精品解析：江苏省/(扬州市)2025-2026学年度高一 第一学期期末调研测试数学试题

2025-2026学年度第一学期高一期末调研测试 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 设为实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 设为正实数，若，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 设为实数，若关于的方程有两根，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 6. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若实数满足，则（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 3或或-1 8. 设函数在定义域上满足，且当时，，则当时，的最大值是（ ） A. 16 B. 4 C. 2 D. 1 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项中正确的有（ ） A. 的最小值是2 B. 若，则 C. 若且，则 D. 的最小值是4 10. 已知函数，则下列选项中正确的有（ ） A. B. 的图象存在对称中心 C. ，且，都有 D. 设，则与图象的所有交点横坐标之和是4 11. 已知函数的最小正周期，且是图象的一个对称中心，是图象的一条对称轴，则下列选项中正确的有（ ） A. 在区间上是单调函数 B. C. 的最小值为2 D. 是的整数倍 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数f（x）=xa的图象经过点（8，2），则f（27）的值为____________． 13. 扬州制扇工艺源远流长．如图，作出扇形和，从中剪下扇环形制作扇面，已知该扇面的圆心角，扇面面积为，周长（外围实线部分）为，则___________． 14. 设为实数，满足． （1）___________； （2）若，则___________．参考数据： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设实数，集合． （1）若，求； （2）已知“若，则”是真命题，求的取值范围． 16. 在平面直角坐标系中，角的始边与轴正半轴重合，终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点． （1）若，求值； （2）若，求的值； （3）若是方程的两根，求实数的值． 17. 已知是上的偶函数． （1）求实数的值； （2）判断在上的单调性并证明； （3）若，求的取值范围． 18. 某商家举办周年庆活动，原计划准备400份福利礼包，每份礼包的成本为10元，为提升活动效果，现决定，在总份数400份不变的前提下，将礼包分为两类礼包．A礼包数量为份，且A礼包的每份成本为元，B礼包的每份成本为元． （1）若要使调整后B礼包的总成本不低于原计划400份礼包的总成本，求调整后的最大值； （2）为了兼顾活动效果和参与度，商家提出要求：当时，A礼包的总成本始终不超过B礼包的总成本，且A礼包的每份成本始终不低于15元．请问是否存在实数，使得商家的要求全都得到满足？若存在，求实数的取值集合；若不存在，说明理由． 19. 已知函数． （1）若函数的定义域为，求实数的值； （2）若，求证：； （3）若，判断函数的零点个数并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期高一期末调研测试 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将中元素依次代入并判断其与的大小关系，再由集合的交运算即可得. 【详解】由，而， 所以. 故选：D 2. 设为实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】“”不一定能推导出“”，“”是“”的不充分条件. “”一定能推导出“”， “”是“”的必要条件. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：C 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得为奇函数，排除C、D项，再由，排除B项，即可求解. 【详解】由，可得， 所以函数为奇函数，其图像关于原点对称，可排除C、D项， 当时，可得，可排除B项， 所以选项A符合题意. 故选：A. 4. 设为正实数，若，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式可求的最小值. 【详解】因为为正实数，故由基本不等式可得， 故，当且仅当时等号成立，故的最小值为. 故选：B. 5. 设为实数，若关于的方程有两根，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】方程有两个不相等实数根，需满足判别式，再根据，分析函数值，对称轴位置等，进而求出的范围. 【详解】关于的方程有两根，且. ，解得. 故选：B 6. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图象变换求得，，再结合余弦函数的单调性求解. 【详解】由题意，可得， 因，则，故. 故选：A. 7. 若实数满足，则（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 3或或-1 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法结合对数的性质可求的值. 【详解】因为，故， 而，故， 设，则， 且即，故（舍）或， 即， 故选：B. 8. 设函数在定义域上满足，且当时，，则当时，的最大值是（ ） A. 16 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先根据，得出，再应用分段函数的解析式得出，最后应用二次函数最值求解. 【详解】因为，则当时，， 因为当时，，又因为当时，， 则， 当时，的最大值是. 故选：D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项中正确的有（ ） A. 的最小值是2 B. 若，则 C. 若且，则 D. 的最小值是4 【答案】BC 【解析】 【分析】应用特殊值法判断A，应用不等式性质计算判断B，C，应用基本不等式及取等条件判断D. 【详解】当时，，所以的最小值不是2，A选项错误； 因，则，所以，所以，B选项正确； 因且，则，则，C选项正确； ，当即时取等号， 所以的最小值不是4，D选项错误. 故选：BC. 10. 已知函数，则下列选项中正确的有（ ） A. B. 的图象存在对称中心 C. ，且，都有 D. 设，则与图象的所有交点横坐标之和是4 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据解析式计算可判断A的正误，根据可判断B的正误，根据反例可判断C的正误，根据两个函数的对称性计算交点横坐标之和后可判断D的正误. 详解】对于A，，故，故A正确； 对于B，， 故的图象关于中心对称，故B正确； 对于C，取， 则， 故，故C错误； 对于D，因为， 故的图象关于中心对称， 又的图象如图所示： 因为，， ，， 故的图象有4个不同的交点，它们关于对称， 故它们的和为， 故选：ABD. 11. 已知函数的最小正周期，且是图象的一个对称中心，是图象的一条对称轴，则下列选项中正确的有（ ） A. 在区间上是单调函数 B. C. 的最小值为2 D. 是的整数倍 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据对称中心和对称轴可求、后可判断CD的正误，再利用代入法可判断B的正误，利用反例可判断A的正误. 【详解】因为是图象的一个对称中心，是图象的一条对称轴， 故，其中，故，其中， 故，而，故，故，故C正确； 又，而， 故，因为， 故是的整数倍，故D正确； ，故B正确； 取，，， ,, 故是图象的一个对称中心，是图象的一条对称轴， 故满足题设条件 当时，， 而在不单调，故在上不单调， 故A错误. 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数f（x）=xa的图象经过点（8，2），则f（27）的值为____________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据幂函数f（x）=xa的图象经过点（8，2）求出a的值，再求f（27）的值. 【详解】幂函数f（x）=xa的图象经过点（8，2），则8α=2，∴α=，∴f（x）=，∴f（27）==3．故答案为3． 【点睛】本题主要考查幂函数的概念和解析式的求法，考查幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 13. 扬州制扇工艺源远流长．如图，作出扇形和，从中剪下扇环形制作扇面，已知该扇面的圆心角，扇面面积为，周长（外围实线部分）为，则___________． 【答案】20 【解析】 【分析】利用扇环形的面积和周长列出关于和的方程，求解出即可. 【详解】设，因为扇面的圆心角，所以，， 所以该扇面的周长为，即，整理得：. 扇形的面积，扇形的面积， 所以扇面的面积. 又 ，解得，即. 故答案为：20 14. 设为实数，满足． （1）___________； （2）若，则___________．参考数据： 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】（1）通过构造函数，利用函数单调性来求解的值. （2）先根据已知条件确定的范围，再结合零点存在性定理确定的范围，进而得到的值. 【详解】构造函数，因为和均是上的增函数， 也是上的增函数，方程的解唯一. 构造函数，因为和均是上的增函数， 也是上的增函数，方程的解唯一. 将方程中的替换成，得到，即， 由于是上的增函数，，，即. 将代入中，得到，即. 由于，. ，. ，，即. 该区间是的子集，. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设为实数，集合． （1）若，求； （2）已知“若，则”是真命题，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合后利用并集定义可求； （2）根据真命题可得集合的包含关系，从而得关于的不等式组，故可求其范围. 【小问1详解】 因为．当时，， 所以. 【小问2详解】 因为“若，则”是真命题，所以， 所以， 所以且，解得：. 16. 在平面直角坐标系中，角的始边与轴正半轴重合，终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点． （1）若，求的值； （2）若，求的值； （3）若是方程的两根，求实数的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义及同角三角函数关系求解即可. （2）先利用诱导公式对所求式子化简 ，再切化弦求出答案. （3）先利用三角函数定义写出，再根据韦达定理写出和，再根据列出关于的方程，求解出. 【小问1详解】 由三角函数的定义可知， 因为，所以， 又，. 【小问2详解】 由三角函数的定义可知， ． 故原式. 【小问3详解】 由三角函数的定义可知. 因为是方程的两根， ，得或. ，即. 又. 可得，即，解得：或（舍）. 17. 已知是上的偶函数． （1）求实数的值； （2）判断在上的单调性并证明； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）法一，根据偶函数性质，利用特殊值建立方程求，再检验即可，法二，利用偶函数的定义建立方程，直接求解即可； （2）判断函数单调性，再利用定义证明即可； （3）由奇偶性、单调性解不等式即可. 【小问1详解】 方法一，因为是上的偶函数， 所以，所以，解得：， 检验：时，，所以， 所以，所以是偶函数， 综上. 方法二，因为是上的偶函数， 所以在上恒成立， 所以， 整理得：，所以. 【小问2详解】 任取， 因为，所以，所以， 所以，即，因此在上单调递增． 【小问3详解】 因为是上的偶函数，所以， 因为在上单调递增，， 又， 所以，解得：. 18. 某商家举办周年庆活动，原计划准备400份福利礼包，每份礼包的成本为10元，为提升活动效果，现决定，在总份数400份不变的前提下，将礼包分为两类礼包．A礼包数量为份，且A礼包的每份成本为元，B礼包的每份成本为元． （1）若要使调整后B礼包的总成本不低于原计划400份礼包的总成本，求调整后的最大值； （2）为了兼顾活动效果和参与度，商家提出要求：当时，A礼包的总成本始终不超过B礼包的总成本，且A礼包的每份成本始终不低于15元．请问是否存在实数，使得商家的要求全都得到满足？若存在，求实数的取值集合；若不存在，说明理由． 【答案】（1）384 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）设B礼包共份，求出总成本建立不等式求解即可； （2）由题意，建立两个不等式，根据不等式恒成立求解，取交集即可得解. 【小问1详解】 由题意知，B礼包共份，每份成本为元， 则， 整理得：，解得：， 因为，所以调整后的最大值是384. 【小问2详解】 假设存在实数满足要求， 由题意得：对恒成立．① 对恒成立．② 对于①，整理得：对恒成立， 所以且， 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以， 所以； 对于②，整理得：对恒成立 所以且， 又因为，当时，，所以， 综上，，即存在满足条件，其取值集合为. 19. 已知函数． （1）若函数的定义域为，求实数的值； （2）若，求证：； （3）若，判断函数的零点个数并证明． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）有且仅有一个零点，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由的解集为，即可求解； （2）由，，即可求证； （3）分，和结合函数单调性及零点存在性定理讨论即可. 【小问1详解】 因为的定义域为， 所以的解集为， 即的解集为 所以， 解得：. 【小问2详解】 时，， ，又，所以. 【小问3详解】 有且仅有一个零点，证明如下： 时，， 时，因为在上单调递增且图象不间断， ， 所以在上有且仅有一个零点； 时，，所以， 所以在上没有零点； 时，， 所以在上没有零点； 综上，在上有且仅有一个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $