精品解析：江苏省连云港市新海初级中学2025-2026学年上学期期末模拟测试九年级数学试题

新海初级中学2025-2026学年度第一学期期末模拟测试 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷分值：150分） 一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似图形的定义，逐一判断选项即可求解． 本题考查相似图形的定义，熟练掌握图形的形状相同，但大小不一定相同的两个图形是相似图形是解题的关键． 【详解】解：A．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； B．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； C．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； D．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意； 故选：D． 2. 不透明的袋子中装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则摸出红球的可能性大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是概率公式，理解并掌握简单概率计算公式是解题关键．先求出球的总数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵袋子中装有3个红球，2个白球， ∴摸出红球的可能性大小为． 故选：D． 3. 已知点和点在抛物线上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比较二次函数值的大小． 通过直接代入抛物线方程计算两点纵坐标值，比较大小． 【详解】解：∵抛物线方程为， ∴对于点，， 对于点，， ∴，， ∴． 故选：A． 4. 将二次函数的图象向右移1个单位，再向上移2个单位后所得函数的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数左加右减，上加下减的平移规律是解题的关键．根据二次函数图象的平移规律进行求解即可． 【详解】解：将二次函数的图象向右移1个单位，再向上移2个单位后所得函数的关系式为， 故选：D 5. 如图，在 中，，，，若四边形的面积为，则的面积是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定与性质即可得答案，解题的关键是熟练掌握三角形的面积比等于相似比的平方， 【详解】∵， ∴，， ∵，， ∴，，四边形为平行四边形， ∴， ∴，， 设，则，， ∴四边形的面积为，解得：， ∴， 故选：． 6. 根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似根，掌握函数的图象与 轴的交点与方程的根的关系是解决此题的关键所在． 根据函数的图象与 轴的交点横坐标就是方程的根，结合表格中数据即可判断方程的一个解的范围． 【详解】解：由表中数据可知：当 时， ； 当 时， ， ∴当时，在 与 之间， ∴方程一个解 的取值范围为， 故选：C． 7. 如图，在 中，边上有一动点 ，作点 关于直线的对称点，在点 从点 运动到点的过程中，点的运动路径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含30度的直角三角形的基本性质，弧长的运算，垂直平分线的基本性质，能够找到点的运动路径是解题关键； 如图，延长到点，使，连接，先求得，再通过垂直平分线的基本性质可知，进而知道点的运动路径为以点为圆心，半径为4的圆弧，即，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵点 关于直线的对称点， ∴垂直平分， ∴， ∴点在以点为圆心，半径为4的圆上运动， ∵当点 与点重合时，点与点重合， ∴点的运动路径为以点为圆心，半径为4的圆弧，即， ∴点的运动路径长为：， 故选：C． 8. 如图，抛物线（a、b、c为常数，且）与 轴交于点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若关于 的一元二次方程没有实数根，则．其中所有正确结论的序号为（ ） A. ①③④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，比较函数值的大小，二次函数和一元二次方程的关系，解题的关键是掌握二次函数图像和性质．①根据函数图象确定参数的取值范围即可；②求出抛物线与x轴的另外一个交点，即可得出答案；③根据对称轴确定参数之间的数量关系；④根据对称轴和交点坐标确定参数之间的数量关系，然后借助函数图象确定一元二次方程的根的情况即可． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴位于 轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与 轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； ③∵对称轴为直线， ∴，的对称点为， ∴， 根据函数图象可得：当时，， ∴， ∴，故③正确； ②∵抛物线与x轴的另外一个交点为， ∴把代入得：，故②错误； ④当时，， ∴， 当时，， 当时，一元二次方程没有实数根， ∴时，一元二次方程没有实数根， 又∵， ∴关于 的一元二次方程没有实数根，则，故④正确； 综上，正确选项为①③④， 故选：A． 二、填空题（本题共有10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 如果，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的知识，解题的关键是掌握分式的性质，对进行化简，得，把代入，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10. 已知，是一元二次方程的两个根，则 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得，，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 故答案为：． 11. 用一个半径为1的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查圆锥与扇形之间的关系，一元一次方程的应用，熟练掌握圆锥与扇形之间的关系是解题关键． 先求出扇形的弧长，然后根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥的底面圆的半径为r，列出方程求解即可得． 【详解】解：∵半径为1的半圆的弧长为：， ∴围成的圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥的底面圆的半径为r， 则：， 解得：， 故答案为：． 12. 学校开展了纪念“一二·九”运动的合唱比赛，其中评分项目为歌曲内容、精神面貌和艺术效果，并依次按照计算综合成绩．某班这三项分别得了80分、90分和88分，则该班的综合成绩是____________分． 【答案】87 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算．根据各项目的权重和得分，代入加权平均数公式求解． 【详解】解：该班的综合成绩是（分）． 故答案为：87． 13. 如图，乐器上的一根弦，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点（即 是 与 的比例中项），求 =____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义列式求解即可． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查黄金分割，黄金分割的定义是：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是，近似值为0.618． 14. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数交点问题，数形结合是解题的关键， 根据二次函数图象在直线上方时自变量的取值范围即为不等式的解集，即可解答． 【详解】解：∵抛物线与直线交于两点， ∴由图象可知，不等式的解集为或． 故答案为：或． 15. 根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为___________s时，小球达到最高点． 【答案】2 【解析】 【分析】将函数关系式转化为顶点式即可求解． 【详解】根据题意，有， 当时，有最大值． 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数解析式的相互转化及应用，解决本题的关键是熟练二次函数解析式的特点及应用． 16. 如图， 是的直径，分别切于．若，则的长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，切线长定理的应用，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，连接 ，根据 是的直径，得出，结合已知得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，根据切线的性质以及切线长定理得出，，进而证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接 ， ∵ 是的直径， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵分别切于． ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴ 故答案为：． 17. 如图，借助圆，易画出正六边形；取每段弧的中点，得正十二边形．若，则完善后的正十二边形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆、垂径定理、等边三角形的性质．根据六边形是的内接正六边形，可知是正三角形，根据点是弧的中点，可知且，利用三角形的面积公式可得，从而可求完善后的正十二边形的面积． 【详解】解：如下图所示，连接、、， 六边形是正六边形， 是正三角形， ，， 又点是弧的中点， ，， ， 完善后的正十二边形的面积为 故答案为： ． 18. 如图，在中， ，．将射线绕点C顺时针旋转 到，在射线1上取一点D，连结，使得面积为24，连结 ，则 的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】先整理得，过点C向上作线段，使得，则，结合整理得，证明，即，运用即定角定弦，故点D在以 为直径的圆上，连接，并延长与交于一点，即为，运用勾股定理得，即可作答． 【详解】解：∵射线绕点C顺时针旋转 到，在射线1上取一点D，连结， ∴ ∵面积为24， ∴ ∴， 过点C向上作线段，使得， ∵ ∴ 即 ∴， 连接， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故点D在以 为直径的圆上， ∵， 记圆心为直径 的中点 ， 即的半径 连接，并延长与交于一点，即为， 此时为 的最大值， 故 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，正确分析出点D在以 为直径的圆上是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把方程的左边分解因式，再化为两个一次方程，再解一次方程即可； （2）先把方程左边分解因式，再化为两个一次方程，再解一次方程即可； 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∴或 解得： 【小问2详解】 ∵， ∴ ∴或 解得： 【点睛】本题考查的是因式分解法解一元二次方程，掌握“利用因式分解把原方程化为两个一次方程”是解本题的关键． 20. 已知关于 的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是另一个根的3倍，求 的值． 【答案】（1）见解析 （2） 的值为或 【解析】 【分析】（1）先计算出根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义即可得到结论； （2）先解方程得出，，再分两种情况：当时，当时，分别列出方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 证明：， 该方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：， ， 解得：，， 方程的一个根是另一个根的3倍， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述， 的值为或 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程、解一元一次方程，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 21. 如图，在 中，平分，点E在 上，且． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1）详见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由平分，得， 由，得， 得到，即可得出结论； （2）设，则，由， 得到，即，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 由（1）知：， ∴． 22. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型．科技小组的同学打算利用抽签的方式选择学习内容，他们将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），且将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）从中随机抽取一张，抽到人工智能机器人的卡片的概率为___________； （2）从中随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法求抽到决策类人工智能与语音类人工智能的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，解题的关键是列出表格或画出树状图． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵共有4张卡片， ∴从中随机抽取一张，抽到人工智能机器人的卡片的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： ∵共有12种等可能的结果，其中抽到决策类人工智能与语音类人工智能的有2种情况， ∴抽到决策类人工智能与语音类人工智能的概率为． 23. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀． 数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图． 数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 甲组 7.625 a 7 4.48 乙组 7.625 7 b 0.73 c 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）． 【答案】（1）7.5，7， （2） 解：小祺的观点比较片面． 理由不唯一，例如： ①甲组成绩的优秀率为，高于乙组成绩的优秀率， ∴从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好； ②甲组成绩的中位数为7.5，高于乙组成绩的中位数， ∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好； 因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面． 【解析】 【分析】本题考查的是方差，加权平均数，中位数和众数． （1）根据中位数，众数和优秀率的定义和计算公式计算即可； （2）从优秀率，中位数，众数和方差等角度中选出两个进行分析即可． 【小问1详解】 解：根据题意得： （分）， （分）， ， 故答案为：7.5，7，； 【小问2详解】 略 24. 如图，在中，，，，点 在 的延长线上，且，过点 作，交 的延长线于点，以为直径的交 于点． （1）求； （2）设交于点，试说明是的中点． 【答案】（1） （2） 证明：连接， ， ， 又 ， 是的直径， ， 是的中点． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，解题的关键是： （1）连接 ，在中，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，在中，根据勾股定理求出，然后证明，根据相似三角形的性质求出即可； （2）连接，由（1）可得，根据直径所对的圆周角是直角可得，然后根据三线合一的性质即可得证． 【小问1详解】 解：连接 ， ，，， ， ，， ， 而， ， ，即， 解得， 在中，根据勾股定理得， 为的直径， ， 而， ， ，即， 解得； 【小问2详解】 略 25. 海安滨海新区是驰名中外的“紫菜之乡”，拥有万亩海上养殖基地，所产干紫菜销往世界各地．某超市月份以 元/袋的价格购进一批紫菜，经市场调查后发现，这种紫菜的月销售量 （袋）与售价 （元/袋）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求 与 之间的函数表达式； （2）设该紫菜的总销售利润为元，若要使销售利润最大，售价 应定为多少元？该月进货数量多少袋？ （3）若该超市想要获利不高于进价的，则售价定为多少元时，销售利润达到最大？ 【答案】（1）； （2）当售价为元时销售利润最大，此时月进货量为袋； （3）当售价定为时，销售利润最大，最大利润为元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数解析式的求法、二次函数的图象与性质，解决本题的关键是根据二次函数的图象和性质求最值． 把、代入，得到二元一次方程组，解方程组求出 、的值即可得到函数表达式； 根据销售利润 销量单价利润，得到二次函数，整理成顶点坐标式可得：，从而可知当售价定为元时销售利润最大，此时月进货量为袋； 根据二次函数的图象与性质可知抛物线开口向下，对称轴为，在对称轴的左侧 随 的增大而增大，所以当售价定为时，销售利润最大，最大利润为元． 【小问1详解】 解：设 与 之间的函数表达式是， 把、代入， 可得：， 解得：， 与 之间的函数表达式是； 【小问2详解】 解：根据题意可得：， 整理可得：， 当售价定为元时，销售利润最大， 此时月进货量应为， 该月进货数量为袋； 【小问3详解】 解：该超市想要获利不高于进价的， 此时的售价最多应为(元)， 的图象开口向下，对称轴为， 在对称轴的左侧 随 的增大而增大， 当售价定为时，销售利润最大， 最大利润为(元)， 答：当售价定为时，销售利润最大，最大利润为元． 26. 已知关于 的二次函数． （1）求函数图象的顶点坐标； （2）若函数 满足：对于任意的实数 ，都有成立． ①求的值： ②直线与函数的图象交于， 两点，与函数的图象交于， 两点，若对于任意的，都有，结合函数图象，直接写出 的取值范围． 【答案】（1）；（2）①；② 【解析】 【分析】（1）把函数解析式化为顶点式，从而可得答案； （2）①分别求解与 的最值，再分三种情况讨论：当 逐一分析对于任意的实数 ，是否都有成立，从而可得答案；②分别求解当时，的顶点坐标，再确定直线过定点 从而可得当时，的图象关于对称，从而证明 再结合抛物线的图象的性质可得答案. 【详解】解：（1） 函数的顶点坐标为： （2） 当时，函数取得最大值 ， 当时，函数取得最小值 当时，有 对于任意的实数 ，不成立． 当时，最大值为 的最小值为 此时 此时： 即：对于任意的实数 ，都有成立． 当时，有 此时：对于任意的实数 ，不成立． 综上： ②当时，，， 顶点坐标分别为： 过定点， 如图， 关于 成中心对称， 当时，与关于 成中心对称， 对于抛物线，越大，抛物线的开口越小，越小，抛物线的开口越大， 当的开口宽度比大时，总有 所以当 则 综上：对于任意的，都有时， 【点睛】本题考查的二次函数的性质，顶点坐标，二次函数的最值，二次函数的图象，灵活运用二次函数的知识是解本题的关键. 27. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项妙点”． 如图1， 中，点D是 边上一点，连接，若，则称点D是 中 边上的“比中项妙点”． （1）①在中，，于点D，则点D ______填“是”或“不是”中 边上的“比中项妙点”； ②如图2， 的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出 边上的一个“比中项妙点”点的中点除外 （2）如图3，平行四边形中，点E为 边上一点，连接交对角线 于点F，点F恰好是中 边上的“比中项妙点”． ①求证：点F也是中边上的“比中项妙点”； ②连接并延长交于点G，若点F是中边上的“比中项妙点”，且，求的值． 【答案】（1）①是； ②解：如图2中，点M即为所求； （2） ①证明：∵点F恰好是中 边上的“比中项妙点”， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F也是中边上的“比中项妙点”； ② 【解析】 【分析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质． （1）①证明，推出可得结论； ②取格点J，连接交 于点M，点M即为所求，此时，则，得到推出； （2）①先根据点F恰好是中 边上的“比中项妙点”，推出，再根据平行四边形的性质得 ，则，进而推出即可； ②首先证明，再证明即可． 【小问1详解】 ①解：如图， 在中，，于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D是 中 边上的“比中项妙点”． 故答案为：是； ②略 【小问2详解】 ①略 ②解：如图3中， ∵四边形是平行四边形， ∴ ，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F是中边上的“比中项妙点”， ∴点F是中 边上的“比中项妙点”（同①证明）， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新海初级中学2025-2026学年度第一学期期末模拟测试 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷分值：150分） 一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 不透明的袋子中装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则摸出红球的可能性大小为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点和点在抛物线上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 将二次函数的图象向右移1个单位，再向上移2个单位后所得函数的关系式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，若四边形的面积为，则的面积是（ ） A. B. C. 2 D. 6. 根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，边上有一动点 ，作点关于直线的对称点，在点 从点运动到点 的过程中，点的运动路径长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，抛物线（a、b、c为常数，且）与 轴交于点，对称轴为直线 ，下列结论：①；②；③；④若关于 的一元二次方程没有实数根，则．其中所有正确结论的序号为（ ） A. ①③④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③ 二、填空题（本题共有10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 如果，那么________． 10. 已知，是一元二次方程的两个根，则 _________． 11. 用一个半径为1的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为_________． 12. 学校开展了纪念“一二·九”运动的合唱比赛，其中评分项目为歌曲内容、精神面貌和艺术效果，并依次按照计算综合成绩．某班这三项分别得了80分、90分和88分，则该班的综合成绩是____________分． 13. 如图，乐器上的一根弦，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点（即是与的比例中项），求=____． 14. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是_____． 15. 根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成 角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为___________s时，小球达到最高点． 16. 如图，是的直径，分别切于．若，则的长是_______． 17. 如图，借助圆，易画出正六边形；取每段弧的中点，得正十二边形．若，则完善后的正十二边形的面积为__________． 18. 如图，在中， ，．将射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结，使得面积为24，连结，则的最大值是________． 三、解答题（本大题共9小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 已知关于 的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 21. 如图，在中，平分，点E在上，且． （1）求证：； （2）若，求的值． 22. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型．科技小组的同学打算利用抽签的方式选择学习内容，他们将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），且将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）从中随机抽取一张，抽到人工智能机器人的卡片的概率为___________； （2）从中随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法求抽到决策类人工智能与语音类人工智能的概率． 23. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀． 数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图． 数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 甲组 7.625 a 7 4.48 乙组 7.625 7 b 0.73 c 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）． 24. 如图，在中，，，，点 在的延长线上，且，过点 作，交的延长线于点，以为直径的交于点． （1）求； （2）设交于点，试说明是的中点． 25. 海安滨海新区是驰名中外的“紫菜之乡”，拥有万亩海上养殖基地，所产干紫菜销往世界各地．某超市 月份以元/袋的价格购进一批紫菜，经市场调查后发现，这种紫菜的月销售量 （袋）与售价 （元/袋）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求 与 之间的函数表达式； （2）设该紫菜的总销售利润为元，若要使销售利润最大，售价 应定为多少元？该月进货数量多少袋？ （3）若该超市想要获利不高于进价的，则售价定为多少元时，销售利润达到最大？ 26. 已知关于 的二次函数． （1）求函数图象的顶点坐标； （2）若函数 满足：对于任意的实数 ，都有成立． ①求 的值： ②直线与函数的图象交于 ，两点，与函数的图象交于 ， 两点，若对于任意的，都有，结合函数图象，直接写出的取值范围． 27. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项妙点”． 如图1，中，点D是边上一点，连接，若，则称点D是中边上的“比中项妙点”． （1）①在中，，于点D，则点D ______填“是”或“不是”中边上的“比中项妙点”； ②如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“比中项妙点”点的中点除外 （2）如图3，平行四边形中，点E为边上一点，连接交对角线于点F，点F恰好是中边上的“比中项妙点”． ①求证：点F也是中边上的“比中项妙点”； ②连接并延长交于点G，若点F是中边上的“比中项妙点”，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $