第01讲 一次方程（组）及其应用（专项训练，18题型)（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第二章 方程（组）与不等式（组） 第01讲 一次方程（组）及其应用 目 录 01·趋势领航练 02·考点通关练 03·真题诊断练 基础通关 题型01 利用等式的性质判断选项是否正确（★） 题型02 利用等式的性质进行变形（★★） 题型03判断一元一次方程解题过程是否正确（★★） 题型04 解一次方程（组）（★★★） 题型05 已知一次方程（组）的解求参数的值（★★） 题型06 构造二元一次方程（组）求解（★★） 题型07 已知二元一次方程组解得情况求参数（★★★） 题型08 二元一次方程组同解问题（★★） 题型09 列一次方程（组）（★★★★） 题型10 一次方程（组）实际应用之配套问题（★★★） 题型11 一次方程（组）实际应用之工程问题（★★★） 题型12 一次方程（组）实际应用之行程问题（★★★） 题型13一次方程（组）实际应用之销售盈亏问题（★★★） 题型14一次方程（组）实际应用之比赛积分问题（★★） 题型15 一次方程（组）实际应用之比方案选择问题（★★★） 题型16 一次方程（组）实际应用之比数字问题（★★★） 题型17一次方程（组）实际应用之比水费电费问题（★★★） 题型18一次方程（组）实际应用之比古代问题（★★★） 能力通关 【二元一次方程中新定义问题】（考查学生对二元一次方程（组）的综合应用） 1．（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则 ． 【新情境中跨物理学科问题】（考查学生一元一次方程与物理综合能力） 2．（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 【新情境中跨化学学科问题】（考查学生一元一次方程与化学综合能力） 3．（2024·四川攀枝花·中考真题）秋冬季节是流行性感冒的多发季节．针对这一情况，各中小学和幼儿园都制定了严格的消毒工作机制．据了解，消毒主要使用二氧化氯喷雾消毒溶液．市场上销售的某品牌的二氧化氯（溶质）消毒片，可直接溶于水（溶剂），制得二氧化氯消毒溶液．如表是二氧化氯消毒片的相关信息： 产品名称 产品规格 有效成分 用途 二氧化氯消毒片 每片质量1克 二氧化氯含量 消毒杀菌 已知：溶液浓度．请解答下列问题： (1)消毒人员欲配制3千克浓度为的二氧化氯溶液用于物品的消毒，刚好需要用该消毒片3片，求a的值． (2)教室使用的消毒液浓度要比物品使用的消毒液浓度低，消毒人员用6千克浓度为的二氧化氯溶液，可稀释成多少千克浓度为的消毒溶液？稀释过程中需加水多少千克？ 【一次方程（组）与函数的结合】（考查学生一次方程与函数综合能力） 4．（2025·黑龙江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中a的值是_______，b的值是_______； (2)在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； (3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40． 题型01 利用等式的性质判断选项是否正确（★） 1．（2026·广西钦州·模拟预测）根据等式的基本性质，下列不成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2025·贵州·一模）已知，，为有理数，若，则下列变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·上海·模拟预测）如图，其中①②中天平保持平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码（   ） A．30克 B．25克 C．20克 D．59克 题型02 利用等式的性质进行变形（★★） 1．（2025·安徽蚌埠·三模）已知两个非负实数a、b满足，则下列式子正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．（2025·山东聊城·二模）已知实数a，b，c满足，，下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（2025·安徽淮南·二模）已知 ，，若，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽宣城·一模）已知数a，b，c满足，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽安庆·一模）已知实数a，b，c满足，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型03 判断一元一次方程解题过程是否正确（★★） 1．（2024·甘肃兰州·模拟预测）下列等式是四位同学解方程过程中去分母的一步，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2024·广东深圳·二模）下列变形，正确的是（     ） A．由，移项，得 B．由，去括号，得 C．由，合并同类项，得 D．由，去分母得 3．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）下列方程变形中，正确的是（　　） A．方程，移项，得 B．方程，去括号，得 C．方程，未知数系数化为1，得 D．方程化成 4．（2024·宁夏银川·模拟预测）以下是圆圆解方程的解答过程． 解：去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得． (1)圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程； (2)请尝试解方程． 题型04 解一次方程（组）（★★★） 1．（2025·湖南岳阳·一模）（1）解方程：     （2）解方程组： 2．（2025·江西景德镇·一模）（1）计算：； （2）解方程：． 3．（2024·山东东营·模拟预测）解方程． (1) (2) (3) 4．（2025·四川乐山·二模）解方程组： 题型05 已知一次方程（组）的解求参数的值（★★） 1．（2025·河北·一模）关于x的方程的解为，则a的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2025·山东·模拟预测）关于的方程的一个根为0，则实数的值是（   ） A．1 B． C．0 D． 3．（2025·广东广州·二模）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 4．（2025·云南临沧·模拟预测）已知是关于的二元一次方程的解，则代数式的值是（　　） A．1 B．1 C． D． 题型06 构造二元一次方程（组）求解（★★） 1．（2025·江西九江·模拟预测）待定系数法是确定函数解析式的常用方法，也可用于化学方程式的配平．以黄铜矿为主要原料的火法炼铜的化学反应方程式为，其中x，y为常数，则的值为 ． 2．（2025·山东青岛·一模）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，则图1中菱形的面积是 ． 3．（2025·重庆·二模）赋值法是给代数式中的字母赋予某个特殊值，从而解决问题的一种方法，已知，若赋值．得到，尝试给x赋不同的值，可得的值为 ． 4．（2025·江苏南京·三模）定义：一个整数能写成两个整数的平方差的形式，称这个整数为“树人数”． 如：，，则0和1都是“树人数”． (1)判断2，3是否为“树人数”？说明理由． (2)下列说法正确的序号有______． 任何一个奇数都是“树人数”； 任何一个偶数都是“树人数”； 任何一个被4整除的数是“树人数”； 任何一个被4除余2的数是“树人数”． (3)已知a，b是“树人数”．求证：ab也是“树人数”． 题型07 已知二元一次方程组解得情况求参数（★★★） 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知关于x、y的方程组，若，则m的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川南充·三模）若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 4．（2025·四川成都·一模）从，，0，1，2，4这六个数中，任取一个数作为a的值，恰好使得关于x，y的二元一次方程组有整数解，且函数与x轴有公共点的概率是 ． 题型08 二元一次方程组同解问题（★★） 1．（2025·贵州铜仁·三模）若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 2.已知关于x，y的方程组与有相同的解，则 ． 3．（2024·广东江门·一模）已知方程组与有相同的解． (1)求m和n值， (2)已知的两边，的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为5，求的面积． 4．（2024·广东·模拟预测）若关于，的方程组与有相同的解． (1)求的值． (2)阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．例如，求的值． 题型09 列一次方程（组）（★★★★） 1．（2026·江苏连云港·模拟预测）《算法统宗》是中国古代应用数学书，由明代数学家程大位编著．书中记载了这样一个题目——牧童分杏各争竞，不知人数不知杏，三人五个多十枚，四人八枚两个剩，问：有几个牧童几个杏？其大意是：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若人一组，每组个杏，则多个杏．若人一组，每组个杏，则多个杏．问有多少个牧童，多少个杏．设牧童人，则可列方程为 （   ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃武威·二模）“十一”期间，某商品按成本价提高后标价，再打8折（标价的）销售，售价为240元．设该商品的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·贵州·二模）某旅行社带游客去山西五台山游玩，晚上入住当地的一家民宿．若每间房住4人，则余下3人无房住；若每间房住5人，则余下一间无人住．设该民宿共有间房，游客共有人，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃武威·一模）古老的巴比伦泥板书中记载这样一个问题：两块田地中，第一块每沙尔出产西拉谷物，第二块每沙尔出产西拉谷物（沙尔和西拉分别为面积和容积的度量单位）．第一块地的产量比第二块的多500西拉；两块地的面积总共为1800沙尔，问每块地各是多大？设第一块地为x沙尔，另一块地为y沙尔，则可列方程组为（   ） A．B． C． D． 题型10 一次方程（组）实际应用之配套问题（★★★） 1．（2025·陕西西安·模拟预测）初一年级某班为学科节游园会准备制作一批益智玩具作为奖品，并为每一个玩具配备两个手绘学科节图标．如果该班有28名学生参与制作奖品，每人每天平均能组装玩具24个，或绘制图标16个．那么应分配多少名学生组装玩具，多少名学生绘制图标，才能使当天组装的玩具和绘制的图标刚好配套？ 2．（2024·陕西西安·模拟预测）曾经，家具、家电、服装被称为外贸出口的“老三样”，如今，以电动汽车、锂电池、太阳能电池为代表的“新三样”走俏海外．某太阳能光伏组件车间有名工人，每人每天可以生产个甲零件或个乙零件，个甲零件要配个乙零件，为使每天生产的两种型号的零件刚好配套，应安排生产甲零件和乙零件的工人各多少名？ 3．（2024·重庆渝北·二模）某家具厂生产宴会大圆桌和椅子，1张大圆桌配8把椅子为一套．家具厂现有28名工人，一名工人一个月可以生产5张桌子或16把椅子． (1)分别安排多少名工人生产大圆桌和椅子，可使每个月生产的桌椅正好配套？ (2)家具厂去年投入了100万元用于生产这样的配套的餐桌椅，由于今年一套这样的餐桌椅的成本比去年提高了，结果今年生产的餐桌椅比去年少40套，投入却比去年多了5万元，问去年的每套餐桌椅成本是多少？ 4．（2024·山东聊城·一模）在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板，为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：cm） (1)每张原材料板材可以裁得A型纸板______张或裁得B型纸板______张； (2)现有130张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计），问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 题型11 一次方程（组）实际应用之工程问题（★★★） 1．（2025·贵州·模拟预测）喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2 000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 2．（2025·重庆·模拟预测）在蛇年春晚的创意融合舞蹈《秧》中，机器人与舞者共舞，手绢花翻飞旋转，体现了中国科技企业的崛起．机器人在日常生活中的应用也日益广泛，某快递公司为提高分拣效率及准确性，引进了具有分拣功能的智能机器人，1台机器人1小时分拣的快递量比1个人1小时分拣快递量的5倍还多10件，已知1台机器人和1个人1小时共可以分拣快递730件． (1)求1个人和1台机器人1小时分别分拣快递的数量； (2)为了进一步提高效率，该快递公司又引进了甲、乙两款不同的机器人，已知1台甲型机器人比1台乙型机器人1小时多分拣200件快递，1台甲型机器人分拣9600件快递的时间和1台乙型机器人分拣7200件快递的时间相同，求1台甲型机器人1小时分拣快递的数量． 3．（2024·重庆·三模）近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快，人民群众获得感、幸福感、安全感不断提升．某社区在改造中，恢复重现了居民记忆深处的电影院坡坡、戏水河沟、游园坝坝等，新设计了系列文化景观，构建起一个“文化生态”空间． (1)第一期的改造工程面积为88平方米，由甲、乙两人先后接力完成，若甲每天可完成10平方米，乙每天可完成8平方米，共用时10天完成，求甲、乙两人分别工作了多少天？ (2)由于居民对第一期文化改造工程反映很好，引来了不少市民打卡参观．社区计划在A处建造400平方米文化宣传墙，由丙工程队负责；在B处建造160平方米的文化宣传墙，由丁工程队负责．若丙每天可完成的工作量比丁每天可完成的工作量多5平方米，丙完成的时间是丁完成时间的2倍，求丙、丁每天可完成的工作量分别是多少平方米？ 4．（2024·安徽合肥·一模）某工程由甲、乙两个工程队施工，工程小组综合比较两工程队发现，甲工程队施工2天的费用比乙工程队施工3天的费用少0.3万元，甲、乙两工程队合作施工一天的费用为2.6万元．单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，乙工程队要比规定日期多用5天，初步计算，若单独请甲工程队需付30万元． (1)请计算甲、乙工程队每天所需的施工费用各是多少万元? (2)为降低工程施工费用，甲、乙两工程队先合作施工若干天，再由乙工程队全部完成，求甲、乙两工程队合作施工多少天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低． 题型12 一次方程（组）实际应用之行程问题（★★★） 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图是岳麓山游览路线图，从岳麓书院到爱晚亭的路程是，从爱晚亭到祥云涧的路程是，从祥云涧到观光长廊的路程是．已知小华从岳麓书院到观光长廊游览的平均速度是，观光长廊原路返回岳麓书院的时间是． (1)用含的代数式表示： ①小华从观光长廊返回岳麓书院的平均速度是 ； ②小华从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的平均速度是 ． (2)小华从岳麓书院到观光长廊共花了，然后从观光长廊沿原路返回岳麓书院的平均速度比来时增加了，所用时间比来时快了，求的值． 2．（2025·浙江衢州·三模）已知A、B两地间有C地，客车由A地驶向C地，货车由B地经过C地去A地（客货车在A、C两地间沿同一条路行驶），两车同时出发，匀速行驶．货车的速度是客车速度的．图是客车、货车距C地的路程， 与行驶时间的函数关系的图象． (1)求客车的速度及A、B两地间的路程； (2)求货车距C地的路程与x的函数关系式； (3)请直接写出两车出发多长时间时相距的路程． 3．（2025·山西长治·二模）黄河一号旅游公路是山西省以“踏访黄河、文明探源”为主题的文化旅游公路，起点为忻州市偏关县老牛湾村，终点到运城垣曲西哄哄村，全长1200公里，连接起众多名胜古迹与自然景观．暑假小新和小韵沿着此公路自驾游，小新从老牛湾村出发，小韵从哄哄村出发，小新比小韵晚5小时出发，小新出发29小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为20小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢20公里/时．请分别求出小新和小韵驾车行驶的速度． 4．（2025·吉林长春·模拟预测）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的道路上锻炼．两人都从A地匀速出发，甲走向B地，途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速前进．乙因故比甲晚出发，跑步到达B地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．如图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系． (1)乙与甲的速度差为________；甲与乙的速度比为________． (2)求甲、乙两人从第一次相遇至第二次相遇期间y与x之间的函数表达式． (3)当甲的行进路程比乙的行进路程多时，甲正在驻足与朋友交流，直接写出甲开始驻足与朋友交流时x的取值范围． 题型13 一次方程（组）实际应用之销售盈亏问题（★★★） 1．（2024·四川成都·模拟预测）立定跳远是体育测试项目之一，立定跳远要求穿轻便、跟脚、防滑、鞋底不太厚的运动鞋．在体育考试前，某商店购进了甲、乙两种运动鞋，已知甲、乙两种运动鞋每双的进价之和为64元，甲种运动鞋每双获利8元，乙种运动鞋每双获利10元，店主第一批购买甲种运动鞋50双、乙种运动鞋60双，一共花费3540元． (1)甲、乙两种运动鞋的进价分别是每双多少元？ (2)由于需求量特别大，第一批运动鞋很快售完，店主第二批购进甲、乙两种运动鞋若干，当甲、乙两种运动鞋保持原有利润时，甲、乙两种运动鞋每天分别可以卖出120双和90双．后来店主决定将甲、乙两种运动鞋的售价同时提高相同的钱数，已知甲、乙两种运动鞋每提高1元每天均少卖出5双，为了每天获取更多利润，店主将两种运动鞋同时提高多少元时，才能使日销售利润达到最大？最大利润为多少？ 2．（2025·宁夏银川·二模）据以下素材，探索完成任务． 如何设计销售方案？ 素材1 互联网时代，越来越多大山里的农产品，能够通过丰富多元的网络渠道走出大山、远销全国各地．直播助销就是运用“互联网”的一种销售方式．小明为当地特色花生与茶叶两种产品助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元． 素材2 销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同． 素材3 花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，小明计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元． 问题解决 任务1 假设每千克茶叶的售价为元/千克，每千克花生的售价为元/千克，请协助解决右边问题． 问题： （用含的代数式表示） 任务2 基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出茶叶和花生的售价． 任务3 【拟定设计方案】请结合素材3中的信息，求出在此次助销活动中，哪种方案（分别销售花生、茶叶多少千克）可使商家获得最大利润． 3．（2026·云南·模拟预测）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买云南扎染布和民族木雕，用于举办文化展览，增强学生对云南民族艺术的了解，提升文化自信． 素材一 购买3个扎染布与购买4个民族木雕需要的费用相等； 素材二 购买3个扎染布和5个民族木雕共需540元； 素材三 该校计划购买扎染布和民族木雕共60个，两种物品均需购买，且购买民族木雕的个数不超过购买扎染布个数的2倍． 请完成下列任务： 任务一 每个扎染布、每个民族木雕的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 4．（2025·四川雅安·二模）为了响应国家低碳出行号召和降低经营成本，某市出租车公司准备把油车更换成电车．现有A，B两种品牌的电车可供选择，若购买3辆A品牌电车和4辆B品牌电车，共需花费万元；若购买2辆A品牌电车和6辆B品牌电车，共需花费万元． (1)求每辆A品牌电车和每辆B品牌电车的价格； (2)若出租车公司需要购买A，B两种品牌的电车共辆（两种品牌的电车均需购买），购买B品牌电车数量不超过购买A品牌电车数量的，为使购买电车的总费用最低，应购买A品牌电车和B品牌电车各多少辆？购买电车的总费用最低为多少万元？ 题型14 一次方程（组）实际应用之比赛积分问题（★★） 1．（2025·陕西西安·模拟预测）某学校六年级开展了一次班级间的篮球比赛，规定每场比赛需分出胜负，胜1场积2分，负1场积1分．六年级共有13个班级，第一轮比赛中，每两个班级相互之间仅比赛一场，六（1）班在完成第一轮所有比赛后，总积分为19分，问六（1）班第一轮胜了多少场？ 2．（2025·安徽六安·模拟预测）为庆祝中华人民共和国成立75周年，某校开展了一场知识竞赛，规定答对一道题得10分，答错一道题扣5分，不答扣2分，八（1）班和八（2）班答对、答错、不答的题数如下表： 班级 答对 答错 不答 八（1）班 15 4 1 八（2）班 13 八（1）班最终得分比八（2）班多21分，求八（2）班答错了几道题． 3．（2025·辽宁铁岭·一模）环境污染和气候变化是全球范围内的关切事项．为此学校组织了一次以环保为主题的有奖问答活动，设有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道扣1分． (1)在这次活动中小明恰好得到60分，求小明答对多少道题； (2)如果在这次活动中小明要想超过90分，那么他至少需要答对多少道题？ 4．（2024·河北·一模）某校想了解同学们的历史知识储备情况，于是举办了“历史知识知多少”的知识竞赛．共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，答对1题得5分，答错1题扣1分．如表记录了部分参赛同学的得分情况，甲同学在整理的过程中，不小心将墨水倒在了该表上，致使表格中的一部分内容看不清，请回答相关问题． (1)求这次竞赛中E同学答对的题数和答错的题数； (2)D同学说他此次比赛得了73分，你认为可能吗？为什么？ 题型15 一次方程（组）实际应用之比方案选择问题（★★★） 1．（2025·北京·模拟预测）在“一盔一带”为主题的交通安全宣传和教育下，人们骑电动车、摩托车佩戴头盔的安全意识不断提高某安全用品商店计划购进一批安全头盔进行销售于是商店老板联系了批发商，他们之间的对话如下： 你好请问你那里的安全头盔批发价是多少？ 我有三种型号的安全头盔，批发价分别是型元个；型元个；型元个如果你买的多的话还有下面的优惠方案： ①一次性累计购买个及以上九五折优惠 ②一次性累计购买个及以上九折优惠 (1)若该商店计划一次性购进型安全头盔个和型安全头盔个，共需多少钱？ (2)若该商店计划用元一次性购进两种不同型号的安全头盔个，请你研究一下该商店的进货方案有哪几种？ 2．（2025·河南驻马店·三模）小红爸爸计划购买，两种品牌共袋糯米制作粽子．已知用元购买A品牌的袋数与用元购买品牌的袋数相同，且品牌每袋的价格比品牌每袋的价格贵元． (1)求，两种品牌每袋糯米的价格： (2)小红爸爸计划购买品牌的袋数不超过品牌袋数的一半，则怎样购买才能花费最少，最少为多少元？ (3)小红去商家柜台了解到，若整箱（袋/箱）购买任意一种品牌的糯米，每箱可优惠元．小红猜想购买品牌整箱，购买品牌整箱，会比（2）中的方案更省钱，请通过计算说明小红的猜想是否正确． 3．（2025·湖南·模拟预测）试题情境：编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？ (2)为筹备下一次编钟演奏活动，工作人员要采购A．B两种不同材质的编钟配件，A配件每个30元，B配件每个50元，一共准备花费500元，在保证钱都花完且两种配件都要买的情况下，有几种采购方案？ 4．（2025·河南新乡·模拟预测）“读万卷书，行万里路”，这句话强调了通过旅行和阅读来增长见识的重要性．某学校计划租用甲、乙两种客车送名师生其中学生名、教师6名集体外出研学，要求每辆客车上至少要有1名教师．甲、乙两种客车的载客量和租金如下表： 甲种客车 乙种客车 载客量单位：人/辆 a b 租金单位：元/辆 (1)已知2辆甲种客车和3辆乙种客车满载可载客人，1辆甲种客车和2辆乙种客车满载可载客人，求a，b的值． (2)在（1）的条件下，求最节省费用的租车方案． 题型16 一次方程（组）实际应用之比数字问题（★★★） 1．（2025·安徽亳州·三模）“洛书”（图1）是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛书”，将不重复的9个数依次填入方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”． (1)写出图2中a和b之间的数量关系； (2)求出图3中x和y的值． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数中，个位数字是十位数字的2倍，若把个位数字与十位数字对调，所得的新的三位数比原三位数大36，请帮小明求出这个三位数． 3．（2024·安徽·模拟预测）将连续奇数1，3，5，7，9，…排列成如下的数表： (1)设中间数为，用式子表示十字框中五个数之和． (2)十字框中的五个数之和能等于2024吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由． 4．（2025·山西·模拟预测）【代数推理】代数推理 一个自然数能分解成，其中均为两位数，的十位数字比的十位数字小1，且，的个位数字之和为10，则称这个自然数为“双十数” 例如：比7小是“双十数”； 又如：比4小不是“双十数” (1)判断1536是不是“双十数”，并说明理由． (2)自然数为“双十数”，将两位数放在两位数的左边，构成一个新的四位数．例如：．若与的十位数字之和能被5整除，且的各个数位数字之和能被3整除． ①求出的十位数字 ②写出1个满足条件的自然数． 题型17 一次方程（组）实际应用之比水费电费问题（★★★） 1．（2024·河北·模拟预测）聪聪根据市自来水公司的居民用水收费标准，制定了如下水费计算程序转换机示意图： 用户 张大爷 刘奶奶 王阿姨 聪聪家 用户 输入（） 8 15 18 25 输入（） 输出（元） 24 a 60 b 输出（元） (1)根据该程序转换机计算表中a、b的值； (2)当时，月应缴纳水费（元）用x的代数式表示为_____； (3)小丽家比小明家用水量多，水费多44元，则小丽家该月用水多少？ 2．（2025·江苏淮安·一模）综合与实践 【背景】近年来，涟水以高质量发展为首要任务，实现经济迅猛腾飞，成为江苏省最年轻、淮安市唯一的全国百强县.涟水更是风光与美食交织的宝藏之地，让游客流“涟”忘返.住在涟水的小美想给亲朋好友寄送当地特产． 【素材1】她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如下表： 计费单位 收费标准 江浙沪地区 江西省 首重 续重 收费说明： 每件快递按送达地分别计算运费； 运费计算方式：首重价格续重续重运费．首重均为千克，超过千克即要续重，续重以千克为计重单位（不足千克按千克计算）． 【素材2】 电子存单 电子存单 托寄物：捆蹄、萝卜干 目的地：江苏常州 计量重量：千克 件数： 总费用：元 托寄物：鸡糕、捆蹄 目的地：江西南昌 计量重量：千克 件数： 总费用：元 【问题解决】 (1)求、的值； (2)小美给在上海的哥哥寄出了千克的涟水特产，她需要支付多少元快递费？ (3)小美给在江西的外婆寄特产花了元快递费，求这份特产重量的取值范围． 3．（2025·内蒙古·二模）金师傅购买了一辆某型号的新能源车，其电池电量为60千瓦时．目前有两种充电方案供选择（如表），经测算金师傅发现电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）关系如图． 方案 安装费用 每千瓦时所需费用 方案一：私家安装充电桩 2520元 0.6元 方案二：公共充电桩充电 0 1.8元（含服务费） (1)已知新能源车充电时一般损耗率为1.2，电池剩余电量为零时，使用家用充电桩一次性充满电需要费用为（元），则电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要多少费用？ (2)当已行驶里程大于300千米时，求出电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）的函数解析式，当电池剩余电量为10%时，会提示充电，此时理论上还能继续行驶多少千米？ (3)金师傅都是在电池剩余电量不低于30千瓦时就开始充电，请问累计行驶里程为多少千米时，选择私家安装充电桩充电（含安装费用）更合算． 4．（2025·河南信阳·二模）学科实践： 近年来，太原市加大了公共充电站的建设力度，综合与实践小组的同学对，两个充电站的收费情况进行了调查，调查结果如下表所示． 名称 充电桩领 服务费 充电费 充电速度 充电站 直流式 免费 1.5元 每小时充电 充电站 直流式 前4小时免费，4小时后充电量的服务费为0.8元 1.2元 每小时充电 问题解决： (1)若汽车充电的总电量为， ①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为_____； ②请分别写出当和时，在充电站需要支付的费用（元）与的关系表达式． (2)出租车司机小李和小王分别在，两个充电站充电，充电结束后两人所支付的费用相同．求他们此次的充电量是多少． 题型18 一次方程（组）实际应用之比古代问题（★★★） 1．（2025·安徽阜阳·一模）我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺．问长木多少尺？ 2．（2025·安徽合肥·三模）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六、问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？ 3．（2025·安徽·模拟预测）我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜文，问两种布每尺各多少钱？ 4．（2025·山东淄博·二模）在《九章算术》的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，已知图1所示的算筹图表示的方程组为，请认真观察思考并完成如下任务： (1)任务一：图2所表示的方程组为_____． (2)任务二：请解你所列的方程组． 1．（2024·山西·模拟预测）如图，边长为的正方形纸片被分成全等的四部分（图），阴影四边形的最短边为，将其重新拼接得到新的正方形（图），则如图小正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知，两地相距，甲、乙两人沿同一条公路从地出发到地，甲骑自行车匀速行驶到达，乙骑摩托车，比甲迟出发，行至处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶．他们离开地的路程与甲行驶的时间之间的函数图像如图所示，则当乙再次追上甲时甲出发的时间为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知实数a、b、c满足，有下列结论正确的是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若a、b、c中只有两个数相等，则． A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）平面直角坐标系内，若点和点关于直线对称，则的计算结果是 ． 5．（2025·重庆·模拟预测）对于任意一个四位数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的倍，则称这个四位数为“双倍数”．例如：，因为，是“双倍数”；，因为，所以不是“双倍数”．最小的双倍数是 ；对于“双倍数”，当十位上的数字是千位上的数字的倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被整除时，记．求满足各数位上的数字之和是偶数的所有之和是 ． 6．（2025·湖北武汉·模拟预测）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． 7．（2026·全国·模拟预测）如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是，8．线段，从点A（端点P与点A重合，点Q在P点的右侧）出发，以每秒4个单位向右匀速运动，到达B点，即Q点与点B重合后，立即以每秒a个单位的速度匀速返回，当端点P与点A再次重合时运动停止．点M从点B出发，以每秒2个单位向左匀速运动，与线段端点Q相遇后速度立即变为每秒3个单位，匀速到达A点时运动停止．已知线段与点M同时出发，点M提前2秒到达点A．设运动时间为t（秒）． (1)经过_______秒，点M与线段端点Q相遇． (2)记，m与t具有函数关系． ①线段从左向右（从点A到点B）的运动过程中，求m与t的函数表达式； ②在整个运动过程中，请直接写出时t的所有取值． 8．（2024·广东·模拟预测）【综合与实践】生活中的函数． (1)基础知识考察：在反比例函数 ，当时，的取值范围是 ；当时，的取值范围是 ． (2)一夜银装裹，飞雪满京城．北京位于华北平原地区，冬季时燕山山脉与太行山脉让来自西伯利亚与蒙古的季风爬过大坡才能抵达北京，极易丢失水汽．1951年至2019年，北京平均每年大雪以上天数仅有天．2023年12月13日这场大雪可谓是个稀罕事． 北京特色茉莉香茶成本为元/袋．受大雪影响，其销售单价（元）与降雪量（毫米）之间的关系如下表： 降雪量(毫米） 销售单价（元） 47 45 44 日销售量（袋）与降雪量（毫米）之间的函数关系式为． 请你根据以上材料，回答以下问题： ①已知与之间的变化量规律符合一次函数关系，请求出其关系式． ②仅看下雪天的情况，其中的取值范围如图所示．问降雪量多大时，销售利润最大？最大利润是多少？ ③在②的条件下，为了提高销售量，店铺在大雪时（降雪量为毫米）进行“买三送一”活动，并调整了售价．小敏阿姨此时趁机入手20袋，回到家才发现这比不做活动时买还贵了20元．你知道此时店铺的一袋茉莉香茶多少钱吗？ 9．（2024·浙江·模拟预测）某公司采用两种方式经营商品的销售业务， 方式一：将商品精包装后直接销售； 方式二：将商品深加工得到商品后再销售． 已知商品的基础成本（万元）和精包装费用（万元）均与销售数量（吨）成正比，平均销售价格（万元/吨）与符合关系式，生产商品总费用（万元）包括每月固定环保费（万元）和每吨固定加工费（万元），其平均销售价格为9万元/吨．2月份该公司销售两种商品共20吨，销售利润60万元；3月份受季节影响，虽然也销售了20吨两种商品，但销售利润只有38万元，两个月的部分销售情况如下表．（销售利润＝销售总收入－经营总成本） 商品 （吨） （万元） （万元） 2月 3 9 3 3月 10 30 10 (1)当时，求A商品的销售利润与x的函数关系式；并写出m、n的值； (2)4月份该公司仍按计划销售20吨两种商品，问：该公司还能获得30万元销售利润吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 1．（2025·四川绵阳·中考真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一个问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，问快马几天可追上慢马？据此可知快马追上慢马的天数是（   ） A．5天 B．10天 C．15天 D．20天 2．（2025·四川内江·中考真题）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 4．（2024·山东淄博·中考真题）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．(    ) 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为； ②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后； ④，两地之间的距离是． 其中正确的结论有： A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 5．（2025·四川·中考真题）将正面记为A，B，C，D，E的五张卡片按如图所示放置，每张卡片反面都写有一个数．现依次将相邻两张卡片反面的数之和记录如表： 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数和 48 60 53 65 42 根据以上信息，推断出最小数所对应的卡片编号为 ，最大数所对应的卡片编号为 ． 6．（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 7．（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 8．（2025·广西·中考真题）【平行六边形】如图1，在凸六边形中，满足，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”，其中与，与，与叫做“主对边”；和，和，和叫做“主对角”；叫做“主对角线”． (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 _________ ②平行六边形的三组主对角分别相等 _________ ③平行六边形的三条主对角线互相平分 _________ 【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． (2)如图2，已知平行六边形满足． 求证：平行六边形是菱六边形： (3)如图3是一张边长为的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程（组）与不等式（组） 第01讲 一次方程（组）及其应用 目 录 01·趋势领航练 02·考点通关练 03·真题诊断练 基础通关 题型01 利用等式的性质判断选项是否正确（★） 题型02 利用等式的性质进行变形（★★） 题型03判断一元一次方程解题过程是否正确（★★） 题型04 解一次方程（组）（★★★） 题型05 已知一次方程（组）的解求参数的值（★★） 题型06 构造二元一次方程（组）求解（★★） 题型07 已知二元一次方程组解得情况求参数（★★★） 题型08 二元一次方程组同解问题（★★） 题型09 列一次方程（组）（★★★★） 题型10 一次方程（组）实际应用之配套问题（★★★） 题型11 一次方程（组）实际应用之工程问题（★★★） 题型12 一次方程（组）实际应用之行程问题（★★★） 题型13一次方程（组）实际应用之销售盈亏问题（★★★） 题型14一次方程（组）实际应用之比赛积分问题（★★） 题型15 一次方程（组）实际应用之比方案选择问题（★★★） 题型16 一次方程（组）实际应用之比数字问题（★★★） 题型17一次方程（组）实际应用之比水费电费问题（★★★） 题型18一次方程（组）实际应用之比古代问题（★★★） 能力通关 【二元一次方程中新定义问题】（考查学生对二元一次方程（组）的综合应用） 1．（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查数字类规律探究，整式加减中不含某一项问题，先根据，令，求出相应的结果，进而推导出当时的结果，利用新定义，求出，再根据新定义求出，根据不含项，得到项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴ ， ∵不含项， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∵均为的整数幂，为偶数， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：15． 【新情境中跨物理学科问题】（考查学生一元一次方程与物理综合能力） 2．（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 【答案】(1) (2) ， (3) 【分析】本题考查了科学记数法，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键； （1）根据，代入数据进行计算即可求解； （2）根据定义求得铁的线膨胀系数，进而设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 答：该铜棒的伸长量． （2）解：， 解得： ， 设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得：， 答：铁的线膨胀系数 ，该铁棒温度的增加． （3）解：设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得： ， 答：该铁棒温度的增加量为． 【新情境中跨化学学科问题】（考查学生一元一次方程与化学综合能力） 3．（2024·四川攀枝花·中考真题）秋冬季节是流行性感冒的多发季节．针对这一情况，各中小学和幼儿园都制定了严格的消毒工作机制．据了解，消毒主要使用二氧化氯喷雾消毒溶液．市场上销售的某品牌的二氧化氯（溶质）消毒片，可直接溶于水（溶剂），制得二氧化氯消毒溶液．如表是二氧化氯消毒片的相关信息： 产品名称 产品规格 有效成分 用途 二氧化氯消毒片 每片质量1克 二氧化氯含量 消毒杀菌 已知：溶液浓度．请解答下列问题： (1)消毒人员欲配制3千克浓度为的二氧化氯溶液用于物品的消毒，刚好需要用该消毒片3片，求a的值． (2)教室使用的消毒液浓度要比物品使用的消毒液浓度低，消毒人员用6千克浓度为的二氧化氯溶液，可稀释成多少千克浓度为的消毒溶液？稀释过程中需加水多少千克？ 【答案】(1) (2)可稀释成千克浓度为的消毒溶液，稀释过程中需加水千克 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据溶液浓度，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设可稀释成x千克浓度为的消毒溶液，根据溶质的质量不变，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：， 答：a的值为； （2）解：设可稀释成千克浓度为的消毒溶液， 由题意得：， 解得：， ∴加水（千克）， 答：可稀释成千克浓度为的消毒溶液，稀释过程中需加水千克． 【一次方程（组）与函数的结合】（考查学生一次方程与函数综合能力） 4．（2025·黑龙江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中a的值是_______，b的值是_______； (2)在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； (3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40． 【答案】(1)300，2 (2) (3)或或 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据货车的图象得到B、C两地的距离为，进而求出的值，求出轿车的速度，求出轿车从开往地所需的时间，进而求出的值； （2）根据轿车比货车晚到达终点，求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （3）分轿车到达地之前，轿车到达地，货车离地，以及货车到达地时，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，B、C两地的距离为，A、B两地的距离为， ∴， ∵轿车的速度为：， ∴轿车从开往地所需的时间为：， ∴； 故答案为：300，2； （2）∵轿车比货车晚到达终点， ∴货车到达地所用时间为：， ∴， ∵货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地， ∴， 设， ∴，解得：， ∴； （3）由（2）可知，货车的速度为：， ∴当轿车到达地之前，，解得：； 当轿车到达地，货车离地时，，则：符合题意； 当货车到达地时，此时轿车离点的距离为：，恰好满足题意，此时； 综上：轿车出发或或时与货车相距40． 题型01 利用等式的性质判断选项是否正确（★） 1．（2026·广西钦州·模拟预测）根据等式的基本性质，下列不成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查等式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据等式的基本性质，逐一验证各选项是否成立即可． 【详解】解：选项A、由于，则，等式成立； 选项B、由于，则，等式不成立； 选项C、由于，则，等式成立； 选项D、若，则，等式成立， 故选：B． 2．（2025·贵州·一模）已知，，为有理数，若，则下列变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【详解】解：、∵， ∴，原选项变形正确，不符合题意； 、∵， ∴，原选项变形正确，不符合题意； 、∵， ∴，原选项变形正确，不符合题意； 、∵， ∴当与不为零时，，原选项变形不正确，符合题意； 故选：． 3．（2025·上海·模拟预测）如图，其中①②中天平保持平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码（   ） A．30克 B．25克 C．20克 D．59克 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．根据等式的性质即可求出答案． 【详解】解：设三角形重为x克，圆形重为y克， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 题型02 利用等式的性质进行变形（★★） 1．（2025·安徽蚌埠·三模）已知两个非负实数a、b满足，则下列式子正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，等式的性质，实数的性质，根据已知等式，代入各选项逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：由，得， 故A选项错误， ， ， ∴，故B选项错误， ，故C选项错误 ， ， ，故D选项正确， 故选：D． 2．（2025·山东聊城·二模）已知实数a，b，c满足，，下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查的是不等式的性质，配方法的应用，先由条件可得，，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ； ∴， 故选：A 3．（2025·安徽淮南·二模）已知 ，，若，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，分式的化简，完全平方公式，根据题意得，则，再代入选项中计算，化简即可求解．利用等式的基本性质得，再代入求解是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴，则， ∴，故B正确； ， ∵， ∴，故C正确； ∵，则， ∴，故D正确； ∵，则 ∴当，时，，此时，故A错误； 故选：A． 4．（2024·安徽宣城·一模）已知数a，b，c满足，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，得到，等量代换得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 5．（2025·安徽安庆·一模）已知实数a，b，c满足，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质及完全平方公式，正确记忆等式的性质并正确做出判断是解题关键．根据等式的性质进行判断即可． 【详解】解：若，则，即，代入，得，所以A错误； 若，则，代入后得到，于是解得或，所以B选项错误； 同B选项，可得或，故C选项错误； 若，则，，所以D选项正确． 故选：D． 题型03 判断一元一次方程解题过程是否正确（★★） 1．（2024·甘肃兰州·模拟预测）下列等式是四位同学解方程过程中去分母的一步，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次方程，把等式两边分别乘以即可求解． 【详解】解：， 去分母得，， 故选：C． 2．（2024·广东深圳·二模）下列变形，正确的是（     ） A．由，移项，得 B．由，去括号，得 C．由，合并同类项，得 D．由，去分母得 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，注意移项变号、去分母每一项要同时乘以分母的最小公倍数、括号前是“”号，去括号时括号内各项要变号，熟知一元一次方程解题步骤是关键． 【详解】解： A、原式移项得，移项时未变号； B、原式去括号得，括号前是“”号，去括号时括号内各项要变号； C、原式合并同类项正确； D、原式去分母得，去分母时，每一项要同时乘以分母的最小公倍数． 故选：C ． 3．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）下列方程变形中，正确的是（　　） A．方程，移项，得 B．方程，去括号，得 C．方程，未知数系数化为1，得 D．方程化成 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．A、利用移项要变号判断即可；B、利用去括号法则判断即可；C、两边除以系数变形得到结果，即可作出判断；D、两边乘以6去分母后，去括号，移项合并得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A、，移项得：，本选项错误； B、，去括号得：，本选项错误； C、，变形得：，本选项错误； D、去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：，本选项正确， 故选：D． 4．（2024·宁夏银川·模拟预测）以下是圆圆解方程的解答过程． 解：去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得． (1)圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程； (2)请尝试解方程． 【答案】(1)有错误，见解析 (2) 【分析】（1）去分母的时候方程的右边没有乘上6，去括号后，两个括号的后一项漏乘，更正后再根据解一元一次方程的基本步骤进行解题，即可作答． （2）根据解一元一次方程的基本步骤可得答案． 本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 【详解】（1）解：圆圆的解答过程错误，正确的解答过程如下： ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得； （2）解：， ， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得． 题型04 解一次方程（组）（★★★） 1．（2025·湖南岳阳·一模）（1）解方程：     （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，熟知相关解方程和解方程组的方法是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可得到答案； （2）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：（1） 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：； （2） 整理得： 得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴原方程组的解为． 2．（2025·江西景德镇·一模）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，化简绝对值，解一元一次方程等知识点． （1）根据特殊角的三角函数值，零次幂，绝对值分别计算即可求解； （2）利用解一元一次方程的步骤计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 3．（2024·山东东营·模拟预测）解方程． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）先把方程左边合并，再把方程两边同时除以4即可得到答案； （2）先把方程左边合并，再把方程两边同时除以即可得到答案； （3）先把移到方程右边并合并，再把方程两边同时除以即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 4．（2025·四川乐山·二模）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】解：， 得， 解得， 将代入②，得， ． 题型05 已知一次方程（组）的解求参数的值（★★） 1．（2025·河北·一模）关于x的方程的解为，则a的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的解．注意使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．由关于的方程的解是，即可得，继而求得答案． 【详解】解：关于的方程的解是， ， 解得：． 故选：A． 2．（2025·山东·模拟预测）关于的方程的一个根为0，则实数的值是（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了直接开方法解一元二次方程，方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，根据方程解的定义得到，再解关于a的方程，即可确定a的值． 【详解】解：把代入方程中， 得， 解得， 当时，原方程为，则是方程的根，符合题意； 故选：D． 3．（2025·广东广州·二模）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 直接将代入求解即可． 【详解】解：将代入得： ， 解得：． 故选：B． 4．（2025·云南临沧·模拟预测）已知是关于的二元一次方程的解，则代数式的值是（　　） A．1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程的解和求代数式的值．把二元一次方程的解代入方程，再利用整体代入求值即可．熟练掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：把代入方程， 得：， ， ． 故选：B． 题型06 构造二元一次方程（组）求解（★★） 1．（2025·江西九江·模拟预测）待定系数法是确定函数解析式的常用方法，也可用于化学方程式的配平．以黄铜矿为主要原料的火法炼铜的化学反应方程式为，其中x，y为常数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据元素和的数量不变，列出关于的二元一次方程组，然后求解，最后代入即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ∴， 故答案为：． 2．（2025·山东青岛·一模）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，则图1中菱形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形性质，解二元一次方程组等知识，先由菱形性质得到四个直角三角形全等，再由图2列出方程组，求出值后，由菱形面积与三角形面积关系，求出三角形面积即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 在菱形中，对角线交于点，则，，，， 四个直角三角形全等， 设，，且， 由图2左图可知，， 由图2右图可知，， 联立，解得， ， 故答案为：． 3．（2025·重庆·二模）赋值法是给代数式中的字母赋予某个特殊值，从而解决问题的一种方法，已知，若赋值．得到，尝试给x赋不同的值，可得的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，解方程组，当时，得到①，当时，得到②，然后求解即可． 【详解】解：当时，， ∵， ∴①， 当时，， ∴②， ，得：， ∴． 故答案为：． 4．（2025·江苏南京·三模）定义：一个整数能写成两个整数的平方差的形式，称这个整数为“树人数”． 如：，，则0和1都是“树人数”． (1)判断2，3是否为“树人数”？说明理由． (2)下列说法正确的序号有______． 任何一个奇数都是“树人数”； 任何一个偶数都是“树人数”； 任何一个被4整除的数是“树人数”； 任何一个被4除余2的数是“树人数”． (3)已知a，b是“树人数”．求证：ab也是“树人数”． 【答案】(1)2不是“树人数”，3是“树人数”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查整数的平方差的表示形式即“树人数”的定义，涉及数的奇偶性的分析、代数恒等变形等知识点 （1）利用假设法求证2，若求出的结果符合题意就是“树人数”，反之则不是，，因此可得出3是“树人数”； （2）分析奇数、偶数、被4整除的数等不同类别是否满足树人数的条件； （3）利用平方差乘积的恒等变形，将两个树人数的乘积表示为新的平方差的形式． 【详解】（1）解：不是“树人数”，3是“树人数”， 理由：假设存在整数a，b，使得，则：， 因数分解可能为或， 或，解得：或非整数，矛盾， 不是“树人数”， ， 是“树人数”； （2）①设奇数，令，，则：，故①正确， ②由（1）中2不是“树人数”得出②错误， ③设被4整除的数是4k，令，，则：则：，故③正确， ④设被4除余2的数是，若存在a，b使得， ∴若a，b同奇偶，则为偶数但被4整除，矛盾；若a，b一奇一偶，则为奇数，矛盾，故④错误， 故答案为：①③； （3）证明：，b是“树人数”． 设，是整数 或 ，n，p，q是整数． ，，，都是整数． 能写成两个整数的平方差的形式． 是“树人数”． 题型07 已知二元一次方程组解得情况求参数（★★★） 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知关于x、y的方程组，若，则m的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查解含参数的二元一次方程组．把两个方程相加，得，结合，即可求解． 【详解】解：方程组的两个方程相加，得， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式组的应用，关键是能得出关于的不等式组．①②求出，根据已知得出不等式，求出即可． 【详解】解：， ②得：， ， 关于x，y的方程组的解满足， ， ． 的取值范围为：． 故选：B． 3．（2025·四川南充·三模）若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，弄清方程组与方程组解满足条件的关系成为解题的关键． 两式相减可得，再结合方程组解的条件结合，据此列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：， 可得： ∵， ∴，解得：． 故答案为：3． 4．（2025·四川成都·一模）从，，0，1，2，4这六个数中，任取一个数作为a的值，恰好使得关于x，y的二元一次方程组有整数解，且函数与x轴有公共点的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，根的判别式，概率，先解方程组求出，根据整数解得到a的值，然后利用抛物线与x轴有交点得到，进而得到满足条件a的值，利用概率公式计算解题． 【详解】解方程组得， ∵有整数解， ∴为，，， 解得为，，，，，； 又∵当二次函数与x轴有交点， ∴，且， 解得：且， ∵当时，函数为， 此时函数与x轴有公共点， ∴符合的a的值为，，， ∴概率是， 故答案为：． 题型08 二元一次方程组同解问题（★★） 1．（2025·贵州铜仁·三模）若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法．由于两个方程组有相同的解，可知它们的解为和，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于和的方程组，通过加减消元法直接求解的值． 【详解】解：由题意得，两个方程组的公共解为， 将代入第一个方程组的，得：①， 代入第二个方程组的，得：②， 将①和②相加：， 整理得：， 则． 故选：D． 2.已知关于x，y的方程组与有相同的解，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，理解方程组的解的定义是解题的关键。 依据题意重新组成方程组求得x，y的值，再将x，y值代入得到关于a，b的方程组求解即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组与方程组有相同的解， ∴，解得：， 把分别代入与 得：，解得：； 故答案为：． 3．（2024·广东江门·一模）已知方程组与有相同的解． (1)求m和n值， (2)已知的两边，的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为5，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同解方程组，解一元二次方程，解二元一次方程组，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握同解方程组的定义，求出m、n的值． （1）解方程组得，根据同解方程组，得出方程组的解为，代入求出m、n的值即可； （2）把代入得出，解一元二次方程得出的两边长分别为3，4，根据勾股定理逆定理得出为直角三角形，求出结果即可． 【详解】（1）解：由方程组得：， ∵方程组与有相同的解， ∴方程组的解为， ∴， 解得：； （2）解：把代入关于x的一元二次方程得：， 解得：，， ∴的两边长分别为3，4， ∵第三边的长为5， 又∵， ∴为直角三角形， ∴． 4．（2024·广东·模拟预测）若关于，的方程组与有相同的解． (1)求的值． (2)阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．例如，求的值． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法以及二阶行列式的运算，熟练掌握方程组同解问题的处理方法和二阶行列式的运算法则是解题的关键． （1）先求出两个方程组的公共解，再将公共解代入含、的方程，求出、的值，进而计算． （2）根据二阶行列式的运算法则，将、、、的值代入计算． 【详解】（1）解：∵关于，的方程组与有相同的解． ∴， 解该方程组得， ∴，， 解得：， ∴． （2）解：将，，，代入， ∴． 题型09 列一次方程（组）（★★★★） 1．（2026·江苏连云港·模拟预测）《算法统宗》是中国古代应用数学书，由明代数学家程大位编著．书中记载了这样一个题目——牧童分杏各争竞，不知人数不知杏，三人五个多十枚，四人八枚两个剩，问：有几个牧童几个杏？其大意是：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若人一组，每组个杏，则多个杏．若人一组，每组个杏，则多个杏．问有多少个牧童，多少个杏．设牧童人，则可列方程为 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意，杏的总数在两种分组方式下相等，由此列出方程，即可作答． 【详解】解：∵人一组，每组个杏，则多个杏，设牧童人， ∴杏的总数：； ∵人一组，每组个杏，则多个杏． ∴杏的总数：； ∵杏的总数不变， ∴， 故选：C． 2．（2025·甘肃武威·二模）“十一”期间，某商品按成本价提高后标价，再打8折（标价的）销售，售价为240元．设该商品的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该商品的成本价为x元，根据题意列出方程即可，掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设该商品的成本价为x元，根据题意得： ， 故选：B． 3．（2025·贵州·二模）某旅行社带游客去山西五台山游玩，晚上入住当地的一家民宿．若每间房住4人，则余下3人无房住；若每间房住5人，则余下一间无人住．设该民宿共有间房，游客共有人，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的二元一次方程组解应用题，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，第一个条件表示总人数等于房间数乘以4再加3，第二个条件表示总人数等于房间数减1的差的5倍，由此列出方程组即可． 【详解】解：设该民宿共有间房，游客共有人，则可列方程组： 故选：B． 4．（2025·甘肃武威·一模）古老的巴比伦泥板书中记载这样一个问题：两块田地中，第一块每沙尔出产西拉谷物，第二块每沙尔出产西拉谷物（沙尔和西拉分别为面积和容积的度量单位）．第一块地的产量比第二块的多500西拉；两块地的面积总共为1800沙尔，问每块地各是多大？设第一块地为x沙尔，另一块地为y沙尔，则可列方程组为（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意列出二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意列方程组得，， 故选：A． 题型10 一次方程（组）实际应用之配套问题（★★★） 1．（2025·陕西西安·模拟预测）初一年级某班为学科节游园会准备制作一批益智玩具作为奖品，并为每一个玩具配备两个手绘学科节图标．如果该班有28名学生参与制作奖品，每人每天平均能组装玩具24个，或绘制图标16个．那么应分配多少名学生组装玩具，多少名学生绘制图标，才能使当天组装的玩具和绘制的图标刚好配套？ 【答案】应分配7名学生组装玩具，21名学生绘制图标，才能使当天组装的玩具和图标刚好配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设应分配x名学生组装玩具，则分配名学生绘制图标，根据绘制图标的总数量是组装玩具总数量的2倍，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设应分配x名学生组装玩具，则分配名学生绘制图标，根据题意得： ， 解得：， 人 答：应分配7名学生组装玩具，21名学生绘制图标，才能使当天组装的玩具和绘制的图标刚好配套． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）曾经，家具、家电、服装被称为外贸出口的“老三样”，如今，以电动汽车、锂电池、太阳能电池为代表的“新三样”走俏海外．某太阳能光伏组件车间有名工人，每人每天可以生产个甲零件或个乙零件，个甲零件要配个乙零件，为使每天生产的两种型号的零件刚好配套，应安排生产甲零件和乙零件的工人各多少名？ 【答案】应安排生产甲型零件的工人名,生产乙型零件的工人名 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，设安排x名工人生产甲型零件，根据每天生产的两种型号的零件刚好配套，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设应安排生产甲型零件的工人名；生产乙型零件的工人名， 由题意得：， 解得：， ， 应安排生产甲型零件的工人名,生产乙型零件的工人名． 3．（2024·重庆渝北·二模）某家具厂生产宴会大圆桌和椅子，1张大圆桌配8把椅子为一套．家具厂现有28名工人，一名工人一个月可以生产5张桌子或16把椅子． (1)分别安排多少名工人生产大圆桌和椅子，可使每个月生产的桌椅正好配套？ (2)家具厂去年投入了100万元用于生产这样的配套的餐桌椅，由于今年一套这样的餐桌椅的成本比去年提高了，结果今年生产的餐桌椅比去年少40套，投入却比去年多了5万元，问去年的每套餐桌椅成本是多少？ 【答案】(1)安排名工人生产桌子，名工人生产椅子 (2)万元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，分式方程的应用，找出等量关系是解题的关键． （1）根据题意列出一元一次方程，解方程即可； （2）设去年的每套餐桌椅成本是万元，今年的成本为万元，根据题意列出分式方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设安排名工人生产桌子，名工人生产椅子， 由题意得：， 解得， 故， 答：安排名工人生产桌子，名工人生产椅子，可使每个月生产的桌椅正好配套； （2）解：设去年的每套餐桌椅成本是万元，故今年的成本为万元， 根据题意得： 解得 经检验，是原方程的解， 答：去年的每套餐桌椅成本是万元． 4．（2024·山东聊城·一模）在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板，为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：cm） (1)每张原材料板材可以裁得A型纸板______张或裁得B型纸板______张； (2)现有130张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计），问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 【答案】(1)9，15 (2)用100张原材料板材裁剪A型纸板，用30张原材料板材裁剪B型纸板，能做225个纸盒 【分析】本题考查一元一次方程的应用 （1）根据题意，可得每张原材料板材可以裁得型纸板（张，每张原材料板材可以裁得型纸板（张； （2）设用张原材料板材裁剪型纸板，可得：，即可解得答案． 【详解】（1）解：根据题意，每张原材料板材可裁得3张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张型长方形纸板或5张型正方形纸板， 每张原材料板材可以裁得型纸板（张，每张原材料板材可以裁得型纸板（张； 故答案为：9，15； （2）解：设用张原材料板材裁剪型纸板，则用张原材料板材裁剪型纸板， 根据题意得：， 解得， ， ， 用100张原材料板材裁剪型纸板，用30张原材料板材裁剪型纸板，能做225个纸盒． 题型11 一次方程（组）实际应用之工程问题（★★★） 1．（2025·贵州·模拟预测）喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2 000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 【答案】(1)甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个； (2)乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个． 【分析】（1）设甲车间增加工人前每天加工个，则增加工人后每天加工个，根据题意列出方程解得即可； （2）设乙车间改进技术前每天加工个，根据题意列出分式方程解得即可． 【详解】（1）解：设甲车间增加工人人数前每天加工熊猫玩偶的个数为个，则增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个， 由题意，得， 解得， ， 答：甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个； （2）解：设乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为个 ， 由题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个． 【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程，弄清题意列出相应方程是解题的关键． 2．（2025·重庆·模拟预测）在蛇年春晚的创意融合舞蹈《秧》中，机器人与舞者共舞，手绢花翻飞旋转，体现了中国科技企业的崛起．机器人在日常生活中的应用也日益广泛，某快递公司为提高分拣效率及准确性，引进了具有分拣功能的智能机器人，1台机器人1小时分拣的快递量比1个人1小时分拣快递量的5倍还多10件，已知1台机器人和1个人1小时共可以分拣快递730件． (1)求1个人和1台机器人1小时分别分拣快递的数量； (2)为了进一步提高效率，该快递公司又引进了甲、乙两款不同的机器人，已知1台甲型机器人比1台乙型机器人1小时多分拣200件快递，1台甲型机器人分拣9600件快递的时间和1台乙型机器人分拣7200件快递的时间相同，求1台甲型机器人1小时分拣快递的数量． 【答案】(1)1个人1小时分拣快递的数量为120件，1台机器人1小时分拣快递的数量为610件 (2)1台甲型机器人1小时分拣快递的数量为800件 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、分式方程的应用等知识点，审清题意、正确列出方程成为解题的关键． （1）设1个人1小时分拣快递件，则1台机器人1小时分拣快递件，然后根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设1台甲型机器人1小时分拣快递件，财1台乙型机器人1小时分拣快递件，然后根据题意列分式方程求解并检验即可解答． 【详解】（1）解：设1个人1小时分拣快递件，则1台机器人1小时分拣快递件， 由题意可列方程， 解得， ∴（件）， 答：1个人1小时分拣快递的数量为120件，1台机器人1小时分拣快递的数量为610件； （2）解：设1台甲型机器人1小时分拣快递件，财1台乙型机器人1小时分拣快递件， 由题意得，解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：1台甲型机器人1小时分拣快递的数量为800件． 3．（2024·重庆·三模）近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快，人民群众获得感、幸福感、安全感不断提升．某社区在改造中，恢复重现了居民记忆深处的电影院坡坡、戏水河沟、游园坝坝等，新设计了系列文化景观，构建起一个“文化生态”空间． (1)第一期的改造工程面积为88平方米，由甲、乙两人先后接力完成，若甲每天可完成10平方米，乙每天可完成8平方米，共用时10天完成，求甲、乙两人分别工作了多少天？ (2)由于居民对第一期文化改造工程反映很好，引来了不少市民打卡参观．社区计划在A处建造400平方米文化宣传墙，由丙工程队负责；在B处建造160平方米的文化宣传墙，由丁工程队负责．若丙每天可完成的工作量比丁每天可完成的工作量多5平方米，丙完成的时间是丁完成时间的2倍，求丙、丁每天可完成的工作量分别是多少平方米？ 【答案】(1)甲工作了4天，乙工作了6天 (2)丙每天可完成的工作量是25平方米，丁每天可完成的工作量是20平方米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设甲工作了天，乙工作了天，根据第一期的改造工程面积为88平方米，由甲、乙两人先后接力完成，共用10天完成，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设丙每天可完成的工作量是平方米，则丁每天可完成的工作量是平方米，根据丙完成的时间是丁完成时间的2倍，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设甲工作了天，乙工作了天， 由题意得：， 解得：， 答：甲工作了4天，乙工作了6天； （2）设丙每天可完成的工作量是平方米，则丁每天可完成的工作量是平方米， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：丙每天可完成的工作量是25平方米，丁每天可完成的工作量是20平方米． 4．（2024·安徽合肥·一模）某工程由甲、乙两个工程队施工，工程小组综合比较两工程队发现，甲工程队施工2天的费用比乙工程队施工3天的费用少0.3万元，甲、乙两工程队合作施工一天的费用为2.6万元．单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，乙工程队要比规定日期多用5天，初步计算，若单独请甲工程队需付30万元． (1)请计算甲、乙工程队每天所需的施工费用各是多少万元? (2)为降低工程施工费用，甲、乙两工程队先合作施工若干天，再由乙工程队全部完成，求甲、乙两工程队合作施工多少天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低． 【答案】(1)甲工程队每天所需的施工费用为1.5万元，乙工程队每天所需的施工费用为 1.1万元 (2)甲、乙两工程队合作施工4天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低 【分析】本题考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式的实际应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组及不等式求解． （1）设甲工程队每天所需的施工费x万元，乙工程队每天所需的施工费y万元，依题甲工程队施工2天的费用比乙工程队施工3天的费用少0.3万元，甲、乙两工程队合作施工一天的费用为2.6万元列出方程组即可求解； （2）根据题得：单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，甲工程队单独施工需20天，乙单独完成这项工程需天，设乙工程队施工a天，设甲、乙两工程队先合作施工a天，则乙工程队需单独施工天，根据甲乙合作的工作量加上乙单独完成的工作量大于等于总工作量，列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设甲工程队每天所需的施工费x万元，乙工程队每天所需的施工费y万元， 依题意列方程得：， 解得：， 答：甲工程队每天所需的施工费用为1.5万元，乙工程队每天所需的施工费用为1.1万元； （2）解：根据题得：单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，甲工程队单独施工需：（天），则工期为20天， 单独完成这项工程需20天，乙单独完成这项工程需天， 设甲、乙两工程队先合作施工a天，则乙工程队需单独施工天， 根据题意得：， 解得：， 则总费用为：， 当时，总费用最少，为（万元）， 答：甲、乙两工程队合作施工4天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低． 题型12 一次方程（组）实际应用之行程问题（★★★） 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图是岳麓山游览路线图，从岳麓书院到爱晚亭的路程是，从爱晚亭到祥云涧的路程是，从祥云涧到观光长廊的路程是．已知小华从岳麓书院到观光长廊游览的平均速度是，观光长廊原路返回岳麓书院的时间是． (1)用含的代数式表示： ①小华从观光长廊返回岳麓书院的平均速度是 ； ②小华从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的平均速度是 ． (2)小华从岳麓书院到观光长廊共花了，然后从观光长廊沿原路返回岳麓书院的平均速度比来时增加了，所用时间比来时快了，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了平均速度、代数式以及方程的求解： （1）根据题意列代数式； （2）根据题意列方程请求解． 【详解】（1）从岳麓书院到观光长廊的总路程： 从观光长廊返回岳麓书院的平均速度： 从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的总路程： 从岳麓书院到观光长廊的时间为： 从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的总时间： 从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的平均速度： 答案为：①；②． （2）根据题意，得，解得． 答：的值为． 2．（2025·浙江衢州·三模）已知A、B两地间有C地，客车由A地驶向C地，货车由B地经过C地去A地（客货车在A、C两地间沿同一条路行驶），两车同时出发，匀速行驶．货车的速度是客车速度的．图是客车、货车距C地的路程， 与行驶时间的函数关系的图象． (1)求客车的速度及A、B两地间的路程； (2)求货车距C地的路程与x的函数关系式； (3)请直接写出两车出发多长时间时相距的路程． 【答案】(1)客车的速度为，A、B两地间的路程为 (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． （1）根据函数图象中的数据，可以先计算出客车的速度，然后根据货车的速度是客车速度的，即可计算出货车的速度，然后再根据图象中的数据，即可计算出A、B两地间的路程； （2）根据函数图象中的数据，求出货车与的函数关系式即可； （3）先计算出客车与的函数关系式根据题意可知，分两种情况，相遇前和相遇后相距，然后列出相应的方程求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得， 客车的速度：， 则货车速度：， A与B两地间路程为：， （2）当时，设货车与的函数关系式是， 货车的速度为，， 该函数过点，， ， 解得， 即当时，货车与的函数关系式是； 由于货车到达A地用时， ∴当时，设货车与的函数关系式是， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即当时，货车与的函数关系式是； 由上可得，货车与的函数关系式是； （3）解：设客车与的函数关系式是， ， 解得， 即客车与的函数关系式是； 当时，，， ∴当两车相遇前相距时， ， 解得； 当两车相遇后相距时， ， 解得， 综上所述，出发后经过或，两车相距． 3．（2025·山西长治·二模）黄河一号旅游公路是山西省以“踏访黄河、文明探源”为主题的文化旅游公路，起点为忻州市偏关县老牛湾村，终点到运城垣曲西哄哄村，全长1200公里，连接起众多名胜古迹与自然景观．暑假小新和小韵沿着此公路自驾游，小新从老牛湾村出发，小韵从哄哄村出发，小新比小韵晚5小时出发，小新出发29小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为20小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢20公里/时．请分别求出小新和小韵驾车行驶的速度． 【答案】小新驾车行驶的速度是40公里/时，小韵驾车行驶的速度是60公里/时 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，先设小新驾车行驶的速度是公里/时，小韵驾车行驶的速度是公里/时，结合小新比小韵晚5小时出发，小新出发29小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为20小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢20公里/时，列出方程组，再解得，即可作答． 【详解】解：设小新驾车行驶的速度是公里/时，小韵驾车行驶的速度是公里/时， 根据题意，得， 解得， 答：小新驾车行驶的速度是40公里/时，小韵驾车行驶的速度是60公里/时． 4．（2025·吉林长春·模拟预测）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的道路上锻炼．两人都从A地匀速出发，甲走向B地，途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速前进．乙因故比甲晚出发，跑步到达B地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．如图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系． (1)乙与甲的速度差为________；甲与乙的速度比为________． (2)求甲、乙两人从第一次相遇至第二次相遇期间y与x之间的函数表达式． (3)当甲的行进路程比乙的行进路程多时，甲正在驻足与朋友交流，直接写出甲开始驻足与朋友交流时x的取值范围． 【答案】(1)100； (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，从函数图象获取信息，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意和读懂函数图象是解题的关键． （1）设甲的速度为，乙的速度为，根据第50分钟时二人相遇，第86分钟时二人的距离为3600米建立方程组求解即可； （2）分和两种情况，利用待定系数法求解即可； （3）先求出当甲正好交流结束，且甲的行进路程比乙的行进路程多时，x的值，再结合x的值要不大于40即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲的速度为，乙的速度为， 根据题意得：， 解得：， ∴甲的速度为，乙的速度为， ∴乙与甲的速度差为；甲与乙的速度比为 （2）解；当时，设， 把代入中得：， ∴， ∴； 当时， 当时，； 综上所述， （3）解；当甲正好交流结束，且甲的行进路程比乙的行进路程多时， 则，解得， ∵第50分钟时，二者相遇， ∴当时，当甲的行进路程比乙的行进路程多时，甲正在驻足与朋友交流． 题型13 一次方程（组）实际应用之销售盈亏问题（★★★） 1．（2024·四川成都·模拟预测）立定跳远是体育测试项目之一，立定跳远要求穿轻便、跟脚、防滑、鞋底不太厚的运动鞋．在体育考试前，某商店购进了甲、乙两种运动鞋，已知甲、乙两种运动鞋每双的进价之和为64元，甲种运动鞋每双获利8元，乙种运动鞋每双获利10元，店主第一批购买甲种运动鞋50双、乙种运动鞋60双，一共花费3540元． (1)甲、乙两种运动鞋的进价分别是每双多少元？ (2)由于需求量特别大，第一批运动鞋很快售完，店主第二批购进甲、乙两种运动鞋若干，当甲、乙两种运动鞋保持原有利润时，甲、乙两种运动鞋每天分别可以卖出120双和90双．后来店主决定将甲、乙两种运动鞋的售价同时提高相同的钱数，已知甲、乙两种运动鞋每提高1元每天均少卖出5双，为了每天获取更多利润，店主将两种运动鞋同时提高多少元时，才能使日销售利润达到最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)甲运动鞋的进价为30元、乙运动鞋的进价为每双34元 (2)店主将两种运动鞋同时提高6元时，才能使日销售利润达到最大，最大利润为2220元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数解析式是解题的关键． （1）根据“店主第一批购买甲种运动鞋50双、乙种运动鞋60双，一共花费3540元”列方程求解； （2）根据“总利润单利润销售数量”列函数关系式，再根据二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设甲运动鞋的进价为元， 则：， 解得：， ， 答：甲运动鞋的进价为30元、乙运动鞋的进价为每双34元； （2）解：设店主将两种运动鞋同时提高元时，商店的利润为元， 则：， 当时，有最大值，为2220元， 为了每天获取更多利润，店主将两种运动鞋同时提高6元时，才能使日销售利润达到最大，最大利润为2220元． 2．（2025·宁夏银川·二模）据以下素材，探索完成任务． 如何设计销售方案？ 素材1 互联网时代，越来越多大山里的农产品，能够通过丰富多元的网络渠道走出大山、远销全国各地．直播助销就是运用“互联网”的一种销售方式．小明为当地特色花生与茶叶两种产品助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元． 素材2 销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同． 素材3 花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，小明计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元． 问题解决 任务1 假设每千克茶叶的售价为元/千克，每千克花生的售价为元/千克，请协助解决右边问题． 问题： （用含的代数式表示） 任务2 基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出茶叶和花生的售价． 任务3 【拟定设计方案】请结合素材3中的信息，求出在此次助销活动中，哪种方案（分别销售花生、茶叶多少千克）可使商家获得最大利润． 【答案】任务1： ；任务2：每千克茶叶50元，每千克花生10元；任务3：当花生销售30千克，茶叶销售30千克时利润最大 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的实际应用． 任务1：根据每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，用x表示出y值即可． 任务2：根据题意列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案． 任务3 设花生销售千克，茶叶销售千克获利最大，利润元，根据题意列出关于的一元一次不等式求出的取值范围，再列出关于的一次函数，根据函数的性质即可得出答案． 【详解】解：任务 1：假设每千克茶叶的售价为元／千克， 每千克花生的售价为元／千克， 任务 2：根据题意得：， 解得：， 则（元）， 答：每千克茶叶 50 元，每千克花生 10 元； 任务3：设花生销售千克，茶叶销售千克获利最大，利润元， 由题意得： ， 解得：， ， ， ∴ w随的增大而减小， ∴当时，利润最大， 此时花生销售30千克，茶叶销售（千克）， ∴当花生销售30千克，茶叶销售30千克时利润最大． 3．（2026·云南·模拟预测）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买云南扎染布和民族木雕，用于举办文化展览，增强学生对云南民族艺术的了解，提升文化自信． 素材一 购买3个扎染布与购买4个民族木雕需要的费用相等； 素材二 购买3个扎染布和5个民族木雕共需540元； 素材三 该校计划购买扎染布和民族木雕共60个，两种物品均需购买，且购买民族木雕的个数不超过购买扎染布个数的2倍． 请完成下列任务： 任务一 每个扎染布、每个民族木雕的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 【答案】任务一：每个扎染布80元，每个民族木雕60元； 任务二：当购买扎染布20个、民族木雕40个时，购买的总费用最低，最低总费用为4000元 【分析】本题主要考查二元一次方程组，不等式，一次函数的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 任务一：每个扎染布x元，每个民族木雕y元，结合题意列二元一次方程组求解即可； 任务二：设购买扎染布个，则购买民族木雕个，结合题意，列不等式得到，设购买总费用为，结合一次函数图像的性质即可求解． 【详解】解：任务一：每个扎染布x元，每个民族木雕y元， ∴， 解得，， ∴每个扎染布80元，每个民族木雕60元； 任务二：设购买扎染布个，则购买民族木雕个， ∵购买民族木雕的个数不超过购买扎染布个数的2倍 ∴， 解得，， 设购买总费用为， ∴， ∵， ∴越小，的值越小， ∴当购买扎染布20个时，购买总费用的最低，此时，购买民族木雕个，总费用为元， ∴当购买扎染布20个、民族木雕40个时，购买的总费用最低，最低总费用为4000元． 4．（2025·四川雅安·二模）为了响应国家低碳出行号召和降低经营成本，某市出租车公司准备把油车更换成电车．现有A，B两种品牌的电车可供选择，若购买3辆A品牌电车和4辆B品牌电车，共需花费万元；若购买2辆A品牌电车和6辆B品牌电车，共需花费万元． (1)求每辆A品牌电车和每辆B品牌电车的价格； (2)若出租车公司需要购买A，B两种品牌的电车共辆（两种品牌的电车均需购买），购买B品牌电车数量不超过购买A品牌电车数量的，为使购买电车的总费用最低，应购买A品牌电车和B品牌电车各多少辆？购买电车的总费用最低为多少万元？ 【答案】(1)A品牌电车万元/辆，B品牌电车万元/辆 (2)为使购买电车的总费用最低，购买辆A品牌电车，辆B品牌电车，购买电车的总费用最低为万元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用，掌握相关知识是解决问题的关键。 （1）根据题意找到等量关系，列二元一次方程组进行求解即可； （2）设购买B品牌电车辆，则应购买A品牌电车辆，根据题意，，得；设购买电车的总费用为万元，则，根据一次函数的增减性求出答案。 【详解】（1）解：设A品牌电车万元/辆，B品牌电车万元/辆，根据题意， 依题意得， 解方程得， 答：A品牌电车万元/辆，B品牌电车万元/辆． （2）解：设购买B品牌电车辆，则应购买A品牌电车辆，根据题意， ， 得， 设购买电车的总费用为万元，则， ∵， ∴时，取得最小值，最小值为（万元）， ∴购买A品牌电车（辆）， 答：为使购买电车的总费用最低，购买辆A品牌电车，辆B品牌电车，购买电车的总费用最低为万元． 题型14 一次方程（组）实际应用之比赛积分问题（★★） 1．（2025·陕西西安·模拟预测）某学校六年级开展了一次班级间的篮球比赛，规定每场比赛需分出胜负，胜1场积2分，负1场积1分．六年级共有13个班级，第一轮比赛中，每两个班级相互之间仅比赛一场，六（1）班在完成第一轮所有比赛后，总积分为19分，问六（1）班第一轮胜了多少场？ 【答案】7场 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．设六（1）班胜了x场，则负了场．根据题意，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设六（1）班胜了x场，则负了场， 根据题意得：， 解得：， 答：六（1）班第一轮胜了7场． 2．（2025·安徽六安·模拟预测）为庆祝中华人民共和国成立75周年，某校开展了一场知识竞赛，规定答对一道题得10分，答错一道题扣5分，不答扣2分，八（1）班和八（2）班答对、答错、不答的题数如下表： 班级 答对 答错 不答 八（1）班 15 4 1 八（2）班 13 八（1）班最终得分比八（2）班多21分，求八（2）班答错了几道题． 【答案】答错了3道题 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．设八（2）班答错了道题，则不答的题数为，根据题意列出一元一次方程即可求出结论． 【详解】解：由题意可知，共有道题，八（2）班答错或不答的题数， 设八（2）班答错了道题，则不答的题数为． 由题意可得， 解得． 答：八（2）班答错了3道题． 3．（2025·辽宁铁岭·一模）环境污染和气候变化是全球范围内的关切事项．为此学校组织了一次以环保为主题的有奖问答活动，设有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道扣1分． (1)在这次活动中小明恰好得到60分，求小明答对多少道题； (2)如果在这次活动中小明要想超过90分，那么他至少需要答对多少道题？ 【答案】(1)小明答对了17道题 (2)他至少需要答对24道题 【分析】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的关键． （1）设小明答对x道题，根据题意列方程求解即可； （2）设他需要答对道题，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设小明答对x道题， 由题意得：， 解得：， 答：小明答对了17道题． （2）解：设他需要答对道题， ，解得：， 为正整数， ， 答：他至少需要答对24道题． 4．（2024·河北·一模）某校想了解同学们的历史知识储备情况，于是举办了“历史知识知多少”的知识竞赛．共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，答对1题得5分，答错1题扣1分．如表记录了部分参赛同学的得分情况，甲同学在整理的过程中，不小心将墨水倒在了该表上，致使表格中的一部分内容看不清，请回答相关问题． (1)求这次竞赛中E同学答对的题数和答错的题数； (2)D同学说他此次比赛得了73分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)E同学答对16道，答错4道 (2)比赛不可能得了73分，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，得到等量关系是解题的关键． （1）设E同学答对x道，可得，即可解得E同学答对16道，答错4道； （2）设D同学答对m道，若，得，不符合题意，故比赛不可能得了73分． 【详解】（1）解：设E同学答对x道，则答错道， 根据表格数据可得， 解得， ， 答：E同学答对16道，答错4道； （2）解：不可能，理由如下： 设D同学答对m道，则答错道， 若得了73分，则， 解得， ∵m是整数， ∴不符合题意， ∴比赛不可能得了73分． 题型15 一次方程（组）实际应用之比方案选择问题（★★★） 1．（2025·北京·模拟预测）在“一盔一带”为主题的交通安全宣传和教育下，人们骑电动车、摩托车佩戴头盔的安全意识不断提高某安全用品商店计划购进一批安全头盔进行销售于是商店老板联系了批发商，他们之间的对话如下： 你好请问你那里的安全头盔批发价是多少？ 我有三种型号的安全头盔，批发价分别是型元个；型元个；型元个如果你买的多的话还有下面的优惠方案： ①一次性累计购买个及以上九五折优惠 ②一次性累计购买个及以上九折优惠 (1)若该商店计划一次性购进型安全头盔个和型安全头盔个，共需多少钱？ (2)若该商店计划用元一次性购进两种不同型号的安全头盔个，请你研究一下该商店的进货方案有哪几种？ 【答案】(1)共需要元 (2)该商店的进货方案有种，方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔；方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔． 【分析】本题考查了有理数混合运算的运用，一元一次方程的应用；能找出等量关系式，列出方程求解是解题的关键． （1）根据题意列出算式得，即可求解； （2）购进，两种不同型号的安全头盔，购进，两种不同型号的安全头盔，购进，两种不同型号的安全头盔，分别用一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 元． 答：共需要元； （2）解：当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔， 根据题意得：， 解得：， 个； 当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔， 根据题意得：， 解得：， 个； 当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔， 根据题意得：， 解得：(不符合题意，舍去)． 该商店的进货方案有种， 方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔； 方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔． 2．（2025·河南驻马店·三模）小红爸爸计划购买，两种品牌共袋糯米制作粽子．已知用元购买A品牌的袋数与用元购买品牌的袋数相同，且品牌每袋的价格比品牌每袋的价格贵元． (1)求，两种品牌每袋糯米的价格： (2)小红爸爸计划购买品牌的袋数不超过品牌袋数的一半，则怎样购买才能花费最少，最少为多少元？ (3)小红去商家柜台了解到，若整箱（袋/箱）购买任意一种品牌的糯米，每箱可优惠元．小红猜想购买品牌整箱，购买品牌整箱，会比（2）中的方案更省钱，请通过计算说明小红的猜想是否正确． 【答案】(1)品牌每袋糯米的价格为元，品牌每袋糯米的价格是元． (2)购买品牌糯米袋，购买品牌糯米袋，花费最少，最少为元． (3)小红的猜想正确，计算说明过程见解析． 【分析】本题考查一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握分式方程、一元一次不等式的解法及一次函数的增减性． （1）设品牌每袋糯米的价格为元，则品牌每袋糯米的价格元，根据题意列关于的分式方程并求解即可； （2）根据题意列一元一次不等式，并求其解集，设花费元，写出关于的函数关系式，根据一次函数的增减性和的取值范围，确定当取何值时，值最小，求出最小值即可； （3）根据题意，计算不同方案所需要的费用，比较大小即可． 【详解】（1）解：设品牌每袋糯米的价格为元，则品牌每袋糯米的价格是元， 根据题意，得， 解得，， 经检验，是所列分式方程的根， （元） 答：品牌每袋糯米的价格为元，品牌每袋糯米的价格是元． （2）解：设购买品牌糯米袋，则购买品牌糯米袋， 根据题意，得， 解得，， 设花费元，则， ∵， ∴随的增大而增大， ∵，且为非负整数， ∴当时，最小， 此时，（元），（袋）， 答：购买品牌糯米袋，购买品牌糯米袋，花费最少，最少为元． （3）解：购买品牌糯米整箱，购买品牌整箱，需要花费（元）， ∵， ∴购买品牌整箱，购买品牌整箱，会比（2）中的方案更省钱， 答：小红的猜想正确． 3．（2025·湖南·模拟预测）试题情境：编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？ (2)为筹备下一次编钟演奏活动，工作人员要采购A．B两种不同材质的编钟配件，A配件每个30元，B配件每个50元，一共准备花费500元，在保证钱都花完且两种配件都要买的情况下，有几种采购方案？ 【答案】(1)大号 编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹 (2)有三种采购方案方案一：配件个，配件个；方案二：配件个，配件个；方案三：配件个，B配件个 【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，根据应用信息合理列出方程是解题的关键． （1）设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹，根据数量关系列出方程运算即可； （2）设配件要买个，配件要买个，根据题意列出二元一次方程，求其正整数解即可． 【详解】（1）解：设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹， 根据题意得：， 解这个方程组得， 答：大号 编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹． （2）解：设配件要买个，配件要买个． 根据题意得：， 整理得：，即， ∵和都为整数， ∴符合条件的解为：，，， 答：有三种采购方案，方案一：配件个，配件个；方案二：配件个，B配件个；方案三：配件个，B配件个． 4．（2025·河南新乡·模拟预测）“读万卷书，行万里路”，这句话强调了通过旅行和阅读来增长见识的重要性．某学校计划租用甲、乙两种客车送名师生其中学生名、教师6名集体外出研学，要求每辆客车上至少要有1名教师．甲、乙两种客车的载客量和租金如下表： 甲种客车 乙种客车 载客量单位：人/辆 a b 租金单位：元/辆 (1)已知2辆甲种客车和3辆乙种客车满载可载客人，1辆甲种客车和2辆乙种客车满载可载客人，求a，b的值． (2)在（1）的条件下，求最节省费用的租车方案． 【答案】(1)a的值为，b的值为； (2)最节省费用的租车方案为：租用甲种客车4辆，乙种客车2辆． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式． （1）根据“2辆甲种客车和3辆乙种客车满载可载客人，1辆甲种客车和2辆乙种客车满载可载客人”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）由要求每辆客车上至少要有1名教师及两种客车的载客量，可得出要租用两种客车共6辆，设租用甲种客车x辆，则租用乙种客车辆，根据总载客量不少于人，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，设租车总费用为y元，利用总租金每辆甲种客车的租金租用甲种客车的数量每辆乙种客车的租金租用乙种客车的数量，可找出y关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）根据题意得：， 解得：． 答：a的值为，b的值为； （2）∵每辆客车上至少要有1名教师， ∴客车总数不能大于6， ∵要保证名师生有车坐， ∴客车总数不能小于，即客车总数不能小于6， ∴客车总数为． 设租用甲种客车x辆，则租用乙种客车辆， 根据题意得：， 解得：， 设租车总费用为y元，则， ∵， ∴随x的增大而增大， ∴当时，y取得最小值，此时（辆）， ∴最节省费用的租车方案为：租用甲种客车4辆，乙种客车2辆． 题型16 一次方程（组）实际应用之比数字问题（★★★） 1．（2025·安徽亳州·三模）“洛书”（图1）是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛书”，将不重复的9个数依次填入方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”． (1)写出图2中a和b之间的数量关系； (2)求出图3中x和y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，掌握“九宫格”的特点是解题关键． （1）根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等求解即可； （2）令第一行第二列为，第三行第三列为，根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等列二元一次方程组，整理后求解即可 【详解】（1）解：由题意可知，， 即； （2）解：如图，令第一行第二列为，第三行第三列为， 则，即， 解得：； 2．（2025·陕西西安·模拟预测）算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数中，个位数字是十位数字的2倍，若把个位数字与十位数字对调，所得的新的三位数比原三位数大36，请帮小明求出这个三位数． 【答案】648 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设这个三位数的十位数字为a，个位数字为b，根据算盘可知这个三位数的百位数字为6，则这个三位数为，十位数字与个位数字互换后的三位数为，再根据新的三位数比原三位数大36，个位数字是十位数字的2倍建立方程组求解即可． 【详解】解：设这个三位数的十位数字为a，个位数字为b， 由题意得，， 解得， 答：这个三位数为648． 3．（2024·安徽·模拟预测）将连续奇数1，3，5，7，9，…排列成如下的数表： (1)设中间数为，用式子表示十字框中五个数之和． (2)十字框中的五个数之和能等于2024吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程分应用，找到相等关系是解题的关键． （1）设中间数为x，然后表示出十字框中的其他4个数分别为、、、，相加即可得解； （2）设中间的数为x，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设中间数为x，则另4个数分别为、、、， 所以十字框中五个数之和为； （2）解：设中间的数为x， 依题意可得：， 解得： 因为不是整数，与题目的a是奇数不符， 所以5数之和不能等于． 4．（2025·山西·模拟预测）【代数推理】代数推理 一个自然数能分解成，其中均为两位数，的十位数字比的十位数字小1，且，的个位数字之和为10，则称这个自然数为“双十数” 例如：比7小是“双十数”； 又如：比4小不是“双十数” (1)判断1536是不是“双十数”，并说明理由． (2)自然数为“双十数”，将两位数放在两位数的左边，构成一个新的四位数．例如：．若与的十位数字之和能被5整除，且的各个数位数字之和能被3整除． ①求出的十位数字 ②写出1个满足条件的自然数． 【答案】(1)1536是“双十数”，理由见解析； (2)①2，②2139（答案不唯一） 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）①设A的十位数字为a，个位数字为b，B的十位数字为，个位数字为，根据与的十位数字之和能被5整除得到或或或，然后结合a为正整数求出或7，然后利用的各个数位数字之和能被3整除求出A的十位数字为2； ②首先得到B的十位数字为，然后根据“双十数”的定义求解即可． 【详解】（1）解：1536是“双十数”，理由如下： ∵，3比4小1， ∴1536是“双十数”； （2）①∵将两位数放在两位数的左边，构成一个新的四位数． ∴设A的十位数字为a，个位数字为b ∴B的十位数字为，个位数字为 ∵与的十位数字之和能被5整除 ∴或或 ∴或或 ∵a为正整数 ∴或7 ∴的各个数位数字之和为 当时，； 当时，； ∵25不能被3整除 ∴舍去 ∴，即A的十位数字为2； ②∵A的十位数字为2 ∴B的十位数字为， ∴满足条件的自然数可以为2139（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了数的整除，整式的加减运算，一元一次方程的应用等知识，理解新定义是解题的关键． 题型17 一次方程（组）实际应用之比水费电费问题（★★★） 1．（2024·河北·模拟预测）聪聪根据市自来水公司的居民用水收费标准，制定了如下水费计算程序转换机示意图： 用户 张大爷 刘奶奶 王阿姨 聪聪家 用户 输入（） 8 15 18 25 输入（） 输出（元） 24 a 60 b 输出（元） (1)根据该程序转换机计算表中a、b的值； (2)当时，月应缴纳水费（元）用x的代数式表示为_____； (3)小丽家比小明家用水量多，水费多44元，则小丽家该月用水多少？ 【答案】(1)， (2) (3)小丽家该月用水 【分析】本题主要考查了用代数式表示实际问题中的数量关系、求代数式的值、一元一次方程的应用等知识点，根据题意正确列出代数式成为解题的关键． （1）根据刘奶奶家用水，，代入计算即可，聪聪家用水，x＞15，代入计算即可； （2）用15立方米的水费加上比15立方米多的部分的水费即可； （3）分三种情况进行讨论计算即可：①当时，，得，解之即可；②当时，，得，解之即可求解；③当时，， 得，解之即可． 【详解】（1）解：刘奶奶家的水费为（元）， 聪聪家的水费（元）， 故，； （2）解：根据水费计算程序转换机示意图得： 当时，月应缴纳水费(元)用x的代数式表示为． （3）解：设小明家用水量为，则小丽家家用水量为， 当时，， 则小明家应缴纳水费为元，小丽家应缴纳水费为元， ∵， ∴不合题意，舍去； 当时，， 则小明家应缴纳水费为元，小丽家应缴纳水费为元， 由得 ； 当时，， 则小明家应缴纳水费为元，小丽家应缴纳水费为元， ∵， ∴不合题意，舍去； 故． 答：小丽家该月用水． 2．（2025·江苏淮安·一模）综合与实践 【背景】近年来，涟水以高质量发展为首要任务，实现经济迅猛腾飞，成为江苏省最年轻、淮安市唯一的全国百强县.涟水更是风光与美食交织的宝藏之地，让游客流“涟”忘返.住在涟水的小美想给亲朋好友寄送当地特产． 【素材1】她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如下表： 计费单位 收费标准 江浙沪地区 江西省 首重 续重 收费说明： 每件快递按送达地分别计算运费； 运费计算方式：首重价格续重续重运费．首重均为千克，超过千克即要续重，续重以千克为计重单位（不足千克按千克计算）． 【素材2】 电子存单 电子存单 托寄物：捆蹄、萝卜干 目的地：江苏常州 计量重量：千克 件数： 总费用：元 托寄物：鸡糕、捆蹄 目的地：江西南昌 计量重量：千克 件数： 总费用：元 【问题解决】 (1)求、的值； (2)小美给在上海的哥哥寄出了千克的涟水特产，她需要支付多少元快递费？ (3)小美给在江西的外婆寄特产花了元快递费，求这份特产重量的取值范围． 【答案】(1)； (2)元； (3)这份特产重量的取值范围为大于千克且不超过千克． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解决本题的关键是列方程组求出首重需要的费用和续重需要的费用． 根据快递单上的收费，列出二元一次方程组求解即可； 根据小美邮寄的特产的重量和快递公司的收费标准计算即可； 设这份特产的重量是，小美在江西邮寄的特产，根据江西的收费标准列出一元一次方程，解方程求出，即这份特产最多重，因为不足的按收费，可知这份特产的重量为大于8千克且不超过9千克． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， 解得：， 答：的值为，的值为； （2）解：元， 答：小美需要支付元快递费； （3）解：设这份特产重量按计费， 小美在江西， 首重需要付费元，续重需要付费元， 根据题意可得：， 解得：， 这份特产重量的取值范围是大于8千克且不超过9千克， 答：这份特产重量的取值范围为大于8千克且不超过9千克． 3．（2025·内蒙古·二模）金师傅购买了一辆某型号的新能源车，其电池电量为60千瓦时．目前有两种充电方案供选择（如表），经测算金师傅发现电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）关系如图． 方案 安装费用 每千瓦时所需费用 方案一：私家安装充电桩 2520元 0.6元 方案二：公共充电桩充电 0 1.8元（含服务费） (1)已知新能源车充电时一般损耗率为1.2，电池剩余电量为零时，使用家用充电桩一次性充满电需要费用为（元），则电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要多少费用？ (2)当已行驶里程大于300千米时，求出电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）的函数解析式，当电池剩余电量为10%时，会提示充电，此时理论上还能继续行驶多少千米？ (3)金师傅都是在电池剩余电量不低于30千瓦时就开始充电，请问累计行驶里程为多少千米时，选择私家安装充电桩充电（含安装费用）更合算． 【答案】(1)129.6元 (2)30千米 (3)累计行驶里程超过17500千米时，选择私家安装充电桩充电（含安装费用）更合算 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式、一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）根据“充电量×损耗率×每千瓦时所需费用”列式计算即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）根据“选择私家安装充电桩充电的费用<选择公共充电桩充电的费用”列一元一次不等式并求解即可． 【详解】（1）解：(元)， ∴电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要费用129.6元； （2）解：当时，设(为常数，且)． 将坐标和代入， 得， 解得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴与的函数解析式为：， 当时， 得， 解得， (千米)， ∴此时理论上还能继续行驶千米； （3）解：根据图象可知，当电池剩余电量不低于千瓦时就开始充电时，该新能源车每千米的耗电量为(千瓦时)． 设累计行驶里程为千米，则耗电量为千瓦时． 当充电千瓦时， 若选择私家安装充电桩充电，需要费用为：； 若选择公共充电桩充电，需要费用为：； 当选择私家安装充电桩充电(含安装费用)更合算时，得：， 解得：． ∴累计行驶里程超过17500千米时，选择私家安装充电桩充电（含安装费用）更合算． 4．（2025·河南信阳·二模）学科实践： 近年来，太原市加大了公共充电站的建设力度，综合与实践小组的同学对，两个充电站的收费情况进行了调查，调查结果如下表所示． 名称 充电桩领 服务费 充电费 充电速度 充电站 直流式 免费 1.5元 每小时充电 充电站 直流式 前4小时免费，4小时后充电量的服务费为0.8元 1.2元 每小时充电 问题解决： (1)若汽车充电的总电量为， ①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为_____； ②请分别写出当和时，在充电站需要支付的费用（元）与的关系表达式． (2)出租车司机小李和小王分别在，两个充电站充电，充电结束后两人所支付的费用相同．求他们此次的充电量是多少． 【答案】(1)①；②； (2)他们此次的充电量是． 【分析】（1）①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为； ②当时，最高充电时间为（小时），此时； 当时，最高充电时间大于（小时）， 解答即可． （2）根据充电结束后两人所支付的费用相同．判定他们充电都超过了4小时，故得到一元一次方程，解答即可． 本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，熟练掌握列代数式，解方程是解题的关键. 【详解】（1）解：①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为； 故答案为：． ②解：当时，最高充电时间为（小时），此时； 当时，最高充电时间大于（小时），此时， 综上所述，． （2）解：由题意得，充电量大于， . 解得. 答：他们此次的充电量是. 题型18 一次方程（组）实际应用之比古代问题（★★★） 1．（2025·安徽阜阳·一模）我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺．问长木多少尺？ 【答案】长木为6.5尺 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据绳子的长度不变，得出关于x的一元一次方程，即为答案． 【详解】解：设长木为x尺，则绳长为尺 依题意得 解这个方程，得 答：长木为6.5尺. 2．（2025·安徽合肥·三模）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六、问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？ 【答案】人数为人，买鸡的钱为钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找等量关系是解题的关键．设人数为，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设人数为，根据题意得， 解得：， ∴买鸡的钱数为：， 答：人数为人，买鸡的钱为钱． 3．（2025·安徽·模拟预测）我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜文，问两种布每尺各多少钱？ 【答案】每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，设每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文，根据一匹7尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，可以列方程，根据每尺罗布比绫布便宜文，可列方程，解方程组即可求出两种布每尺各多少钱． 【详解】解：设每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文， 根据题意得：， 解得：， 答：每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文. 4．（2025·山东淄博·二模）在《九章算术》的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，已知图1所示的算筹图表示的方程组为，请认真观察思考并完成如下任务： (1)任务一：图2所表示的方程组为_____． (2)任务二：请解你所列的方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，观察图形，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）观察图1规律，列出图2关于x，y的二元一次方程组，即可得出结论． （2）利用加减消元法，即消去x，再求出y即可求解． 【详解】（1）解：依题意得； 故答案为. （2）， 得：； 把代入①得：， 解得：， 故方程组的解为：． 1．（2024·山西·模拟预测）如图，边长为的正方形纸片被分成全等的四部分（图），阴影四边形的最短边为，将其重新拼接得到新的正方形（图），则如图小正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的性质，一元一次方程，设中间小正方形的边长为，由题意可得，然后解方程即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设中间小正方形的边长为， 由题意可得：， ∴， ∴中间小正方形的面积为， 故选：． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知，两地相距，甲、乙两人沿同一条公路从地出发到地，甲骑自行车匀速行驶到达，乙骑摩托车，比甲迟出发，行至处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶．他们离开地的路程与甲行驶的时间之间的函数图像如图所示，则当乙再次追上甲时甲出发的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了从函数图像获取信息、一元一次方程的应用，依据题意，结合图象信息先求出甲、乙速度，然后根据第二次乙追上甲时所走路程相同求出甲所用时间即可得到答案．解题时要能读取图象中信息求出甲、乙的速度是关键． 【详解】解：由图象可知：甲的速度为：， 乙追上甲时，甲走了，此时甲所用时间为：， 乙所用时间为：， ∴乙的速度为：， 设乙休息半小时再次追上甲时，甲所用时间为，则乙所用时间为， 依题意得：， 解得：， 故选：B． 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知实数a、b、c满足，有下列结论正确的是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若a、b、c中只有两个数相等，则． A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】此题考查等式得性质，一元一次方程的运用，解一元二次方程，按照字母满足的条件，逐一分析计算得出答案，进一步比较得出结论即可．灵活利用题目中的已知条件，选择正确的方法解决问题． 【详解】解：①∵，则等式两边除以，可得，故①正确； ②若，则,解得， ， ，故②错误； ③若，则, ， ，故③正确； ④中只有两个数相等， 当时，有， 解得，， 当时，不合题意， 当时，， ， 当时，得,则， 此时不符合题意， 当时，，此时，不符合题意； 故只能是，故④正确 其中正确的是①③④． 故选：C． 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）平面直角坐标系内，若点和点关于直线对称，则的计算结果是 ． 【答案】 【分析】先根据点和点关于直线对称，得到方程组，求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵点和点关于直线对称， ∴， 解得 ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，解二元一次方程组，轴对称的性质，利用二次根式的性质化简等知识点，正确求出是解题的关键． 5．（2025·重庆·模拟预测）对于任意一个四位数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的倍，则称这个四位数为“双倍数”．例如：，因为，是“双倍数”；，因为，所以不是“双倍数”．最小的双倍数是 ；对于“双倍数”，当十位上的数字是千位上的数字的倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被整除时，记．求满足各数位上的数字之和是偶数的所有之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，解方程组，千位上的数字是，百位上的数字是，设十位设的数字是，个位上的数字是，根据“双倍数”的定义判断出和的值即可；分别设出“双倍数”千位，百位，个位上的数字，得到十位上的数字，根据“双倍数”的定义得到含，，的等式，进而得到用，表示的，结合百位上的数字与个位上的数字之和能被整除，可得，，可能的值，进而根据各数位上的数字之和是偶数得到的值，相加即为所有之和，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵求最小的双倍数， ∴千位上的数字是，百位上的数字是，设十位设的数字是，个位上的数字是， ∴， ∴， ∵，均为之间的整数，尽可能小， ∴，， ∴最小的双倍数是， 设“双倍数”中千位上的数字是，百位上的数字为，个位上的数字为，则十位上的数字是， ∴， 解得：， ∵百位上的数字与个位上的数字之和能被整除， ∴是正整数， ∵均为之间的整数， ∴或或， ∴或或， ∴或或， ∵各数位上的数字之和是偶数， ∴或， ∴或， ∴. 故答案为：，． 6．（2025·湖北武汉·模拟预测）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是根据表格，利用每行，每列，每条对角线上的三个数之和相等列方程．由第二行方格的数字，字母，可以得出第二行的数字之和为m，然后以此得出可知第三行左边的数字为4，第一行中间的数字为，第三行中间数字为，第三行右边数字为，再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得关于m，n方程组，解出即可． 【详解】解：如图，根据题意，可得 第二行的数字之和为：， 可知第三行左边的数字为：， 第一行中间的数字为：， 第三行中间数字为， 第三行右边数字为：， 再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得方程组为： 解得， 故答案为：6 7．（2026·全国·模拟预测）如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是，8．线段，从点A（端点P与点A重合，点Q在P点的右侧）出发，以每秒4个单位向右匀速运动，到达B点，即Q点与点B重合后，立即以每秒a个单位的速度匀速返回，当端点P与点A再次重合时运动停止．点M从点B出发，以每秒2个单位向左匀速运动，与线段端点Q相遇后速度立即变为每秒3个单位，匀速到达A点时运动停止．已知线段与点M同时出发，点M提前2秒到达点A．设运动时间为t（秒）． (1)经过_______秒，点M与线段端点Q相遇． (2)记，m与t具有函数关系． ①线段从左向右（从点A到点B）的运动过程中，求m与t的函数表达式； ②在整个运动过程中，请直接写出时t的所有取值． 【答案】(1)2 (2)①；②1.1或1.3或或 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用等知识． （1）先得出点Q表示的数，然后再根据题意列出关于t的一元一次方程求解即可得出答案． （2）①根据相遇前后分两种情况分别出和即可求解． ②分四种情况，分别列出绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：设经过t秒后，点M与线段端点Q相遇， ∵，从点A（端点P与点A重合，） ∴点Q表示的数为：， 则， 解得：， 故经过2秒，点M与线段端点Q相遇； （2）解：①当时，，， ． 当时，， ∵M与Q相遇后速度变成3，M的位置：相遇时，M的位置为：，之后向左走，故位置为， ∴ ． 综上：m与t的函数表达式为： ②当时，， 或 或． 当时，， 或均不在范围内，舍去． 当时，， ． 当时， 或． 当时， ， ， ． 综上，满足条件的值有或或或． 8．（2024·广东·模拟预测）【综合与实践】生活中的函数． (1)基础知识考察：在反比例函数 ，当时，的取值范围是 ；当时，的取值范围是 ． (2)一夜银装裹，飞雪满京城．北京位于华北平原地区，冬季时燕山山脉与太行山脉让来自西伯利亚与蒙古的季风爬过大坡才能抵达北京，极易丢失水汽．1951年至2019年，北京平均每年大雪以上天数仅有天．2023年12月13日这场大雪可谓是个稀罕事． 北京特色茉莉香茶成本为元/袋．受大雪影响，其销售单价（元）与降雪量（毫米）之间的关系如下表： 降雪量(毫米） 销售单价（元） 47 45 44 日销售量（袋）与降雪量（毫米）之间的函数关系式为． 请你根据以上材料，回答以下问题： ①已知与之间的变化量规律符合一次函数关系，请求出其关系式． ②仅看下雪天的情况，其中的取值范围如图所示．问降雪量多大时，销售利润最大？最大利润是多少？ ③在②的条件下，为了提高销售量，店铺在大雪时（降雪量为毫米）进行“买三送一”活动，并调整了售价．小敏阿姨此时趁机入手20袋，回到家才发现这比不做活动时买还贵了20元．你知道此时店铺的一袋茉莉香茶多少钱吗？ 【答案】(1)；或； (2)①；②降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是15000元；③60元 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，反比例函数的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握反比例函数的性质，读懂题意得到等量关系是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质即可解答； （2）①经观察可以发现，销售单价与降雪量成一次函数关系，然后利用待定系数法即可求解； ②设销售利润为，根据利润（销售单价成本）日销售量，结合y与k关系和p与k的关系，得到w与k的关系式，然后根据反比例函数的性质即可求解； ③设此时店铺的一袋茉莉香茶为元，则依题意得，解方程即可． 【详解】（1）解：反比例函数 ，， 函数图象在第一、三象限，且在每一象限内y随着x的增大而减小， 当时，， 当时，y的取值范围是； 当时，， 当时，x的取值范围是或； 故答案为：；或； （2）解：①设 将，代入， 得， 解得， ∴； ②设销售利润为，则 依题意得，， ∵， ∴在时，随着的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为元， 答：降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是15000元． ③∵降雪量为毫米， ∴原售价为44元， ∵进行“买三送一”活动，小敏阿姨此时趁机入手20袋， ∴小敏阿姨购买了15袋，赠送了5袋； 设此时店铺的一袋茉莉香茶为元，则 依题意得，， 解得， 答：此时店铺的一袋茉莉香茶为60元． 9．（2024·浙江·模拟预测）某公司采用两种方式经营商品的销售业务， 方式一：将商品精包装后直接销售； 方式二：将商品深加工得到商品后再销售． 已知商品的基础成本（万元）和精包装费用（万元）均与销售数量（吨）成正比，平均销售价格（万元/吨）与符合关系式，生产商品总费用（万元）包括每月固定环保费（万元）和每吨固定加工费（万元），其平均销售价格为9万元/吨．2月份该公司销售两种商品共20吨，销售利润60万元；3月份受季节影响，虽然也销售了20吨两种商品，但销售利润只有38万元，两个月的部分销售情况如下表．（销售利润＝销售总收入－经营总成本） 商品 （吨） （万元） （万元） 2月 3 9 3 3月 10 30 10 (1)当时，求A商品的销售利润与x的函数关系式；并写出m、n的值； (2)4月份该公司仍按计划销售20吨两种商品，问：该公司还能获得30万元销售利润吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；，； (2)该公司能获得30万元销售利润，此时吨． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，一次函数的应用，二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意找到销售、两种商品所获得的总利润的相等关系，并据此列出函数解析式． （1）由商品的基础成本（万元）和精包装费用（万元）均与销售数量吨成正比可设，，将表格中数据代入计算求得、即可得出，，利用总利润销售额基础成本价精包装总费用即可得；根据“商品总利润销售收入基础成本费用月固定环保费固定加工总费用”得，利用表格得出关于、的方程组，解之可得； （2）由当时和当时分别求解可得． 【详解】（1）解：设，， 由表格知：当时，，， ，， 解得：，， ，， 当时，， ． 当时，． 当时，， ， ． 2月份：， 总利润， ①； 3月份：， 总利润， ②． 联立①②得， 解得 ，； （2）解：4月份，当时，． 当时， 解得，，均不合题意； 当时，． 当时，解得， 该公司能获得30万元销售利润，此时吨． 1．（2025·四川绵阳·中考真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一个问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，问快马几天可追上慢马？据此可知快马追上慢马的天数是（   ） A．5天 B．10天 C．15天 D．20天 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的行程问题，根据题意找到对应的数量关系是解题关键． 设快马追上慢马的天数为x天，根据两匹马的行走距离相等列方程求解即可． 【详解】解：设快马追上慢马的天数为x天，则追上时慢马走了天， 由题意，得， 解得， 故快马追上慢马的天数为20天， 故选：D． 2．（2025·四川内江·中考真题）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据利润相等建立方程．原计划利润为，实际利润为，两者相等即可求解． 【详解】解：设每套成本为元．原计划利润为元；实际购买时利润为元． 根据题意得：， 故选B． 3．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ，得：， ∴的平方根是； 故选：C． 4．（2024·山东淄博·中考真题）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．(    ) 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为； ②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后； ④，两地之间的距离是． 其中正确的结论有： A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象以及二元一次方程组的应用；①由乙比甲晚出发及当时第一次为，可得出乙出发时两人第一次相遇，进而可得出结论①正确；②观察函数图象，可得出当时，取得最大值，最大值为，进而可得出结论②正确；③设甲的速度为 ，乙的速度为，利用路程速度时间，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的之，将其代入中，可得出甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，进而可得出结论③错误；④利用路程速度时间，即可求出，两地之间的距离是． 【详解】解：①乙比甲晚出发，且当时，， 乙出发时，两人第一次相遇， 既甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为，结论①正确； ②观察函数图象，可知：当时，取得最大值，最大值为， 甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值，结论②正确； ③设甲的速度为，乙的速度为， 根据题意得：， 解得：， ∴， 甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，结论③错误； ④， ，两地之间的距离是，结论④正确． 综上所述，正确的结论有①②④． 故选：B． 5．（2025·四川·中考真题）将正面记为A，B，C，D，E的五张卡片按如图所示放置，每张卡片反面都写有一个数．现依次将相邻两张卡片反面的数之和记录如表： 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数和 48 60 53 65 42 根据以上信息，推断出最小数所对应的卡片编号为 ，最大数所对应的卡片编号为 ． 【答案】 【分析】此题考查方程的应用，设A、B、C、D、E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e，根据题意列得，由得，得，进而求出c的值，即可得到其他卡片对应的数，即可解答问题． 【详解】解：设A、B、C、D、E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e， 由题意得：， 得， 得， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴最小数所对应的卡片编号为A，最大数所对应的卡片编号为B， 故答案为：A，B． 6．（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 【答案】(1)生产甲、乙两款服装分别为件，件； (2)生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，正确理解题意列得方程及函数解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设生产甲、乙两款服装分别为件，件，根据该工厂共投入230000元来生产两款服装共300件，列方程组解题即可； （2）设生产甲款服装件，则生产乙款服装件，获得的总利润为元，根据甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍，列出一元一次不等式组求出，再列出函数关系式，结合为正整数，根据函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：设生产甲、乙两款服装分别为件，件， 根据题意得， 解得：， 答：生产甲、乙两款服装分别为件，件； （2）解：设生产甲款服装件，则生产乙款服装件， 根据题意得， 解得， 设获得的总利润为元， ∴， ∵，且为正整数， ∴当时，最大利润为（元）， 则（件）， 答：生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 7．（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 【答案】(1)每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元 (2) 【分析】本题考查了二次函数，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元，根据“2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元”建立二元一次方程组并求解； （2）先根据利润公式求出关于的函数表达式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元； （2）解：由题意得，， ∵，对称轴为直线，且a为整数， ∴当时，取最大值， 答：当时，每天的利润W最大． 8．（2025·广西·中考真题）【平行六边形】如图1，在凸六边形中，满足，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”，其中与，与，与叫做“主对边”；和，和，和叫做“主对角”；叫做“主对角线”． (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 _________ ②平行六边形的三组主对角分别相等 _________ ③平行六边形的三条主对角线互相平分 _________ 【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． (2)如图2，已知平行六边形满足． 求证：平行六边形是菱六边形： (3)如图3是一张边长为的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长． 【答案】(1)错误；正确；错误 (2)详见解析 (3) 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定、相似三角形的性质与判定以及解方程：（1）连接，根据相似三角形和平行线的性质即可判断；（2）先证明为平行四边形，再证明为平行四边形，即可证明是菱六边形；（3）根据菱六边形得到，设，根据解得，代入即可． 【详解】（1）解：连接，交于点，由图可知： ①平行于，只能知道，其他对边同理，故平行六边形的三组主对边分别相等是错误的； ②平行于，，同理可得，其他对角同理，故平行六边形的三组主对角分别相等是正确的； ③由①可知，平行六边形的三条主对角线互相平分是错误的． （2）证明：过点作平行且相等于，连接， 则平行四边形是平行四边形， 平行于，， 在平行六边形中，平行于，， 平行且相等于， 为平行四边形， 平行于，， 在平行六边形中，平行于，平行于， 平行于，平行于， 为平行四边形， ， ， ， ， 平行六边形是菱六边形． （3）解：设三角形纸片为， 裁剪后的纸片为菱六边形， 平行于，平行于 ，平行于，， ， ， 设， 则， ， ， ， 解得：， ． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $