专题07 等腰三角形中多解问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

专题07 等腰三角形中多解问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 类型二、当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 类型三、求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 类型四、三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 类型五、等腰三角形中与新定义型问题的多解题没有分类讨论产生易错 压轴专练 类型一、求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 方法总结 1. 明确三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 2. 分类讨论：根据腰和底的不同设定，列出所有可能情况，并用三边关系逐一检验。 解题技巧 1. “大边对大角”辅助：若已知角的关系，可先用“大边对大角”预判哪条边是腰，缩小讨论范围。 2. 检验必代入：算出每组解后，必须将三边长度代入三边关系定理检验，剔除不能构成三角形的解。 例1．（24-25八年级下·广东清远·期中）一个等腰三角形的两边长为3和7，则此三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的等腰，构成三角形的条件，分腰长为3和腰长为7两种情况，根据构成三角形的条件讨论求解即可． 【详解】解：当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长分别为3，3，7， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为7时，则该等腰三角形的三边长分别为3，7，7， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴此三角形的周长为； 综上所述，此三角形的周长为， 故答案为：． 【变式1-1】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形中线的性质，一元一次方程的应用，根据题意先画出图形，设腰，由中线性质可得，再分和两种情况，列出方程解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，中，，为的中线， 设腰， ∵为的中线， ∴， ∵中线将它的周长分成和两部分, 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴等腰三角形的腰长为或， 故选：． 【变式1-2】已知、为等腰的边长，且满足，则的周长是 ． 【答案】27 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，三角形三边的关系等知识；由非负数的性质可求得a与b的值，根据等腰三角形的定义结合三角形三边的关系即可求得周长． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴； 若三边是11，11，5，则；若三边是11，5，5，则，不能构成三角形，不符合题意； ∴的周长为27； 故答案为：27． 【变式1-3】（24-25八年级上·广东汕尾·期中）解答下面两个小题： (1)已知等腰三角形的两边长是2和6，求这个等腰三角形的周长． (2)已知等腰三角形的周长是12，一边长为5，求它的另外两边的长． 【答案】(1)这个等腰三角形的周长是14 (2)另两边是3.5，3.5或5，2 【知识点】构成三角形的条件、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想是解题的关键． （1）分类讨论明确等腰三角形的腰与底边，并验证三边关系求解即可； （2）分类讨论明确等腰三角形的腰与底边，并验证三边关系求解即可； 【详解】（1）解：①当腰长为2时，则三角形的三边长分别是， ，构不成三角形，故舍； ②当腰长为6时，则三角形的三边长分别是， ， ∴可构成三角形， ∴三角形的周长． 答：这个等腰三角形的周长是14； （2）∵等腰三角形的一边长为5，周长为12， ∴当5为底时，其它两边都为3.5、3.5，5、3.5、3.5可以构成三角形； 当5为腰时，其它两边为5和2，5、5、2可以构成三角形． ∴另两边是或． 类型二、当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 方法总结 1. 角边对应：已知角可能是顶角也可能是底角，需分两种情况讨论。 2. 内角和定角：利用三角形内角和为180°及等腰三角形两底角相等的性质，列方程求解。 解题技巧 1. 画图辅助：画出已知角为顶角和为底角两种情形的示意图，避免遗漏。 2. 检验合理性：求出角度后，需验证每个角均大于0°且小于180°，确保三角形存在。 例2．（24-25八年级下·广东佛山·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】解：当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数 当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 则它的底角的度数是或． 故答案为：或． 【变式2-1】（24-25八年级上·天津西青·期中）若等腰三角形的一个角是，它的另外两个角的度数分别是 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，分的角为顶角和底角，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当的角为顶角时：两个底角的度数为：； 当的角为底角时，则顶角的度数为：； 故答案为：或． 【变式2-2】（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形底角的度数是 ． 【答案】或或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．设另一个角是，表示出这个角是，然后分①是顶角，是底角，②是底角，是顶角，③与都是底角根据三角形的内角和等于与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可． 【详解】解：设另一个角是，表示出这个角是， ①是顶角，是底角时，， 解得， 所以，底角为； ②是底角，是顶角时，， 解得， 所以，底角是； ③与都是底角时，， 解得， 所以，底角是； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是或或． 故答案为：或或． 【变式2-3】（23-24八年级上·江苏常州·期中）已知一个等腰三角的两个角度数分别是，，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】和有可能是两个底角，即，也有可能是一个底角，一个顶角．因此分三种情况讨论，根据三角形内角和定理列方程求解即可． 本题考查了等腰三角形的性质；分类讨论是正确解答本题的关键． 【详解】①当和是两个底角时， ， 解得， 则底角为， 顶角为：； ②当是顶角，是底角时， ， 解得， 则， ∴顶角为； ③当是顶角，是底角时， ， 解得， 则， ∴顶角为． 综上，这个等腰三角形的顶角的度数为或或， 故答案为：或或 类型三、求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 方法总结 1. 识别分类点：明确导致多解的关键是“腰和底不确定”或“顶角和底角不确定”。 2. 系统分类：按所有可能情况（如已知边作腰或作底）分别画图，独立求解。 解题技巧 1. 数形结合：每种情况均画出对应草图，在图上标注已知条件，辅助分析与计算。 2. 条件筛选：每种解出后，必须用“三角形三边关系”或“角度范围（0°<角<180°）”检验，剔除不合题意的解。 例3．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，中，，，，D为斜边上不与端点A、B重合的一动点，过点D作，垂足为E，将沿翻折，点A的对应点为点F，连接．若为等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或． 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键．由题意可知，是等腰直角三角形，则，由折叠的性质可知，，根据等腰三角形三线合一的性质，得到，再根据点的分为分两种情况分别求解即可． 【详解】解：，为等腰三角形， 是等腰直角三角形， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 如图1，当点在上时，，则； 如图2，当点在的延长线上时，，则； 综上可知，的长为或 故答案为：或． 【变式3-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在三角形纸片中，，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与，分别相交于点、，当为等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质，折叠性质，熟练相关性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点和易错点．先求出，由折叠的性质得出，再分三种情况：①当时；②当时；③当时分别进行求解即可． 【详解】解：在中，， ， 由折叠的性质得：， 当为等腰三角形时，有以下三种情况： ①当时，如图1所示： ， ， ， ； ②当时，此时点与点C重合，如图2所示： ， ， ， ； ； ③当时，如图3所示： ， ， ， ， 综上所述：的度数为或或， 故答案为：或或． 【变式3-2】（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在四边形中，，，，为上一动点，在运动过程中，与相交于点，当为等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理．根据等边对等角可得：，再由三角形内角和定理求得，求得，然后分三种况讨论即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当为等腰三角形时， ①当时，， ②当时，， ③当时，， 故答案为：或或． 【变式3-3】（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，为等腰三角形，是边上的高，，动点分别在边上（点不与点重合），满足．当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用；分为三种情况：①，②，③，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解． 【详解】解：分为3种情况： ①当时， ∵为等腰三角形，是边上的高，， ∴， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， ； ②当时， 则， ， ， 根据三角形外角性质得：， 这种情况不存在； ③如图所示，当时， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ∴， ∴， 当为等腰三角形时，或． 故答案为：或． 【变式3-3】（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，，，点D在边上，且，点E是边上的一个动点（不与点A，B，重合），连接，当是等腰三角形时，线段的长度为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握分类讨论是关键． 分类讨论，根据勾股定理、等腰三角形性质、含30度角的直角三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：过点作交于点， ∵，，， ， 设，则， 在中，， 即， ，（负值已舍去）， ； 当时， ∵， ∴； 当时， 过点作交于点， ， ∵，， ， ， ， ∴点A与点E重合，不符合题意； 当时， 过点作交于点， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：，（负值舍去）， ， ∴； 综上分析，线段的长度为或； 故答案为：或． 类型四、三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 方法总结 1. 高线位置分类：三角形形状（锐角、直角、钝角）不同，高线位置不同（形内、边上、形外），需分类讨论。 2. 结合其他线：当高线与中线、角平分线等结合时，需在不同形状下分别推理其位置关系与数量关系。 解题技巧 1. 先判形状范围：根据已知角度或边的关系，判断三角形可能的形状类型（锐、直、钝）。 2. 画全示意图：对每种可能的形状，分别画出高线及其他线的准确位置示意图，再逐一求解。 例4．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数是 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，三角形的内角和定理，正确画出图形是解题的关键．根据题意画出图形，根据三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：①等腰三角形为锐角三角形， ， ； ②等腰三角形为钝角三角形， ， 故答案为：或． 【变式4-1】（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15和11两部分，则此三角形的底边长为 ． 【答案】或 【知识点】加减消元法、三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度、等腰三角形的定义 【分析】本题考查三角形三边关系，等腰三角形的定义，三角形中线的性质．利用分类讨论的思想是解题关键． 根据题意作出图形，设，然后分两种情况列出方程组求解，再根据三角形的三边关系判断即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据等腰三角形的定义和三角形中线的性质得：． 可设， ∴． 由题意得：或， 解得：或． 当时，即此时等腰三角形的三边为，符合三角形的三边关系， 当时，即此时等腰三角形的三边为，符合三角形的三边关系， 综上可知这个等腰三角形的底边长是或． 故答案为：或． 【变式4-2】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成了和两部分，则这个等腰三角形的底边长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形定义和三角形中线的特点，理解三角形一边中线将三角形周长分得的两部分之差就是三角形剩余相邻两边之差，并注意分类讨论和将求得的边长结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可解题． 【详解】解：等腰三角形一腰上的中线，将这个等腰三角形的周长分成和两部分． 又， 等腰三角形的腰与底边相差， 下面分两类讨论： ①腰比底边大， 设腰长为，则底边长为． 由题意得，解得， 当时，等腰三角形腰长，底边长为，三角形三边分别为，满足三角形三边关系，可以构成三角形．    ②底边比腰大， 若腰长为，则底边长为． 由题意得，解得， 当时，等腰三角形腰长，底边长为，三角形三边分别为，满足三角形三边关系，能构成三角形． 综上所述，这个等腰三角形的底边长为或． 故答案为：或． 【变式4-3】（24-25八年级下·陕西西安·期中）在中，，过点A的一条直线将该三角形分成的两个小三角形均为等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了三角形内角和定理、分类讨论的思想、等腰三角形的性质、三角形外角定理．解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质．分两种情况：一种情况是把分成两个等腰三角形，且、；另一种情况是把分成两个等腰三角形，且、，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：如下图所示，当过的顶点A把分成两个等腰三角形，且、时， 设，则， ， 三角形内角和为， ， ， 解得：， ； 如下图所示，当过的顶点A把分成两个等腰三角形，且、时， 设， 则，， 三角形内角和为， ， ， 解得：， ； 综上所述，的度数可以是或． 故答案为： 或． 【变式4-4】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）在中，，点D在边上，若直线将分割成一个直角三角形和一个等腰三角形，则的度数是 ． 【答案】或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 分三种情形，分别画出图形，利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图1中，当，时，满足条件． 如图2中，当，时，可得， ∴． 如图3中，当，时，， ∴， 故答案为：或或． 类型五、等腰三角形中与新定义型问题的多解题没有分类讨论产生易错 方法总结 1. 新定义转化：首先准确理解新定义（如“和谐三角形”），将其条件转化为等腰三角形边、角的数学关系。 2. 按关系分类：根据转化得到的关系（如某两边满足特定比值），结合等腰三角形腰和底的可能情况进行分类讨论。 解题技巧 1. 举例验证：用简单数值代入新定义，理解其本质，明确分类讨论的出发点。 2. 检验双条件：每组解出后，必须同时检验：①满足新定义；②构成有效的等腰三角形（三边关系、角度合理）。 例5．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（    ） A． B． C．或2 D．或 【答案】D 【分析】分为腰长和底边长，两种情况进行讨论即可． 【详解】解：当为腰长时， ∵等腰的周长为20， ∴的底边长为：， ∴“优美比”为； 当为底边长时， 的腰长为：， ∴“优美比”为； 故选D． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义．熟练掌握等腰三角形的两腰相等，是解题的关键．注意，分类讨论． 【变式5-1】定义：若三角形满足其中两边之和等于第三边的三倍，则称该三角形为“三倍三角形”．若等腰三角形是三倍三角形，且其中一边长为，则的周长为 ． 【答案】或 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，设等腰三角形的腰长为，底长为，分两种情况讨论：当时；当时． 【详解】设等腰三角形的腰长为，底长为． （1）当时，分两种情况： ①若，解得． 则三角形的三边长为，，，不符合题意． ②若，解得， 则的三边长为，，，符合题意． 的周长为． （2）当时，分两种情况： ①若，解得， 则三角形的三边长为，，，不符合题意． ②若，解得， 则的三边长为，，，符合题意． 的周长为． 综上所述，的周长为或． 【变式5-2】定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，它一边长为3，则等腰的腰为 ． 【答案】6或3 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】分两种情况讨论：①当时，则底边为，此时符合题意；②当时，，此时符合题意，从而可得到答案． 【详解】解：是等腰三角形， ∴设， 是“倍长三角形”，且有一边为3； ①当时，则底边为，此时符合题意； ②当时，，此时符合题意， 所以，若等腰是“倍长三角形”， 且有一边为3；，则腰的长为3或6， 故答案为：3或6． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题关键． 【变式5-3】（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为 ． 【答案】或或或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是注意进行分类讨论．分五种情况进行讨论，当，时，当，时，当，时，当，时，当，时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当，时，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时． 综上分析可知：的度数为：或或或． 故答案为：或或或． 一、单选题 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）等腰三角形的一个角是，则它的底角是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的底角相等，结合给定角可能是顶角或底角，分类讨论进行计算即可求解． 【详解】解：∵ 等腰三角形有两个相等的底角，且三角形内角和为， ∴ 若为底角，则底角为； 若为顶角，则底角为． ∴底角为或． 故选：D. 2．（25-26八年级上·四川南充·期末）已知，是等腰的两个内角，若，则的度数可能是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，等腰三角形有两个角相等，需考虑是顶角或底角的情况，分别计算的可能值． 【详解】解：∵是等腰三角形，且， 分以下两种情况讨论： 情况1：当是顶角时， 则底角相等，即， ∴； 情况2：当是底角时， 此时分两种情形：若也是底角，则； 若是顶角，则另一底角，故． 综上，可能为或或． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）已知，P是的平分线上一点，若在射线上存在点E使是等腰三角形，则的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，分类讨论是关键；根据等腰三角形的三种情况分别计算的度数，得到可能值为或不在其中． 【详解】解：∵ 平分，， ∴． 当是等腰三角形时，分三种情况： ① 当时，如图， ∵， ∴. ② 当时，如图， ∵， ∴； ③ 当时，如图， ∵， ∴． ∴ 可能为或不可能． 故选C． 4．（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知直线与x轴交于点与y轴交于点点C在x轴上，且是等腰三角形，则C的坐标不可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及勾股定理，分类讨论是解题的关键．由直线解析式求得、的坐标，由点，的坐标可求出的长，分、、三种情况讨论求得即可． 【详解】解：直线与轴、轴交于点、， 令，则，解得：， 令，则， 点的坐标为，点的坐标为， ， 分三种情况考虑， 当时， ∵ ∴， 点的坐标为； 当时， ，， 或， 点的坐标为或点的坐标为； 当时，设点为， 故B、C、D选项的答案皆可使是等腰三角形，只有A选项的答案不能使是等腰三角形． 故选：A． 5．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做该等腰三角形的“特征值”，记作．若，则该等腰三角形的顶角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的定义和等边对等角，根据等腰三角形的“特征值”定义，设顶角为，则底角为，利用三角形内角和定理列方程求解． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做该等腰三角形的“特征值”，记作． ∴设顶角为，则两个底角均为， 又∵ 三角形内角和为180°， ∴ ， ∴解得：， ∴ 顶角的度数为． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26八年级上·四川巴中·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，且腰长为4，则等腰的底边上的中线的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，勾股定理，构成三角形的条件，根据“倍长三角形”的定义可分成两种情况：腰长是底边长的2倍和底边长是腰长的2倍，根据构成三角形的条件可验证只有腰长是底边长的2倍符合题意，再根据等腰三角形的性质，底边中线也是高，利用勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，在等腰中，，过点A作于点D， 当腰长是底边长的2倍时，则底边长为2，此时该等腰三角形的三边长分别为4，4，2， ∵， ∴此时能构成三角形， ∵， ∴， ∴，即等腰的底边上的中线的长度为； 当底边长是腰长的2倍时，则底边长为8，此时该等腰三角形的三边长分别为4，4，8， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 综上所述，等腰的底边上的中线的长度为； 故答案为：． 7．（25-26八年级上·上海普陀·期末）定义：在一个三角形中，我们把一条边上的高与这条边的边长的比值叫做这条边的高比系数，记为．如果中，，，那么边的高比系数 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，分母有理化，为的高，由等腰三角形的性质得到，，由直角三角形的性质得到，由勾股定理得到，最后得到边的高比系数． 【详解】解：如图，为的高， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴边的高比系数， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”，例如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”．如图，，点G在射线上，若存在“等腰线段”，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确地画出图形是解题的关键． 分三种情况讨论，即或或，利用三角形内角和和等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：①如图，当时， 此时， 是的“等腰线段”， ， ； ②如图，当时， 是的“等腰线段”， ， ； ③如图，当时， 此时， 是的“等腰线段”， ， ； 综上所述：若存在“等腰线段”，则的度数为或或， 故答案为：或或． 9．（25-26八年级上·江西九江·月考）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点．过x轴正半轴上的动点作直线轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，则D点的坐标是 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握方程的思想方法及分类讨论思想是解本题的关键． 先求得直线的解析式，可确定点C的坐标，然后根据等腰三角形的定义分三种情况：①当时，过点C作轴于M，过点Q作轴于N，②当时，过点C作轴于M，延长交直线l于N；当时，过点C作直线l于N，过点B作直线l于N，分别利用全等三角形的判定和性质列出方程即可得到结论． 【详解】解：∵点在直线上， ，解得：， ∴， 将，代入直线，得： ，解得：， ∴直线的解析式为． ∴ 由以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，需分以下三种情况： ①当时，如图：过点C作轴于M，过点Q作轴于N， 连接， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∵，， ∴，，， ， ∵过x轴正半轴上的动点作直线轴，点Q在直线l上， ，即． ②当时，如图：过点C作轴于M，延长交直线l于N， 同理： ，， ∵过x轴正半轴上的动点作直线轴，点Q在直线l上， ，即 ③当时，如图：过点C作直线l于N，过点B作直线l于N， 同理： ，， 设， ∵，， ∴， ∴，解得：， ，即． 综上，以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，则D点的坐标是或或． 10．（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图1，D是中边上的任一点（与点A、B不重合），连结．若，则称是的“智慧线”．如图2，已知，，，若边上存在点D，使是的“智慧线”，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理、新定义、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．过作于点，在上找一点，连接，使，证明是等腰直角三角形，得，再由勾股定理求出，则，，进而由勾股定理求出的长，得；同理，当点在点右侧时，，即可得出结论． 【详解】解：如图2，过作于点，在上找一点，连接，使， 在中，，，， ， 是等腰直角三角形， 设， 则， （负值舍去）， ， 在中，，， ， ， ， 在中， ， 此时，； 同理，当点在点右侧时， ， ； 综上所述，的长为 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·重庆北碚·期末）已知a、b是等腰的两边，且满足． (1)求的算术平方根； (2)求等腰的周长． 【答案】(1)6 (2)11或13 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，算术平方根的定义及等腰三角形的性质． （1）先根据二次根式有意义的条件求出b的值，进而求出a的值，再计算的值，最后求出其算术平方根； （2）根据等腰三角形的性质，分情况讨论腰长，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，进而求出等腰的周长． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， 将代入， 可得， 将，代入， 可得， ∴36的算术平方根是6， 即的算术平方根是6． （2）解：当a为腰长时，等腰的三边长分别为5，5，3， ∵，， ∴能构成三角形， 此时周长为， 当b为腰长时，等腰的三边长为3，3，5， ∵，， ∴能构成三角形， 此时周长为， ∴等腰的周长为11或13． 12．（25-26八年级上·吉林·期末）如图，在中，，，，．P，Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设出发的时间为． (1)_______．（用含t的代数式表示）． (2)当点Q在边上运动时，出发多长时间时，是等腰三角形？ (3)当点Q在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时t的值：________ 【答案】(1) (2)秒 (3)11秒或12秒 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理逆定理，动点问题的存在问题，掌握各个知识点的衔接性是解题关键． （1）根据题意列代数式即可解答； （2）当点在边上运动时，是等腰三角形时，则，联立方程即可求解； （3）当点在边上运动时，分类讨论，①若是以为底边的等腰三角形； ②若是以为底边的等腰三角形；联立方程或中线即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，， 故答案为：； （2）解：，，， ， 为直角三角形，， 当点在边上运动时，是等腰三角形时，则， ， 解得：； 当点Q在边上运动时，出发秒后，是等腰三角形； （3）解：当点在边上运动时， ①若是以为底边的等腰三角形 则， ， ，， ， ， ， 解得：， ②若是以为底边的等腰三角形， 则， ， 解得：， 综上为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题07等腰三角形中多解问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 类型二、当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 类型三、求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 类型四、三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 类型五、等腰三角形中与新定义型问题的多解题没有分类讨论产生易错 压轴专练 典例详解 类型一、求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 方法总结 1.明确三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 2.分类讨论：根据腰和底的不同设定，列出所有可能情况，并用三边关系逐一检验。 解题技巧 1.“大边对大角”辅助：若已知角的关系，可先用“大边对大角”预判哪条边是腰，缩小讨论范围。 2.检验必代入：算出每组解后，必须将三边长度代入三边关系定理检验，剔除不能构成三角形的解。 例1.(24-25八年级下广东清远期中)一个等腰三角形的两边长为3和7，则此三角形的周长为」 【变式1-1】(24-25七年级下.宁夏银川期中)已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成9cm和12cm两 部分，则等腰三角形的腰长为() A.6cm B.6cm或8cm C.8cm D.5cm或9cm 【变式1-2】已知a、b为等腰ABC的边长，且满足a-5+(b-11)2=0,则ABC的周长是 【变式1-3】(24-25八年级上广东汕尾期中)解答下面两个小题： (1)已知等腰三角形的两边长是2和6，求这个等腰三角形的周长. (2)已知等腰三角形的周长是12，一边长为5，求它的另外两边的长。 1/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 方法总结 1.角边对应：己知角可能是顶角也可能是底角，需分两种情况讨论。 2.内角和定角：利用三角形内角和为180°及等腰三角形两底角相等的性质，列方程求解。 解题技巧 1.画图辅助：画出已知角为顶角和为底角两种情形的示意图，避免遗漏。 2.检验合理性：求出角度后，需验证每个角均大于0°且小于180°，确保三角形存在。 例2.(24-25八年级下广东佛山期中)己知等腰三角形的一个内角为20°，则这个等腰三角形的底角为 【变式2-1】(24-25八年级上·天津西青期中)若等腰三角形的一个角是36°，它的另外两个角的度数分别 【变式2-2】(23-24八年级下·甘肃兰州期中)等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形底 角的度数是 【变式2-3】(23-24八年级上江苏常州期中)已知一个等腰三角的两个角度数分别是(2x-2)°，(3x-5)°， 则这个等腰三角形的顶角的度数为一· 类型三、求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 方法总结 1.识别分类点：明确导致多解的关键是“腰和底不确定”或“顶角和底角不确定”。 2.系统分类：按所有可能情况（如己知边作腰或作底）分别画图，独立求解。 解题技巧 1.数形结合：每种情况均画出对应草图，在图上标注己知条件，辅助分析与计算。 2.条件筛选：每种解出后，必须用“三角形三边关系”或“角度范围(0°<角<180°)”检验，剔除不合 题意的解。 例3.(24-25七年级下.河南郑州·期末)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,D为斜边AB 上不与端点A、B重合的一动点，过点D作DE⊥AC,垂足为E,将ADE沿DE翻折，点A的对应点为 点F,连接BF.若△BFC为等腰三角形，则AE的长为 2/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3-1】(24-25七年级下江苏苏州期中)如图，在三角形纸片ABC中，C=90°，∠B=58°，将三 角形纸片折叠，使点B的对应点B落在AC上，折痕与BC,AB分别相交于点E、F,当△AFB'为等腰三 角形时，∠BEF的度数为」 E 【变式3-2】(24-25八年级下山东青岛·期中)如图，在四边形ABCD中，BC=CD,∠ADB=∠ACB=90°， ∠CAB=∠CBD=18°，P为AB上一动点，在运动过程中，DP与AC相交于点M,当CDM为等腰三角 形时，∠PDC的度数为」 D M B 【变式3-3】(24-25八年级下·河南郑州期末)如图，ABC为等腰三角形，AB=BC,AC=16,B0是AC边 上的高，B0=6,动点P,Q分别在边AC,AB上（点P不与点A,C重合），满足∠BPQ=∠BAO.当△POB为 等腰三角形时，CP的长为一· B A 【变式3-3】(24-25八年级下.山西晋中期中)如图，在ABC中，AB=AC,BC=6,∠B=30°，点D 在边BC上，且BD=2,点E是边AB上的一个动点（不与点A,B,重合），连接DE,，当BDE是等腰三 角形时，线段AE的长度为 A E B D C 3/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型四、三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 方法总结 1.高线位置分类：三角形形状（锐角、直角、钝角）不同，高线位置不同（形内、边上、形外），需分类 讨论。 2.结合其他线：当高线与中线、角平分线等结合时，需在不同形状下分别推理其位置关系与数量关系。 解题技巧 1.先判形状范围：根据已知角度或边的关系，判断三角形可能的形状类型（锐、直、钝）。 2.画全示意图：对每种可能的形状，分别画出高线及其他线的准确位置示意图，再逐一求解。 例4.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角的度数是 【变式4-1】(24-25八年级上·安徽马鞍山期中)等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15cm和 11cm两部分，则此三角形的底边长为. 【变式4-2】(24-25七年级下·上海闵行阶段练习)等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成了 9cm和7cm两部分，则这个等腰三角形的底边长为」 cm】 【变式4-3】(24-25八年级下陕西西安期中)在ABC中，AB=AC,过点A的一条直线将该三角形分成 的两个小三角形均为等腰三角形，则∠B的度数为一， 【变式4-4】(24-25八年级上江苏盐城期中)在ABC中，LABC=120°，点D在边AC上，若直线BD将 ABC分割成一个直角三角形和一个等腰三角形，则∠CDB的度数是 B 类型五、等腰三角形中与新定义型问题的多解题没有分类讨论产生易错 方法总结 1.新定义转化：首先准确理解新定义（如“和谐三角形”），将其条件转化为等腰三角形边、角的数学关 系。 2.按关系分类：根据转化得到的关系（如某两边满足特定比值），结合等腰三角形腰和底的可能情况进行 分类讨论。 解题技巧 1.举例验证：用简单数值代入新定义，理解其本质，明确分类讨论的出发点。 4/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.检验双条件：每组解出后，必须同时检验：①满足新定义；②构成有效的等腰三角形（三边关系、角 度合理)。 例5.等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”.若等腰。ABC的周长为20，其 中一边长为8，则它的“优美比”为() 4.月 D. 3 4或防 3 【变式51】定义：若三角形满足其中两边之和等于第三边的三倍，则称该三角形为“三倍三角形”.若等腰 三角形ABC是三倍三角形，且其中一边长为3，则ABC的周长为」 【变式5-2】定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰 ABC是“倍长三角形”，它一边长为3，则等腰ABC的腰为一· 【变式5-3】(23-24九年级下·辽宁沈阳期中)经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角 形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“结石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在 ABC中，∠BAC=20°，若存在过点C的“钻石分割线”，使ABC是“钻石三角形”，则满足条件的∠B的 度数为■ 压轴专练 一、单选题 1.(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨期中)等腰三角形的一个角是50°，则它的底角是() A.50° B.65 C.80° D.50°或65 2.(25-26八年级上·四川南充期末)己知∠A,∠B是等腰ABC的两个内角，若∠A=80°，则∠B的度 数可能是() A.20°或50° B.50°或80° C.20°或80° D.20°或50°或80° 3.(2025八年级上全国·专题练习)已知∠A0B=60°，P是∠A0B的平分线0C上一点，若在射线OA上存 在点E使△OPE是等腰三角形，则∠OEP的度数不可能是() A.120° B.75° C.60° D.30° 4.(25-26八年级上广东深圳期中)己知直线y=-x+4与x轴交于点A与y轴交于点B点C在x轴上， 5/7 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 且ABC是等腰三角形，则C的坐标不可能是() A.(8,0 B.（-4,0 C.4-4V2,0） D.(0,0 5.(25-26八年级上·河南洛阳·月考)规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做该等腰三角形的“特 征值”，记作飞.若k= 豆，则该等腰三角形的顶角的度数为() A.30° B.72° C.36° D.60° 二、填空题 6.(25-26八年级上四川巴中期末)定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍 长三角形”.若等腰ABC是“倍长三角形”，且腰长为4，则等腰ABC的底边上的中线的长度为 7.(25-26八年级上·上海普陀·期末)定义：在一个三角形中，我们把一条边上的高与这条边的边长的比值 叫做这条边的高比系数，记为k.如果ABC中，∠A=120°，AB=AC,那么边BC的高比系数 k=一 8.(25-26八年级上·湖北武汉·月考)我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形 的线段称为该三角形的等腰线段”，例如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”.如图， ∠EFP=50°，点G在射线FP上，若△EFG存在“等腰线段EH”,则∠EGF的度数为 E P 9.(25-26八年级上·江西九江·月考)如图，直线y=x+b与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,与直线 y=-2x交于点C(a,-4).过x轴正半轴上的动点D(m,0)作直线I1x轴，点Q在直线1上，若以B,C,Q 为顶点的三角形是等腰直角三角形，则D点的坐标是一· 6/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 10.(25-26八年级上河南南阳·月考)如图1，D是△ABC中边AB上的任一点（与点A、B不重合），连结 CD.若CD=4B,则称CD是AB的智慧线.如图2，已知8C=反，4C=10,∠B=45,若边B上 存在点D,使CD是AB的智慧线”，则AD的长为 D 图1 图2 三、解答题 11.(25-26八年级上·重庆北碚·期末)已知a、b是等腰ABC的两边，且满足a=√3b-9-√9-3b+5. (1)求6a+2b的算术平方根； (2)求等腰ABC的周长， 12.(25-26八年级上·吉林·期末)如图，在ABC中，∠B=90°，AB=16cm,BC=12cm,AC=20cm. P,Q是ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为lcm/s,点Q从点B 开始沿B→C→A方向运动，且速度为2cm/s,它们同时出发，设出发的时间为s. C Q B P P 备用图 (1)BP= cm.(用含t的代数式表示). (②)当点Q在边BC上运动时，出发多长时间时，△PQB是等腰三角形？ (3)当点Q在边CA上运动时，若△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形，直接写出此时t的值： 7/7