专题02 方程与不等式（组）中的含参问题与特殊题型（专项训练）（广东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第二章 方程与不等式 专题02 方程与不等式（组）中的含参问题与特殊题型 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：已知一元一次方程的解求参数 易｜混｜易｜错 1、先保证方程是一元一次：所有含参问题，第一步先验证一次项系数≠0，若系数含参，需先确定参数的排除值； 2、整理方程要细心：移项、去分母、去括号时注意符号变化（如−2(x−1)去括号为−2x+2，非−2x−2），避免计算错误； 3、整数解问题别漏负约数：如例 9 中，分母不仅可以是分子的正约数，也可以是负约数，漏解是高频错误； 4、无解 / 无数解的条件记牢：仅当一次项系数为 0，常数项不为 0时无解；一次项系数和常数项均为 0时无数解，缺一不可； 5、取值范围要合并：若题目有多个条件（如解为正整数 + 参数为负数），需将多个不等式的解集取交集。 1．（2025·广东清远·一模）若关于x的方程，无论k为任何数时，总是它的解，那么 ． 2．（2025·江苏无锡·一模）若是关于x的方程的解，则m的值是（    ） A． B． C．2 D．3 3．（2023·浙江·模拟预测）关于的方程有无数多个实根，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．有无数个取值 4．（2025·广东潮州·一模）当m取何值时，关于x的方程的解是非负数？ 考点二：一元一次方程解的关系 易｜混｜易｜错 任意一元一次方程整理后均为 ax+b=0（a≠0），必有唯一解：x=； 解的关系问题均为含参问题，需保证所有方程均为一元一次方程（即一次项系数≠0），最后需验证参数取值是否满足该条件； 若其中一个方程无参数，优先解出该方程的具体解，再代入另一个含参方程求解（最简便的基础方法）。 5．（2025·广东河源·一模）新定义阅读理解题 如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“友好方程”．如方程和为“友好方程”． (1)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (2)若两个“友好方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值． 6．（2024·河北邯郸·三模）已知关于x的方程的解比方程的解大5，求这两个方程的解． 7．（2024·江苏盐城·一模）关于x的方程的解是，现给出另一个关于x的方程，则它的解是 ． 8．（2025·广东广州·一模）若两个一元一次方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”例如：方程是方程的“后移方程” (1)判断方程是否为方程的“后移方程”； (2)若关于的方程是关于的方程的“后移方程”，求的值． 考点三：已知二元一次方程组的解的情况求参数 易｜混｜易｜错 二元一次方程组解的情况求参数是初中代数核心考点，核心是根据方程组有唯一解、无解、无数组解的特征，结合消元法或系数比例关系求解参数（或参数取值范围），解题的关键是掌握二元一次方程组解的判定定理，比一元一次方程的含参问题更具规律性，无需复杂计算即可快速判断。 9．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知关于x、y的方程组，若，则m的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 10．（2025·广东中山·模拟预测）已知方程组的解也是关于的方程的一个解，求的值． 11．（2025·四川南充·三模）若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 12．（2025·四川内江·模拟预测）若m使得关于x的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有 个． 考点四：二元一次方程组的错解复原问题 13．（2025·广东佛山·一模）在解方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么 ． 14．（2023·广西柳州·二模）下面是小亮解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得， ③； 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得； 第五步：所以原方程组的解为 任务一：小亮解方程组用的方法是________消元法．（填“代入”或“加减”）； 任务二：小亮解方程组的过程，从第________步开始出现错误，错误的原因是________． 任务三：请写出方程组正确的解答过程． 15．（2024·浙江嘉兴·二模）解方程组：． 小海同学的解题过程如下： 解：由②，得③……（1） 把③代入①，得：……（2） 解得：……（3） 把代入③，得……（4） ∴此方程组的解为……（5） 判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程． 16．（2025·广东汕头·一模）甲、乙两人同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 （1）求a，b的值； （2）若关于x的一元二次方程两实数根为，，且满足，求实数m的值． 考点五：方程组相同解问题 17．（2025·贵州铜仁·三模）若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 18．（2024·湖南长沙·一模）已知方程组和方程组有相同的解，求，的值． 19．（2024·广东江门·一模）已知方程组与有相同的解． (1)求m和n值， (2)已知的两边，的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为5，求的面积． 20．（2024·浙江杭州·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组和有相同的解， 求：（1）这两个方程组的解； （2）代数式的值． 考点六：指定方法解一元二次方程 21．（2025·四川广元·一模）选择适当的方法解方程； (1) (2) 22．（2025·辽宁抚顺·一模）解方程 (1)（配方法）； (2)（公式法） 23．（2026·四川德阳·模拟预测）用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 24．（2025·河南郑州·一模）解方程： (1)；（配方法） (2)．（公式法） 考点七：配方法的应用 易｜混｜易｜错 配方的核心是 “加一次项系数一半的平方”：注意一次项系数的符号； 二次项系数不为 1 时，先提系数再配方：切勿直接加配方项； 代数式配方要 “恒等变形”：加一个数必须同时减这个数（方程配方是两边同时加，无需减，因为等式两边相等）； 利用非负性时，需将代数式化为 “完全平方式的和”：确保每个配方后的式子都是非负数，再结合和为 0 的条件求解； 配方后注意化简，开方后直接计算，避免分数运算错误。 25．（2025·河北邯郸·三模）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式，例如：． 根据以上材料，解答下列问题： (1)用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式； (2)若，当x为多少时y有最值？最值为多少？ (3)求证：不论x，y取何值，多项式的值总为正数． 26．（2025·广东珠海·一模）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： (1)直接写出的最小值 ； (2)比较代数式与的大小，并说明理由； (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 27．（2025·广东汕头·一模）【方法学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：， ∵， ∴，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【问题解决】 (1)当为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？ (2)如图，是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；图是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由． 28．（2024·广东汕头·二模）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否是“邻近根方程”； (2)若关于的方程（是常数）是“邻近根方程”，求的最大值． 考点八：一元二次方程根与系数的关系 易｜混｜易｜错 牢记根与系数的关系：；； 在运用根与系数的关系公式时，前提有两个：一是a≠0；二是△=≥0 29．（2024·广东汕头·一模）已知关于的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)当时，求的值． 30．（2024·广东·模拟预测）关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． (1)求黄金分割数； (2)已知实数满足，且，请证明：是一元二次方程的两个根； (3)已知两个不相等的实数满足，求的值． 31．（2024·广东东莞·一模）已知一元二次方程 (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两个实数根为， 且求m的值． 32．（2023·广东广州·模拟预测）一元二次方程的根与系数的关系是：关于x的方程的两根为、，则有： ， ．某班学完该内容后，王老师要求学生根据上述知识进行编题、解题训练，其中小明同学编的练习题是：设，方程的两个实数根是、，求的值． 小明同学对这道题的解答过程是：解：∵，∴已知方程是， 又∵，， ∴， ∴． (1)请你针对以上练习题的解答的正误做出判断，并简述理由． (2)请你对小明同学所编的练习题中的k另取一个适当的正整数，其他条件不变，求的值． 考点九：根据分式方程解的情况求参数 33．（2024·广东揭阳·一模）已知关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 34．（2025·广东阳江·一模）关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 35．（2024·江西九江·模拟预测）已知是分式方程的解，则m的值为 ． 36．（2025·浙江杭州·模拟预测）对于m，只有一个实数值x满足，求所有满足条件的的值． 考点十：分式方程的增根无解问题 易｜混｜易｜错 分式方程的增根和无解是初中代数的高频易错点，二者看似相关但并非同一概念，核心区别在于：增根是解方程时产生的 “虚假根”（使分母为 0），无解是方程本身没有符合条件的解（含增根导致无解、整式方程本身无解两种情况）。 37．（2023·黑龙江绥化·二模）若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　） A．0 B．2或4 C．4 D．0或2 38．（2024·广东东莞·模拟预测）关于x的分式方程＋3＝有增根，则m的值为（　　） A．7 B．3 C．1 D．－3 39．（2024·广东深圳·一模）若关于的方程无解，则的值为（    ） A．1 B．3 C．1或 D． 40．（2024·广东广州·模拟检测）已知，关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值． 考点十一：一元一次不等式的含参问题 41．（2024·广东潮州·模拟检测）已知不等式2x-a≤0的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围是（    ） A．6＜a＜8 B．6≤a＜8 C．6＜a≤8 D．6≤a≤8 42．（2024·广东深圳·模拟检测）关于、的方程组的解与满足条件，则的最大整数值是 ． 43．（2024·广东广州·一模）若关于x的不等式3x＋1＜m的正整数解是1，2，3，则整数m的最大值是 ． 44．（2024·广东广州·二模）已知：A＝． (1)化简A； (2)若x为不等式a+1≥3的最小整数解，求A的值． 考点十二：一元一次不等式组的含参问题 易｜混｜易｜错 一元一次不等式组的含参问题是初中不等式的核心考点，核心是已知不等式组的解集特征（如有解 / 无解、解集为某区间、整数解的个数等），求参数的取值或取值范围。解题的关键是先解出不含参的不等式，再将含参不等式的解用参数表示，结合数轴分析解集的边界关系，数轴是此类问题的 “万能工具”，能直观避免漏解、错判边界等问题。 45．（2024·山东泰安·一模）关于x的不等式组恰好只有四个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 46．（2024·广东·二模）若一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47．（2024·广东梅州·模拟预测）若关于x的不等式组的所有整数解的和是12，则m的取值范围是 ． 48．（2024·广东汕头·一模）已知关于x，y的不等式组, （1）若该不等式组的解为，求k的值； （2）若该不等式组的解中整数只有1和2，求k的取值范围． 考点十三：方程与不等式（组）中的错解订正问题 49．（2025·广东深圳·三模）观察下面习题的解答过程． 题目：先化简，再求值：，其中解：原式 ． (1)解答过程中开始出现错误的步骤是______填序号，这一步错误的原因是______，请写出正确的化简过程； (2)若代入求值后的计算结果为，求题目中被墨水遮住的的值． 50．（2025·广东深圳·二模）（1）计算：； （2）在解分式方程时，小亮的解法如下： 第一步：方程两边都乘，得． 第二步：解这个方程，得． 第三步：经检验，为原方程的解． ①在上述解方程过程中，从第______________步开始错误； ②错误的原因是____________________． 51．（2025·广东·模拟预测）解分式方程：． 解：方程两边同乘以，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项､合并同类项，得，……第三步 方程两边同除以2，得，……第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．……第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________； ②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是__________________； 任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程． 52．（2025·广东深圳·三模）下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 根据以上材料，解答下列问题： (1)第一步去分母的依据是 ． (2)在解答过程中，从第___步开始出错，错误原因是 ． (3)原不等式的正确解集为 ． 1．（2026·四川遂宁·一模）已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（  ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江·模拟预测）已知关于的方程，解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 3．（2025·新疆·一模）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 4．（2025·贵州遵义·模拟预测）若关于x的一元二次方程两根为，，且，同号，则c可能的值为（    ） A．5 B． C．0 D．1 5．（2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为 ． 6．（2025·四川绵阳·二模）不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是 ． 7．（22-23七年级下·海南省直辖县级单位·期末）若关于的不等式组恰有三个整数解，则实数的取值范围是 ． 8．（2025·四川成都·模拟预测）已知是一元二次方程的两根，则 ． 9．（2025·四川绵阳·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若是方程的两个不相等的实数根，且满足，求k的值． 10．（2025·浙江·模拟预测）已知关于的方程只有一个实数解，求实数的值． 11．（2025·四川南充·一模）若m，n是方程的两个不相等的实数根，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 12．（2025·重庆·模拟预测）若关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的值之和为 ． 13．（2025·甘肃酒泉·二模）若是不等式组的整数解，解关于的分式方程． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程与不等式 专题02 方程与不等式（组）中的含参问题与特殊题型 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：已知一元一次方程的解求参数 易｜混｜易｜错 1、先保证方程是一元一次：所有含参问题，第一步先验证一次项系数≠0，若系数含参，需先确定参数的排除值； 2、整理方程要细心：移项、去分母、去括号时注意符号变化（如−2(x−1)去括号为−2x+2，非−2x−2），避免计算错误； 3、整数解问题别漏负约数：如例 9 中，分母不仅可以是分子的正约数，也可以是负约数，漏解是高频错误； 4、无解 / 无数解的条件记牢：仅当一次项系数为 0，常数项不为 0时无解；一次项系数和常数项均为 0时无数解，缺一不可； 5、取值范围要合并：若题目有多个条件（如解为正整数 + 参数为负数），需将多个不等式的解集取交集。 1．（2025·广东清远·一模）若关于x的方程，无论k为任何数时，总是它的解，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程．先将代入原方程得，根据无论为任何数时恒成立，可得k的系数为0，由此即可求出答案． 【详解】解：将代入， ， ， 由题意可知：无论为任何数时恒成立， ， ，， ， 故答案为：． 2．（2025·江苏无锡·一模）若是关于x的方程的解，则m的值是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解．把代入方程得出，再求出方程的解即可． 【详解】解；把代入方程得：， 解得：， 故选：D． 3．（2023·浙江·模拟预测）关于的方程有无数多个实根，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．有无数个取值 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质，进行分类讨论：①当时，②当时，即可求解． 【详解】解：①当时， ， ， 当时，，只有一个实数根，不符合题意； 当时，解得：， 左边，右边， 此时方程有无数个解，符合题意； ②当时， ， ， 当时，，只有一个实数根，不符合题意； 当时，解得：， 左边，右边， 此时方程有无数个解，符合题意； 综上：实数的值为1或， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了绝对值的定义，解一元一次方程，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 4．（2025·广东潮州·一模）当m取何值时，关于x的方程的解是非负数？ 【答案】 【分析】根据解的定义直接计算，非负即大于等于0． 【详解】， ， ， 解得， 由题意得， 解得． 【点睛】此题考查含参数的一元一次方程，以及一元一次不等式，解题关键是先求出解，然后对解进行运算． 考点二：一元一次方程解的关系 易｜混｜易｜错 任意一元一次方程整理后均为 ax+b=0（a≠0），必有唯一解：x=； 解的关系问题均为含参问题，需保证所有方程均为一元一次方程（即一次项系数≠0），最后需验证参数取值是否满足该条件； 若其中一个方程无参数，优先解出该方程的具体解，再代入另一个含参方程求解（最简便的基础方法）。 5．（2025·广东河源·一模）新定义阅读理解题 如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“友好方程”．如方程和为“友好方程”． (1)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (2)若两个“友好方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法及新定义“友好方程”的应用，熟练掌握一元一次方程的解法、理解“友好方程”的定义是解题的关键． （1）先求解方程的解，根据“友好方程”的定义，得到方程的解是其相反数，代入该方程求解． （2）根据“友好方程”的定义，另一个解为，结合两个解的差为，分两种情况列方程求解． 【详解】（1）解：解得， ∵关于的方程与方程是“友好方程”， ∴方程的解为． 将代入得， 解得； （2）解：∵两个方程是“友好方程”， ∴另一个解为． 分两种情况： ①当时，解得； ②当时，解得； 综上，或． 6．（2024·河北邯郸·三模）已知关于x的方程的解比方程的解大5，求这两个方程的解． 【答案】方程的解为，方程的解为 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义． 首先由方程，用表示，然后由第二个方程，再用表示，此时两个的值相差5，可得方程求出的值，进而即可求得方程的解． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 由， 解得：， 关于的方程的解比方程的解大5， ， 解得， ， ， 这两个方程的解为和． 7．（2024·江苏盐城·一模）关于x的方程的解是，现给出另一个关于x的方程，则它的解是 ． 【答案】2025 【分析】此题考查解一元一次方程，根据两个方程的特点得到所解方程的解为，由此求出x的值． 【详解】∵关于x的方程的解是， ∴方程的解是, ∴, 故答案为2025． 8．（2025·广东广州·一模）若两个一元一次方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”例如：方程是方程的“后移方程” (1)判断方程是否为方程的“后移方程”； (2)若关于的方程是关于的方程的“后移方程”，求的值． 【答案】(1)方程是方程的后移方程 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，弄清题中“后移方程”的定义是解题的关键． （1）求出两个方程的解，利用“后移方程”的定义判定即可． （2）分别表示出两个方程的解，根据“后移方程”的定义列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值． 【详解】（1）解：方程的解是， 方程的解是， 两个方程的解相差1， 方程是方程的后移方程； （2）解：， ， ，， 关于的方程是关于的方程的“后移方程”， 的解为， 把代入得：， ． 考点三：已知二元一次方程组的解的情况求参数 易｜混｜易｜错 二元一次方程组解的情况求参数是初中代数核心考点，核心是根据方程组有唯一解、无解、无数组解的特征，结合消元法或系数比例关系求解参数（或参数取值范围），解题的关键是掌握二元一次方程组解的判定定理，比一元一次方程的含参问题更具规律性，无需复杂计算即可快速判断。 9．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知关于x、y的方程组，若，则m的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查解含参数的二元一次方程组．把两个方程相加，得，结合，即可求解． 【详解】解：方程组的两个方程相加，得， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 10．（2025·广东中山·模拟预测）已知方程组的解也是关于的方程的一个解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法以及方程的解的应用，解题的关键是先求出方程组的解，再代入含参方程求解． 先通过代入消元法解已知方程组，得到、的值，再将其代入方程，进而求出的值． 【详解】解：， 由得代入，得， 解得． 把代入，得． 代入方程，得，解得． 11．（2025·四川南充·三模）若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，弄清方程组与方程组解满足条件的关系成为解题的关键． 两式相减可得，再结合方程组解的条件结合，据此列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：， 可得： ∵， ∴，解得：． 故答案为：3． 12．（2025·四川内江·模拟预测）若m使得关于x的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有 个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少 2 个整数解， ， ， ， 得：， ， ， ， ， ∴满足条件的整数有、、、、， ∴满足条件的整数有5个， 故答案为：5． 考点四：二元一次方程组的错解复原问题 13．（2025·广东佛山·一模）在解方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么 ． 【答案】7 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 把甲乙两同学的结果代入方程组第一个方程计算求出a与b的值，把甲结果代入第二个方程求出c的值即可． 【详解】解：把把代入得：， 得：， 把代入①得：， 把代入得：， 解得：， ， 故答案为：7． 14．（2023·广西柳州·二模）下面是小亮解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得， ③； 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得； 第五步：所以原方程组的解为 任务一：小亮解方程组用的方法是________消元法．（填“代入”或“加减”）； 任务二：小亮解方程组的过程，从第________步开始出现错误，错误的原因是________． 任务三：请写出方程组正确的解答过程． 【答案】任务一：代入；任务二：二，整体代入未添加括号（言之成理即可）；任务三：过程见解析． 【分析】根据二元一次方程的解法分别以各个任务进行判断整理即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，小亮用的方法是代入消元； 但是从第二步开始错误，错误的原因：整体代入未添加括号； 正确的解答过程：由①得 ③ 将③代入②得 解得，代入③，解得 ∴原方程组的解为： 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程的解法：一、代入消元；二、加减消元是解题的关键． 15．（2024·浙江嘉兴·二模）解方程组：． 小海同学的解题过程如下： 解：由②，得③……（1） 把③代入①，得：……（2） 解得：……（3） 把代入③，得……（4） ∴此方程组的解为……（5） 判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程． 【答案】不正确，错误的步骤是（1），（2），（3），正确结果为 【分析】第（1）步，移项没有变号，第（2）步没有用乘法分配律，去括号也错误了，第（3）步移项后计算错误，写出正确的解答过程即可． 【详解】解：错误的是（1），（2），（3）， 正确的解答过程： 由②得：y＝5﹣x③ 把③代入①得：3x﹣10+2x＝6， 解得：， 把代入③得：， ∴此方程组的解为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键． 16．（2025·广东汕头·一模）甲、乙两人同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 （1）求a，b的值； （2）若关于x的一元二次方程两实数根为，，且满足，求实数m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将代入方程②求出b的值，将代入方程①求得a的值，即可得出答案， （2）再将a，b的值代入中，再利用根与系数的关系得到方程组，解出两个根，即可得出m的值． 【详解】解：（1）根据题意得解得 （2）当时，一元二次方程化为， 由根与系数关系得， 联成方程组得，解得 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解和解二元一次方程组，一元二次方程以及根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键． 考点五：方程组相同解问题 17．（2025·贵州铜仁·三模）若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法．由于两个方程组有相同的解，可知它们的解为和，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于和的方程组，通过加减消元法直接求解的值． 【详解】解：由题意得，两个方程组的公共解为， 将代入第一个方程组的，得：①， 代入第二个方程组的，得：②， 将①和②相加：， 整理得：， 则． 故选：D． 18．（2024·湖南长沙·一模）已知方程组和方程组有相同的解，求，的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题关键．利用加减消元法解方程组得到的值，再把的值代入方程组求解即可得到答案． 【详解】解：根据题意，可有， ①②，可得 ， 解得 ， 把代入①，可得， 解得， ∴该方程组的解为， ∵方程组和方程组有相同的解， ∴，． 19．（2024·广东江门·一模）已知方程组与有相同的解． (1)求m和n值， (2)已知的两边，的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为5，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同解方程组，解一元二次方程，解二元一次方程组，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握同解方程组的定义，求出m、n的值． （1）解方程组得，根据同解方程组，得出方程组的解为，代入求出m、n的值即可； （2）把代入得出，解一元二次方程得出的两边长分别为3，4，根据勾股定理逆定理得出为直角三角形，求出结果即可． 【详解】（1）解：由方程组得：， ∵方程组与有相同的解， ∴方程组的解为， ∴， 解得：； （2）解：把代入关于x的一元二次方程得：， 解得：，， ∴的两边长分别为3，4， ∵第三边的长为5， 又∵， ∴为直角三角形， ∴． 20．（2024·浙江杭州·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组和有相同的解， 求：（1）这两个方程组的解； （2）代数式的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由两个方程组同解可得，解方程组可得答案； （2）把代入两个系数未知的方程可得：，解方程组求解的值，即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得： ①+②得： 把代入①得： 所以这两个方程组的解是： （2）把代入可得： ， ③④得： 把代入③得： 所以： 【点睛】本题考查的是同解方程，二元一次方程组的解法，代数式的值，乘方符号的确定，掌握以上知识是解题的关键． 考点六：指定方法解一元二次方程 21．（2025·四川广元·一模）选择适当的方法解方程； (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用因式分解法解答即可； （2）利用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解： ， 或， 解得：； （2）解：， ， 或， 解得：． 22．（2025·辽宁抚顺·一模）解方程 (1)（配方法）； (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将常数项移至等号的右边，然后配方解方程即可； （2）一元二次方程的求根公式为，代入计算即可． 【详解】（1）解： ， （2）解： ，，， ， ，． 23．（2026·四川德阳·模拟预测）用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（）利用因式分解法解答即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 或， ，； （2）解：∵， ∴， ∴， 或， ，； （3）解：∵， ∴， 即， 或， ，； （4）解：∵， ∴， 或， ，． 24．（2025·河南郑州·一模）解方程： (1)；（配方法） (2)．（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）把移到右边，再利用配方法解答即可； （）求出的值，再利用公式法解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，； （2）解：，，， ∵， ∴， ∴，． 考点七：配方法的应用 易｜混｜易｜错 配方的核心是 “加一次项系数一半的平方”：注意一次项系数的符号； 二次项系数不为 1 时，先提系数再配方：切勿直接加配方项； 代数式配方要 “恒等变形”：加一个数必须同时减这个数（方程配方是两边同时加，无需减，因为等式两边相等）； 利用非负性时，需将代数式化为 “完全平方式的和”：确保每个配方后的式子都是非负数，再结合和为 0 的条件求解； 配方后注意化简，开方后直接计算，避免分数运算错误。 25．（2025·河北邯郸·三模）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式，例如：． 根据以上材料，解答下列问题： (1)用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式； (2)若，当x为多少时y有最值？最值为多少？ (3)求证：不论x，y取何值，多项式的值总为正数． 【答案】(1)见解析 (2)当时，y有最大值，最大值为 (3)见解析 【分析】此题考查了配方法的应用、二次函数的最值等知识，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）根据题意利用配方法分解因式即可； （2）由配方法得到，根据二次函数的性质解答即可； （3）利用配方法得到，即可证明结论． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ， 当时，y有最大值，最大值为． （3）证明：， 则不论，取何值，多项式的值总为正数． 26．（2025·广东珠海·一模）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： (1)直接写出的最小值 ； (2)比较代数式与的大小，并说明理由； (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了配方法的应用，利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和是解题的关键． （1）原式配方后得到，然后利用完全平方式的非负性即可得出答案； （2）将两式相减后利用配方法即可判断； （3）利用，由可得，代入后配方得，于是得解． 【详解】（1）解：， 无论取何实数，都有， ，即的最小值为， 故答案为：； （2）解：， ； （3）解：四边形的面积为： ， 四边形面积的最大值为． 27．（2025·广东汕头·一模）【方法学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：， ∵， ∴，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【问题解决】 (1)当为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？ (2)如图，是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；图是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)时，代数式有最小值，最小值为 (2)当时，；当时， 【分析】（）利用配方法解答即可求解； （）利用长方形和正方形的面积公式分别表示出，进而求出，最后根据的值判断即可求解； 本题考查了配方法，整式的运算，掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当，即时，代数式有最小值，最小值为； （2）解：由题意得，，， ∴， 当时，，即， ∴当时，； 当时，，即， ∴当时，； 综上所述，当时，；当时，． 28．（2024·广东汕头·二模）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否是“邻近根方程”； (2)若关于的方程（是常数）是“邻近根方程”，求的最大值． 【答案】(1)方程是“邻近根方程”； (2)48 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，配方法的应用等等： （1）利用公式法求出，则，据此可得答案； （2）设关于x的方程的两个实数根为，则由根与系数的关系可得，再根据题意得到，则，据此推出，再由即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， 解得， ∴， ∴方程是“邻近根方程”； （2）解：设关于x的方程的两个实数根为， 则由根与系数的关系可得， ∵关于x的方程（b，c是常数）是“邻近根方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值48，即有最大值48． 考点八：一元二次方程根与系数的关系 易｜混｜易｜错 牢记根与系数的关系：；； 在运用根与系数的关系公式时，前提有两个：一是a≠0；二是△=≥0 29．（2024·广东汕头·一模）已知关于的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系： （1）用根的判别式即可得到取值范围； （2）由根与系数的关系得到的值，代入求出的值，留下符合的数即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根和， ， 解得：． （2）解：由根与系数的关系得：， ， ， 将代入得， 解得：或， ， ． 30．（2024·广东·模拟预测）关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． (1)求黄金分割数； (2)已知实数满足，且，请证明：是一元二次方程的两个根； (3)已知两个不相等的实数满足，求的值． 【答案】(1) (2)详见解析 (3) 【分析】本题考查解一元二次方程及根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题． （1）依据题意，将代入然后解一元二次方程即可得解； （2）依据题意，将变形为，从而可以看作，是一元二次方程的两个根，进而可以得解； （3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得，进而可以得解． 【详解】（1）解：由题意，将代入，得， ． 黄金分割数大于0， 黄金分割数为； （2）证明：， ． ． 又， 是一元二次方程的两个根； （3）解：由题意，令①，②， ①②得， ． ①②得． 为两个不相等的实数， ． ， ， 又， ． ， ， ． 31．（2024·广东东莞·一模）已知一元二次方程 (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两个实数根为， 且求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）结合该一元二次方程有两个实数根，由一元二次方程的根的判别式列出不等式并求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可知，，结合，求出m的值即可获得答案． 【详解】（1）解：在方程中，， 当方程有两个实数根时，， ∴ 解得：； （2）解：由根与系数的关系得：，   ∵ ，   ∴，   解得：， 由（1）可知 ， ∴． 32．（2023·广东广州·模拟预测）一元二次方程的根与系数的关系是：关于x的方程的两根为、，则有： ， ．某班学完该内容后，王老师要求学生根据上述知识进行编题、解题训练，其中小明同学编的练习题是：设，方程的两个实数根是、，求的值． 小明同学对这道题的解答过程是：解：∵，∴已知方程是， 又∵，， ∴， ∴． (1)请你针对以上练习题的解答的正误做出判断，并简述理由． (2)请你对小明同学所编的练习题中的k另取一个适当的正整数，其他条件不变，求的值． 【答案】(1)错误，理由见解析 (2)当时，原式；当时，原式 【分析】（1）根据使用根与系数的关系的前提条件为，而当时，，即可判断； （2）根据题意，分别计算，时，根据根与系数的关键进行计算即可求解． 【详解】（1）解：以上练习题的解答是错误的，时，． 故方程无实数根； （2）∵方程的两个实数根是、， ∴， ∴， 故可取或， 当时，方程为，则，， 原式； 当时，方程为，则，， 原式． 综上所述，当时，原式；当时，原式． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式的意义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 考点九：根据分式方程解的情况求参数 33．（2024·广东揭阳·一模）已知关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程、根据分式方程解的情况求参数，先解分式方程得出，根据解是负数得出，且，求解即可得出答案． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 关于的方程的解是负数， ，且， 解得：且， 故选：B． 34．（2025·广东阳江·一模）关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数，先将分式方程化为整式方程，用含m的式子表示出x，再根据解是正数且列不等式，即可求解． 【详解】解：将分式方程，去分母得：， 整理得， 解得， 分式方程的解是正数， ， ； 又， ， ， m的取值范围是且， 故选C． 35．（2024·江西九江·模拟预测）已知是分式方程的解，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的解， 把代入分式方程，即可得出关于m的方程，求解即可． 【详解】解：把代入，可得出： ， 解得：， 故答案为： 36．（2025·浙江杭州·模拟预测）对于m，只有一个实数值x满足，求所有满足条件的的值． 【答案】或1或2 【分析】本题主要考查了分式方程的解法、一元二次方程根的判别式，准确分析计算是解题的关键． 先将分式方程去分母化成整式方程，通过二次方程的判别式判断根的个数，再根据分式有意义的条件进行判断即可． 【详解】原方程是分式方程， 且， 两边同时乘以得：， ， 方程只有一个实数解， 若原分式方程有解， ， 解得：， ， 解得：，符合题意； 若原分式方程有增根，则或， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述：的值为或1或2． 考点十：分式方程的增根无解问题 易｜混｜易｜错 分式方程的增根和无解是初中代数的高频易错点，二者看似相关但并非同一概念，核心区别在于：增根是解方程时产生的 “虚假根”（使分母为 0），无解是方程本身没有符合条件的解（含增根导致无解、整式方程本身无解两种情况）。 37．（2023·黑龙江绥化·二模）若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　） A．0 B．2或4 C．4 D．0或2 【答案】D 【分析】先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当时，当时，分别进行计算即可． 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理得， ∵原方程无解， ∴当时，； 当时，此时，， 当时，无解； 当时，，解得； 综上，m的值为0或2； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是有增根和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键． 38．（2024·广东东莞·模拟预测）关于x的分式方程＋3＝有增根，则m的值为（　　） A．7 B．3 C．1 D．－3 【答案】A 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x-1=0，得到x=1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值． 【详解】方程两边都乘（x-），得7+ 3（x-1）=m ∵原方程有增根， ∴最简公分母x-1=0， 解得x=1， 当x=1时，7+ 3（1-1）=m． 解得m=7． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 39．（2024·广东深圳·一模）若关于的方程无解，则的值为（    ） A．1 B．3 C．1或 D． 【答案】C 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解的意义，计算即可求出m的值. 【详解】解：去分母得：， 整理得，， 当时，即时，方程无解， 当时，，即x=3时，方程无解， 此时，解得， 所以，或， 故选：C. 【点睛】本题考查了分式方程的解，把分式方程转化成整式方程，理解分式方程无解的意义，是解题的关键． 40．（2024·广东广州·模拟检测）已知，关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值． 【答案】(1) (2) (3)3、29、55、185 【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可； （2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可； （3）将a=3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值． 【详解】（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 解得：， 检验：把代入， ∴原分式方程的解为：． （2）解：把a=1代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， ①当时，即，原分式方程无解； ②当时，得， Ⅰ.时，原分式方程无解， 即时， 此时b不存在； Ⅱ.x=5时，原分式方程无解， 即时， 此时b=5； 综上所述，时，分式方程无解． （3）解：把a=3b代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， ， 解得：， ∵b为正整数，x为整数， ∴10+ b必为195的因数，10+b≥11， ∵195=3×5×13， ∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195， ∵1、3、5都小于11， ∴10十b可以取13、15、39、65、195这五个数， 对应地，方程的解x=3、5、13、15、17， 又x=5为分式方程的增根，故应舍去， 对应地，b只可以取3、29、55、185， ∴满足条件的b可取3、29、55、185这四个数． 【点睛】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握． 考点十一：一元一次不等式的含参问题 41．（2024·广东潮州·模拟检测）已知不等式2x-a≤0的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围是（    ） A．6＜a＜8 B．6≤a＜8 C．6＜a≤8 D．6≤a≤8 【答案】B 【分析】先求出不等式的解集，再根据其正整数解列出不等式，解此不等式即可． 【详解】解：解不等式2x-a≤0得到：x≤， ∵正整数解为1，2，3， ∴3≤＜4， 解得6≤a＜8． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，根据x的取值范围正确确定的范围是解题的关键．再解不等式时要根据不等式的基本性质． 42．（2024·广东深圳·模拟检测）关于、的方程组的解与满足条件，则的最大整数值是 ． 【答案】 【分析】解方程组得到，由得出关于的不等式，解之可得的取值，即可得出的最大整数值． 【详解】解：解方程组， ①②得，即， ， ， 解得：， 则的最大整数值是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式的能力，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 43．（2024·广东广州·一模）若关于x的不等式3x＋1＜m的正整数解是1，2，3，则整数m的最大值是 ． 【答案】13 【分析】先解不等式得到，再根据正整数解是1，2，3得到时，然后从不等式的解集中找出适合条件的最大整数即可． 【详解】解：解不等式3x＋1＜m，得． ∵关于x的不等式3x＋1＜m的正整数解是1，2，3， ∴， ∴， ∴整数m的最大值是13． 故答案为13． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解：解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的最大整数解． 44．（2024·广东广州·二模）已知：A＝． (1)化简A； (2)若x为不等式a+1≥3的最小整数解，求A的值． 【答案】(1)﹣ (2)﹣ 【分析】（1）先将分式的分子分母分解因式，然后约分，再根据分式的减法计算即可； （2）根据x为不等式a+1≥3的最小整数解，可以得到x的值，然后代入（1）中的结果，即可得到A的值． 【详解】（1）A＝ ＝﹣ ＝﹣ ＝ ＝； （2）由不等式a+1≥3可得，a≥2， ∵x为不等式a+1≥3的最小整数解， ∴x＝2， 由（1）知，A化简后的式子是﹣， 当x＝2时，原式＝﹣＝﹣， 即A的值是﹣， 【点睛】本题考查了分式的化简求值，求一元一次不等式的整数解，正确的计算是解题的关键． 考点十二：一元一次不等式组的含参问题 易｜混｜易｜错 一元一次不等式组的含参问题是初中不等式的核心考点，核心是已知不等式组的解集特征（如有解 / 无解、解集为某区间、整数解的个数等），求参数的取值或取值范围。解题的关键是先解出不含参的不等式，再将含参不等式的解用参数表示，结合数轴分析解集的边界关系，数轴是此类问题的 “万能工具”，能直观避免漏解、错判边界等问题。 45．（2024·山东泰安·一模）关于x的不等式组恰好只有四个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组．根据题意先解第一个不等式，再对整数解进行分析即可列出关于的不等式继而得到本题答案． 【详解】解：∵不等式组， ∴解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组恰好只有四个整数解， ∴， ∴， 故选：A． 46．（2024·广东·二模）若一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式组的解集，解题关键是根据不等式组解集的确定方法，列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：一元一次不等式组的解集为， 所以，， 解得，， 故选：D 47．（2024·广东梅州·模拟预测）若关于x的不等式组的所有整数解的和是12，则m的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解集、整数解，根据整数解和解集确定待定字母的取值范围，在确定的过程中，不等号的选择应认真细心，切实选择正确．解不等式组得出解集，根据整数解的和为12，可以确定整数解为①或②5，4，3，2，1，0，，再根据解集确定m的取值范围即可． 【详解】解：解不等式组， 解得：， ∵所有整数解的和是12，且或 ∴不等式组的整数解为①或②5，4，3，2，1，0， ∴或； 故答案为：或． 48．（2024·广东汕头·一模）已知关于x，y的不等式组, （1）若该不等式组的解为，求k的值； （2）若该不等式组的解中整数只有1和2，求k的取值范围． 【答案】(1) k=﹣4 ；(2) ﹣4＜k≤﹣1． 【分析】（1）求出不等式组的解集，把问题转化为方程即可解决问题； （2）根据题意把问题转化为不等式组解决； 【详解】解：(1) 由①得：   由②得：   ∵不等式组的解集为 ∴ 解得k=−4 (2)由题意 解得 【点睛】考查一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，掌握不等式组解集的求法是解题的关键. 考点十三：方程与不等式（组）中的错解订正问题 49．（2025·广东深圳·三模）观察下面习题的解答过程． 题目：先化简，再求值：，其中解：原式 ． (1)解答过程中开始出现错误的步骤是______填序号，这一步错误的原因是______，请写出正确的化简过程； (2)若代入求值后的计算结果为，求题目中被墨水遮住的的值． 【答案】(1)①，加括号时，括号内的第二项没有变号；正确的解答过程见解析； (2) 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题目中的解答过程可知，开始出现错误的步骤是，这一步错误的原因是加括号时，括号内的第二项没有变号，然后再写出正确的解答过程即可； （2）令（1）中化简后的结果为，求出相应的的值即可． 【详解】（1）解：由题目中的解答过程可知，开始出现错误的步骤是，这一步错误的原因是加括号时，括号内的第二项没有变号， 故答案为：，加括号时，括号内的第二项没有变号； 正确的解答过程如下所示： ； （2）解：当时， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 即若代入求值后的计算结果为，题目中被墨水遮住的的值为． 50．（2025·广东深圳·二模）（1）计算：； （2）在解分式方程时，小亮的解法如下： 第一步：方程两边都乘，得． 第二步：解这个方程，得． 第三步：经检验，为原方程的解． ①在上述解方程过程中，从第______________步开始错误； ②错误的原因是____________________． 【答案】（1）2；（2）①一；②方程右边的这一项漏乘了 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，零指数幂，解分式方程，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值和零指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案； （2）观察解题过程可知，第一步在去分母时，方程右边的这一项漏乘了，据此可得答案． 【详解】解：（1） ； （2）观察可知，上述解方程过程中，从第一步开始错误，错误原因是方程右边的这一项漏乘了． 故答案为：一；方程右边的这一项漏乘了． 51．（2025·广东·模拟预测）解分式方程：． 解：方程两边同乘以，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项､合并同类项，得，……第三步 方程两边同除以2，得，……第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．……第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________； ②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是__________________； 任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程． 【答案】任务一：①等式的基本性质2；②二；完全平方式展开错误；任务二：，过程见解析 【分析】本题考查了解分式方程，等式的性质，分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 任务一：①利用等式的基本性质判断即可； ②观察解方程步骤，找出错误的步骤，分析其原因即可； 任务二：写出分式方程的正确的解即可． 【详解】解：任务一：①上述解题过程中第一步的依据是等式的基本性质； 故答案为：等式的基本性质； ②上述解题过程是从第二步开始出现错误的，错误的原因是完全平方式展开错误； 故答案为：二，完全平方式展开错误； 任务二：， ， ， ， ， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 52．（2025·广东深圳·三模）下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 根据以上材料，解答下列问题： (1)第一步去分母的依据是 ． (2)在解答过程中，从第___步开始出错，错误原因是 ． (3)原不等式的正确解集为 ． 【答案】(1)不等式的基本性质 (2)四；不等号的方向没有改变（或不等式基本性质运用错误） (3) 【分析】本题主要考查了解不等式，理解并掌握解不等式的方法和步骤是解题关键． （1）根据不等式的性质进行求解即可； （2）第四步，系数化1时，不等号的方向没有发生改变出错，即可获得答案； （3）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：第一步去分母的依据是不等式的基本性质． 故答案为：不等式的基本性质； （2）在解答过程中，从第四步开始出错，错误原因是不等号的方向没有改变（或不等式基本性质运用错误）． 故答案为：四；不等号的方向没有改变（或不等式基本性质运用错误）； （3）， 去分母，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， 即原不等式的正确解集为． 故答案为：． 1．（2026·四川遂宁·一模）已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义． 根据题意得出，，，再根据判别式的意义可知，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，． ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项A结论正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项B结论正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项C结论正确，不符合题意； ∵，，． ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴不一定为0，选项D结论错误，符合题意． 故选：D． 2．（2025·黑龙江·模拟预测）已知关于的方程，解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查了解分式方程、分式有意义的条件等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 先解分式方程，再令解为负数求参数范围即可解答． 【详解】解：∵方程， ∴分母，即． 方程两边乘得：， 移项得：． 当时，． 解为负数，即， ∴． ∵分子， ∴分母，即． 当时，方程无解，不符合题意． 又∵，即， ∴， 综上，当时解为负数． 故选B． 3．（2025·新疆·一模）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，根据方程有实数根需满足二次项系数不为零且判别式非负解答即可． 【详解】∵ 方程 是一元二次方程， ∴ ， ∵ 方程有实数根， ∴ 判别式， 解得， ∴ 且． 故选：D． 4．（2025·贵州遵义·模拟预测）若关于x的一元二次方程两根为，，且，同号，则c可能的值为（    ） A．5 B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，由一元二次方程的判别式可得，由根与系数的关系可得，由此即可解答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为、，且，同号， ∴， 解得：， 又∵，同号， ∴，即， 综上所述：， ∴可能的值为， 故选：B． 5．（2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为 ． 【答案】6或 【分析】本题考查了解分式方程． 将分式方程两边乘以最简公分母，化为整式方程，再根据增根的定义，令x等于使公分母为零的值，代入整式方程求解m． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 整理得， 即， ∵增根是使公分母为零的x值， ∴， 解得：， 当时，； 当时，； 则的值为6或． 故答案为：6或． 6．（2025·四川绵阳·二模）不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组．先求出不等式组的解集，再根据题意建立关于a的不等式组即可解决问题． 【详解】解：解不等式得，； 解不等式得，， 所以不等式组的解集为：， 则此不等式组的整数解为0，1． 又因为此不等式组的整数解均满足不等式组， 所以， 解得． 故答案为：． 7．（22-23七年级下·海南省直辖县级单位·期末）若关于的不等式组恰有三个整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，不等式组的整数解的确定，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先分别求解不等式组中的两个不等式，得到解集，再根据该解集恰有三个整数解（即0、1、2），确定的范围，从而求出的取值范围． 【详解】解：解不等式组： 解第一个不等式：， ， ， ， ， ， 解第二个不等式：， ， ， ， 因此，不等式组的解集为：， 由于该解集恰有三个整数解，即整数解为0、1、2， 故需满足： 解得：， 故答案为：． 8．（2025·四川成都·模拟预测）已知是一元二次方程的两根，则 ． 【答案】2029 【分析】本题考查根与系数的关系．利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再利用整体思想即可解决问题． 【详解】解：因为、是一元二次方程的两根， 所以， 所以 ， 故答案为：2029． 9．（2025·四川绵阳·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若是方程的两个不相等的实数根，且满足，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）根据根与系数之间的关系，得到，结合，得到关于的方程进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴； ∴ 无论取何值，方程总有两个不等实根； （2）解：由题意，，， ∴， ∴， ∴， ． 10．（2025·浙江·模拟预测）已知关于的方程只有一个实数解，求实数的值． 【答案】或或． 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握根据分式方程解的情况求参是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． 将分式方程转化为整式方程，然后结合题意分两种情况：当方程①有两个相等的实数根时，当方程①有两个不相等的实数根时，结合题意求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 整理得：　　① 当方程①有两个相等的实数根时，， 解得， ∴， 解得：， 检验：满足题意； 当方程①有两个不相等的实数根时，， 解得： 若是方程①的根，则原方程有增根，代入①解得， ∴ 解得：另一个根， 检验：当时，满足题意； 若是方程①的根，则原方程有增根，代入①解得， ∴， 解得：另一个根， 检验：当时，满足题意； 综上，或或． 11．（2025·四川南充·一模）若m，n是方程的两个不相等的实数根，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用二次方程根与系数的关系，得到 和，并将表达式中的 转化为，从而简化原式． 【详解】解： m，n 是方程 的两个根， ，， ， ， 故选：A． 12．（2025·重庆·模拟预测）若关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、解分式方程等知识点，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且仅有2个奇数解，确定a的取值范围，再解分式方程，根据方程解是整数，求出a的可能取值，最后求出同时满足已知条件的a的值并求和即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴该不等式组的解集为： ∵关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解， ∴这两个奇数解为1和3， ∴，解得： 解分式方程，解得：， ∵关于y的分式方程的解是整数， ∴是3的倍数，且，即， 又∵， ∴， ∴满足条件的所有整数的值之和为：2． 故答案为：2． 13．（2025·甘肃酒泉·二模）若是不等式组的整数解，解关于的分式方程． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解集，分式方程的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，注意方程增根的情况是解题的关键． 由不等式组有解，确定出m的范围，继而求出，将代入分式方程，去分母转化为整式方程，求出x的值并检验即可． 【详解】解：不等式组整理得 ， 解得 ， ∵m为整数， ∴， 将代入，得 ， 去分母得 ， 解得 ， 经检验，是分式方程的解． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $