专题01 线段中双（多）中点模型（几何模型讲义）（北京专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦线段中点相关计算与推理，覆盖中考高频的双中点模型（含点在线段及延长线分类）和多中点规律探究，构建“模型定义-证明推导-例题解析-分层练习”的知识体系，通过考点梳理、分类讨论方法指导及北京等地期末真题训练，帮助学生突破中点距离计算难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于“模型分类+规律探究”的教学策略，通过双中点模型中B点位置的三种情况分类证明培养几何直观，多中点操作n次规律推导强化推理意识，结合基础选择、综合解答题的分层训练及5分钟限时反馈，确保学生高效掌握中点模型应用，助力教师精准把控复习节奏，提升学生中考应考能力。

扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01线段中双（多）： 中点模型 线段是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出发，先 由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写 出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 目录导航 目录 例题讲模型 .1 模型1.线段中的双中点模型 .1 模型2.线段中的多中点模型 7 习题练模型 14 例题讲模型 模型1.线段中的双中点模型 模型解读 线段双中点模型：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为 线段的双中点模型。 模型证明 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：MN=二AC 证明：①当点B在线段AC上，如图1， M B N 图1 ,M、N分别为AB、BC的中点， 1/8 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BM-TAB:BN- 1 .MN=BM+BN, aww-48+c-4+c-号4c: 10 ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， M C N B 图2 ,M、N分别为AB、BC的中点， .BM-4B:BN-BC: .MN=BM-BN, MN-4B-8C-(4B-BC)-4C ③当点B在线段CA的延长线上 B MA N 图3 ,M、N分别为AB、BC的中点， .BM=AB:BN=IBC: 2 .MN-=BN-BM, :MN=IBC-14B-1(BC-BA)=IAC: 2 2 2 模型运用 例1.(25-26七年级上·北京·期末)如图，线段AB=24cm,动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB 运动，到达点B即停止.己知M为AP的中点，N为BP的中点.以下说法正确的是() AM P N B ①运动4s后，PB=2AM; ②PM+PN的值随着运动时间的改变而改变； ③2BM-BP的值不变： ④当AN=6PM时，运动时间为2.4s. 2/8 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.①② B.②③ C.③④ D.②③④ 例2.（25-26七年级上·北京海淀·期末)如图，点A,B,C,D在同一条直线上，AB:BC:CD=5:4:3, P,Q分别是AB,CD的中点，若PQ=6,则AB的长为 A CO D 例3.(2025北京·模拟预测)如图，点C、D是线段AB上两点（点C在点D左侧），已知 AC:CD:BD=3:2:4,点M、N分别是线段AD和CB的中点，若AD=10cm,求MN的长. MC DN B 例4.(25-26七年级上·北京·期末)如图，点C是线段AB的中点，线段BC=8,点D是线段BC的中点. A C D B (I)求线段AD的长； ②若在直线B上有一点E,且8E=号4D,直接写出G的长. 例5：(25-26七年级上·北京海淀期末)己知点C为直线AB上一点，线段AB=7,M为线段AC的中点. 夕 B 备用图 (I)如图，若点C在线段AB上，BC=1,求线段MC的长 (2)若BC=n,直接写出线段MC的长_，（用含n的代数式表示） 模型2.线段中的多中点模型 模型解读 条件：如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=2a,第1次操作：分别取线段AM和AN的中点M 、N,;第2次操作：分别取线段AM1和AN,的中点M2,N2;第3次操作：分别取线段AM2和AW2的中点 M、心；连续这样操作n次，结论：心得a L A NM:NM N M M 模型证明 证明：，M1、N,是AM和AW的中点， AM=号4M,44w, 2 3/8 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M,N-4M-4W=5N=a, 1 M2、N2是AM,和AN的中点， 4,=号4M,A=方N, 1 M,4,4=M%=, :M3,N,是AM2和AN的中点， -4,44N, 1 ∴.M,N=AM2- 2 2 模型运用 例1.如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20,第一次操作：分别取线段AM和AN的中点 M,N;第二次操作：分别取线段AM,和AN,的中点M2,N2;第三次操作：分别取线段AM,和AW2的 中点M3,N,;连续这样操作10次，则MoN。=() A NMN M N M NM B. 20 20 A.2 29 c 210 D. 例2.(23-24七年级上·北京朝阳·期末)对于数轴上的两条线段，给出如下定义：若其中一条线段的中点 恰好是另一条线段的一个三等分点，则称这两条线段互为友好线段. A B -4 0 2 0在数轴上，点A表示的数为-4，点B表示的数为2，点G表示的数为弓点G表示的数为-2，点C表 示的数为4，在线段BC,BC2,BC,中，与线段AB互为友好线段的是； 2在数轴上，点AB,C,D表示的数分别为，-2-x3,x,9,x,且4B不重合.若线段AB,CD互为友好线 2’2 段，直接写出x的值. 例3.(24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试)【问题提出】同学们在解决数学问题的时候，我们往往 运用分类讨论来解决问题的多种情况，例如若有x-2=6,求x的值.在解决此题时，我们可以进行以下 思考： 4/8 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①当x-2≥0时，此时可以解得x= ②当x-2≤0时，此时可以解得x= 【知识迁移】仿照上面的分析思路，解决下面两个问题 (1)如图，已知点A,B,C在数轴上对应的数分别为-4,2,1，点D是线段AB的中点，若数轴上存在 点E,它到点C的距离恰好是线段AB的长，求线段DE的长. -8-7-6-54-3-2-1012345678 (2)如图，有公共端点P的两条线段MP、NP组成一条折线M-P-N,若该折线M-P-N上一点Q把 这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的折中点”，已知点D是折线A-C-B的“折 中点”，点E为线段AC的中点，CD=4,CE=10,则线段BC的长为 M 例4.(2425七年级上·北京期中)如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=10,第一次操作：分 别取线段AM和AN的中点M1、N,;第二次操作：分别取线段AM1和AW的中点M2,，N2;第三次操作： 分别取线段AM2和AN2的中点M3,N,;…连续这样操作15次，则每次的两个中点所形成的所有线段之 和MN1+M,N2+..+M1sNs= A Ns Ms N-Me N M M 习题练模型 一、单选题 1.如图，已知线段AB上有两点C,D,且AC:DB=1:2,E,F分别为AC,DB的中点，EF=2.4,CD=1 ,则AB=() AEC D F B A.6 B.4 c.7 D.19 4 5 2.如图，线段AB=9,P为AB上一点，且AP<6,M为AP的中点，N为MB的中点，记MN长为x,PN 长为y.当x,y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是() 5/8 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 上上 1 A M PN B A.3x+y B.3x-y C.x-3y D.x+y 3.如图，延长线段AB至点C使BC=2AB,延长线段BA至点D使AD=3AB,点E是线段DB的中点，点 F是线段AC的中点，若AB=10,则EF的长度为() D E AB F C A.15 B.18 C.23 D.25 4.如图，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点，则下列等式中正确的是() A C D B ①AC=2BD;②CD=3AB;③BD=2AD-AB;④CD=AD-BC· A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 二、填空题 5.如图，C是线段AB上一点，D,E分别是线段AC,BC的中点，若AC=2,BE=4,则DE=· E B 6.如图，若D是AB中点，E是BC中点，若AC=8,EC=3,AD=_ ADB E 7.如图，点C是线段AB上一点，AB=8,AC=3,点M为线段BC上一点，线段BM沿着点M折叠，点 B落在线段AB上的对应点为点N,若CN=2,则CM长为一 A 8.如图，点E是线段AB的中点，C是EB上一点，且EC:CB=1:3.若AC=1I0,F为CB的中点，求EF的 长为 A E C F B 9.如图，有公共端点P的两条线段MP,NP组成一条折线M-P-N,若该折线M-P-N上一点Q把这条 折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”，己知D是折线A-C-B的“折中点”，E 为线段AC的中点，CD=2,CE=3,则线段BC的长为 6/8 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P M 三、解答题 10.如图，已知点C为线段AB上一点，AC=24cm,CB=16cm,D、E分别是AC、AB的中点.求： D E C B (I)AD的长度为 ； (2)DE的长度为： (3)若M在直线AB上，且MB=12cm,求AM的长度. 11.【知识准备】 ①若点C在线段AB上，且把线段AB分成相等的两段，则称点C为线段AB的中点，也叫二等分点，若点 P,点Q在线段DE上，且把线段DE分成相等的三段，则称点P和点Q为线段DE的三等分点： ②若数轴上点A对应的数为x,点B对应的数为y,M为AB的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为 x+y 2 (1)在一条数轴上，0为原点，点C对应的数为5，点D与点C的距离为7个单位长度，且位于点C左侧， 则CD的中点N所对应的数为 【问题探究】 (2)在(1)的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发， 以每秒2个单位长度的速度向右运动.设运动时间为t秒，t为何值时，PQ的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 (3)若数轴上点A对应的数为x,点B对应的数为y,M为AB靠近点A的三等分点，则我们有三等分点 公式：点M对应的数为2+上：若数轴上点A的对应数为，点B的对应数为，M为AB最靠近点A的四 3 等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：3x+上， 4 ①填空：若数轴上点A的对应数为x,点B的对应数为y,M为AB最靠近点B的五等分点，则点M对应的 数为 ②在(2)的条件下，若E是PP最靠近Q的五等分点，F为PC的中点，则是否存在，使得0E+20F为 7/8 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值.若不存在，说明理由. 8/8 专题01 线段中双（多）中点模型 线段是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 目录 1 模型1.线段中的双中点模型 1 模型2.线段中的多中点模型 7 14 模型1.线段中的双中点模型 线段双中点模型：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型。 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴；； ∵MN=BM+BN， ∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴；； ∵MN=BM-BN， ∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴；； ∵MN=BN-BM， ∴； 例1．（25-26七年级上·北京·期末）如图，线段，动点 P 从A 出发，以的速度沿 运动，到达点 B即停止．已知M为的中点， N为的中点．以下说法正确的是（　　） ①运动后， ； ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变； ④当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，， ∵为的中点， ， ∴，故①错误； 设运动秒，则， ∵为的中点，为的中点， ， ， ∴的值随着运动时间的改变不发生变化，故②错误； ， ， 的值不变，故③正确； ，， ， 解得：，故④正确； 故选：C． 例2．（25-26七年级上·北京海淀·期末）如图，点，，，在同一条直线上，，，分别是，的中点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查线段的和差，线段中点的定义，设，，，根据线段中点的定义得，，再根据建立关于的方程，求出的值后再代入即可．利用数形结合的思想、方程的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设，，， ∵，分别是，的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 故答案为：． 例3．（2025·北京·模拟预测）如图，点是线段上两点（点在点左侧），已知，点分别是线段和的中点，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，一元一次方程的应用，设，则，，即得，再根据可求得，即得到，，，，，再根据线段中点的定义求出的长度，最后根据线段的和差关系解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，，，， ∴， ∵点分别是线段的中点， ∴，， ∴． 例4．（25-26七年级上·北京·期末）如图，点C是线段的中点，线段，点D是线段的中点．    (1)求线段的长； (2)若在直线上有一点E，且，直接写出的长． 【答案】(1)12 (2)13或19 【分析】本题考查两点间距离、线段的和差定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据线段中点的定义，可求出、，再根据即可解决问题； （2）分两种情况：当在B的左边时，当在B的右边时，即可求解． 【详解】（1）解：∵点C是线段的中点，线段， ， 是的中点， ， ； （2）解：∵点C是线段的中点，线段， ∴， ，， ， 当在B的左边时，； 当在B的右边时，． 的长为13或19． 例5：（25-26七年级上·北京海淀·期末）已知点C为直线上一点，线段，M为线段的中点． (1)如图，若点C在线段上，，求线段的长． (2)若，直接写出线段的长 ．（用含n的代数式表示） 【答案】(1)3； (2)或或． 【分析】本题考查线段的和差，关于线段中点的计算，熟练掌握相关知识点是解题的关键； （1）根据线段的和差，线段中点计算即可； （2）分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：若点C在线段上，，如图： ∵，， ∴， ∵M为线段的中点， ∴； （2）解：当点C在线段上时，如图： ∵，， ∴， ∵M为线段的中点， ∴； 当点C在点B右侧时，如图： ∵，， ∴， ∵M为线段的中点， ∴； 当点C在点A左侧时，如图： ∵，， ∴， ∵M为线段的中点， ∴； ∴线段的长为或或． 模型2.线段中的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵，是和的中点， ∴，， ∴，……发现规律：， 例1．如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作10次，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查两点间的距离，线段中点的定义；根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果． 【详解】解：线段，线段和的中点，， ． 线段和的中点，； ． 发现规律： ， ． 故选：C． 例2．（23-24七年级上·北京朝阳·期末）对于数轴上的两条线段，给出如下定义：若其中一条线段的中点恰好是另一条线段的一个三等分点，则称这两条线段互为友好线段． (1)在数轴上，点表示的数为，点表示的数为2，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为4，在线段中，与线段互为友好线段的是______； (2)在数轴上，点表示的数分别为，且不重合．若线段互为友好线段，直接写出的值． 【答案】(1) (2)，7，9，26 【分析】（1）根据互为友好线段的定义分析即可； （2）分的中点是的三等分点和的中点是的三等分点两种情况，根据互为友好线段的定义列方程求解即可． 【详解】（1）∵点表示的数为2，点表示的数为， ∴，， ∴的中点表示的数是， 三等分点表示的数是或． ∵点表示的数为，点表示的数为2， ∴，， ∴的中点表示的数是， 三等分点表示的数是或． ∵点表示的数为2，点表示的数为， ∴，， ∴的中点表示的数是， 三等分点表示的数是或； ∵的中点是的一个三等分点，的中点是的一个三等分点， ∴，与互为友好线段． ∵与无重叠部分， ∴与不可能是互为友好线段． 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∴，， ∴的中点表示的数是， 三等分点表示的数是或； ∵点表示的数分别为， ∴的中点表示的数是． 当的中点是的一个三等分点时， 则或， ∴或． 当的中点是的一个三等分点时， 若，即时， ，， ∴三等分点表示的数是或， ∴或， 解得或． 若，即时， ，， ∴三等分点表示的数是或， ∴或， 解得（舍去）或（舍去）． 综上可知，x的值为，7，9，26． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，整式的加减，线段的n等分点，一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键． 例3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）【问题提出】同学们在解决数学问题的时候，我们往往运用分类讨论来解决问题的多种情况，例如若有，求x的值．在解决此题时，我们可以进行以下思考： ①当时，此时可以解得___________． ②当时，此时可以解得___________． 【知识迁移】仿照上面的分析思路，解决下面两个问题 （1）如图，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为，2，1，点D是线段的中点，若数轴上存在点E，它到点C的距离恰好是线段的长，求线段的长． （2）如图，有公共端点P的两条线段、组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”，已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为___________． 【答案】①8，②，（1）8或4，（2）12或28 【分析】本题考查了含绝对值的方程的求解，以及利用数轴和图形解决问题，关键是在知识迁移部分，要结合题意进行分类讨论. 问题提出：①②两题，解含绝对值的方程，先判断绝对值里面的式子的符号，如为正，则结果不改变符号，如为负，则需改变符号，从而通过解方程，得到结果； 知识迁移：（1）通过数轴得到各点对应的数值，结合图形，得到相应的线段长，注意需分类讨论； （2）提出一个新的定义——折中点，利用新的定义来解决问题，需根据题意进行分类讨论. 【详解】解：问题提出：， ①当时，， ∴； 故答案为：； ②当时，， ∴， ∴. 故答案为：； 知识迁移：（1）∵线段的长为，设在数轴上对应的数为， ∴点到点的距离表示为：， 又∵点D是的中点， ∴， ∴点D表示的数为， ①若在点左侧，则， ∴， ∴， ∴， ∴在数轴上对应的点为， ∴； ②若在点右侧，则， ∴， ∴， ∴， ∴在数轴上对应的点为， ∴， 综上，线段的长为或； （2）如图， ①在上， ∵点为线段的中点，， ∴， ∵点是折线的“折中点”，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，在线段上， 同理：，，， ， ， 故答案为：或． 例4．（24-25七年级上·北京·期中）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；连续这样操作15次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 【答案】 【分析】本题考查了线段规律性问题，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，比较有难度．根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果． 【详解】解：∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵，是和的中点， ∴，， ∴， …… 发现规律：， ∴ ∴ 两式相减，得， 故答案为：． 一、单选题 1．如图，已知线段上有两点C，D，且，E，F分别为的中点，，，则（    ） A．6 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差，线段中点的定义解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵E，F分别为的中点， ∴， ∴． 故选：D． 2．如图，线段，P为上一点，且，M为的中点，N为的中点，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了线段中点的相关计算，弄清楚线段之间的关系是解题的关键． 根据中点的定义得到，，即可得到答案． 【详解】解：∵长为x，长为y，M为的中点，N为的中点， ∴，， ∵， 即 ∴的代数式的值不变； 故选：B． 3．如图，延长线段至点使，延长线段至点使，点是线段的中点，点是线段的中点，若，则的长度为（    ） A．15 B．18 C．23 D．25 【答案】D 【分析】本题考查线段和差关系与中点性质，将几何图形中的线段长度转化为可计算的数值，关键是明确各线段的位置关系（延长方向）及中点对线段的分割作用，从而逐步推导得出结果． 【详解】已知， ，， ，． ； ． 点是的中点， ， ； 点是的中点， ． ． 故选D 4．如图，点是线段的中点，点是线段的中点，则下列等式中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，根据线段中点的定义可得，，再逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， ∴， ∴，故①正确，②错误； ∵，， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴，故④正确； 综上，等式中正确的是①④， 故选：． 二、填空题 5．如图，C是线段AB上一点，D，E分别是线段AC，BC的中点，若AC＝2， BE＝4，则DE＝ ． 【答案】5 【分析】根据中点的性质，计算DC、CE的长，即可解题． 【详解】D，E分别是线段AC，BC的中点，AC＝2， BE＝4， ，CE=BE=4 故答案为：5． 【点睛】本题考查线段的中点、线段的和差等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 6．如图，若D是中点，E是中点，若， ． 【答案】1 【分析】本题考查的是线段的中点与线段之间的关系，即线段的中点把线段平均分成两部分． 先根据，E是中点求出的长，再根据AC=8求出的长，最后根据D是的中点求出的长即可． 【详解】解：∵，E是中点， ∴， ∵， ∴， ∵D是中点， ∴． 故答案为：1． 7．如图，点是线段上一点，，，点为线段上一点，线段沿着点折叠，点落在线段上的对应点为点，若，则长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查线段的和差运算，需利用线段间的加减关系推导相关线段长度；同时考查折叠的几何性质，即折叠前后对应线段相等，这是构建等量关系的关键；先通过线段与的长度差算出的长度，再依据折叠的性质得到，设，则，最后结合的条件，分点在点右侧、左侧两种情况建立方程，求解得出的长度． 【详解】解：∵， ∴， ∵线段沿点折叠后，点对应点， ∴， 设，则， ∴， 分两种情况讨论点N的位置： 情况①：点在点右侧：此时，则， 结合， 可得方程： 解得，即； 情况②：点在点左侧：此时，则(因为)， 结合， 可得方程： ， 解得，即， 综上，的长为或． 故答案为：或． 8．如图，点是线段的中点，是上一点，且．若为的中点，求的长为 【答案】 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，设，则，，由线段中点的定义推出，则可得到，据此可得的长，再由线段中点的定义求出的长即可得到答案． 【详解】解：设，则， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵F为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，有公共端点P的两条线段组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”，已知D是折线的“折中点”，E为线段的中点，，则线段的长为 ． 【答案】2或10 【分析】分点更靠近点和点更靠近点两种情况，根据“折中点”的定义，利用线段的和与差求解即可；本题主要考查线段的和与差，线段中点的有关计算，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】解：如图1，∵D是折线的“折中点”， ∴， ∵E为线段的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图2，∵D是折线的“折中点”， ∴， ∵E为线段的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴； 综上所述，或， 故答案为：2或10． 三、解答题 10．如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．求： (1)的长度为______； (2)的长度为______； (3)若在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2) (3)的长度为或 【分析】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解本题的关键． （1）直接根据是的中点可得答案； （2）先求出的长，然后根据是的中点求出，根据即可求解； （3）分在点的右侧、在点的左侧两种情况进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，是的中点． ∴ 故答案为：； （2）∵，， ∴（）， ∵是的中点 ∴， ∴（）， 故答案为：； （3）当在点的右侧时，（）， 当在点的左侧时，（）， ∴的长度为或． 11．【知识准备】 ①若点C在线段上，且把线段分成相等的两段，则称点C为线段的中点，也叫二等分点，若点P，点Q在线段上，且把线段分成相等的三段，则称点P和点Q为线段的三等分点； ②若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为． （1）在一条数轴上，0为原点，点C对应的数为5，点D与点C的距离为7个单位长度，且位于点C左侧，则的中点N所对应的数为_______________； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t秒，t为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点B的五等分点．则点M对应的数为_______________________． ②在（2）的条件下，若E是最靠近Q的五等分点，F为的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）17；（3）①；②当时，为定值，是 【分析】此题主要考查了有理数与数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键． （1）求出点D对应的数，即可求解； （2）根据题意可得点P所表示的数为，点Q表示的数为，再由的中点所对应的数为10，列出方程，即可求解； （3）①依题意可得出M对应的数；②根据题意可得点E表示的数为，点F所表示的数为，从而得到，进而得到，然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案． 【详解】解：（1）∵点C对应的数为5，点D与点C的距离为7个单位长度，且位于点C左侧， ∴点D对应的数为， ∴的中点N所对应的数为； 故答案为： （2）由题意得，点P所表示的数为，点Q表示的数为， ∵的中点所对应的数为10， ∴， 解得：， 当时，的中点所对应的数为10； （3）①根据题意∶点M对应的数为， 故答案为∶； ②由题意得，点E表示的数为，点F所表示的数为， ∴， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，为定值，是． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $