精品解析：重庆开州区2025-2026学年度（上）九年级期末质量监测数学试卷

开州区2025~2026学年度（上）九年级期末质量监测 数学试卷 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成； 4.考试结束，由监考人员将答题卡收回． 参考公式：抛物线（）的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 实数的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 绿色环保，人人参与．下列环保标志中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 关于二次函数，以下说法正确的是（ ） A. 函数图像开口向上 B. 的最大值为4 C. 图像的对称轴为直线 D. 随的增大而减小 5. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 6. 如图，是的直径，弦，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 用大小相同的“○”按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有5个“○”，第②个图案有8个“○”，第③个图案有11个“○”，……按此规律，第⑩个图案中“○”个数为（ ） A. 26 B. 29 C. 32 D. 35 8. 近年来青少年篮球公开赛备受关注，越来越多的青少年进入各个篮球俱乐部进行训练，开州区文旅委计划举办一次青少年篮球俱乐部邀请赛，赛制为单循环形式（每两队之间只赛一场），若计划安排场比赛，则应邀请的俱乐部个数为（ ）. A. B. C. D. 9. 已知整式：，其中，，，⋯，，为正整数，满足且．下列说法： ①当时，时，满足条件的整式有且只有一个； ②当时，满足条件的整式的最高次项系数之和为16； ③满足条件的整式共有20个． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 10. 抛物线的顶点坐标为________． 11. 抛物线与轴交于，两点，抛物线的解析式为________． 12. 现有三张正面分别标有数字，，4的卡片，它们除数字不同外，其余完全相同，将卡片背面朝上洗匀后，从中随机取出一张，再从剩下的卡片中随机取出一张，则两次取出的卡片上的数字之和是负数的概率是________． 13. 已知点与关于原点对称，________． 14. 如图，在中，，点是边上一动点，连接，将沿直线翻折得到，连接．当时，，，________，________． 15. 如果一个三位自然数的各个数位上的数字均不为，且满足百位上的数字等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这个数为“等和数”．例如：，，是“等和数”．又如：，，不是“等和数”．最小的“等和数”为________；若是一个“等和数”，将的十位数字添加在的百位数字之前得到一个四位数，在的末位之后添加数字1得到一个四位数，若能被整除，则满足条件的的最大值与最小值的差为________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 16. 解方程与不等式组． （1）解方程：； （2）解不等式组：． 17. 如图，已知点为平行四边形对角线上一点，连接． （1）用直尺和圆规，在平行四边形内部作，使得，射线交于点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：四边形为平行四边形（请完善下面的证明过程）． 证明：四边形为平行四边形， ，___①____， ， 在和中，， ， ，， ，， ， ___③____， 四边形为平行四边形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 18. 为加强全民禁毒意识，牢固树立禁毒防线，2025年开州区各中小学相继组织学生前往禁毒教育基地参观学习．为检验同学们的学习成果，某校特举办了禁毒知识竞赛．现从该校七、八年级各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分为三组：A．；B．；C．）． 下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为：72，76，81，83，83，85，86，88，92，94． 八年级10名学生的竞赛成绩在B组的数据是：84，86，86． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 84 84 八年级 84 76 （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级的禁毒知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有1000名学生，八年级有800名学生参加了此次禁毒知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次禁毒知识竞赛成绩优秀（）的学生人数一共是多少人？ 19. 先化简，再求值：，从，，1中选取一个适当的数作为的值代入求值． 20. 如图所示为水分子模型教具，一个水分子模型教具需要一个氧原子模型和两个氢原子模型组装配套，某工厂现有20名工人，每人每小时平均生产60个氧原子模型或80个氢原子模型． （1）如何分配工人能使每小时生产出的氧原子模型和氢原子模型组装配套？ （2）该工厂将组装好的水分子模型教具投入市场销售，每个水分子模型售价18元，每天能售出1000个，经过调研，每个水分子模型的售价每降低1元，则每天能多售出200个．为保持市场的良性竞争，降价幅度不超过的前提下，如何定价能使每天的销售额为24000元？ 21. 如图，，是的切线，，为切点，是的直径． （1）若，的度数是多少？ （2）若，，求的周长． 22. 如图，在正方形中，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向匀速运动（点不与、重合），连接，；动点以每秒个单位长度的速度从点同时出发，沿方向匀速运动（点不与、重合），过点作交对角线于点．设运动时间为秒，的面积为，的面积为． （1）请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数、图象，并写出函数的一条性质； （3）结合图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 23. 如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点，连接，抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点是直线上方抛物线上的一动点，连接，，点是抛物线对称轴上的一动点，连接，，当面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新抛物线，点是新抛物线上的一动点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 24. 已知同一平面内，是等腰三角形，，点是平面内一点，将线段绕点逆时针旋转，使，得到线段，连接． （1）如图1，当点在线段上且时，求证：； （2）如图2，连接，，取的中点，连接，用等式表示线段与的关系并证明； （3）如图3，若，点与点重合，．点为线段中点，点为直线上一点，连接，将沿翻折到同一平面内的，连接，再将绕点顺时针旋转得到线段，连接．当取得最小值时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开州区2025~2026学年度（上）九年级期末质量监测 数学试卷 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成； 4.考试结束，由监考人员将答题卡收回． 参考公式：抛物线（）的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 实数的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 2. 绿色环保，人人参与．下列环保标志中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 3. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，首先把方程移项，可得：，两边直接开平方即可求解. 【详解】解：， 移项得：， 两边直接开平方得：， 解得：, ． 故选：D． 4. 关于二次函数，以下说法正确的是（ ） A. 函数图像开口向上 B. 的最大值为4 C. 图像的对称轴为直线 D. 随的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数性质以及图象相关知识，属于基础题．根据二次函数性质，通过系数判断开口方向、最值、对称轴及单调性． 【详解】解：∵二次函数为，其中，，， ∴对于A：∵，∴开口向下，A错误； 对于B：∵开口向下，顶点处取得最大值，顶点横坐标，代入得，∴y的最大值为4，B正确； 对于C：对称轴为直线，即，而非，C错误； 对于D：∵开口向下，对称轴，∴当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小，D错误． 故选：B． 5. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘法、无理数的估算，将原式化简为，然后估计的近似值，从而确定范围． 【详解】解：∵， 又∵ ∴ ∵ ∴的值在3和4之间， 故选：A． 6. 如图，是的直径，弦，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，根据垂径定理可得，再由圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵是的直径，弦， ∴， 又， ∴． 故选：D． 7. 用大小相同的“○”按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有5个“○”，第②个图案有8个“○”，第③个图案有11个“○”，……按此规律，第⑩个图案中“○”个数为（ ） A. 26 B. 29 C. 32 D. 35 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化规律探究，找到图形的变化规律是解题的关键． 根据前几个图形，发现“○”的个数规律，然后根据规律求解即可． 【详解】解：由图可知：第①个图案用了“○”的个数为， 第②个图案用了“○”的个数为， 第③个图案用了“○”的个数为， 第④个图案用了“○”的个数为， ， 第n个图案用了“○”的个数为， ∴第⑩个图案用了“○”的个数为个， 故选：C． 8. 近年来青少年篮球公开赛备受关注，越来越多的青少年进入各个篮球俱乐部进行训练，开州区文旅委计划举办一次青少年篮球俱乐部邀请赛，赛制为单循环形式（每两队之间只赛一场），若计划安排场比赛，则应邀请的俱乐部个数为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．将比赛场数的实际问题转化为一元二次方程，通过解方程得到俱乐部的个数，是解题的关键． 单循环赛的比赛场数公式为，其中为俱乐部个数．设，解方程即可． 【详解】解：设应邀请俱乐部个数为， ∵比赛总场数为， 根据题意可列方程为， 去分母，得：， 去括号，移项，得：， 因式分解，得， 解得：或（舍去）， 故． 故选：． 9. 已知整式：，其中，，，⋯，，为正整数，满足且．下列说法： ①当时，时，满足条件的整式有且只有一个； ②当时，满足条件的整式的最高次项系数之和为16； ③满足条件的整式共有20个． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了多项式的系数和次数，解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键． ①当且时，仅满足条件；②当时，得到，然后求出分别为3，4，5，4，所有满足条件的最高次项系数之和为16；③时，得到，然后分情况讨论得到有16个整式，时有4个整式，总20个． 【详解】解：①当，时，， ∵，且 ∴ ∴ ∴， ∴，只有一个整式，故①正确； ②当时，， ∵，且 ∴ ∴可能组合有或或或， ∴分别为3，4，5，4， ∴，故②正确； ③当时，且， ∴ ∴当时，，3，4，5，6，7，8，共7个； 当时，，4，5，6，7，共5个； 当时，，5，6，共3个； 当时，，共1个； 当时，由②可知共4个． ∴ ∴满足条件的整式共有20个，故③正确． 综上所述，其中正确的个数是3． 故选：A． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 10. 抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标为是解答的关键．将给定抛物线与顶点式对比，直接得出顶点坐标即可； 【详解】解：抛物线方程为，与顶点式对比，可得，，故顶点坐标为， 故答案为：． 11. 抛物线与轴交于，两点，抛物线的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查用待定系数法求二次函数的解析式，把的坐标代入抛物线的解析式得到方程组，求出方程组的解即可．由于抛物线与x轴交于和两点，将两点坐标代入抛物线解析式，得到关于和的方程组，解方程组即可． 【详解】解：将代入， 得，即，整理得①， 将代入，得，即，整理得②， 由，得，解得， 将代入①，得，即，解得， 故抛物线的解析式为， 故答案为：． 12. 现有三张正面分别标有数字，，4的卡片，它们除数字不同外，其余完全相同，将卡片背面朝上洗匀后，从中随机取出一张，再从剩下的卡片中随机取出一张，则两次取出的卡片上的数字之和是负数的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 列表得出所有等可能的情况数，找出两次抽取的卡片上的数字之和为负数的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】解：列表如下： 4 2 3 4 2 3 由表知，共有6种等可能结果，其中两次取出的卡片上的数字之和为负数的有2种结果， 所以两次取出的卡片上的数字之和为负数的概率为， 故答案为：． 13. 已知点与关于原点对称，________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，代数式求值，熟练掌握关于原点对称的两点的横、纵坐标间的关系是解题的关键． 根据关于原点对称的点的性质求出，，然后代入求解即可． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴，， ∴． 故答案为：1． 14. 如图，在中，，点是边上一动点，连接，将沿直线翻折得到，连接．当时，，，________，________． 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，灵活利用等面积法求线段的长度是解题的关键． 由等角对等边可得，再说明可得，即，进而得到，然后运用勾股定理求解即可；如图：连接，延长交于H，由折叠的性质可得，，，进而得到，；如图：过C作于F，由等面积法可得，进而得到；再运用等边对等角以及三角形内角和公式可得，最后运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，，． ∵， ∴， ∴，即， ∴． 在 中，由勾股定理：； 如图：连接，延长交于H， ∵将沿直线翻折得到， ∴，，， ∴垂直平分，即，， 如图：过C作于F， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：，1． 15. 如果一个三位自然数的各个数位上的数字均不为，且满足百位上的数字等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这个数为“等和数”．例如：，，是“等和数”．又如：，，不是“等和数”．最小的“等和数”为________；若是一个“等和数”，将的十位数字添加在的百位数字之前得到一个四位数，在的末位之后添加数字1得到一个四位数，若能被整除，则满足条件的的最大值与最小值的差为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，对于第一部分，根据“等和数”的定义，百位数字等于十位与个位数字之和，且数字均不为，最小等和数为。对于第二部分，设的百位、十位、个位数字分别为，，，则，根据条件表示出和，计算，并利用整除的条件得到能被整除，求解符合条件的，再求最大值与最小值的差． 【详解】解：设的百位、十位、个位数字分别为，，， ，且为，，，均为的整数， ，，， ； 设，其中， 是将十位数字添加在百位数字之前得到的四位数， ， 是在的末位之后添加数字得到的四位数， ， ， 代入， 可得：， 整理得：， 能被整除， 能被整除， 当时，， 只有时，能被整除， ， ； 当时，， 只有当时，能被整除， ， ； 当时，， ， 不符合题意； 当时，， ， 不符合题意； 当时，， 若时，则有， 则能被整除， ， ， 当时，， 当时，能被整除， 此时， ， 不符合题意； 当时，， 当时，能被整除， 此时， ， 不符合题意； 当时，， 当时，能被整除， ， 不符合题意； 当时，， 当时，能被整除， 此时， ， 不符合题意， 综上所述，、、， 其中最大值为，最小值为，差值为． 故答案为：，． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 16. 解方程与不等式组． （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：． 17. 如图，已知点为平行四边形对角线上一点，连接． （1）用直尺和圆规，在平行四边形内部作，使得，射线交于点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：四边形为平行四边形（请完善下面的证明过程）． 证明：四边形为平行四边形， ，___①____， ， 在和中，， ， ，， ，， ， ___③____， 四边形为平行四边形． 【答案】（1） 如图，即为所求作： （2），，． 【解析】 【分析】本题考查尺规作一个角等于已知角、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键． （1）根据作一个角等于已知角的尺规作图步骤画图即可； （2）根据所给证明思路，结合全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质完善证明过程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：四边形为平行四边形， ，， ， 在和中，， ， ，， ，， ， ， 四边形为平行四边形． 故答案为：，，． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 18. 为加强全民禁毒意识，牢固树立禁毒防线，2025年开州区各中小学相继组织学生前往禁毒教育基地参观学习．为检验同学们的学习成果，某校特举办了禁毒知识竞赛．现从该校七、八年级各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分为三组：A．；B．；C．）． 下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为：72，76，81，83，83，85，86，88，92，94． 八年级10名学生的竞赛成绩在B组的数据是：84，86，86． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 84 84 八年级 84 76 （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级的禁毒知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有1000名学生，八年级有800名学生参加了此次禁毒知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次禁毒知识竞赛成绩优秀（）的学生人数一共是多少人？ 【答案】（1）83；85；30 （2） 解：八年级学生竞赛成绩较好，理由：七、八年级的平均分均为84分，八年级的中位数高于七年级的中位数，整体上看八年级学生竞赛成绩较好．（合理即可） （3）440人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图、频数分布表、中位数、众数以及用样本估计总体等知识点，掌握相关统计量的意义以及计算方法是解题的关键． （1）分别根据众数和中位数的定义可得a、b的值；用“1”分别减去其它部分占比可得m的值； （2）根据平均数和中位数的意义解答即可； （3）利用样本估计总体思想求解即可． 【小问1详解】 解：在七年级10名学生的竞赛成绩中83出现的次数最多，故七年级的众数； 八年级A组的人数为：（人）， 所以把八年级10名学生的竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是84，86， 故中位数， ，即． 故答案为：83；85；30． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：人． 答：估计这次参加禁毒知识竞赛成绩优秀的学生人数是440人． 19. 先化简，再求值：，从，，1中选取一个适当的数作为的值代入求值． 【答案】，5 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先计算多项式乘以多项式和单项式乘以多项式，通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，选择一个使分式有意义的值，代入计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， ∵从，，1中选取一个适当的数作为的值代入求值， ∴， ∴原式． 20. 如图所示为水分子模型教具，一个水分子模型教具需要一个氧原子模型和两个氢原子模型组装配套，某工厂现有20名工人，每人每小时平均生产60个氧原子模型或80个氢原子模型． （1）如何分配工人能使每小时生产出的氧原子模型和氢原子模型组装配套？ （2）该工厂将组装好的水分子模型教具投入市场销售，每个水分子模型售价18元，每天能售出1000个，经过调研，每个水分子模型的售价每降低1元，则每天能多售出200个．为保持市场的良性竞争，降价幅度不超过的前提下，如何定价能使每天的销售额为24000元？ 【答案】（1）分配8名工人生产氧原子模型，12名工人生产氢原子模型 （2）当定价15元时，每天的销售额为24000元． 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、一元二次方程的应用等知识点，理解清楚题意找到等量关系、列出方程是解题的关键． （1）设分配x名工人生产氧原子模型，名工人生产氢原子模型，再根据等量关系“一个水分子模型教具需要一个氧原子模型和两个氢原子模型组装配套”列方程求解即可； （2）设每套应定价a元，根据“售价销售量=销售额”列一元二次方程求解，再 结合“降价幅度不超过”即可解答． 【小问1详解】 解：设分配x名工人生产氧原子模型，名工人生产氢原子模型， 由题意可得：，解得：， 所以． 答：分配8名工人生产氧原子模型，12名工人生产氢原子模型，才能使每小时生产出的氧原子模型和氢原子模型组装配套． 【小问2详解】 解：设每套应定价a元， 由题意可得：，解得：或15， ∵降价幅度不超过的前提下， ∴， ∴不符合题意舍去， ∴当定价15元时，每天的销售额为24000元． 21. 如图，，是的切线，，为切点，是的直径． （1）若，的度数是多少？ （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理、圆周角定理、等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）先利用切线的性质得到，则利用互余计算出的度数，再根据切线长定理得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数； （2）连接，先根据直角三角形的性质求得，再根据切线的性质得到，，推出是等边三角形，进而可得到答案． 【小问1详解】 解：∵是的切线， ∴，即． ∴． ∵，是的切线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵是的直径， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理：， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为． 22. 如图，在正方形中，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向匀速运动（点不与、重合），连接，；动点以每秒个单位长度的速度从点同时出发，沿方向匀速运动（点不与、重合），过点作交对角线于点．设运动时间为秒，的面积为，的面积为． （1）请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数、图象，并写出函数的一条性质； （3）结合图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1）；， （2） 解：函数、的图象如图所示， 函数的性质：当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 当时，取得最大值，最大值为8．（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查函数的解析式及图象、性质，三角形的面积公式，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的性质，解一元二次不等式等知识点，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据正方形的性质，三角形的面积公式以及等腰直角三角形的判定与性质，分情况讨论即可； （2）根据、的函数解析式即可画出图象，根据图象即可得出性质； （3）根据解一元二次不等式的步骤，进行计算即可． 【小问1详解】 解：在正方形中，， ，． 当时，即点在边上， 则， ； 当时，即点在边上， 则，， ， 综上，； 由题意得，，，， 故是等腰直角三角形， ， ． ， 自变量的取值范围是， 即，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时， ， ， 整理得，， 即， ，，乘积为负， 此不等式无解； 当时， ， ， 整理得，， 解得，或（不符合题意，舍去）， ， ， 的取值范围是． 23. 如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点，连接，抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点是直线上方抛物线上的一动点，连接，，点是抛物线对称轴上的一动点，连接，，当面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新抛物线，点是新抛物线上的一动点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1）抛物线的表达式为 （2）；的最小值为 （3）点的坐标为或， ∵原抛物线表达式为，即， ∴原抛物线的顶点坐标为， 将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新抛物线， ∴，即， 当点在直线上方时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴轴，即点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴此时， 当点在直线下方时，如图， ∵， ∴， ∴点即为新抛物线与轴的交点， ∴解方程：，解得：，（舍去）， ∴此时点的坐标为， ∴点的坐标为或． 【解析】 【分析】本题是一道二次函数综合题，主要考查二次函数的表达式求解，二次函数的图象和性质，二次函数与三角形的面积结合，最短路径问题，抛物线的平移，二次函数与几何角度的结合问题．结合二次函数的图象和性质和几何图形的特点，综合运用以上知识，是解决问题的关键． （1）根据对称轴和已知与轴交点坐标，得到另一个与轴交点的坐标，继而得到抛物线的表达式． （2）根据抛物线的表达式得到与轴的交点坐标，设，继而根据已知点坐标和点坐标得到相关线段的长度，根据面积差表达出的面积，并且为二次函数的形式，根据二次函数的顶点式，得到面积的最小值，继而得到点坐标，根据轴对称的性质，得到的最小值． （3）根据抛物线的表达式转化为顶点式，根据平移距离和方向得到新抛物线的顶点式，根据点在直线上方和下方，分两种情况讨论，得到点所在的位置，及点的坐标． 【小问1详解】 解：已知抛物线与轴交于，对称轴为直线， 根据抛物线的对称性，设点坐标为，则， 解得，所以， 把，代入抛物线中， 得到方程组，解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的表达式为， ∴点， 如图，过点作轴交轴于点，交抛物线于点，连接， 设，则有， ∴，，，，， ∵， 得：， ∴，即， ∴当时，面积取得最大值，最大值为， ∴, ∵点和点关于对称轴对称， ∴，， ∴， ∴， ∴当三点共线时，，即取最小值， ∴此时，即， ∴的最小值为； 【小问3详解】 略 24. 已知同一平面内，是等腰三角形，，点是平面内一点，将线段绕点逆时针旋转，使，得到线段，连接． （1）如图1，当点在线段上且时，求证：； （2）如图2，连接，，取的中点，连接，用等式表示线段与的关系并证明； （3）如图3，若，点与点重合，．点为线段中点，点为直线上一点，连接，将沿翻折到同一平面内的，连接，再将绕点顺时针旋转得到线段，连接．当取得最小值时，请直接写出的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2） 解：，证明如下： 如图：延长到G，使，连接． ∵F是的中点， ∴， 在和中： ， ∴， ∴，， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 在和中： ， ∴， ∴ ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角可得、，即；再根据角的和差以及已知条件可得，易得；再根据平行线的性质以及等量代换即可证明结论； （2）延长到G，使，连接．易证可得，，再证明可得，进而证明结论； （3）如图：连接， 过点C作垂足为点C，使，连接, 延长，过点F作于点G，过点M作于点H；先证明可得, 再用旋转的性质、勾股定理以及相关已知条件可求得、，、、，,，、；由翻折得：；由旋转得,再证明可得，再根据三角形的三边关系可得可求得的最小值，然后代入求比例即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图：连接， 过点C作垂足为点C，使，连接，延长，过点F作于点G，过点M作于点H， ∵ ∴ ∴ ∴ 在和中, , ∴, ∴, ∵,, ∴, ∴, ∴, ∴, ∵，点B与D重合，， ∴, ∵点为线段中点， ∴， ∵, ∴, ∴（已舍去负值）， ∴，, ∴， , 由翻折得：;由旋转得, , , 在和中， , ∴ , ， ，当且仅当B、Q、F，三点共线且点Q在B、F之间时，； , ， ∴的最小值为，此时． 【点睛】本题主要考查了等边对等角、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质等知识点，正确作出辅助线并灵活运用相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $