 D A P D P D M M B 图1 图2 图3 例3. (湖南省怀化市2025-2026学年上学期期末九年级试卷数学)某兴趣小组在数学活动中，对四边形内 9/16 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 两条互相垂直的线段进行了如下探究： D H 图1 图2 图3 【初探猜想】 (1)如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB、AD上的两点，连接DE,CF,若DE⊥CF,试判 断线段DE与CF的大小关系，并说明理由； 【类比探究】 (2)如图2，在矩形ABCD中，AD=6,CD=4,点E,F分别是边AD,BC上一点，点G,H分别是边 B,CD上一点，连接EE,GH,若EF⊥GH,求的值； 【知识迁移】 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ABC=45°，AB=BC,点E,F分别在线段AB,AD上，且 CE CE⊥BF,求 的值 BE 例4.(25-26九年级上·广东深圳·期末)某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究. 图1 图2 图3 图4 【问题探究】 (I)如图1，在正方形ABCD中，E是边BC上一点，连接AE,BF⊥AE于点O,交CD于点F,求证： AE=BF. (②)如图2，数学兴趣小组经过进一步探究发现，在正方形内部作两条互相垂直的直线，这两条互相垂直的 直线分别被正方形的两组对边所截得的线段EG、FH,则EG、FH的数量关系是 (3)如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=a,AE与BF相交于点O,且AE与BF的夹角∠EOF=a,则AE与 BF的数量关系是什么？并说明理由， (4)如图4，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点G为AD中点，将△ABG沿BG翻折至△OBG处， 10/16